AD1 Q3 2018 1 Gabarito Novo

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 3 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Questa˜o 3 (2,5 pontos) A Secretaria de Sau´de de Longefica esta´ se preparando para uma nova
campanha de vacinac¸a˜o contra a Auriculite Caprina (AC), que afeta pessoas que tiveram contato
com animais infectados. Nesta nova campanha, a vacinac¸a˜o sera´ feita em duas doses, de acordo
com o protocolo a seguir:
• Devem tomar a segunda dose todos aqueles que tomarem a primeira, e somente estes, exceto
no caso de manifestarem sintomas entre a primeira e a segunda doses.
• Todos os moradores que na˜o foram vacinados em campanhas anteriores e que na˜o tenham
contra´ıdo a doenc¸a em algum momento anterior a` nova campanha de vacinac¸a˜o devera˜o tomar
a primeira dose.
• Na˜o devem tomar a vacina aqueles que ja´ tenham contra´ıdo a doenc¸a em algum momento
anterior a` nova campanha de vacinac¸a˜o.
(a) Escreva, utilizando s´ımbolos da lo´gica proposicional, cada diretriz do protocolo acima. Utilize
a seguinte notac¸a˜o para as proposic¸o˜es:
p: deve tomar a primeira dose
q: deve tomar a segunda dose
a: foi vacinado em campanhas anteriores
s: apresentou sintomas da Auriculite Caprina entre a primeira e a segunda doses da va-
cinac¸a˜o.
j: ja´ contraiu a doenc¸a em algum momento anterior a` nova vacinac¸a˜o.
Sabe-se que a populac¸a˜o de Longefica e´ de 10000 habitantes, dos quais 1000 ja´ contra´ıram ou tera˜o
contra´ıdo a Auriculite Caprina antes da primeira fase da nova campanha de vacinac¸a˜o, e 2000 ja´ foram
vacinados em campanhas anteriores. A Secretaria de Sau´de na˜o sabe se ha´ algue´m que tenha sido
vacinado anteriormente e que tenha contra´ıdo a doenc¸a. A vacinac¸a˜o na˜o impede que haja conta´gio
ou manifestac¸a˜o de sintomas no per´ıodo de um meˆs apo´s a vacinac¸a˜o; na verdade, especula-se ate´
que a pro´pria vacina possa causar sintomas. Estima-se que pelo menos 100 pessoas da cidade devam
manifestar sintomas da doenc¸a entre a primeira e a segunda dose da nova campanha de vacinac¸a˜o,
independentemente de terem sido vacinadas ou na˜o.
E´ consenso entre a comunidade cient´ıfica que quem ja´ contraiu a doenc¸a na˜o apresentara´ mais
sintomas em toda a sua vida.
(b) Supondo que o protocolo de vacinac¸a˜o seja cumprido a` risca, qual o nu´mero m´ınimo e ma´ximo
de habitantes que podera˜o comparecer a cada dose da vacinac¸a˜o?
Soluc¸a˜o:
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(a) Da primeira diretriz do protocolo podem ser conclu´ıdas duas afirmac¸o˜es:
• Se um morador tomar a primeira dose (p) e na˜o manifestar sintomas entre a primeira e a
segunda dose (∼s), enta˜o ele devera´ tomar a segunda dose (q). Assim, temos
p ∧ (∼ s)⇒ q.
• Por outro lado, se um morador deve tomar a segunda dose (q), enta˜o tomou a primeira
(p) e na˜o manifestou sintomas entre a primeira e a segunda doses (∼s). Assim,
q⇒ p ∧ (∼ s).
Juntando as duas implicac¸o˜es, temos
Primeira diretriz: p ∧ (∼ s)⇔ q.
A segunda diretriz pode ser lida da seguinte forma: “Se um morador na˜o foi vacinado em cam-
panhas anteriores (∼a) e na˜o contraiu a doenc¸a em algum momento anterior a` nova vacinac¸a˜o
(∼j), enta˜o ele deve tomar a primeira dose (p). Assim, temos
Segunda diretriz: (∼ a) ∧ (∼ j)⇒ p.
A terceira diretriz, por sua vez, diz que “Se um morador ja´ contraiu a doenc¸a anteriormente
a` nova campanha (j), enta˜o ele na˜o deve tomar a primeira dose (∼p). (Na verdade, ele na˜o
deve tomar qualquer dose da vacina, mas na˜o tomar a primeira ja´ implica na˜o tomar a segunda).
Assim, temos
Terceira diretriz: j⇒∼ p.
(b) Vamos representar a situac¸a˜o por meio de um diagrama de Venn, no qual o conjunto-universo U
representa toda a populac¸a˜o, o conjunto J representa os que tiveram ou tera˜o a Auriculite Caprina
antes da nova campanha de vacinac¸a˜o, e A representa os que ja´ foram vacinados anteriormente.
Sabemos, pelas informac¸o˜es dadas, que U possui 10000 elementos, J possui 2000 e A possui
1000, mas na˜o sabemos quantos elementos ha´ na intersec¸a˜o entre J ∩A. Esta intersec¸a˜o pode
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possuir, no m´ınimo 0 elementos, como abaixo,
ou, no ma´ximo, 1000 elementos, como abaixo,
De maneira geral, sendo n o nu´mero de pessoas na intersec¸a˜o, temos 0 6 n 6 1000 e o diagrama
abaixo:
O nu´mero de habitantes em U , mas fora da unia˜o J ∪ A e´ dado por
10000− [(1000− n) + n+ (2000− n)] = 7000 + n.
Assim, como 0 6 n 6 1000, a populac¸a˜o 7000+n que nunca foi vacinada e nem tera´ manifestado
a doenc¸a antes da nova vacinac¸a˜o esta´ entre 7000 (quando n = 0) e 8000 (quando n = 1000).
Mas e´ exatamente esta a populac¸a˜o, que nunca foi vacinada e nunca teve a doenc¸a, que, segundo
as diretrizes da campanha, deve tomar a primeira dose. Assim, se as diretrizes forem seguidas a`
risca, tomara˜o a primeira dose, no m´ınimo 7000 habitantes e, no ma´ximo 8000.
Desses habitantes que tomarem a primeira dose, alguns podera˜o manifestar sintomas da doenc¸a
antes da aplicac¸a˜o da segunda dose. Estima-se que pelo menos 100 habitantes manifestara˜o
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estes sintomas, que podem estar ou na˜o entre os que tomaram a primeira dose. Vamos chamar
de m, com m > 100, o nu´mero de pessoas que manifestara˜o a doenc¸a.
O nu´mero ma´ximo de pessoas que podem tomar a segunda dose continua sendo 8000, no caso
em que nenhuma das pessoas que manifestarem os sintomas estejam entre os que tomaram a
primeira dose, como representado abaixo:
com 100 6 m 6 1000.
O nu´mero m´ınimo de pessoas que podem tomar a segunda dose ocorre quando 7000 pessoas
tomam a primeira dose, e, dessas, m pessoas, com m > 100, manifestam os sintomas, como
representado abaixo:
com 100 6 m 6 7000.
Note que 100 6 m 6 7000. Assim, se m = 7000, isto e´, se manifestarem a doenc¸a todas as
pessoas que nunca tiveram a doenc¸a e nunca foram vacinadas, o nu´mero de pessoas que tomara˜o
a segunda dose sera´ 0.
Assim, devem tomar a segunda dose, no m´ınimo, 0 pessoas e, no ma´ximo, 8000.
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