GAAL ÁLGEBRA LINEAR TEXTO 06 TRANSFORMAÇÃO LINEAR 2012 1

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1 
Universidade Salvador – UNIFACS 
GAAL - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
Cursos de Engenharia 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
 
Algebra Linear 
 
Texto 06: Transformação Linear – Matriz Associada 
 
 
Até agora só trabalhamos com funções reais de uma variável real, ou seja, funções cujos 
domínios e imagens são subconjuntos de R. Por exemplo: f(x) = 2x + 1; f(x) = x
2
; f(x) = e
x
, 
etc. Vamos agora tratar de funções que têm como domínio e contradomínio outros espaços 
vetoriais como R
2
, R
3
, M2(R), etc . Assim, tanto a variável independente quanto a variável 
dependente serão vetores, razão pela qual, funções deste tipo são também chamadas de 
funções vetoriais. 
Vamos estudar uma classe especial de funções definidas entre espaços vetoriais que são 
aquelas que preservam as operações de adição e a multiplicação por um escalar. 
Enfatizaremos as transformações lineares de R
n
 em R
m
. Tais transformações têm 
importância fundamental no estudo da Álgebra Linear e muitas aplicações na Física e nas 
Engenharias 
Para dizer que T é uma transformação ( função ) de um espaço vetorial V num espaço 
vetorial W, escrevemos T: V  W. Sendo T uma função, cada vetor v  V tem um só vetor 
imagem w  W tal que w = T(v) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) T: R
2
  R3 
T(x,y) = (x, y, x + y ) 
 
Exemplos de algumas imagens T(1,2) = (1, 2, 3 ); T(0,1 ) = (0, 1, 1 ) 
 
 
 
 
 
 
 
W 
V 
v w =T(v) T 
 2 
2) T : R
3
  R3 
 
T(x, y, z ) = (x, y, 0 ) 
 
Esta transformação é chamada de projeção ortogonal do R
3
 sobre o plano XY, pois ela pega 
um ponto qualquer do R
3
 e leva na sua projeção sobre o plano XY 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações 
1) No caso em que V = W uma transformação linear T: V  V é também chamada de 
operador linear. 
2) A definição nos diz em palavras que se T é uma transformação linear então a 
imagem da soma é a soma das imagens e a imagem de um vetor multiplicado por 
um escalar é igual ao escalar multiplicado pela imagem do vetor 
3) As condições i) e ii) da definição são equivalentes a T ( u + v ) = T(u ) +T( v ) 
 
 
Exemplos e Contra-exemplos: 
 
1) T: R  R 
 x  2x 
i) T ( x + y ) = 2 (x + y ) = 2x + 2y = T ( x ) + T ( y ) 
ii) T ( x) = 2 ( x) = 2  x =  (2 x ) =  T (x ) 
 
 
 
Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre R. Uma transformação linear é uma 
aplicação ( função) T de V em W que satisfaz as seguintes condições: 
T: V  W 
i)  u, v  V, T ( u + v ) = T(u ) + T( v ) 
ii)  u  V,    R, T(  u ) =  T ( u ) 
 
 
w = T(v) 
v 
 3 
2) T: R  R 
 x  x    R 
Este caso é uma generalização do anterior 
 
 As transformações acima têm como gráfico uma reta passando pela origem e motivaram a 
definição de transformação linear. Pode-se mostrar que toda transformação linear de R em 
R é do tipo descrito acima. 
 
3) T: R2  R 
 (x, y)  x + y 
 
i) T( (x1, y1 ) + (x2, y2) ) = T( x1 + x2, y1 + y2) = x1 + x2 + y1 + y2 = ( x1 + y1 ) + ( x2 +y2 ) = 
 T( (x1, y1 ) ) + T ( (x2, y2) ) 
 
ii ) T ( (x1, y1 ) ) = T ( (x1,  y1 ) ) = x1 +  y1 =  ( x1 + y1 ) =  T ( x1 , y1 ) 
 
 
 
4) T: R
2
  R; T( x, y) = x + y + 1 
Esta transformação não é linear pois, por exemplo, T( 1, 1) = 3 e T(2, 2 ) = 5. Logo, 
T(2v)  2T(v) 
 
5) T: R
2
  R2 : T(x, y) = ( x2, y ) 
Esta transformação não é linear. Por exemplo, T( 1, 1) = ( 1, 1 ) e T( 2, 1 ) = (4, 1), mas 
T ( (1, 1) + ( 2, 1 ) ) = T(3, 2 ) = ( 9, 2 )  ( 1, 1 ) + ( 4, 1 ) 
 
 
 
Algumas Transformações Lineares do Plano 
 
 
1) Reflexão em torno do eixo OX 
 
T: R
2
  R2 
T(x,y) = ( x, y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(x,y) 
(x,  y) 
 4 
 
 
 
2) Reflexão em torno do eixo OY 
 
T: R
2
  R2 
T(x,y) = ( x, y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Reflexão na origem 
 
T: R
2
  R2 
T(x,y) = (  x, y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Reflexão em torno da reta y = x 
 
T: R
2
  R2 
T(x,y) = ( y, x) 
 
 
 
 
 
 
 
( x, y)  (x,y) 
( x, y) 
(x, y) 
( x, y) 
(x, y) 
(x, y) 
(y, x) 
 5 
Propriedades das Transformações Lineares 
 
P1: Se T: V  W é uma transformação linear então T( 0 ) = 0 
D] T ( 0 ) = T( 0 + 0 ) = T ( 0 ) + T ( 0 )  T ( 0 ) = 0 
 
Temos como consequência que T ( 0 )  0  T não é uma transformação linear 
 
Exemplo: T: R
2
  R; T ( x, y ) = x + y + 1 não é uma transformação linear pois T (0, 0) = 1 
 
Observação: O fato de T ( 0 ) = 0 não garante que T é linear 
 
Exemplo: T : R  R2: T ( x ) = ( x2, x ) é tal que T( 0 ) = ( 0, 0 ) mas T não é linear 
 
T(1) = ( 1, 1 ); T( 2) = ( 4, 2 ) e T( 1+2) = T(3) = (9, 3 )  T(1) + T(2) 
 
 
P2: Se T: V  W é uma transformação linear então T ( – u ) = – T ( u ) 
D} T ( – u ) = T ( (– 1)u ) = ( – 1 ) T ( u ) = – T ( u ) 
 
P3: Se T: V  W é uma transformação linear então T ( u – v ) = T ( u ) – T ( v ) 
D] T ( u – v ) = T ( u + (–1 )v) = T ( u ) + ( – 1 ) T ( v ) = T ( u ) – T ( v ) 
 
 
Exemplos: 
 
1) Sabendo que T: V  W é uma transformação linear tal que T(u) = w1 e T(v) = w2, 
calcule T(3u – 5v) 
 
Solução: 
T(3u – 5v) = T(3u)  T(5v) = 3T(u) 5T(v) = 3w1 5w2 . 
 
 
2) Se T: V  W é uma transformação linear, então 
T( 3u + 4v – 5w ) = 3 T(u) + 4T(v) –5T(w) 
 
 
3) Se v = 1v1 + 2v2 + ...+ nvn e T é uma transformação linear, então 
T(v) = T(1v1 + 2v2 + ...+ nvn ) = 1T(v1) + 2 T( v2 )+ ...+ nT( vn ) 
 
 
Um resultado importante sobre as transformações lineares é que elas ficam completamente 
determinadas se conhecemos as imagens dos vetores de uma base do domínio. 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: Determinar as transformações lineares a seguir: 
 
1. T: R2  R3 ; T(1, 0) = (1, 2, 3) e T(0,1 ) = ( – 1, 0, 1 ) 
 
Solução: 
 
{ ( 1, 0 ), ( 0, 1 ) } é a base canônica do R
2
 e conhecemos as imagens dos elementos da 
base. Logo, T(x,y) = T( x(1,0) + y(0,1) ) = x T(1,0) + yT(0,1) = x(1,2,3) + y( – 1 , 0 , 1 ) 
 T ( x, y ) = (x – y ,2x, 3x + y ) 
 
 
 
2. T: R2  R2; T( 1,1 ) = ( 1, 0 ) e T( 1,1) = ( 1,2 ) 
 
Solução: 
{ (1, 1 ), ( 1 , 1 ) } é uma base do R2. Vamos, inicialmente, encontrar as coordenadas de 
um vetor genérico v = ( x, y ) em relação a essa base. 
(x,y) = a( 1,1) + b( 1, 1 )  a  b = x e a + b = y  
2
xy
b e 
2
yx
a




 
Assim, 
x)y(y,
2
2x2y
,
2
xyyx
(1,2)
2
xy
(1,0)
2
yx
1,1)T(
2
xy
T(1,1)
2
yx
y)T(x,





 





 





 





 





 

 
 
 
3. T: M2 ( R )  R 
 
T
1 0
0 0
2; T
0 1
0 0
4; T
0 0
1 0
1; T
0 0
0 1
3





 





 





  





 
 
 
Solução: 
3w+z4y+2x= 
10
00
T w+
01
00
T z+ 
00
10
yT+
00
01
 xT= 
wz
yx
T 





























 
 
Sejam V e W espaços vetoriais 1 = { v1, v2, ..., vn } base de V e w1, w2, ...wn 
elementos arbitrários de W. Então, existe uma única transformação linear 
T: V  W tal que T (vi) = wi.
Isto significa que T fica completamente 
determinada pelos vetores w1, w2, ..., wn . 
 
 
 7 
 
4. T: R3  R2 
T(1,0,0) = (1, 2 ); T(0, 1, 0 ) = ( 1, 1 ) e T(0, 0, 1) = (1, 0 ) 
 
Solução: 
T(x, y, z) = T ( x(1, 0, 0 ) + y ( 0, 1, 0 ) + z (0, 0, 1)) = xT(1,0,0) + yT(0,1, 0 ) + zT(0,0,1) 
= x(1,2) + y ( 1, 1) + z(1, 0 ) = ( x + y + z , 2x + y ) 
 
 
Matriz Associada a uma Transformação Linear 
 
Vamos agora relacionar as transformações lineares às matrizes e veremos que, num certo 
sentido, o estudo das transformações lineares é equivalente ao estudo das matrizes. 
 
Consideremos o seguinte exemplo: 
Seja A a matriz A = 1 2 1
0 1 1






 e consideremos a transformação que indicaremos por 
TA 
TA : R
3
  R2 
 TA( (x, y ,z ) ) = A
x
y
z
1 2 1
0 1 1
x
y
z
x 2y z
y z





























 







 
Podemos interpretar TA(x, y, z) = (x + 2y + z, y – z ) 
 
Observemos que tomamos o vetor ( x, y, z ) na forma de matriz coluna para que a operação 
com a matriz estivesse bem definida. 
 
Observação: Dada uma matriz A  Mmxn ( R ), ela pode ser interpretada como uma 
transformação linear TA: R
n
  Rm onde os vetores são tomados através de suas 
coordenadas em relação às bases canônicas do R
n
 e R
m
. 
 
De uma maneira geral: Fixada uma matriz A, A  Mmxn ( R ) e considerando a aplicação 
TA do R
n
 em R
m
: 
 TA: R
n
  Rm 
 TA( v ) = A v 
onde v é considerado um vetor coluna do R
n
, ou seja, v é uma matriz coluna n x 1. 
 
TA é uma tranformação linear. 
 
 
 
 
 
 8 
Vamos agora mostrar que toda transformação linear está associada a uma matriz. 
 
Vamos considerar apenas transformações de R
n
 em R
m
 com suas bases canônicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Sejam V = R
3
 e W = R
2
 considerados com as suas respectivas bases canônicas 
 
Sendo T: R
3
  R2; T(x, y, z ) = ( x + y, z ), determine [ T ] 
 
Solução: T( 1, 0, 0 ) = ( 1, 0 ) ; T ( 0, 1, 0 ) = ( 1, 0 ) e T ( 0, 0, 1 ) = ( 0, 1 ) 
Logo, 
  






100
011
T
 
 
2) Sejam V = R
2
 e W = R
3
 , considerados com as suas respectivas bases canônicas 
 
a) Sendo T: R2  R3; T(x, y) = ( 3x + 3y, 2x + y, x + y ), determine [ T ]. 
 
Solução: T(1,0) = ( 3, 2, 1 ) e T( 0, 1) = ( 3, 1, 1 ) 
 
Considerando a matriz A cujas colunas são as coordenadas dos vetores imagens na base 
obtemos 
 











11
12
33
TA
 
b) Sendo 











11
12
33
A
, determine TA: R
2
  R3 
Solução: 
Sendo  é a base canônica temos que 
  






y
x
y)(x, 
. Logo, 
    y)(x,Ay)T(x, 
= 
 
Seja T: R
n  Rm uma transformação linear. Definimos a matriz da transformação 
T em relação às bases canônicas de Rn e Rm e indicamos por 
 T
como sendo a 
matriz m x n cuja j-ésima coluna é formada pelas coordenadas do vetor T(vj), isto 
é, aij é a i-ésima coordenada de T(vj). 
 9 





























yx
y2x
3y3x
y
x
11
12
33
. Portanto, T(x,y) = (3x +3y)(1,0,0) + (2x+y) (0,1,0)+(x+y)(0,0,1,) 
= (3x+3y, 2x+y ,x+y). 
 
 
Comparando os resultados dos itens a) e b) concluímos que a transformação TA tem como 
matriz associada a matriz A que induz TA. 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Verifique quais das transformações abaixo são lineares. Justifique. 
a) T(x, y) = (2x , y) b) T(x, y) = (x
2
 , y) c) T(x,y) = (2x+1, -y) 
d) F(x, y, z) = (x+y, xy, z) e) S(x, y, z) = (x+2y, 0, sen(x)) 
 
 
2) Determine as expressões das transformações a seguir, sabendo que: 
a) T: R2  R3 e T(1,0) = (-3,1,0) e T(0,1) = (1,2,4) 
b) T: R2  R3 e T(1,0) = (2,0,1) e T(0,1) = (1,2,-3) 
c) T: R2  R3 e T(1,1) = (2,0,1) e T(0,1) = (1,0,-1) 
d) T: R3  R3 e T(1,0,0) = (2,1,0) e T(0,1,0) = (1,0,2) e T(0,0,1) = (-2,3,4) 
e) T: R
3
  R3 e T(1,0,0) = (1,0,1) e T(1,1,0) = (-2,3,4) e T(0,1,1) = (0,1,-3) 
f) T: R
3
  R3 e T(0,0,1) = (1,-1,-3) e T(2,1,2) = (3,4,-4) e T(-1,0,3) = (2,-4,-9) 
 
3) Dado T: R
2
  R2 linear, T(1,0) = (2,3) e T(0,1) = (-3,5), determine: 
a) T(1,2) b) T(2,-4) c) T(x,y) 
 
. 
 
4) Determine as matrizes associadas das funções lineares abaixo: 
a) T: R2  R2 tal que T(x,y) = (x-3y, -3x+4y) 
b) T: R2  R3 tal que T(x,y) = (x-3y, -3x+4y, x+2y) 
c) T: R3  R3 tal que T(x,y,z) = (x-y+z, x+4y-z, 2y-3z) 
d) T: R4  R3 tal que T(x,y,z,w) = (x-3y+w, 2x-y+z, x+2y-3w) 
e) T: R4  R4 tal que T(x,y,z,w) = (2x-3y+z-w, 2x-3y+z, 2y+z-3w,z-w) 
 
 
Respostas 
 
1) Somente a função do item (a) é linear. Dê contra-exemplos numéricos nos outros 
casos. 
 
2) a) T(x, y) = (-3x+y, x+2y, 4y) b) T(x, y) = (2x+y, 2y, x-3y) 
 10 
 c) T(x, y) = (x+y, 0, 2x-y) d) T(x, y, z) = (2x+y-2z, x+3z, 2y+4z) 
 e) T(x, y, z) = (x-3y+3z, 3y-2z, x+3y-6z) 
 f) T(x, y, z) = (x-y+z, x+4y-z, 2y-3z) 
 
 
3) a) (-4,13) b) (16,-14) c) (2x-3y, 3x+5y) 
 
4) a) 
  








43
31
T
 b)  













21
43
31
T
 c)  














320
141
111
T
 
 d)  














3021
0112
1031
T
 e)  



















1100
3120
0132
1132
T 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
- Álgebra Linear – Alfredo Steinbruch / Paulo Winterle 
- Álgebra Linear – Boldrini / Costa / Figueiredo / Wetzler 
- Álgebra Linear – Caliolli 
- Álgebra Linear com Aplicações – Anton / Rorre