Lista 4 GAAL

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UNIFACS – Universidade Salvador 
Disciplina: Álgebra Linear 
Curso: Engenharias 
 
4a Lista de Exercícios 
 
I Parte - Espaços Vetoriais ( subespaços; combinação linear e espaço gerado) 
 
 
1) Verifique quais dos seguintes vetores são combinações lineares de u = ( 0, 2, 2 ) e v = (1, 3, 1 ) 
 
a) ( 2, 2, 2 ); b) ( 0, 4, 5 ); c) ( 2, 0, 4 ); d) ( 2, 0, 1 ) 
 
2) Expresse os seguintes vetores como combinação linear de u = ( 1,0,0), v =( 1,1,0) e w = ( 1,1,1) 
 
a) (1,1,1) b) (0,1,0) c) (2,3,4) 
 
3) Verifique quais das seguintes matrizes são combinações lineares de 
 











 








41
20
,
32
11
,
22
04
321 MMM
 
 
a) 








81
86
 b) 






17
51
 
 
4) Verifique em cada item a seguir se os vetores dados geram o R3 
 
a) v=(2,2,2), u=(0,0,3) e w=(0,1,1) 
b) u=(2,-1,3), v=(4,1,2) e w=(8,-1,8) 
c) u=(2,2,,2), v=(1,1,1) e w=(0,1,1) 
 
5) Diga quis dos seguntes vetores pertence a 
 )1,2,0,1(),2,5,1,3(),3,0,1,2( W
 
 
a) (2,3,-7,3) b) (0,0,0,0) c) (1,1,1,1) 
 
 
6) Justifique porque os seguintes conjuntos de vetores são LD. 
a) 
 )20,10,5(),4,2,1( W
 b) 
 )4,7(),5,4(),1,3( W
 
c) 



















 

02
43
,
02
43
W
 
 
7) Verifique se os conjuntos de vetores são LI ou LD 
a) 
  3)2,10,4(),2,1,4( Rem
 
b) 
  3)3,1,1(),2,1,5(),4,0,3( Rem
 
c) 
  3)2,0,7(),1,1,6(),5,2,3(),1,0,2( Rem
 
d) 
  4)1,0,1,1(),0,0,3,3(),2,2,0,0( Rem
 
e) 
  4)1,2,1,2(),0,2,2,0(),1,3,2,0(),6,3,0,3( Rem
 
f) 
)(,
321
014
,
702
122
,
423
112
32 RMem x





























 
 
8) Suponha que os vetores do R3 localizados n origem. Verifique se os três vetores 
estão num mesmo plano. 
 
a) (2,-2,0), (6,1,4), (2,0,-4) b) (-6,7,2), (3,2,4), (4,-1,2) 
 
9) Verifique se os conjuntos dados a seguir são base para os respectivos espaços. 
Caso não sejam base justifique o porquê: 
 
a) 
  2)2,2(),1,1( Ropara
 
b) 
  2)2,2(),1,1( Ropara
 
c) 
  3)3,3,3(),2,0,,2(),0,0,1( Ropara
 
d) 
  3)1,7,0(),1,1,4(),1,3,2( Ropara
 
e) 
)(,
210
000
,
000
110
,
100
101
32 RMem x
























 
 
10) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais: 
 
a) 
 )2,3,3(),2,0,7(),2,5,0(),0,0,1( W
 
b) 
 )5,1,1(),2,1,0(),3,0,1( W
 
c) 












 0);(2 yzxRM
wz
yx
W
 
d) 
 052;),,( 3  zyxRzyxW
 
 xyewzRwzyxW 2;),,,( 4 
 
 
 
11) Determine a dimensão dos seguintes subconjuntos e escreva-os com o menor número de vetores 
possível. Em seguida,verifique se eles geram o R2 e se formam uma base do R2. 
 
a) W = [(1,2), (2,4),(3,6)] 
b) W = [(1,3), (3,5), (-2,-6)] 
c) W = [(2,5), (4,8)] 
d) W = [(1,-2), (2,-3), (5,-9)] 
e) W= [(1,-5), (-2,10)] 
 
12) Determine a dimensão dos seguintes subconjuntos e escreva-os com o menor número de vetores 
 possível. Em seguida,verifique se eles geram o R3 e se formam uma base do R3. 
 
a) W = [(1,1,-3),(2,0,1)] 
b) W = [(1,1,-3),(-2,-2,6)] 
c) W = [(1,1,-3),(2,3,-2),(8,11,-12)] 
d) W = [(1,1,-2),(2,-3,0),(0,2,1)] 
e) W= [(2,-1,4),(1,0,3),(-1,2,1), (4,-2,8)] 
f) W= [(3,-1,1),(2,1,2),(2,-4,-2), (1,0,3)] 
g) W= [(2,1,0),(3,0,1),(-3,-3,1), (0,-6,4), (2,-5,4)] 
 
 
13) Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços: 
a) 
 zyx;R)z,y,x(W 3 
 
b) 
 0;),,( 3  xRzyxW
 
c) 
 0y2x e 0zx ; R)z,y,x(W 3 
 
d)
 0z3y2x ; R)z,y,x(W 3 
 
e)












 0d e 0ca ; )R(M
d c
b a
W 2
 
 
14) Determine as equações que caracterizam os seguintes subespaços , se 
 possível. Verifique se 
W
i
 é um subespaço próprio de 
V
i . 
 a)
 )1 ,1(,)2,2(W, RV 2 
 b)
 )1,2,1(,)1,0,1(,)1,0,1(W, RV 3 
 
 c)
 )1,0,0(,)0,1,0(,)0,1,1(W, RV 3 
 d)

























0 2
0 0
,
1 0
3 0
,
1 0
2 1
W, )R(MV 2
 
 e)

































1 0
0 0
,
0 1
0 0 
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1
W ,)R(MV 2
 
 
 
II Parte - Transformações lineares 
 
 
1) Determine as expressões das funções abaixo, sabendo que: 
a) T: R2  R3 e T(1,0) = (-3,1,0) e T(0,1) = (1,2,4) 
b) T: R2  R3 e T(1,0) = (2,0,1) e T(0,1) = (1,2,-3) 
c) T: R2  R3 e T(1,1) = (2,0,1) e T(0,1) = (1,0,-1) 
d) T: R3  R3 e T(1,0,0) = (2,1,0) e T(0,1,0) = (1,0,2) e T(0,0,1) = (-2,3,4) 
e) T: R3  R3 e T(1,0,0) = (1,0,1) e T(1,1,0) = (-2,3,4) e T(0,1,1) = (0,1,-3) 
f) T: R3  R3 e T(0,0,1) = (1,-1,-3) e T(2,1,2) = (3,4,-4) e T(-1,0,3) = (2,-4,-9) 
 
2) Dado T: R2  R2 linear, T(1,0) = (2,3) e T(0,1) = (-3,5), determine: 
a) T(1,2) b) T(2,-4) c) T(x,y) 
 
3) Verifique que S: R2  R2 , S(x,y) = (x+y, 2x-y) é um isomorfismo. 
 
4) Verifique se T: R3  R3 dada por T(x, y, z) = (x+y, 2x-z, x-y) é um isomorfismo. 
Justifique sua resposta. 
 
5) a) Calcule N(T) e a dimensão de T(X), onde T: R3 R3 , T(X) = AX, onde 
A = 










202
110
321
 e X = 










z
y
x
. T é um isomorfismo? 
 b) Usando a expressão T(x,y,z) = (x+y, 2x-z, x-y), determine Im(T). 
 
6) Determine em cada caso a seguir se o núcleo de A é uma reta que passa pela 
origem, um plano passando pela origem, ou somente a origem. 
a) A = 













542
013
111
 b) A = 













393
262
131
 c) A = 










801
352
321
 
7) Seja T: R3  R3 linear dada pela matriz associada  














311
301
012
T
 . 
Determine o núcleo N(T), uma base para ele, e sua dimensão. T é um operador 
inversível? 
 
 
 
Respostas: 
I Parte 
 
1) a) (2, 2, 2 ) = 2u + 2v; b) Não é combinação; c) ( 2, 0 , 4 ) = 3u + 2v; d) Não é combinação 
2) a) (1,1,1) = 0u+0v+w b) (0,1,0)=-u+v+0w c) (2,3,4)=-u-v+4w 
 
2) A) M1 +2M2 -3M3 b) Não é combinçõ Linear 
3) A 
4) A e b 
5) LD 
6) São LD c e f 
7) a) Os vetores são Li , logo estão no mesmo plano 
b) Os vetores são LD logo estão sobre o mesmo plano 
9)a) Não porque os vetores são LD b) è base c) Não porque os vetores 
são LD d) Não porque os vetores não geram o espaço 
 
10) a) dimW = 3 b)dimW=2 c) dim W=3 d) dim W=2 e) dim W=2 
 
11) a) dim (w) = 1, W = [(1,2)] . Não gera o R2 e não forma base do R2. 
 b) dim (w) = 2, W = [(1,3), (3,5)] . Gera o R2 e não forma uma base do R2. 
 c) dim (w) = 2, W = [(2,5), (4,8)] . Gera o R2 e forma uma base do R2. 
 d) dim (w) = 2, W = [(1,-2), (2,-3)] . Gera o R2 e não forma uma base do R2. 
 e) dim (w) = 1, W = [(1,-5)] . Não gera o R2 e não forma base do R2. 
 
12) a) dim (w) = 2, W = [(1,1,-3), (2,0,1)] . Não gera o R3 e não forma base do R3. 
 b) dim (w) = 1, W = [(1,1,-3)] . Não gera o R3 e não forma base do R3. 
 c) dim (w) = 2, W = [(1,1,-3),(2,3,-2)] . Não gera o R3 e não forma base do R3. 
 d) dim (w) = 3, W = [(1,1,-2), (2,-3,0), (0,2,1)] . Gera o R3 e forma uma base do R3. 
 e) dim (w) = 2, W = [(2,-1,4), (1,0,3)] . Não gera o R3 e não forma base do R3. 
 f) dim(w) = 3, W = [(3,-1,1), (2,1,2), (1,0,3)] . Gera o R3 e não forma uma base do R3. 
 g) dim (w) = 2, W = [(2,1,0), (3,0,1)] . Não gera o R3 e não forma base do R3. 
 
 
13) a) W = [ ( 1, 1, 1) ] ; b) W = [ ( 0, 1, 0), ( 0, 0, 1 )]; c) W = [ ( 2, 1, 2) ] 
d) W = [ ( 2, 1, 0 ) , ( 3, 0, 1 ) ]; e) 




















00
10
,
01
01
W
 
14) a) W = { (x, y )  R2; x + y = 0 }; b ) W = { (x, y, z )  R3; x = z } c) W = R3 ; 
d) 












 03wxy(R);M
wz
yx
W 2
; e) W = M2(R) 
 
II Parte 
 
1) a) T(x, y) = (-3x+y, x+2y, 4y) b) T(x, y) = (2x+y, 2y, x-3y) 
 c) T(x, y) = (x+y, 0, 2x-y) d) T(x, y, z) = (2x+y-2z, x+3z, 2y+4z) 
 e) T(x, y, z) = (x-3y+3z, 3y-2z, x+3y-6z) 
 f) T(x, y, z) = (x-y+z, x+4y-z, 2y-3z) 
 
 
2) a) (-4,13) b) (16,-14) c) (2x-3y, 3x+5y) 
3) Em sala 
4) Sim, é um isomorfismo, pois N(T) = {(0,0,0)} 
5) a) N(T) = [(-1,-1,1)] é uma reta do espaço, dim N(T) = 1. T não é isomorfismo. 
 
 b) Im(T) = [(1,2,1), (1,0,-1), (0,-1,0)] 
 
6) a) Reta de equação 










2
3
2
z
y
z
x
 b) plano de equação : x-3y+z = 0 c) A origem 
 
7) N(T) = [(1,2,1/3)] , Base: β = {(1,2,1/3)} Dimensão: dim N(T) = 1 
T não é um operador inversível.