exemplo limite definicao

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Resoluc¸a˜o de exerc´ıcios.
Calcule, usando a definic¸a˜o,
Exemplo 1 lim
x→1
(4x + 3) = 7.
Soluc¸a˜o.
lim
x→1
(4x + 3) = 7⇔ ∀ � > 0,∃ δ > 0;
0 < |x− 1| < δ ⇒ |(4x + 3)− 7| < �.
|(4x + 3)− 7| = |4x− 4| = 4|x− 1| < 4δ.
Desta forma, para todo � > 0 dado, tomando δ =
�
4
, teremos
0 < |x− 1| < δ ⇒ |(4x + 3)− 7| < 4δ = 4�
4
= �
Portando,
lim
x→1
(4x + 3) = 7
�
Exemplo 2 lim
x→1
x2 = 1.
Soluc¸a˜o.
lim
x→1
x2 = 1⇔ ∀ � > 0,∃ δ > 0;
1
0 < |x− 1| < δ ⇒ |x2 − 1| < �.
Temos que
|x2 − 1| = |x + 1||x− 1| < |x + 1|δ
Precisamos encontrar uma desigualdade para |x+ 1|. Para isso, em
particular, tome δ ≤ 1. Da´ı
|x− 1| < 1⇔ −1 < x− 1 < 1⇔ −1 + 2 < x− 1 + 2 < 1 + 2⇔
⇔ 1 < x + 1 < 3
Como 1 < x+ 1 < 3, podemos dizer que |x+ 1| < 3 (pois qualquer
nu´mero real entre 1 e 3 e´ positivo e, enta˜o x + 1 = |x + 1|).
Desta forma,
|x2−1| < |x+ 1|δ < 3δ. Para que seja menor que �, devemos obter
um δ =
�
3
(
ou δ ≤ �
3
)
.
(Observe que temos enta˜o duas restric¸o˜es para o δ, a saber: δ ≤ 1
e δ =
�
3
).
Assim, dado � > 0 e tomando δ = min
{
1,
�
3
}
teremos
|x2 − 1| < |x + 1|δ < 3δ = 3�
3
= �⇒ |x2 − 1| < �
2
Portanto
lim
x→1
x2 = 1
�
Observac¸a˜o 1 Note que se “algum” nu´mero real x esteja como
exemplo −5 < x− 1 < −2, teremos que 2 < |x− 1| < 5, ou seja,
|x− 1| < 5.
Esta observac¸a˜o acima pode acontecer para o caso em que x tende
para um nu´mero negativo; Um exemplo disso seria x→ −5.
3