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AT
EM
ÁT
IC
A
LICENCIATURA
INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
Irene Magalhães Craveiro
Lilian Akemi Kato
Jader Otavio Dalto
Rafael Monteiro dos Santos
Campo Grande, MS - 2011
PRESIDENTA DA REPÚBLICA
Dilma Rousseff
MINISTRO DA EDUCAÇÃO
Fernando Haddad
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL
REITORA
Célia Maria Silva Correa Oliveira
VICE-REITOR
João Ricardo Filgueiras Tognini
COORDENADORA DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA - UFMS
COORDENADORA DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - UFMS
Angela Maria Zanon
COORDENADOR ADJUNTO DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - UFMS
Rodrigo Juliano de Oliveira
COORDENADORA DO CURSO DE MATEMÁTICA (MODALIDADE A DISTÂNCIA)
Sonia Maria Monteiro Burigato
Obra aprovada pelo Conselho Editorial da UFMS - Resolução nº 03/2010
CONSELHO EDITORIAL UFMS
Dercir Pedro de Oliveira (Presidente)
Celina Aparecida Garcia de Souza Nascimento
Claudete Cameschi de Souza
Edgar Aparecido da Costa.
Edgar Cézar Nolasco
Elcia Esnarriaga de Arruda
Gilberto Maia
José Francisco Ferrari
Maria Rita Marques
Maria Tereza Ferreira Duenhas Monreal
Rosana Cristina Zanelatto Santos
Sonia Regina Jurado
Ynes da Silva Felix
CÂMARA EDITORIAL
SÉRIE
Angela Maria Zanon
Dario de Oliveira Lima Filho
Patricia Graciela da Rocha
Carina Elizabeth Maciel
Sonia Maria Monteiro Burigato
SUMÁRIO
Informações sobre o material 5
Prefácio 7
CAPÍTULO I 
Conjuntos e Funções 9
1. Introdução 11
2. Conjuntos 12 
3. Funções 18
4. Apêndice: Relações Binárias e Aplicações 26
CAPÍTULO II 
Números Reais 31
2. Módulo de um Número Real 39
2.1 Supremo e Ínfimo em conjuntos de Números Reais 43
CAPÍTULO III
Sequências e Séries de Números Reais 49
3.1 Introdução 51
3.2 Definições e Propriedades 52
3.3. Limite de uma Sequência 54
3.4 Sequências Limitadas 59
3.5 Sequências Monótonas 62
3.6 Subsequências 63
3.7 Critério de Convergência de Cauchy 66
3.8 Séries Numéricas 72
3.9 Critérios de Convergências de Séries Numéricas 79
3.10 Séries Alternadas 81
3.11 Convergência Absoluta, Testes da Raiz e da Razão 82
CAPÍTULO IV
Topologia da Reta 92
4.1 Introdução 93
4.2 Conjuntos Abertos 93
4.3 Conjuntos Fechados 95
4.4 Pontos de Acumulação 99
4.5 Conjuntos Compactos 101
CAPÍTULO V
Funções, Limites e Continuidade 107
CAPÍTULO VI
Derivadas e a Integral de Riemann 119
6.1 Derivadas: Definição e Exemplos 121
6.2 Derivadas: Regras Operacionais 124
6.3 Derivadas: Regra da Cadeia 125
6.4 Derivadas: Interpretação Geométrica 126
6.5 Derivadas: Interpretação Cinemática 127
6.6 A Soma de Riemann 127
6.7 Integral: Interpretação Geométrica 131
Referências Bibliográficas 134
INFORMAÇÕES SOBRE O MATERIAL
 
 2 
 
INFORMAÇÕES SOBRE O MATERIAL 
 
 
PREZADO ALUNO, 
 
Este livro apresenta uma introdução à Análise na reta, contemplando os assuntos 
relacionados à análise em uma variável real. 
 
A Análise Real tem características explicativas de conceitos e situações encontradas no 
Cálculo Diferencial e Integral I, que em geral é uma das primeiras disciplinas de Cálculo dos 
cursos de graduação da área de Ciências Exatas e da Terra. Procuramos descrever os aspectos 
organizados do Cálculo I com as suas respectivas demonstrações e justificativas. 
 
Para uma melhor compreensão do conteúdo deste material, orientamos que a leitura deste 
material seja feita detalhadamente, de maneira que cada passo de cada demonstração ou 
resolução de exercício seja compreendido plenamente antes de se ler o passo seguinte ou de se 
analisar o próximo exercício. Para tanto, se for necessário, leia várias vezes até atingir 100% 
de compreensão. 
 
Esperamos que este material possa contribuir para sua formação enquanto professor de 
Matemática e desejamos a você um bom trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PREFÁCIO
 
 3 
 
 
PREFÁCIO 
 
 
O objetivo principal da Análise Real para a Licenciatura em Matemática é a prática em 
demonstrações. Esta abordagem lógico-formal dos conteúdos, bem como a habilidade no trato 
com as definições, teoremas e demonstrações é fundamental ao futuro professor de 
Matemática da Educação Básica, uma vez que as definições, axiomas, demonstrações 
constituem-se como embasamentos lógicos de toda a Matemática. 
 
 
O Século XIX foi marcante na matemática e desta forma, os matemáticos elegeram-no como 
do “Século do Rigor”. Foi nesse século que Cauchy, formalmente, iniciou as ideias de limite e 
derivada. Um dos marcos no desenvolvimento da Análise foi o trabalho de Lagrange, que 
pode ser encarado como o início da teoria moderna de funções reais de uma variável real. 
 
Antes do Século XIX, muitas descobertas importantes surgiram, mas não houve preocupação 
com os fundamentos lógicos dos métodos que funcionavam com tanto êxito. O conceito de 
função, apesar de parecer simples nos dias atuais, é resultado de uma evolução histórica, 
iniciada na Antiguidade com, por exemplo, os matemáticos babilônicos, que usavam tabelas 
de quadrados, raízes quadradas, raízes cúbicas, mas o conceito de função não estava 
claramente definido. Outro conceito matemático cujas origens remontam a antiguidade é o 
conceito de limite. Durante muitos séculos, as noções de limite eram confusas e vagas. Apesar 
dessa noção ser fundamental no que se refere ao desenvolvimento ordenado e lógico do 
Cálculo, sua consolidação enquanto conceito ocorreu mais recentemente, há pouco mais de 50 
anos. 
 
 
 
 
 
 
 
Sobre os Autores
IRENE MagalhãES CRavEIRo
Possui graduação em Matemática pela Universidade Federal de Mato Grosso 
do Sul (1996), mestrado em Ciências Matemática pela Universidade Estadual 
Paulista Júlio de Mesquita Filho (1999) e doutorado em Matemática pela 
Universidade Estadual de Campinas(2004). atualmente é Professor adjunto 
da Universidade Federal da grande Dourados. Tem experiência na área de 
Matemática, com ênfase em Matemática Discreta e Combinatória. 
lIlIaN akEMI kaTo
Possui graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá 
(1992), mestrado em Matemática pela Universidade de São Paulo (1996) e 
doutorado em Matemática aplicada pela Universidade Estadual de Campinas 
(2004). atualmente é Professor adjunto da Universidade Estadual de Maringá. 
Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Biomatemática, 
atuando principalmente nos seguintes temas: modelagem matemática e Ensino 
de Ciências e Educação Matemática.
JaDER oTavIo DalTo
Possui graduação em Matemática pela Universidade Estadual de londrina 
(2002), mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática também 
pela Universidade Estadual de londrina (2007) e atualmente é acadêmico 
do Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela mesma 
instituição. É Professor Assistente da Universidade Federal de Mato Grosso do 
Sul, atuando principalmente na formação inicial e 
continuada de professores de Matemática.
RaFaEl MoNTEIRo DoS SaNToS
Possui graduação em Matemática pela Universidade Federal do Rio de 
Janeiro (2005) e mestrado pela Universidade Federal do Rio de Janeiro(2008) e 
atualmente é Professor Assistente da 
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul.
CAPÍTULO I
CONJUNTOS E FUNÇÕES
CONJUNTOS E FUNÇÕES
CAPÍTULO I
1. Introdução
 
 4 
 
CAPÍTULO 1 
Conjuntos e Funções 
 
 
De modo geral, considera-se que a teoria moderna dos conjuntos foi criada em 1859 
pelo famoso matemático Georg Cantor (1845 -1918), que notou a necessidade de tal teoria 
quando estudava séries trigonométricas. Cantor escreveu: “Por um „conjunto‟ entenderemos 
qualquer coleção dentro de um todo de objetos distintos definidos, de nossa intuição ou 
pensamento". Esta definição não proíbe
ninguém de considerar o “conjunto” de todos os 
conjuntos, como o fez Bertrand Russel. A dificuldade real na definição de Cantor de um 
conjunto é a palavra “coleção”. O que é uma coleção? É claro que podemos procurá-la em um 
dicionário e encontrar algo como estas definições: 
“coleção: um grupo de objetos coletados.” 
“grupo: um agregado ou coleção.” 
“agregado: uma coleção.” 
Tais definições dificilmente nos ajudarão. Quando um matemático dá uma definição, 
não é para que seja um mero sinônimo tal como o são “coleção” e “conjunto”, ou uma 
definição circular como encontraremos em um dicionário. Aparentemente, Cantor não estava 
consciente de que o termo “conjunto” era realmente indefinível. 
Para evitar qualquer dificuldade, devemos aceitar os termos “conjunto” e “elemento” 
como termos indefinidos, ou primitivos, e guiar estes conceitos primitivos por um número de 
axiomas. 
Apesar dessas dificuldades relacionadas à definição, a teoria dos conjuntos de Cantor 
já penetrou em todos os ramos da matemática moderna e provou ser de importância particular 
nos fundamentos da análise moderna e da topologia. Na verdade, mesmo os mais simples e 
bem construídos sistemas axiomáticos da teoria dos conjuntos são inteiramente adequados 
para a construção de virtualmente toda a matemática clássica (a teoria dos números reais e 
complexos, álgebra, topologia, etc.). 
Conforme já mencionado, o que é um conjunto é uma questão difícil de se responder. 
Não pretendemos aqui entrar em nenhuma abordagem axiomática complicada da Teoria dos 
Conjunto. Neste material, consideraremos a definição intuitiva dada primeiramente por Georg 
Cantor (1845 – 1918) que considera um conjunto como qualquer coleção dentro de um todo 
EaD•UFMS12 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
 
 5 
 
de objetos definidos e distinguíveis, chamados elementos, de nossa intuição ou pensamento.. 
Destacamos os seguintes exemplos: 
(a) O conjunto de todas as cadeiras existentes no prédio, destinado para funcionar o 
Curso de Matemática; 
 (b) O conjunto de todas as carteiras na sala aula de número 612, onde ocorrem as 
aulas de Análise Real, neste semestre; 
(c) O conjunto de todas as salas existentes no prédio, destinado para funcionar o 
Curso de Matemática; 
(d) O conjunto de todos os estudantes desta universidade; 
(e) O conjunto das letras a, b, c e d; 
(f) O conjunto das regras de uso do laboratório de informática; 
 
 
Os conjuntos são frequentemente designados delimitando com chaves os símbolos que 
representam seus elementos, quando for possível fazê-lo. Assim, o conjunto no Exemplo (e), 
dado na introdução, pode ser representado por {a, b, c, d}. Usaremos letras maiúsculas para 
denotar conjuntos, e letras minúsculas para denotar seus elementos. Se a é um elemento de 
um conjunto A, escrevemos a  A (leia-se: “a é um elemento de A" ou “ a pertence a A"), 
enquanto que a  A significa que a não é elemento de A. 
 
Definição 1. 1. Dados dois conjuntos A e B, dizemos que está contido em , ou que 
 é subconjunto de e denotamos por se e somente se, todo elemento de A também 
é elemento de B. Simbolicamente,  temos que . 
 
Com base na definição acima, podemos concluir que todo conjunto é sempre subconjunto de 
si mesmo? 
 
Definição 1. 2. Dados dois conjuntos A e B, dizemos que é igual e denotamos por 
 se, e somente se, e Simbolicamente, equivale a dizer que 
 . 
 
A ordem em que aparecem os elementos num conjunto não tem importância. Assim, o 
conjunto {a; b; c} é o mesmo que {b; c; a}, etc. Além disso, como os elementos de um 
conjunto são distintos, a notação {a; a; b}, por exemplo, não é apropriada para designar um 
conjunto, e deveria ser substituída por {a; b}. Se a é um elemento de um conjunto, a e {a} são 
2. Conjuntos
CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 13
 
 6 
 
considerados diferentes, isto é, a  {a}. Pois {a} denota o conjunto que contém o elemento a 
somente, enquanto que a é apenas o elemento do conjunto {a}. 
 
 
Quando e A  B, dizemos que A é um subconjunto próprio de B. Em outras 
palavras, A é um subconjunto próprio de B quando todo elemento de A é um elemento de B, 
mas existe pelo menos um elemento de B que não é elemento de A. Se A não é subconjunto 
de B, escrevemos A  B. 
 
Definição 1. 3. Chamamos conjunto vazio, o conjunto que não possui elemento e 
denotamos por  ou { } 
 
 O conjunto  é um subconjunto de qualquer conjunto. 
Demonstração. 
Se A é um conjunto qualquer, então temos apenas duas possibilidades   A ou   A. 
Porém, se   A, então existiria x   tal que x  A, o que seria uma contradição, uma vez 
que o conjunto  não possui elementos. Logo, a primeira possibilidade,   A, é verdadeira. 
 
 
Definição 1. 4. Se A  B e B  C então A  C. 
Demonstração. Demonstraremos que para todo x  A temos que x  C. Se x  A então x  
B pois A  B e como B  C então x  C. Portanto mostramos que A  C. 
 
Definição 1. 5. Dados dois conjuntos A e B, o conjunto união de e , denotada por 
A  B, é formado por todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos A e B. 
Simbolicamente, { }  
 
Definição 1. 6. Dados dois conjuntos A e B, o conjunto interseção de e , denotada 
por , é formado por todos os elementos que estão em A e em B. Simbolicamente, 
 { }  
 
Definição 1. 7. Dados dois conjuntos A e B, a diferença de um conjunto em relação 
ao conjunto , denotada por é formado por todos os elementos que estão em A e 
que não pertencem a B. Simbolicamente, {  } 
   
 
Proposição 1.1.
Definição 1.4.
Definição 1.5.
Definição 1.6.
EaD•UFMS14 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
 
 7 
 
Quando lidamos com subconjuntos de um mesmo conjunto X, entende-se por complementar 
de um conjunto A, indicado pelo símbolo , como sendo o conjunto dos elementos 
de X que não estão em A, ou seja: = {x  X: x  A}. 
 
Definição 1. 8. Dados dois elementos e , o par ordenado de e denotado por 
( com primeira coordenada e a segunda coordenada é o conjunto ( 
{{ } { }} 
�
Observação: Observe que ( {{ } { }} {{ } { }} ( . Convém ressaltar, 
que ordem neste caso tem importância, daí o significado do nome par ordenado. No par 
ordenado a primeira coordenada é chamada abscissa e a segunda ordenada. 
 
Proposição 1. 1 : Sejam dois elementos e 
( ( e 
Demonstração. Seja A um conjunto qualquer. Provaremos 
( Suponha ( ( Segue da definição que: {{ } { }} {{ } { }}. Desta 
forma temos duas considerações a fazer, ou seja, { } { } e { } { } ou 
 { } { } e { } { } Do primeiro caso concluímos que e Do segundo caso 
concluímos que e Logo, Portanto, e 
como queríamos demonstrar. 
( Reciprocamente, suponha e e observe: 
 e { } { } e { } { } { } { } { } { } { } { } 
Portanto, ( ( 
 
Definição 1. 9. Dados dois conjuntos e quaisquer, o produto cartesiano de e 
 denotado por é o conjunto 
 {( } 
Segue da definição que ( ou 
 
Observação: Considere um conjunto qualquer e o conjunto . Temos que 
 ou seja, é o conjunto dos pares ordenados ( tal que e Como por 
definição, o vazio é conjunto não contém nenhum elemento, então neste caso, não existe 
 consequentemente não existe nenhum par (
Portanto 
Analogamente, 
 :Considere { } e { } Exemplo 1. 1
Definição 1.7.
Definição 1.8.
Proposição 1.2.
CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 15
 
 8 
 
 {( ( ( ( ( ( } e 
 {( ( ( ( ( ( } 
Observe que, em geral 
 
Proposição 1. 2 : Se A, B e C são conjuntos quaisquer, então ( ( ( 
 
Demonstração: De fato, seja ( ( 
( ( e e e ( 
 e ( ( ( ( 
 
 Sejam { } e { } Determine os conjuntos Exemplo 1. 2
 e . 
Solução: e { } 
 
 Sejam { } e { } Determine os conjuntos Exemplo 1. 3
 e . 
Solução: { ou } e { } { } 
 
 Sejam { } e { } Determine os Exemplo 1. 4
conjuntos e 
Solução { } e { } 
 
 Sejam { } e { } Determine os Exemplo 1. 5
conjuntos e 
Solução: Neste caso, { } e { } Logo, { } e { } 
 
 Sejam { } e { } Determine os conjuntos Exemplo 1. 6
 e 
Solução: Neste caso, ] [ ] [ e ] [ ] [ Logo, 
 ] [ ] [ e ] [ ] [ 
 
 Sejam { } e { } Determine os conjuntos Exemplo 1. 7
 e 
Solução: ] ] [ [ e ] ] [ [ 
 
Proposição 1.3.
EaD•UFMS16 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
 
 9 
 
 Sejam { } e { } Determine os conjuntos Exemplo 1. 8
 e 
Solução: ( ] ] [ [ { √ √ } e ] √ ] [ √ [ 
 
 Sejam { } e { { } { } { }} Determine as partes de e as Exemplo 1. 9
partes de , ou seja, ( e ( . 
Solução: 
 ( { { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } 
{ } { } { }} 
 ( { { } { } {{ }} {{ }} {{ }} { } { { }} { { }} { { }} { { }} 
{ { }} { { }} {{ } { }} {{ } { }} {{ } { }} { { }} { { }} 
{ { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }} 
{{ } { } { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }} 
{ { } { } { }} { { } { } { }} { { } { } { }}}. 
 
 Sejam e conjuntos. Prove que, se e , então Exemplo 1. 10
 
Solução: Hipótese: e 
 Tese: . 
Segue da definição que: e ( ) e ( Seja 
 ( Neste caso, e e daí e Portanto, 
 
 : Sejam e conjuntos quaisquer. Se então Exemplo 1. 11
Prove esta proposição, caso seja verdadeira, ou dê um contraexemplo, caso seja falsa. 
Solução: A proposição é falsa. Para verificar este fato, considere { } { } e 
 { } Neste caso, temos que { } e { }. Logo 
 e . 
 
 Sejam e conjuntos quaisquer. Se então Exemplo 1. 12
Prove esta proposição, caso seja verdadeira, ou dê um contraexemplo, caso seja falsa. 
Solução: A proposição é falsa, para verificar este fato, considere { } { } e 
 { } Neste caso, temos que { } e { }. Logo e 
 . 
 
CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 17
 
 10 
 
 Se { } e { }, então Prove Exemplo 1. 13
esta proposição, caso seja verdadeira, ou dê um contraexemplo, caso seja falsa. 
Solução: A proposição é verdadeira, para verificar este fato, considere arbitrário 
provaremos que . Observe que: 
 ; 
Podemos escrever: ( e Portanto 
 
Exercícios Propostos 
1) Prove que A  B = B  A. 
2) Prove que A  (B  C) = (A  B)  C. 
3) Prove que A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
4) Demonstre que o conjunto de letras da palavra “catarata” e o conjunto de letras da 
palavra “catraca” são iguais. 
5) Liste todos os subconjuntos do conjunto { - 1; 0; 1}. 
6) Demonstre que se A   então A = . 
7) Demonstre que se A  B e B  A então A = B. 
8) Em cada um dos seguintes itens, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se 
for verdadeira, demonstre-a. Se for falsa, dê um contraexemplo. 
(a) Se x  A e A  B então x  B. 
(b) Se A  B e B  C então A  C. 
(c) Se A  B e B  C então A  C. 
(d) Se A  B e B  C então A  C. 
(e) Se x  A e A  B então x  B. 
(f) Se A  B e x  B então x  A. 
9). Prove que A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
10). Prove que (A – B)  (B – A) = . 
11) ( ( ( 
12) ( ( ( 
 
 
 
 
EaD•UFMS18 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
3. Funções
 
 11 
 
Definição 1. 10. Sendo A e B conjuntos quaisquer, uma função f de A em B é uma regra 
que associa a cada elemento x de A um único elemento de B denotado por f(x). Neste caso, A 
é o domínio de f, B é o contradomínio de f e f(x) é a imagem de x pela função f.” 
 
 
 
Definição 1. 11. Seja uma função. O conjunto { ( } chama-se 
imagem de f e é denotado por Im(f) ou f(A). Dado um conjunto , chama-se imagem de 
 segundo e indica-se por ( o subconjunto de B tal que ( { ( }, ou seja, 
 ( é o conjunto das imagens dos elementos de E por . 
 
 
Definição 1. 12. Seja uma aplicação. Dizemos que é injetora ou 
simplesmente que é uma injeção se dois elementos distintos quaisquer de possuem imagens 
também distintas. Em símbolos diz-se que é injetora se para quaisquer 
 ( ( . 
 
 Exemplo: Sejam os conjuntos { } e { }, a função de Exemplo 1. 14
 em tal que ( ( ( ( é injetora. 
 
Definição 1. 13. Seja uma função. Dizemos que é sobrejetora ou que é uma 
sobrejeção, quando se verifica a condição de que a ( , ou seja, 
 ( . 
 
 Sejam os conjuntos { } e { }, a aplicação de em Exemplo 1. 15
 tal que ( ( ( ( ( é sobrejetora. 
 
 Observemos que para toda , temos que ( , portanto, basta Exemplo 1. 16
provar que ( para verificar se a aplicação é uma sobrejeção. Ou seja, 
 ( . 
 
Definição 1. 14. Seja uma função. Dizemos é bijetora quando é uma 
aplicação injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
 A aplicação ( é uma aplicação bijetora, pois: Exemplo 1. 17
 
 11 
 
Definição 1. 10. Sendo A e B conjuntos quaisquer, uma função f de A em B é uma regra 
que associa a cada elemento x de A um único elemento de B denotado por f(x). Neste caso, A 
é o domínio de f, B é o contradomínio de f e f(x) é a imagem de x pela função f.” 
 
 
 
Definição 1. 11. Seja uma função. O conjunto { ( } chama-se 
imagem de f e é denotado por Im(f) ou f(A). Dado um conjunto , chama-se imagem de 
 segundo e indica-se por ( o subconjunto de B tal que ( { ( }, ou seja, 
 ( é o conjunto das imagens dos elementos de E por . 
 
 
Definição 1. 12. Seja uma aplicação. Dizemos que é injetora ou 
simplesmente que é uma injeção se dois elementos distintos quaisquer de possuem imagens 
também distintas. Em símbolos diz-se que é injetora se para quaisquer 
 ( ( . 
 
 Exemplo: Sejam os conjuntos { } e { }, a função de Exemplo 1. 14
 em tal que ( ( ( ( é injetora. 
 
Definição 1. 13. Seja uma função. Dizemos que é sobrejetora ou que é uma 
sobrejeção,
quando se verifica a condição de que a ( , ou seja, 
 ( . 
 
 Sejam os conjuntos { } e { }, a aplicação de em Exemplo 1. 15
 tal que ( ( ( ( ( é sobrejetora. 
 
 Observemos que para toda , temos que ( , portanto, basta Exemplo 1. 16
provar que ( para verificar se a aplicação é uma sobrejeção. Ou seja, 
 ( . 
 
Definição 1. 14. Seja uma função. Dizemos é bijetora quando é uma 
aplicação injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
 A aplicação ( é uma aplicação bijetora, pois: Exemplo 1. 17
Definição 1.9.
Definição 1.10.
Definição 1.11.
Definição 1.12.
Definição 1.13.
CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 19
 
 12 
 
(i) Sendo , temos que ( ( . Logo é 
uma aplicação injetora; 
(ii) ( 
 
 . Logo é uma aplicação 
sobrejetora. 
Segue de i) e de ii) que é bijetora. 
 
Definição 1. 15. Há muitas aplicações que não são nem injetoras nem sobrejetoras, Por 
exemplo, seja ( . Tomando , mas ( ( , 
logo não é injetora, mas também não é sobrejetora, pois , mas tal que 
 ( , já que tal que . 
 
Proposição 1. 3 Se f:A B é uma função bijetora, então para cada y em B, existe um único x 
em A tal que f(x) = y. Seja f-1:BA a função definida a partir de f da seguinte forma: para 
cada y em B, f-1(y) = x, sendo que x é tal que f(x) = y. A função f definida desta forma, 
chama-se inversa de f.” 
 
É possível definir função inversa de qualquer função? 
 
Definição 1. 16. Se e são duas aplicações, chamamos de aplicação 
composta de e a aplicação indicada por , que fica definida da seguinte maneira: 
 ( ( ( ) . 
 
 Sejam defina e ( e e defina ( . A Exemplo 1. 18
aplicação composta de e : ( ( ( ) ( ( . 
 
Observações: 
(i) A função composta de só está definida quando a imagem da está contida 
no domínio de , ou seja, ( ( . 
(ii) A função composta de tem seu domínio igual ao domínio da função , ou 
seja, ( ( . 
(iii) Se e , então existem e mas nem sempre 
 . O exemplo anterior da definição deixa isto bem claro, pois conforme este 
exemplo . 
(iv) se f possui inversa, então fof-1(y) = y e f-1of(x) = x, para todo y em B e para todo 
x em A. 
 
Definição 1.14.
Proposição 1.4.
EaD•UFMS20 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
 
 13 
 
 
Proposição 1. 4 Se e são aplicações injetoras, então é injetora. 
Demonstração: Se são tais que ( ( , então ( ( ) 
 ( ( e, como é injetora por hipótese, ( ( . Por hipótese , também é 
injetora, logo e, portanto, é injetora. 
 
Proposição 1. 5 Se e são aplicações sobrejetoras, então é 
sobrejetora. 
Demonstração: Se , como é sobrejetora, existe tal que ( . Sendo 
sobrejetora, existe tal que ( . Logo, temos: ( ( ( ) ( , o 
que prova que é sobrejetora. 
 
 ( Calcule , e . Exemplo 1. 19
a) ( 
 
 
b) ( 
 
 
c) ( ( 
 
) . 
 
 Considere a função ( e Exemplo 1. 20
 ( Calcule , esboce o gráfico de , calcule e esboce o 
gráfico de 
a) ( ( ( ( 
b) ( ( ( ) ( ( 
 
 Considere a função ( Prove que é bijetora e Exemplo 1. 21
determine sua inversa. 
Provemos primeiramente que é injetiva. Sejam tais que ( ( . 
Observe que : 
 ( ( Portanto é 
injetiva. Agora, provemos que é sobrejetiva . Para isso, seja e considere 
 
 
 
 Observe que 
 ( ( 
 
) (
 
 
) Portanto é bijetora. 
A inversa de é definida por ( 
 
. 
 
Proposição 1.5.
Proposição 1.6.
CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 21
 
 14 
 
 Considere a função { } { } definida por ( 
 
 Prove Exemplo 1. 22
que é bijetora e determine sua inversa. 
Provemos primeiramente que é injetiva. Sejam { } tais que ( ( 
Desta forma, e com ( ( . Observe que: 
 { } ( ( 
 
 
 
 
 
 
 ( ( ( ( 
 
 Portanto, é injetiva. 
Agora, provemos que { } { } é sobrejetiva, para isso, dado 
 { } considere 
 
 { } Ressaltamos, que 
 
, leva-nos a 
uma contradição, pois, caso isto aconteça em Desta forma, dado { } 
considere 
 
 { } e observe: 
 ( (
 
 
) 
(
 
 ) 
(
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto que { } { } é bijetora. 
 
A inversa de { } { } é { } { } definida por 
 ( 
 
 
 . 
 
 
 Considere a função definida por ( Prove que é Exemplo 1. 23
bijetora e determine sua inversa. 
Provemos primeiramente que é injetiva. Sejam tais que ( ( 
Observe que: 
 ( ( 
 
 √ 
 √ 
 
Portanto é injetiva. 
Agora, provemos que é sobrejetiva. Para isso, dado considere 
 √ 
 Observe que ( (√ ) (√ )
 
 Desta forma, é 
sobrejetiva. 
Portanto é bijetora. 
EaD•UFMS22 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
 
 15 
 
A inversa de é definida por ( √ . 
 
 Sejam as funções e , definidas por ( e Exemplo 1. 24
 ( Obtenha as leis que definem e 
 ( ( ( 
 
 ( ( 
 
 Sejam as funções e , definidas por ( e Exemplo 1. 25
 ( Determinar ( tal que ( 
De fato, 
 ( ( 
Portanto, ou 
 
 Sejam as funções reais e , definidas por ( e ( Exemplo 1. 26
 Obtenha as leis que definem e . 
 ( ( ( 
 
 ( ( 
 
 Sejam as funções reais e , definidas por ( e ( Exemplo 1. 27
 Determinar os valores dos domínios da função que produzem imagens . 
 
 
Portanto, ou 
 
 
 
 
 Sejam as funções reais e , definidas por ( e ( Exemplo 1. 28
 Obtenha as leis que definem e . 
 
 ( ( ( 
 
 ( ( ( ( 
 
 
CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 23
 
 16 
 
 
 Considere a função em definida por ( Qual é a Exemplo 1. 29
lei que define ( ? E ( 
 
)? E ( 
Temos que ( ( ( ( Portanto, ( 
 
 ( 
 
) (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, 
 (
 
 
)
Finalizando, 
 ( ( ( ( 
 ( = 
= Portanto, 
 ( 
 
 Dadas as funções reais definidas por ( e ( Exemplo 1. 30
determinar o valor de de modo que . 
 
 ( ( 
 
 
 Dadas as funções reais definidas por ( e ( , mostre que Exemplo 1. 31
 
 
 , temos que ( ( , ou seja, Portanto 
 
 
 Considere as funções definidas por ( √ e ( . Exemplo 1. 32
Determinar os domínios das funções e 
Por definição, segue que ( ( ( ) Desta forma, 
 ( ( ( ) √ ( 
√ ( ( . 
Vamos encontrar Logo, procuramos o conjunto dos tais que ( ou 
seja, que satisfazem 
Portanto, ( ] ] [ [ 
EaD•UFMS24 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
 
 17 
 
 
Por outro lado, por definição, segue que ( ( ( ) Desta forma, 
 ( ( ( ) ( ( (√ )
 
 √ 
 
 ( ( √ 
Portanto, ( [ [ 
 
 Sejam as funções reais ( e ( ( . Determinar a Exemplo 1. 33
lei que define a função 
Por definição, segue que ( ( ( ( ) Desta forma, 
 ( ( ( Assim, ( Portanto, 
 ( 
 
 
. Observe que ( 
 
 
 satisfaz: 
 ( ( (
 
 
) 
 
 Sejam as funções reais ( e ( ( . Exemplo 1. 34
Determinar a lei que define a função 
Por definição, segue que ( ( ( ( ) Desta forma, 
 ( ( ( ( ) ( Assim, ( 
 
 ( 
 ( 
 
 
 Portanto, ( 
 
 
 
 Observe que ( 
 
 
 satisfaz: 
 ( ( 
 ( ) 
 
 
 
 
 Sejam e uma função. ( ( Exemplo 1. 35
De fato, por hipótese, , e sabemos que ( 
Seja ( 
 ( ( 
Como e temos que Assim, ( e Portanto, ( 
 
 Sejam e uma função. ( ( Exemplo 1. 36
CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 25
 
 18 
 
Por hipótese, , e sabemos que ( 
Seja ( 
 ( e ( 
Como ( e temos que ( Assim, e ( Portanto, 
 ( 
 
 Sejam e uma função. Então �Exemplo 1. 37
 ( ( ( 
Lembremos que ( ( ( ( ( ( e ( 
 ( ( 
I) ( ( ( 
Seja ( ( 
 ( ( ( ou ( 
Se ( então, existe tal que ( Como então 
 Portanto, ( 
Se ( então existe tal que ( Como então 
 Portanto, ( 
 
II) ( ( ( 
Seja ( 
 ( ( ou 
 ( . 
Se ( e então ( Portanto, ( ( 
Se ( e então ( Portanto ( ( 
 
 Seja ( calcule ({ } ([ [ e Exemplo 1. 38
 ([ ] . 
 
 ({ } { ( } 
 { } { } 
 ([ [ { ( [ [ } { } 
 ] ] [ [ 
 
 ([ ] { ( [ ]} { ( } [ 
 
 
 ] 
EaD•UFMS26 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
4. Apêndice: Relações Binárias e Aplicações
 
 19 
 
 
 
 
Definição 1. 17. Sejam � e � conjuntos quaisquer. Uma Relação Binária de ��em � é 
um subconjunto de que indicamos por �. Se o par ( pertence a relação , dizemos 
que está relacionado com pela relação e denotamos por . 
 
 : Dados os conjuntos { } e { }, se então Exemplo 1. 39
{( ( ( ( ( ( ( ( ( }. Qualquer subconjunto de é 
uma relação de � em 	. As seguintes relações são exemplos de relações de � em 	: 
 ; 
 = {( ( ( }; 
 = {( ( ( }; 
 = {( ( ( }; 
 
Definição 1. 18. Dada uma relação binária de em , o conjunto definido por 
 { } é chamado domínio da relação e é denotado por 
 ( . O conjunto definido por ( { } é chamado 
imagem da relação e é denotado por ( . 
 
 Considere o conjunto formado por uma família composta de cinco pessoas, na Exemplo 1. 40
qual o pai é , a mãe é e os filhos são e considere a relação “ser mãe de”. O domínio 
da relação considerada é ( { } e a imagem da mesma relação é ( { }. 
 
Definição 1. 19. Seja uma relação de em . Chama-se Relação Inversa de , e 
denota-se por a seguinte relação de em {( ( }. 
 
 Se {( ( }, então {( ( }. Exemplo 1. 41
 
Definição 1. 20. Se é uma relação de em e se , então, diz-se que a relação 
é reflexiva se, para todo . 
 
 20 
 
 Seja o conjunto de todos os em um plano e a relação definida Exemplo 1. 42
como: “é congruente a”. Como todo quadrado é congruente a si mesmo, então, 
 , logo é reflexiva. 
 
Definição 1. 21. Uma relação em um conjunto é denominada Simétrica quando 
sempre que então 
 
 : Seja o conjunto de todos os filhos do sexo masculino de um casal. Se Exemplo 1. 43
 e , logo e , se define a relação de irmão entre os elementos de . 
Portanto, é simétrica. 
 
Definição 1. 22. Uma relação em um conjunto é chamada transitiva se a seguinte 
condição é satisfeita: , se . 
 
 A relação sobre o conjunto dos números naturais definida por Exemplo 1. 44
 é transitiva, pois, dados três números naturais , temos que se e , 
então, . 
 
Definição 1. 23. Seja uma relação em . Dizemos que é anti-simétrica se 
 tais que se e , então . 
 
 Exemplo: A relação sobre , assim definida: é anti-Exemplo 1. 45
simétrica, pois, para e , se e , então . 
 
Definição 1. 24. Uma relação sobre um conjunto não vazio será uma relação de 
equivalência sobre se, e somente se, for uma relação que seja ao mesmo tempo reflexiva, 
simétrica e transitiva. 
 
 A relação de igualdade sobre é uma relação de equivalência, pois para todo Exemplo 1. 46
 , , também, para todo , se e para todo 
 . 
 
Definição 1. 25. Seja uma relação de equivalência sobre o conjunto A classe de 
equivalência de segundo a relação é um subconjunto de cuja notação é 
Definição 1.15.
Definição 1.16.
Definição 1.17.
Definição 1.18.
CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 27
 
 20 
 
 Seja o conjunto de todos os em um plano e a relação definida Exemplo 1. 42
como: “é congruente a”. Como todo quadrado é congruente a si mesmo, então, 
 , logo é reflexiva. 
 
Definição 1. 21. Uma relação em um conjunto é denominada Simétrica quando 
sempre que então 
 
 : Seja o conjunto de todos os filhos do sexo masculino de um casal. Se Exemplo 1. 43
 e , logo e , se define a relação de irmão entre os elementos de . 
Portanto, é simétrica. 
 
Definição 1. 22. Uma relação em um conjunto é chamada transitiva se a seguinte 
condição é
satisfeita: , se . 
 
 A relação sobre o conjunto dos números naturais definida por Exemplo 1. 44
 é transitiva, pois, dados três números naturais , temos que se e , 
então, . 
 
Definição 1. 23. Seja uma relação em . Dizemos que é anti-simétrica se 
 tais que se e , então . 
 
 Exemplo: A relação sobre , assim definida: é anti-Exemplo 1. 45
simétrica, pois, para e , se e , então . 
 
Definição 1. 24. Uma relação sobre um conjunto não vazio será uma relação de 
equivalência sobre se, e somente se, for uma relação que seja ao mesmo tempo reflexiva, 
simétrica e transitiva. 
 
 A relação de igualdade sobre é uma relação de equivalência, pois para todo Exemplo 1. 46
 , , também, para todo , se e para todo 
 . 
 
Definição 1. 25. Seja uma relação de equivalência sobre o conjunto A classe de 
equivalência de segundo a relação é um subconjunto de cuja notação é 
 
 21 
 
 ̅ { }. Portanto, ̅ e ̅ é formado pelos elementos de tal que está 
relacionado com . 
 
 Seja a relação binária em definida abaixo: dados , Exemplo 1. 47
 . 
 é uma relação de equivalência em , pois: 
(i) . Logo, é reflexiva; 
(ii) Sejam . Neste caso, o inteiro -t 
satisfaz ( . Logo é simétrica; 
(iii) Sejam . Neste caso, 
 . Ao somarmos estas duas expressões, obtemos 
 ( o que significa que . Logo é transitiva e, portanto, é relação 
de equivalência. 
 
Observe que 
 ̅ { } { } { }. É o conjunto dos números 
pares. 
 ̅ { } { } { }. É o conjunto dos 
números ímpares. 
 
Definição 1. 26. O conjunto das classes de equivalência em módulo denotado por 
 
 
 é chamado conjunto-quociente de por . 
 
 Seja tal que . A relação de congruência módulo em é a Exemplo 1. 48
relação de equivalência definida abaixo: 
dados , 
 . 
Prove que R é, de fato, uma relação de equivalência. 
Vejamos como fica o conjunto-quociente . 
Sendo , efetuemos a divisão euclidiana de por , obtendo o quociente e o 
resto . Temos: e . E daí vem . Portanto: ( 
ou ̅ ̅. Concluímos que ̅ é uma classe igual a ̅, em que é o resto da divisão de por . 
Como { }, vem: ̅ { ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ }. 
 
Definição 1.19.
Definição 1.20.
Definição 1.21.
Definição 1.22.
Definição 1.23.
EaD•UFMS28 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
 
 21 
 
 ̅ { }. Portanto, ̅ e ̅ é formado pelos elementos de tal que está 
relacionado com . 
 
 Seja a relação binária em definida abaixo: dados , Exemplo 1. 47
 . 
 é uma relação de equivalência em , pois: 
(i) . Logo, é reflexiva; 
(ii) Sejam . Neste caso, o inteiro -t 
satisfaz ( . Logo é simétrica; 
(iii) Sejam . Neste caso, 
 . Ao somarmos estas duas expressões, obtemos 
 ( o que significa que . Logo é transitiva e, portanto, é relação 
de equivalência. 
 
Observe que 
 ̅ { } { } { }. É o conjunto dos números 
pares. 
 ̅ { } { } { }. É o conjunto dos 
números ímpares. 
 
Definição 1. 26. O conjunto das classes de equivalência em módulo denotado por 
 
 
 é chamado conjunto-quociente de por . 
 
 Seja tal que . A relação de congruência módulo em é a Exemplo 1. 48
relação de equivalência definida abaixo: 
dados , 
 . 
Prove que R é, de fato, uma relação de equivalência. 
Vejamos como fica o conjunto-quociente . 
Sendo , efetuemos a divisão euclidiana de por , obtendo o quociente e o 
resto . Temos: e . E daí vem . Portanto: ( 
ou ̅ ̅. Concluímos que ̅ é uma classe igual a ̅, em que é o resto da divisão de por . 
Como { }, vem: ̅ { ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ }. 
 
 22 
 
Proposição 1. 6 Em uma relação de equivalência sobre na qual e as 
seguintes proposições são equivalentes: 
I) ; 
 ̅; 
III) ̅; 
IV) ̅ ̅. 
 
Demonstração: 
Devemos provar que . 
I : É decorrente da definição de classe de equivalência. 
II : Como ̅, então . Daí, pela simetria de , e, portanto ̅. 
III : Por hipótese, ̅, ou seja, . é simétrica, logo, . Temos que 
provar que ̅ ̅ e ̅ ̅. Tomemos ̅. Então e, levando em conta que , 
concluímos pela transitividade de , que . Daí, e, então, ̅ ̅. 
Analogamente se prova que ̅ ̅ . 
IV : Como ̅ e ̅, os conjuntos ̅ e ̅ não são vazios. Tomando ̅, 
como ̅ ̅, temos que ̅ ̅, ou seja, e . Segue, pela simetria de , que e 
 e a transitividade de garante, então, que . 
 
Definição 1. 27. Seja uma relação de em . Dizemos que é uma aplicação de 
em se, e somente se: 
(i) O domínio de , ( é igual a ; 
(ii) Dado um elemento ( é único o elemento tal que ( . 
 Assim, é uma aplicação de em , escrevemos ( onde se lê “ é imagem de 
pela ”, com a finalidade de indicar que ( e utiliza-se a notação para 
indicar que é uma aplicação de em . Nesta aplicação o conjunto é chamado de 
contradomínio de . 
 
Definição 1. 28. Dado , é chamado imagem inversa de , pela , e indicamos por 
 ( , o subconjunto de : ( { ( }, isto quer dizer que é o 
conjunto dos elementos de que têm imagem em pela função . 
 
 Seja , assim, ( { ( } √ ( . Exemplo 1. 49
Definição 1.24.
Proposição 1.7.
CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 29
 
 22 
 
Proposição 1. 6 Em uma relação de equivalência sobre na qual e as 
seguintes proposições são equivalentes: 
I) ; 
 ̅; 
III) ̅; 
IV) ̅ ̅. 
 
Demonstração: 
Devemos provar que . 
I : É decorrente da definição de classe de equivalência. 
II : Como ̅, então . Daí, pela simetria de , e, portanto ̅. 
III : Por hipótese, ̅, ou seja, . é simétrica, logo, . Temos que 
provar que ̅ ̅ e ̅ ̅. Tomemos ̅. Então e, levando em conta que , 
concluímos pela transitividade de , que . Daí, e, então, ̅ ̅. 
Analogamente se prova que ̅ ̅ . 
IV : Como ̅ e ̅, os conjuntos ̅ e ̅ não são vazios. Tomando ̅, 
como ̅ ̅, temos que ̅ ̅, ou seja, e . Segue, pela simetria de , que e 
 e a transitividade de garante, então, que . 
 
Definição 1. 27. Seja uma relação de em . Dizemos que é uma aplicação de 
em se, e somente se: 
(i) O domínio de , ( é igual a ; 
(ii) Dado um elemento ( é único o elemento tal que ( . 
 Assim, é uma aplicação de em , escrevemos ( onde se lê “ é imagem de 
pela ”, com a finalidade de indicar que ( e utiliza-se a notação para 
indicar que é uma aplicação de em . Nesta aplicação o conjunto é chamado de 
contradomínio de . 
 
Definição 1. 28. Dado , é chamado imagem inversa de , pela , e indicamos por 
 ( , o subconjunto de : ( { ( }, isto quer dizer
que é o 
conjunto dos elementos de que têm imagem em pela função . 
 
 Seja , assim, ( { ( } √ ( . Exemplo 1. 49
Definição 1.25.
Definição 1.26.
CAPÍTULO II
NÚMEROS REAIS
NÚMEROS REAIS
CAPÍTULO II
CAPÍTULO 2 
Números Reais 
 
Apesar de a noção de número real já existir antes do século XIX, foi em meados desse século 
que os matemáticos começaram a sentir necessidade de uma fundamentação rigorosa dos 
diferentes sistemas numéricos. É interessante ressaltar que, conforme encontramos na 
literatura, a sistematização dos diferentes conjuntos numéricos ocorreu na ordem inversa do 
seu desenvolvimento histórico pelo homem, ou seja, enquanto, historicamente, surgiram as 
noções de número natural, inteiro, racional, irracional, real e complexo, nesta ordem, a 
sistematização matemática desses conjuntos ocorreu da seguinte forma: primeiro foram 
organizados os números complexos, depois os números reais, os racionais, os inteiros e 
finalmente, os números naturais. 
Neste livro não faremos um estudo sistemático dos conjuntos numéricos em questão, mas 
vamos abordar os conjuntos dos racionais, irracionais e dos reais resumidamente, trazendo 
algumas de suas principais propriedades e resultados. Para estudos mais aprofundados, o 
leitor pode recorrer a bibliografia [38]. Nesse trabalho, o autor faz um tratamento completo da 
construção do conjunto dos números reais, iniciando pela construção dos números naturais 
( a partir de três axiomas, conhecidos como axiomas de Peano. Em seguida, inicia a 
construção do conjunto dos inteiros, dos racionais e dos reais. 
Usaremos as seguintes notações: 
 { }, para o conjunto dos números naturais. 
 { }, para o conjunto 
dos números inteiros. 
 { 
 
 
 }, para o conjunto dos números racionais. 
Apesar de as frações serem consideradas apenas como uma das representações dos números 
racionais, na Educação Básica elas passam a ser consideradas como um conteúdo a ser 
ensinado e, por isso, o conjunto dos números racionais passa a ser definido, nesse nível de 
ensino, como sendo o “conjunto das frações”. 
Neste livro, iremos verificar propriedades matemáticas que justificam as afirmações que são 
feitas, na Educação Básica, para o “conjunto das frações”. Vamos iniciar com as frações do 
tipo 
 
, sendo . Tais números racionais são identificados com o número inteiro 
 
 e, 
com um certo abuso de linguagem, dizemos que é um subconjunto de , ou seja, 
41
EaD•UFMS34 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
 
 2 
 
Quando aprendemos a operar com as frações, a rigor, o que fazíamos era definir operações de 
adição e multiplicação, que escreveremos a seguir, que são casos mais gerais da adição e da 
multiplicação de números inteiros. 
 Para quaisquer 
 
 
 
 
 definimos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
; (1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (2) 
 
Na Educação Básica, aprendemos a somar duas frações de denominadores diferentes por meio 
do cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc). Quando calculamos mmc dos denominadores 
e efetuamos o procedimento do “divide pelo numerador e multiplica pelo numerador”, 
estamos, na verdade, escrevendo os dois números racionais que estão sendo somados sob a 
forma de duas outras frações, equivalentes às duas frações iniciais, mas de denominadores 
comuns. Esse processo é equivalente à definição (1), uma vez que, aos efetuarmos as 
operações indicadas, estamos reescrevendo 
 
 e 
 
 por meio de duas frações equivalentes, 
 
 e 
 
 
 respectivamente. 
Observe que, pelas definições (1) e (2), quando temos, temos as operações de 
adição e multiplicação de números inteiros, ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No conjunto dos números racionais, com a soma e a multiplicação definida em (1) e (2), são 
verdadeiras as seguintes propriedades: 
 , 
1. Propriedade comutativa da adição e da multiplicação, 
respectivamente: p. ex, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. ( ( ( Propriedade associativa da adição e da 
multiplicação, respectivamente: p. ex, ( 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
 ) e ( 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
 ) 
3. Existe um elemento 
 
 tal que Existência do elemento neutro da 
adição; 
NÚMEROS REAISEaD•UFMS 35
 
 3 
 
4. Existe um elemento 
 
 tal que Existência do elemento neutro da 
multiplicação; 
5. Dado existe tal que ( Existência do inverso aditivo; 
6. Dado existe 
 
 tal que Existência do 
inverso multiplicativo; 
7. ( Propriedade distributiva: p. ex: ( 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos associar os números racionais com pontos de uma reta . Para isso, 
escolhemos dois pontos dessa reta para associar os racionais 0 e 1. Os números inteiros são 
marcados facilmente se usarmos o segmento de extremidades 0 e 1 como sendo a unidade, 
marcando os positivos à direita de 0 e os negativos à esquerda de 0. 
 
 
 
 
Os racionais são obtidos por subdivisões adequadas do segmento unidade. Por 
exemplo, dados dois segmentos retilíneos AB e CD, dizer que a razão é o número 
racional , significa que existe um terceiro segmento EF tal que EF “caiba” p vezes em AB 
e que EF “caiba” q vezes em CD. Vamos ilustrar a situação para o caso em que p = 8 e q = 5: 
 
AB
CD
p
q
8
5
AB
CD

D 
B 
C 
A 
E F
E 
O
0
-3 -2 -1 1 20u u u u u
u 1 2
EaD•UFMS36 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
 
 4 
 
De acordo com a figura anterior, os segmentos AB e CD podem ser subdivididos em 
segmentos de tamanho EF. Assim, pode-se verificar que o segmento EF “cabe” oito vezem 
em AB e que o segmento EF “cabe” cinco vezes em CD. Assim, podemos dizer que AB está 
para CD assim como oito está para cinco, ou seja, . 
Observe que AB e CD são segmentos, não números. É por isso que “razão” não é o 
mesmo que “fração”. Os gregos não usavam “frações”, apenas “razões”; e não escreviam 
 para indicar a razão de dois segmentos. Mesmo nos dias de hoje costuma-se escrever AB 
: CD = p : q, e dizer “AB está para CD assim como p está para q” 
No tempo de Pitágoras (580-500 a. C. aproximadamente) – e mesmo durante boa parte 
do século V a. C. – pensava-se que dados dois segmentos quaisquer, AB e CD, seria sempre 
possível encontrar um terceiro segmento EF contido um número inteiro de vezes em AB e 
outro número inteiro de vezes em CD, situação esta que descrevemos dizendo que EF é um 
submúltiplo comum de AB e CD. 
Uma simples reflexão revela que essa é uma ideia muito razoável; afinal se algum 
segmento EF não servir, podemos imaginar um segmento menor, outro menor ainda, e assim 
por diante. 
Nossa intuição geométrica parece dizer-nos que há de existir um certo segmento EF, 
talvez muito pequeno, mas que satisfaz aos propósitos desejados. Você deve ir muito além, 
imaginando um segmento EF tão pequeno que nem se possa mais desenhar, para se 
convencer, pela sua intuição geométrica, da possibilidade de sempre encontrar um 
submúltiplo comum de AB e CD. 
Dois segmentos nessas condições são ditos comensuráveis, justamente por ser possível 
medi-los ao mesmo tempo, com a mesma unidade EF. 
Para representar
os números racionais, podemos utilizar a escala orientada que 
definimos. Se desejarmos representar um racional, cujo denominador é b, devemos dividir 
cada segmento de comprimento unitário em b partes iguais. Por exemplo, se b=3, 
representamos todos os racionais cujo denominador é 3. Se procedermos com esta construção 
para todo valor de b, todos os números racionais se acharão representados por um ponto na 
reta. Reciprocamente, a cada ponto da reta estaremos correspondendo uma classe de racionais 
equivalentes, por exemplo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe que dado um ponto qualquer da 
reta, podemos obter racionais tão perto dele quanto se queira, bastando tomar subdivisões 
cada vez mais finas da unidade. 
O conjunto dos números racionais tem ordem total compatível com as operações 
definidas em (1) e (2). Este ordem é uma extensão da ordem natural dos inteiros, em que a 
8
5
AB
CD

AB
CD
NÚMEROS REAISEaD•UFMS 37
 
 5 
 
diferença entre dois inteiros consecutivos é sempre igual a 1, daí cada racional fica entre dois 
inteiros consecutivos. A ordem natural dos inteiros: 
 
 . 
Usamos a seguinte notação para comparar dois números racionais 
 ou 
Proposição 2. 1 Cada racional 
 
 fica entre dois inteiros 
consecutivos. 
Demonstração: 
Considere o Algoritmo da Divisão para os inteiros Segue do 
algoritmo da divisão que existem únicos inteiros tais que 
 . Observe que: que 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
Assim, se n > 0, então 
 
 
 
 
 Portanto, está entre os inteiros 
consecutivos 
 Se n < 0, então 
 
 , ou seja, 
 
 . Logo, 
 
 
 
 
 
Portanto, está entre os inteiros consecutivos . 
 
 
Por mais que existam infinitos números racionais entre quaisquer dois outros 
racionais, esses números não cobrem toda a reta, ou seja, nem todo ponto P da reta 
corresponde a um racional. A existência de pontos P da reta que não são relacionados a 
números racionais já era conhecida pelos matemáticos da Escola Pitagórica. Apesar de a 
interpretação geométrica e o apelo à intuição sugerirem que sempre dois segmentos são 
comensuráveis, existem segmentos que não podem ser medidos com a mesma unidade de 
medida. Esses fatos caracterizam um novo tipo de número, o qual denominamos número 
irracional. 
A origem histórica da necessidade da construção dos números irracionais está 
relacionada a dificuldades de natureza geométrica e aritmética. Como fazer para dar a medida 
da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles, cujos catetos têm uma unidade de medida? 
O Teorema de Pitágoras nos garante que sendo a hipotenusa e e os 
catetos de mesma medida. Em particular, se então e denotamos a 
medida deste segmento √ O ponto P da reta, correspondente a é obtido traçando a 
EaD•UFMS38 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
 
 6 
 
circunferência centrada em 0 e raio igual a hipotenusa e esse número não corresponde a um 
racional. 
 
Definição 2. 1. Sejam inteiros, tal que 
 
 Dizemos a fração 
 
 é 
irredutível se o ( . Caso contrário, diremos que a fração é redutível. 
Lembre que ( é o maior divisor positivo comum de e . 
 
Proposição 2. 2 
 
 {
 
 
 ( } 
Demonstração: 
Claro que { 
 
 ( } . Agora seja 
Então podemos supor 
 
 com , pois ( é o maior divisor comum 
positivo de e , e daí ( ( ( ( 
Se ( então { 
 
 ( } 
Se ( com então e com Logo 
 
 
 
 
 
 
 
 e ( Portanto 
 { 
 
 ( } 
 
Proposição 2. 3 Seja , tal que é fator de . Prove que é fator de . 
 
Proposição 2. 4 A hipotenusa √ de um triângulo retângulo de catetos com medida 1 
unidade não é um número racional. 
 
A Proposição 2.4 nos garante que existem pontos da reta que não correspondem a elementos 
de e daí constatamos uma deficiência no conjunto dos números racionais. Dessa forma, 
vamos descrever um conjunto numérico mais amplo que o conjunto dos números racionais e 
cujos elementos estejam em correspondência bijetora com os pontos da reta. O conjunto neste 
caso, é conjunto dos números reais, denotado por e formados pelos números racionais e 
não racionais. 
 
 
NÚMEROS REAISEaD•UFMS 39
 
 7 
 
Assim como no conjunto dos números racionais, no conjunto dos números reais, são 
verdadeiras as seguintes propriedades: 
Dados , 
1. 
2. ( ( ( ( 
3. Existência do neutro: existe um número real denotado por 
 
 tal que 
4. Existência da unidade: existe um número real denotado por 
 
 tal que 
5. Existência do inverso aditivo: para cada existe tal que ( 
 
6. Existência do inverso multiplicativo: se , então existe 
 
 tal que 
 
7. ( 
8. Para quaisquer, , temos que: 
 e 
 e 
 e 
 e 
 e 0 
 e 
 e z qualquer 
 
2.1. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 
Sendo chamamos módulo de e denotamos por ao maior dos números e – 
Assim, por definição: 
 { } 
A interpretação geométrica do módulo do número real na reta real (em certa unidade de 
medida) traduz a distância do ponto correspondente à origem do referencial, que adotamos 
como sendo o número 0. A ordem nos permite reescrever o valor absoluto do número real 
 como sendo {
 
 
 Assim, para todo x real, e 
 
2.1 Módulo de um Número Real
 
 7 
 
Assim como no conjunto dos números racionais, no conjunto dos números reais, são 
verdadeiras as seguintes propriedades: 
Dados , 
1. 
2. ( ( ( ( 
3. Existência do neutro: existe um número real denotado por 
 
 tal que 
4. Existência da unidade: existe um número real denotado por 
 
 tal que 
5. Existência do inverso aditivo: para cada existe tal que ( 
 
6. Existência do inverso multiplicativo: se , então existe 
 
 tal que 
 
7. ( 
8. Para quaisquer, , temos que: 
 e 
 e 
 e 
 e 
 e 0 
 e 
 e z qualquer 
 
2.1. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 
Sendo chamamos módulo de e denotamos por ao maior dos números e – 
Assim, por definição: 
 { } 
A interpretação geométrica do módulo do número real na reta real (em certa unidade de 
medida) traduz a distância do ponto correspondente à origem do referencial, que adotamos 
como sendo o número 0. A ordem nos permite reescrever o valor absoluto do número real 
 como sendo {
Assim, para todo x real, e 
 
EaD•UFMS40 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
 
 8 
 
 
 
 
Figura 2.1 – Representação geométrica de |x| 
 
 
O módulo de números reais satisfaz as seguintes propriedades: Para todo 
1. ( 
2. 
3. 
A partir dessas, podem ser obtidas as seguintes propriedades: 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. | 
 
| 
 
 
 
7. | 
 
| 
 
 
 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. √ 
 
Usaremos as notações abaixo para representar subconjuntos especiais dos números reais. 
Dados com , definimos o intervalo de extremos aos seguintes 
subconjuntos da reta : 
0
0
| x | = x
| x | = - x
x
x
NÚMEROS REAISEaD•UFMS 41
 
 9 
 
 
( ] [ { } 
 
[ [ [ { } 
 
( ] ] ] { } 
 
[ ] { }; 
 
O conjunto { } é a semirreta positiva e o conjunto 
{ } é a semirreta negativa. Em geral, uma semirreta é um conjunto de 
uma das seguintes formas: Dados 
( ] [ { } 
 
[ [ [ { } 
 
( ] [ { } 
 
( ] ] ] { } 
 
 
Os intervalos podem ser descritos por meio de valor absoluto, por exemplo: 
( { } 
[ ] { }; 
Em geral, se com então: 
( { } 
[ ] { }; 
( { } 
[ ] { }. 
 
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
EaD•UFMS42 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
 
 10 
 
 
Exemplo 2. 1. Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, cuja a distância a 1 é 
menor ou igual a 4. 
Primeiramente vamos descrever uma expressão para o conjunto pedido. Ou seja, dado 
 queremos que Assim, 
 
[ ] { } Geometricamente, temos 
 
Exemplo 2. 2. Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por 
{ 
 
 
 } 
Temos que encontrar 
 
 e 
 
 ou seja, e 
 
 , pois x > 0, já que 
 
 
 . Assim, [ 
 
 [ { 
 
 
 } Geometricamente, temos 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
1) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por 
{ }; 
2) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por 
{ } 
3) ) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por 
{ }; 
4) ) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por 
{ ( ( ( }; 
 
5) Dados se mostre que 
 
6) Mostre que quaisquer que sejam 
 
-3
1/2
5
1
NÚMEROS REAISEaD•UFMS 43
 
 11 
 
7) Dados tais que e Mostre que √ 
 
 
 Quando é que as 
médias aritméticas e geométricas são iguais? O que podemos dizer geometricamente sobre 
este fato? 
8) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por 
{ 
 
 
 
 
 
} 
 
9) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por 
{ } 
 
2.2 SUPREMO E ÍNFIMO EM CONJUNTOS DE NÚMEROS REAIS 
 
Definição 2. 2. Diz-se que um conjunto de números reais é limitado à direita ou 
limitado superiormente se existe um número tal que Do mesmo modo, 
é limitado à esquerda ou limitado inferiormente se existe um número tal que 
 . Os números e são chamados de cotas do conjunto C, superior e inferior, 
respectivamente. 
 
Exemplo 2. 3. 
a) O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente, mas não superiormente, 
enquanto que o conjunto dos números racionais menores do que 8 é limitado 
superiormente, mas não inferiormente. 
b) O conjunto dos números reais x tais que x 2  10 é limitado, tanto à direita como à 
esquerda, isto é: 
={x  R: x 2  10} = { x  R:  x  }. 
Neste caso, é cota inferior do conjunto e √ é cota superior do 
conjunto. 
 
Definição 2. 3. Diz-se que um conjunto de números reais é limitado, quando é 
limitado superiormente e inferiormente. 
 
Definição 2. 4. Quando um conjunto é limitado superiormente, ele pode ter um 
elemento que seja o maior de todos. Nesse caso, é chamado o máximo do conjunto 
 . 
 
10, 10 
  10 10
10
 
 11 
 
7) Dados tais que e Mostre que √ 
 
 
 Quando é que as 
médias aritméticas e geométricas são iguais? O que podemos dizer geometricamente sobre 
este fato? 
8) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por 
{ 
 
 
 
 
 
} 
 
9) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por 
{ } 
 
2.2 SUPREMO E ÍNFIMO EM CONJUNTOS DE NÚMEROS REAIS 
 
Definição 2. 2. Diz-se que um conjunto de números reais é limitado à direita ou 
limitado superiormente se existe um número tal que Do mesmo modo, 
é limitado à esquerda ou limitado inferiormente se existe um número tal que 
 . Os números e são chamados de cotas do conjunto C, superior e inferior, 
respectivamente. 
 
Exemplo 2. 3. 
a) O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente, mas não superiormente, 
enquanto que o conjunto dos números racionais menores do que 8 é limitado 
superiormente, mas não inferiormente. 
b) O conjunto dos números reais x tais que x 2  10 é limitado, tanto à direita como à 
esquerda, isto é: 
={x  R: x 2  10} = { x  R:  x  }. 
Neste caso, é cota inferior do conjunto e √ é cota superior do 
conjunto. 
 
Definição 2. 3. Diz-se que um conjunto de números reais é limitado, quando é 
limitado superiormente e inferiormente. 
 
Definição 2. 4. Quando um conjunto é limitado superiormente, ele pode ter um 
elemento que seja o maior de todos. Nesse caso, é chamado o máximo do conjunto 
 . 
 
10, 10 
  10 10
10
2.2 Supremo e Ínfimo em conjuntos de Números Reais
EaD•UFMS44 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
 
 12 
 
Exemplo 2. 4. 
a) O conjunto dos números racionais x tais que x  10 tem 10 como máximo; 
b) O conjunto A = não tem máximo, embora seja limitado 
superiormente. Observe que . Os elementos desse conjunto são 
frações dispostas de maneira crescente: e nenhuma dessas 
frações é maior do que todas as outras. Pelo contrário, qualquer delas é superada pela 
que vem a seguir, isto é, , . 
Além disso, qualquer elemento do conjunto é menor do que o número 1, o qual é, 
portanto, uma de suas cotas superiores. Aliás, o 1 é a menor dessas cotas. Desta forma, 
ilustramos uma situação interessante: o conjunto é limitado superiormente
e, apesar de não ter 
máximo, tem cota superior mínima. Isto sugere a seguinte definição: 
 
Definição 2. 5. Chama-se supremo de um conjunto de números reais, à menor de 
suas cotas superiores. Ou seja, um número S chama-se supremo de um conjunto se satisfaz 
as seguintes condições: 
a. 
b. Se r é cota superior de C, então S é menor ou igual a r. 
 
Notação: Denotamos o supremo de C por 
 
Exemplo 2. 5. Seja X o conjunto formado pelos números racionais x tais que x  10. Neste 
caso, e 
 
 
Axioma: Todo conjunto não vazio de números reais, que seja limitado superiormente, 
possui supremo. 
 
Definição 2. 6. Chama-se ínfimo de um conjunto de números reais, à maior de suas 
cotas inferiores. Ou seja, um número é o ínfimo de um conjunto se satisfaz as seguintes 
condições: 
 a) 
 b) Se t é cota inferior de C, então s é maior ou igual a t 
1 2 3, , , ,
2 3 4 1
n
n
 
 
 
1
1
n
n


1 2 3
2 3 4 1
n
n
    

1
1 2
n n
n n


 
...
... ...
n
n + 1
n
n + 1
 
 12 
 
Exemplo 2. 4. 
a) O conjunto dos números racionais x tais que x  10 tem 10 como máximo; 
b) O conjunto A = não tem máximo, embora seja limitado 
superiormente. Observe que . Os elementos desse conjunto são 
frações dispostas de maneira crescente: e nenhuma dessas 
frações é maior do que todas as outras. Pelo contrário, qualquer delas é superada pela 
que vem a seguir, isto é, , . 
Além disso, qualquer elemento do conjunto é menor do que o número 1, o qual é, 
portanto, uma de suas cotas superiores. Aliás, o 1 é a menor dessas cotas. Desta forma, 
ilustramos uma situação interessante: o conjunto é limitado superiormente e, apesar de não ter 
máximo, tem cota superior mínima. Isto sugere a seguinte definição: 
 
Definição 2. 5. Chama-se supremo de um conjunto de números reais, à menor de 
suas cotas superiores. Ou seja, um número S chama-se supremo de um conjunto se satisfaz 
as seguintes condições: 
a. 
b. Se r é cota superior de C, então S é menor ou igual a r. 
 
Notação: Denotamos o supremo de C por 
 
Exemplo 2. 5. Seja X o conjunto formado pelos números racionais x tais que x  10. Neste 
caso, e 
 
 
Axioma: Todo conjunto não vazio de números reais, que seja limitado superiormente, 
possui supremo. 
 
Definição 2. 6. Chama-se ínfimo de um conjunto de números reais, à maior de suas 
cotas inferiores. Ou seja, um número é o ínfimo de um conjunto se satisfaz as seguintes 
condições: 
 a) 
 b) Se t é cota inferior de C, então s é maior ou igual a t 
1 2 3, , , ,
2 3 4 1
n
n
 
 
 
1
1
n
n


1 2 3
2 3 4 1
n
n
    

1
1 2
n n
n n


 
e
NÚMEROS REAISEaD•UFMS 45
 
 13 
 
 
Notação: Denotamos o ínfimo de C por ( . 
 
 
Exemplo 2. 6. 
a) O conjunto formados pelos números racionais, x tais que Neste caso, 
 e 
 
b) Considere o conjunto . Neste caso e 
 Também existe e Os elementos desse conjunto são 
frações dispostas de maneira crescente: ; e nenhuma dessas 
frações é maior do que todas as outras, pois 0 < , . Tem-se 
também que 1 é a menor das cotas superiores dessas e 0 é a maior das cotas inferiores 
 
Teoremos 2. 1. Todo conjunto não vazio de números reais, que seja limitado 
inferiormente, possui ínfimo. 
A demonstração deste fato, baseia-se no Axioma fundamental da Análise Matemática. 
 
Observe que se nos restringirmos ao conjunto dos números racionais, então não é verdade que 
todo conjunto limitado superiormente tenha supremo ou que todo conjunto limitado 
inferiormente tenha ínfimo. Este fato está ligado a inexistência de raízes quadradas racionais 
de certos números inteiros, dentre outras razões. Veja o exemplo a seguir: 
 
Exemplo 2. 7. Considere { }. Vamos provar que o conjunto 
não tem ínfimo em 
Para isso, vamos considerar o conjunto { }. Como não existe 
racional r tal que dado um racional positivo temos que ou . 
 P1: Se então existe um racional p entre zero e 1 tal que 
De fato, tomemos um racional p tal que e ( 
 )
( 
. Neste caso, ( 
( . Como e daí ( 
 ( Portanto, implica na existência de 0 < tal que 
 
1 2 30, , , , , ,...
2 3 4 1
n
n
 
 
 
1 2 3
2 3 4 1
n
n
    

1
1 2
n n
n n


 
...
... ...
n
n + 1
n
n + 1
 
 12 
 
Exemplo 2. 4. 
a) O conjunto dos números racionais x tais que x  10 tem 10 como máximo; 
b) O conjunto A = não tem máximo, embora seja limitado 
superiormente. Observe que . Os elementos desse conjunto são 
frações dispostas de maneira crescente: e nenhuma dessas 
frações é maior do que todas as outras. Pelo contrário, qualquer delas é superada pela 
que vem a seguir, isto é, , . 
Além disso, qualquer elemento do conjunto é menor do que o número 1, o qual é, 
portanto, uma de suas cotas superiores. Aliás, o 1 é a menor dessas cotas. Desta forma, 
ilustramos uma situação interessante: o conjunto é limitado superiormente e, apesar de não ter 
máximo, tem cota superior mínima. Isto sugere a seguinte definição: 
 
Definição 2. 5. Chama-se supremo de um conjunto de números reais, à menor de 
suas cotas superiores. Ou seja, um número S chama-se supremo de um conjunto se satisfaz 
as seguintes condições: 
a. 
b. Se r é cota superior de C, então S é menor ou igual a r. 
 
Notação: Denotamos o supremo de C por 
 
Exemplo 2. 5. Seja X o conjunto formado pelos números racionais x tais que x  10. Neste 
caso, e 
 
 
Axioma: Todo conjunto não vazio de números reais, que seja limitado superiormente, 
possui supremo. 
 
Definição 2. 6. Chama-se ínfimo de um conjunto de números reais, à maior de suas 
cotas inferiores. Ou seja, um número é o ínfimo de um conjunto se satisfaz as seguintes 
condições: 
 a) 
 b) Se t é cota inferior de C, então s é maior ou igual a t 
123
,,,,
2341
n
n




1
1
n
n


123
2341
n
n


1
12
nn
nn



...
...
EaD•UFMS46 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL
 
 14 
 
 P2: Se então existe um racional p entre zero e 1 tal que . 
De fato, tomemos um racional tal que e ( 
 )
 
 Neste caso, 
 , ou seja, . Logo, ( Portanto, 
 implica na existência de 0 < tal que 
 
Temos que ] [ . Suponhamos, por absurdo, que existe ( Então 
 Segue da P2, Desta forma, 
Se então existe um racional tal que e Como 
 temos que é cota inferior para e este fato contradiz a hipótese de ( 
 
Proposição 2. 5 O conjunto dos números reais não é limitado superiormente 
Demonstração: 
Suponhamos, por absurdo, que o conjunto dos números naturais seja limitado 
superiormente. Como existe tal que Logo, não é cota 
superior de Consequentemente, existe tal que ou seja, o que 
é absurdo, pois