Apostila Teoria II.1

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
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TEORIA DAS ESTRUTURAS 2 
 
 
 
Método da Força Virtual Unitária: 
cálculo dos deslocamentos em 
Estruturas isostáticas 
 
E 
 
Método das Forças: 
cálculo das reações de apoio em 
Estruturas hiperestáticas 
 
O conteúdo desta apostila foi elaborado utilizando os textos 
bases: 
- ANÁLISE DE ESTRUTURAS 
Método das Forças e Método dos deslocamentos; 
Autores: Humberto Lima Soriano 
 Silvio de Souza Lima 
Ed. Ciência Moderna 
 
- ANÁLISE DE ESTRUTURAS 
Conceitos e Métodos Básicos 
Autor: Luiz Fernando Martha 
Ed. Elsevier 
 
 
 
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1 - Introdução 
1.1 - Princípio da conservação da energia 
 Para estruturas deformáveis em equilíbrio estático, com o material da estrutura 
trabalhando em um regime linear elástico e apresentando pequenos deslocamentos, o 
princípio da conservação da energia estabelece: 
𝑼𝒆= 𝑼𝒊 → 𝒐𝒖 𝒔𝒆𝒋𝒂 → 𝑾𝒆 = 𝑾𝒊 → ∑(𝑭𝒆 . 𝑫𝒆) = ∑(𝒇𝒊 . 𝒅𝒊) (1) 
 “trabalho das forças externas = trabalho das forças internas” 
 
 Para estruturas compostas por elementos (peças do tipo barra: reta ou curva); 
Exemplo: VIGAS, PÓRTICOS OU QUADROS, GRELHAS. 
 
 Nas estruturas de barras, conforme mostra a figura 1 a seguir. As forças externas 
geram forças internas (esforços internos solicitantes: N, V, M, T) nas estruturas que por 
sua provocam deslocamentos nas estruturas. 
 
 
 
 
 
Fig. 1: Estrutura sujeita a deformações 
 
 Considerando um elemento infinitesimal de comprimento dx da barra, o mesmo 
estará sujeito, a deslocamentos relativos gerados pelos esforços internos da barra 
(N, V, M, T ) conforme ilustra a figura 2 a seguir. 
 
 
 
 
 
Fig. 2: Esforços internos num elemento infinitesimal da barra 
 
 Estes deslocamentos relativos estão relacionados às deformações e as tensões 
que surgem nas estruturas, tais relações são apresentadas a seguir nesta apostila. 
q = força externa genérica 
 
Esforços internos: 
N = força normal; 
V = esforço cortante; 
M = momento fletor; 
T = momento torçor; 
 
V 
V 
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2 
 
2 - Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) 
2.1 - Considerações iniciais 
 Antes de desenvolver o princípio dos trabalhos virtuais, é necessário apresentar 
alguns conceitos gerais relativos ao Trabalho Virtual; 
 
 Trabalho Virtual: O trabalho virtual pode ser gerado de duas formas: 
 - Quando aplica-se deslocamento virtual a estruturas sujeitas a forças reais; 
- Quando aplica-se força virtual a estruturas sujeitas a deslocamentos reais; 
 
 Conforme já mencionado, o princípio da conservação da energia estabelece: 
𝑼𝒆= 𝑼𝒊 → 𝒐𝒖 𝒔𝒆𝒋𝒂 → 𝑾𝒆 = 𝑾𝒊 → ∑(𝑭𝒆 . 𝑫𝒆) = ∑(𝒇𝒊 . 𝒅𝒊) 
 “trabalho das forças externas = trabalho das forças internas” 
 
Do conceito de trabalho virtual e conservação de energia é obtido o Princípio dos 
trabalhos Virtuais, que pode ser enunciado como: 
 “O trabalho virtual externo é igual ao trabalho virtual interno”. 
�̅̅̅�𝒆 = �̅̅̅�𝒊 (𝟐) 
O princípio dos trabalhos virtuais pode ser aplicado por meio de dois métodos: 
I - Princípio dos deslocamentos virtuais: ∑(𝑭𝒆 . �̅�𝒆) = ∑(𝒇𝒊 . �̅�𝒊) 
Aplicam-se deslocamentos virtuais externos em uma estrutura sujeita a forças reais; 
 
II - Princípio das forças virtuais: ∑(�̅�𝒆 . 𝜹𝒆) = ∑(�̅�𝒊 . 𝒅𝒊) 
Aplicam-se forças virtuais externas em uma estrutura sujeita a deslocamentos reais; 
 
O Princípio das forças virtuais é uma das principais ferramentas para 
determinação dos deslocamentos em estruturas isostáticas. 
O Princípio das forças virtuais as vezes é referido como Método da força virtual 
unitária. 
 
Com base nos conceitos já mencionada, o princípio dos trabalhos virtuais será 
desenvolvido a seguir, por meio do Princípio das forças virtuais ou Método da força 
virtual unitária. 
 
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2.2 - Princípio das Forças Virtuais = Método da Força Virtual Unitária (MFVU) 
 
 Considerando por exemplo uma viga bi-apoiada, sujeita a forças externas reais 
que geram deslocamentos reais, conforme ilustra a figura 3a. 
 
 
 
 
 
Fig. 3a: Estrutura com deslocamentos reais e forças reais externas; 
Em que: 
F1, F2, F3, Fi : forças reais externas; 
𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏 : deslocamentos reais provocados pelas forças reais externas; 
 
 Ao analisar a figura 3a percebe-se que o ponto A apresenta um deslocamento 
vertical real devido as forças externas reais. 
 O deslocamento vertical real do ponto A determinado por meio deste Princípio 
dos Trabalhos Virtuais, adota as seguintes considerações: 
 
1ª consideração: Aplica-se inicialmente apenas uma única força virtual unitária externa 
(imaginária) 𝑭 ̅ sobre o ponto A e na direção do deslocamento a ser determinado, no 
caso, deslocamento vertical, por conta disto, aplica-se uma força virtual unitária externa 
na vertical, conforme ilustrado na figura 3b. 
 
 
 
 
 
Fig. 3b: A estrutura permanece na forma original (deslocamentos desprezíveis) 
 
A aplicação da força virtual unitária externa �̅� gera reações de apoios virtuais 𝑹j̅ 
e forças virtuais internas ( �̅�𝒊 = �̅� ; �̅� ; �̅� ; �̅� ) atuantes nestas seções. 
Entretanto, os deslocamentos que surgem podem ser considerados desprezíveis, 
ou seja, nulo, a estrutura permanece na forma original. 
F1 F2 F3 Fi 
1 2 3  
A 
A’ 
1 2 3 
𝑭 ̅ = 𝟏 
 
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4A consideração de deslocamentos desprezíveis (nulos), por conta da ação 
exclusiva da força virtual unitária externa �̅�, pode ser entendida melhor, tomando como 
base a mesma estrutura ilustrada na figura 3a. 
A estrutura 3a é um exemplo típico de estrutura sob a ação de forças reais 
externas, que em geral assumem a magnitude em kilo-Newton, como por exemplo: 
 
F1 = 10 kN = 10 000 N; 
 F2 = 5 kN = 5 000 N; 
 ...... 
 Fi = 12 kN = 12 000 N; 
 
Estas forças reais externas produzem pequenos deslocamentos reais, ou seja, os 
deslocamentos reais 1, 2, 3, incluído o do ponto A ( A )  tendo estes 
deslocamentos uma magnitude (valor) em milimétricos, ou seja, pequenos 
deslocamentos. 
 
Assim, ao considerar a força virtual unitária externa �̅�, como uma força de 
magnitude unitária (𝑭 ̅ = 𝟏 𝑵 = 𝟏 ), permite chegar ao entendimento de que, a ação 
exclusiva desta força virtual unitária externa �̅�, sobre a estrutura produz deslocamentos 
desprezíveis (nulos), ou seja, a estrutura permanece na forma original, conforme ilustra 
a figura 3b. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3b: A estrutura permanece na forma original (deslocamentos desprezíveis) 
 
 
 
 
 
1 2 
3 
𝑭 ̅ = 𝟏 
 
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2ª consideração - Imediatamente a aplicação força virtual unitária externa �̅�, as forças 
reais externas são aplicadas, conforme ilustra a figura 3c; 
 
 
 
 
 
Fig. 3c: Estrutura com deslocamentos reais provocados 
 exclusivamente pelas forças reais externas 
Em que: 
F1, F2, F3, Fi : forças reais externas; 
�̅� : força externa virtual; 
𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏  1, 2, 3, incluído o do ponto A ( A ) deslocamentos reais provocados pelas 
forças reais externas. 
 
Feitas estas considerações Princípio das Forças Virtuais = Método da Força 
Virtual Unitária (MFVU) estabelece: 
 �̅̅̅�𝒆 = �̅̅̅�𝒊 (2) 
 ∑(�̅�𝒆 . 𝜹𝒆) = ∑(�̅�𝒊 . 𝒅𝒊)  Aplicam-se forças virtuais externas em uma 
estrutura sujeita a deslocamentos reais; 
 
Conforme, já mencionado, a aplicação exclusiva da força virtual unitária externa 
�̅� gera reações de apoios virtuais 𝑹j̅ e forças virtuais internas ( �̅�𝒊 = �̅� ; �̅� ; �̅� ; �̅� ) 
atuantes nestas seções. 
 As reações de apoios virtuais 𝑹j̅ geradas pela força virtual unitária externa �̅� 
devem ser entendidas também como forças externas. 
Desta forma, o trabalho das forças virtuais externas durante os deslocamentos 
reais 𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏 é dado por: 
�̅̅̅�𝒆 = ∑(�̅�𝒆 . 𝜹𝒆) = �̅� . 𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝒑_ 𝒋) (3) 
 Onde: �̅�𝒆  forças virtuais externas: �̅� (força virtual unitária externa) 
 �̅�𝒋 (reações de apoio virtuais) 
𝜹𝒑_ 𝒋  deslocamentos prescritos, ou seja, recalque de apoios 
F1 F2 F3 
Fi 
1 2 3 
�̅� 
 
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Já, o trabalho das forças virtuais internas ( �̅�; �̅� ; �̅� ; �̅� ) durante os deslocamentos 
reais 𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏 é dado pelo somatório do trabalho de cada força virtual interna ao longo 
de cada elemento (peça, barra) da estrutura em análise, sendo este somatório obtido 
com o processo de integração e que resulta na seguinte equação: 
�̅̅̅�𝒊 = ∑(�̅�𝒊 . 𝒅𝒊) = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂_𝒊
 + �̅� . 𝒅𝜽 ]
0
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎_𝑖=1,2,𝑛
 (4) 
 
Conforme apresentado anteriormente, o Princípio das Forças Virtuais = Método 
da Força Virtual Unitária (MFVU) estabelece: 
 �̅̅̅�𝒆 = �̅̅̅�𝒊 
�̅� . 𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
 + �̅� . 𝒅𝜽 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (5) 
 
 Visto que a força virtual unitária externa: 𝐹 ̅ = 1 
 
𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
 + �̅� . 𝒅𝜽 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (6) 
 
A equação (6) é a expressão geral do MFVU para estruturas compostas por vários 
elementos ((peças do tipo barra: reta ou curva ex: vigas, treliças, pórticos e grelhas)) 
sujeita a um sistema qualquer solicitação externas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 - Método da Força Virtual Unitária (MFVU) 
 O método da força virtual unitária tem como objetivo determinar os deslocamentos 
de uma seção s qualquer de uma estrutura isostática. 
Porém, antes de apresentar o MFVU, faz-se necessário esclarecer que as 
estruturas em geral estão sob a ação de 3 tipos solicitações reais externas (Fe): 
 Fe1 - Peso próprio, cargas concentradas e ou distribuídas, momentos aplicados; 
 Fe2 - Variação da temperatura; 
 Fe3 - Deslocamento prescrito (conhecido): 
 - Movimentos dos apoios da estrutura, ou seja, recalques dos apoios; 
 - modificação na posição original da estrutura que ocorre durante a 
 montagem da mesma (um alongamento, um encurtamento); 
 
Forças externas: solicitações externas e reações de apoio 
Forças internas: N, V, M, T, geradas pelas forças externas; 
 
 
Estas forças externas (solicitações externas e reações dos apoios) geram forças 
internas (esforços solicitantes: N, V, M, T) nas estruturas que por sua provocam 
deslocamentos, ou seja, deformações nas estruturas. 
 
No dia a dia as estruturas estão sob a ação simultânea destas solicitações 
externas reais. Para determinar o deslocamento de uma determinada seção s qualquer 
de uma estrutura é necessário calcular o deslocamento provocado por cada agente 
separadamente e em seguida realizar o somatório dos deslocamentos produzidos pelos 
agentes a fim de determinar o deslocamento final sofrido por esta seção s da estrutura. 
 
A seguir o Método da força virtual unitário é particularizado de modo a determinar 
os deslocamentos devido a ação de cada tipo de solicitação externa já mencionado. 
 
 
 
 
 
N 
T V 
M 
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3.1 - Método da Força Virtual Unitária (MFVU): Efeito de forças reais externas 
Inicialmente será apresentada a formulação para determinar o deslocamento de 
uma seção s qualquer de uma estrutura devido à ação solicitação externa: forças reais 
externas (Peso próprio, cargas concentradas, etc), posteriormente, as formulações para 
determinar os deslocamentos provocados pelos demais solicitações externas (variação 
da temperatura, deslocamentos prescritos = recalque de apoios) serão apresentadas, 
visto que suas formulações são análogas ao das forças reais externas. 
 Para calcular um determinado deslocamento , por exemplo o deslocamento 
vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita a um sistema de forças externas 
qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 4: Estrutura deformada devido a ação de forças externas reais 
 
1º Passo: considera-se a mesma estrutura submetida apenas à ação da força virtual 
unitária externa �̅� = 𝟏 atuando sobre o ponto C da estrutura e na direção do 
correspondente deslocamento a ser determinado, no caso deslocamento vertical . 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5: Estrutura sujeita à ação da força virtual unitária externa 
 
Em seguida determina-se os diagramas das forças virtuais internas da estrutura 
( �̅�𝒊 = �̅� ; �̅� ; �̅� ; �̅� ). 
 

= deslocamento vertical 
 do ponto C (REAL) 
�̅� = 𝟏 : força virtual 
unitária correspondente 
ao tipo de deslocamento 
que deseja determinar  
�̅� = 𝟏 
Esboçar os diagramas das forças 
virtuais internas 
( �̅�, �̅�, �̅�, �̅� )  devido 
EXCLUSIVAMENTE a força 
virtual unitária 
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2º Passo: considera-se a mesma estrutura submetida apenas à ação das forças reais 
externas; 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 6: Estrutura sujeita à ação de cargas reais externas 
 
Em seguida determina-se os diagramas de forças reais internas da estrutura 
(fi = N, V, M, T). 
 
3º Passo: Substituem-se os valores das forças obtidas PASSOS 1 e 2 na expressão 
geral MFVU (equação 6), em seguida, soma-se os valores obtidos pela integração cada 
para uma das forças internas ao longo do comprimento de cada elemento (peça do tipo 
barra: reta ou curva) da estrutura em análise, de modo a obter o valor do deslocamento 
procurando . 
 
Considerando que a estrutura esteja apenas sob a ação de forças reais externas 
e que os apoios da estrutura não apresentam deslocamentos prescritos, ou seja, os 
apoios não apresentam recalques (deslocamentos prescritos = conhecidos), a equação 
(6), pode ser escrita da seguinte forma: 
𝜹𝑹_ 𝒋 = 𝟎 → 𝒐𝒔 𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐𝒔 𝒏ã𝒐 𝒂𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒎 𝒓𝒆𝒄𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐; 
𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
 + �̅� . 𝒅𝜽 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (6) 
𝜹 = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
 + �̅� . 𝒅𝜽 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (7) 
 
A equação (7) é a expressão geral do MFVU para estruturas compostas por vários 
elementos ((peça do tipo barra: reta ou curva  ex: vigas, treliças, pórticos e grelhas)) 
sujeitas ao Efeito de forças reais externas; 
Esboçar os diagramas das forças 
internas reais (N, M, V, T)  devido ao 
sistema de forças reais externas; 
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A resistência dos materiais fornece relações, ou seja, leis que relacionam forças reais 
internas de uma estrutura e os respectivos deslocamentos reais; 
 Leis: 𝑵 → 𝒅𝜹; 
 𝑴 → 𝒅𝝋; 
 𝑽 → 𝒅𝝀; 
 𝑻 → 𝒅𝜽; 
 
Para um material trabalhando em um regime linear elástico, pode-se aplicar a lei de 
Hooke (  = E .  ) para obter a relação entre as forças reais internas e os respectivos 
deslocamentos nas seções transversais do elemento infinitesimal de comprimento dx. 
 
 Tais relações são apresentadas a seguir; 
 
 
Relação entre deslocamento axial x esforço Normal (N) 
𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙
𝑵 → 𝜀𝑥
𝑁 = 𝜎 .
1
𝐸
 → 𝜀𝑥
𝑁 =
𝑁
𝐴
.
1
𝐸
 → 𝜀𝑥
𝑁 =
𝑁
𝐴𝐸
 → 
𝑑𝛿
𝑑𝑥
=
𝑁
𝐴𝐸
 → 𝒅𝜹 =
𝑵
𝑨𝑬
 . 𝒅𝒙 (8) 
𝜺𝒙
𝑵 =
𝒅𝜹
𝒅𝒙
 
 
𝜺𝒙
𝑵 =
𝒅𝜹
𝒅𝒙
 
 
 
Fig. 7: deformação axial de um elemento infinitesimal de barra 
Em que: 
dx = comprimento original do elemento infinitesimal; 
d = deslocamento axial relativo do elemento infinitesimal; 
𝜺𝒙
𝑵 = deformação axial ou normal na direção longitudinal devida a força Normal ou 
esforço axial (N). 
 
 
 
 
 
 
dx+d 
d 
N 
d 
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Relação entre rotação relativa por flexão x Momento fletor (M) 
𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙
𝑴 → 𝜀𝑥
𝑀 = 𝜎 .
1
𝐸
 → 𝜀𝑥
𝑀 =
𝑀 .𝑦
𝐸.𝐼 
 → 
𝑑𝜑
𝑑𝑥
. 𝑦 =
𝑀 .𝑦
𝐸.𝐼 
 → 𝒅𝝋 =
𝑴 
𝑬.𝑰 
 . 𝒅𝒙 (9) 
𝝈 =
𝑴 . 𝒚
𝑰
→ 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑖𝑠: 𝐼 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜; 
𝜺𝒙
𝑴 =
𝒅𝝋
𝒅𝒙
. 𝑦 
 
 
 
 
Fig. 8: deformação axial de um elemento infinitesimal de barra 
Em que: 
dx = comprimento original do elemento infinitesimal; 
d = rotação relativa por flexão do elemento infinitesimal; 
𝜺𝒙
𝑴 = deformação axial ou normal na direção longitudinal devido ao momento real (M). 
 
Relação entre distorção de cisalhamento x esforço cortante (V) 
 𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙
𝑴 
𝝉 = 𝑮 . 𝜸𝑽 → 𝛾𝑉 = 𝜏 .
1
𝐺
 → 𝛾𝑉 =
𝑉
𝐴𝑉 .𝐺
 → 
𝑑𝜆
𝑑𝑥
=
𝑉
𝐴𝑉 .𝐺
 → 𝒅𝝀 =
𝑽
𝑨𝑽 .𝑮
 . 𝒅𝒙 (10) 
𝝉 =
𝑽
𝑨𝑽
 𝐺 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝜸𝑽 =
𝒅𝝀
𝒅𝒙
 𝐴𝑉 = á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑎𝑙 =
𝐴
𝑓
 ∗∗∗ 𝒐𝒃𝒔𝟏 
 𝑓 = 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙; 
 
 
 
 
 
 
Fig. 9: deformaçãode cisalhamento de um elemento infinitesimal de barra 
Onde: 
dx = comprimento original do elemento infinitesimal de barra; 
d = deslocamento transversal relativo por cisalhamento do elemento infinitesimal; 
𝜸𝑽 = distorção de cisalhamento por efeito de esforço cortante (V). 
 
V 
V 
***Obs1: O esforço cortante gera uma tensão de cisalhamento não uniforme ao longo da seção 
transversal. Porém, o efeito do cortante (deformações) é considerado de forma aproximada, ou seja, 
considera uma tensão cisalhante média ao longo da seção transversal de área efetiva de cisalhamento. O 
fator de forma f considera a distribuição não uniforme de tensão cisalhante que ocorre não seção; 
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Relação entre distorção de cisalhamento x momento torçor (T) 
 𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙
𝑴 
𝝉 = 𝑮 . 𝜸𝑻 → 𝛾𝑇 = 𝜏 .
1
𝐺
 → 𝛾𝑉 =
𝑇 .𝑟
𝐽 .𝐺
 → 
𝑑𝜃
𝑑𝑥
 . 𝑟 =
𝑇 .𝑟
𝐽 .𝐺
 → 𝒅𝜽 =
𝑻
𝑮 .𝑱
 . 𝒅𝒙 (11) 
𝝉 =
𝑻 . 𝒓
𝑱
 𝐺 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 
 𝐽 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑎𝑙 
𝜸𝑻 =
𝒅𝜽
𝒅𝒙
 . 𝒓 
 
 
 
Fig. 10: deformação de torção de um elemento infinitesimal de barra 
Em que: 
dx = comprimento original de um elemento infinitesimal; 
d = rotação relativa por torção de um elemento infinitesimal; 
𝜸𝑻 = distorção de cisalhamento por efeito de torção (T). 
 
Inserido na equação (7) as relações entre deslocamentos e forças internas obtidas 
da resistência dos materiais: 
𝒅𝜹 =
𝑵
𝑨𝑬
 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝝋 =
𝑴 
𝑬. 𝑰 
 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝝀 =
𝑽
𝑨𝑸 . 𝑮
 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝜽 =
𝑻
𝑮 . 𝑱
 . 𝒅𝒙 
𝜹 = ∑ [ ∫�̅� .
𝑵
𝑨𝑬
 . 𝒅𝒙 + �̅� .
𝑴 
𝑬. 𝑰 
 . 𝒅𝒙 + �̅� .
𝑽
𝑨𝑸 . 𝑮
 . 𝒅𝒙
𝟎
𝑳_𝒊
 + �̅� .
𝑻
𝑮 . 𝑱
 . 𝒅𝒙 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 Onde: L_i = comprimento da barra_i 
 
𝜹 = ∑ [ ∫
�̅� 𝑵
𝑨𝑬
𝒅𝒙 +
�̅�𝑴 
𝑬. 𝑰 
𝒅𝒙 + 
�̅�𝑽
𝑨𝑸 . 𝑮
𝒅𝒙
𝟎
𝑳_𝒊
 + 
�̅�𝑻
𝑮 . 𝑱
𝒅𝒙 ] (12) 
0
𝑖=1,2,𝑛
 
Onde: L_i = comprimento da barra_i 
 
A equação (12) é a expressão geral do MFVU para estruturas compostas por vários 
elementos ((peças do tipo barra: reta ou curva ex: vigas; pórticos e grelhas)) de com 
comportamento linear elástico, cuja solicitação externa real é um sistema de forças reais 
externas; 
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13 
 
A tabela 1 apresenta as propriedades de seção A, Iy, Iz, fy, fz e J para as seções 
transversais mais usuais. 
 
 tabela 1: propriedades para as seções transversais mais usuais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
h 
h>b 
𝐼𝑧 = 
𝑏ℎ3
12
 
𝐼𝑦 = 
ℎ𝑏3
12
 
𝐽 = 
𝑏ℎ3
12
+
ℎ𝑏3
12
=
𝑏ℎ3 + ℎ𝑏3
12
 
𝐴 = 𝑏 . ℎ 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 1,2 
z 
y 
z 
y 
r 
𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 = 
𝜋𝑟4
4
 𝐽 = 
𝜋𝑟4
4
+
𝜋𝑟4
4
=
𝜋𝑟4
2
 
𝐴 = 𝜋𝑟2 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 1,11 
z 
y 
r 
t 
𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 ≅ 𝜋𝑟
3𝑡 𝐽 = 𝜋𝑟3𝑡 + 𝜋𝑟3𝑡 ≅ 2𝜋𝑟3𝑡 
𝐴 ≅ 2𝜋𝑟𝑡 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 2,0 
z 
y 
b 
h>b 
h 
th th 
tb 
tb 
𝐼𝑧 ≅ 
ℎ2
6
(ℎ𝑡ℎ + 3 𝑏𝑡𝑏) 𝐽 ≅ 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 
𝑓𝑧 = 
𝐴
2𝑏𝑡𝑏
 𝑓𝑦 = 
𝐴
2ℎ𝑡ℎ
 
𝐼𝑦 ≅ 
𝑏2
6
(𝑏𝑡𝑏 + 3 ℎ𝑡ℎ) 𝐴 ≅ 2( 𝑏𝑡𝑏 + ℎ𝑡ℎ) 
z 
y 
b 
h 
tb 
tb 
th 
𝐼𝑧 ≅ 
ℎ2
12
(ℎ𝑡ℎ + 6 𝑏𝑡𝑏) 𝐽 ≅ 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 
𝑓𝑧 = 
𝐴
2𝑏𝑡𝑏
 𝑓𝑦 = 
𝐴
ℎ𝑡ℎ
 
𝐼𝑦 ≅ 
𝑏3𝑡𝑏
6
 𝐴 ≅ ( ℎ𝑡ℎ + 2𝑏𝑡𝑏 ) 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
14 
 
Cada tipo de deslocamento a ser determinado exige a aplicação de uma força 
virtual unitária externa compatível com o deslocamento a ser calculado, conforme 
apresentado na tabela 2 a seguir. 
 
 Tabela 2: Escolha do Modelo de força virtual unitária 
 
Deslocamento (  ) a calcular da seção s 
 
Força virtual unitária 
 
 
1 - translação vertical, ou seja, deslocamento linear 
vertical de uma seção s 
 
 
 
2 - translação horizontal, ou seja, deslocamento 
linear horizontal de uma seção s 
 
 
 
3 - rotação, ou seja, deslocamento angular de uma 
seção s 
 
 
 
4 - rotação relativa entre duas barras i e j que 
concorrem para a mesma rótula 
 
 
 
 
5 - rotação relativa entre duas seções s e s’ de 
uma mesma barra 
 
 
 
6 - rotação absoluta de uma corda AB 
 
 
 
 
 
7 - rotação relativa de 2 cordas AB e CD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 - variação do comprimento de uma corda que une 
2 pontos A e B 
 
 
 
 
 
 
 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
s 
 
s 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
s 
 
s 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
i 
 
i j 
 
j 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
s 
 
s 
s’ 
 
s’ 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
A 
B 
�̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 
 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 
 
 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 
(AB = L) 
A 
B 
C 
D
C 
(AB = L1) 
(CD = L2) 
 
 
�̅�𝒖𝟏 
A 
B 
�̅�𝒖 = 𝟏 
�̅�𝒖𝟏 = 𝟏/𝑳𝟏 
�̅�𝒖𝟐 = 𝟏/𝑳𝟐 
�̅�𝒖𝟐 
�̅�𝒖 = 𝟏 
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15 
 
Demonstração: Calcule o deslocamento horizontal do ponto C. 
 
 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 GPa 
Coeficiente de Poisson: υ = 0,3 
 
Resolução: Expressando tudo em: kN e m 
OBS: b = 2,5 cm; h = 54 cm; 
Área da seção: A = 0,54 x 0,025 = 135 . 10- 4 m2 
Momento de inércia daseção: I = Iz = b.h3/12 = 0,025 . 0,543/12 = 3,2805 . 10- 4 m4 
Área efetiva de cisalhamento: Av = A/f (tabela1: f = 6/5)  Av = 135 . 10- 4 / (6/5) 
 Av = 112,5 . 10- 4 m2 
Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 . 109 N/m2 = 205 . 106 kN/m2 
Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 . 106 kN/m2 
 
E I = (205 .106 kN/m2 ) . (3,2805 . 10-4 m4) = 672,5025 . 102 kN.m2 
EA = (205 . 106 kN/m2) . (135 . 10-4 m2) = 27 675 . 102 kN 
AvG = (112,5 . 10-4 m2 ) . (78,85 . 106 kN/m2) = 8870,625 . 102 kN 
 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto C. 
B =? 
 De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária horizontal 
em b  Caso 2 da tabela 2 
 
2 - Esboçar os diagramas de esforços devido à ação da Força virtual unitária. 
 
 
 
 
 
 Mc_p/inferior= 0 +  - N . 4,0 + 0 = 0 
 N = 0 
 
 +  Fx = 0  Ha + N – N + 1 = 0 
 Ha = -1  Ha = 1 
 
 +  Fy = 0  Va + Vd = 0 
 
 Mc_p/esquerdo = 0 +  - Va . 6,0 - 1 . 4,0 = 0 
 Va = - 0,67  Va = 0,67 
 Corrigindo a equação: - Va + Vd = 0  Va = 0,67 
d 
 Ha = 1 
 50 kN 
4,0 m 
a 
6,0 m 
b c 
 Fu = 1 
4,0 m 
a 
6,0 m 
b c 
d 
 va = 0,67 Vd = 0,67 
1ª 
2ª 
3ª 
1ª 
2ª 
3ª 54 cm 
 2,5 cm 
 54 cm 
 54 cm 54 cm 
 54 cm 
4ª 
 N = ? 
 80 kN 
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16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Esboçar os diagramas de esforços devido à ação da solicitação real: carregamento 
exterior. 
 
 
 
 
 
 Mc_p/inferior= 0 +  - N . 4,0 + 0 = 0 
 N= 0 kN 
 
 +  Fx = 0  Ha + N - N + 50 = 0 
 Ha = - 50  Ha = 50 kN 
 
 +  Fy = 0  Va + Vd = 80 kN 
 
 Mc_p/esquerdo = 0 +  - Va . 6,0 - 50 . 4 + 80 . 6,0 = 0 
 Va = 46,67 kN  Vd = 33,33 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ha = 50 kN 
4,0 m 
a 
6,0 m 
b c 
d 
 va = 46,67 kN 
 Vd = 33,33 kN 
1ª 
2ª 
3ª 
 N = ? 
 50 kN 
 80 kN 
Diagramas virtuais: �̅�; �̅�; �̅� 
- devido à ação força virtual unitária 
Diagramas reais: M; N; V 
- devido à ação das forças reais externas 
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17 
 
4 - Cálculo da rotação relativa entre as barras em C (C = ?) 
𝛿 = ∑
[
 
 
 
 
∫ 
�̅�𝑁
𝐴. 𝐸
 . 𝑑𝑥 + 
�̅�𝑀 
𝐸. 𝐼 
 . 𝑑𝑥 + 
�̅�𝑉
𝐴𝑉 . 𝐺
 . 𝑑𝑥
0
𝑥
0
0
 + 
�̅�𝑇
𝐽 . 𝐺
 . 𝑑𝑥 
]
 
 
 
 0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
 
Parcela do Momento fletor de todas as barras: 
 
𝛿𝑀 = ∫ 
�̅�1𝑀1
𝐸. 𝐼
 . 𝑑𝑥 
0
𝑙1
+ ∫ 
�̅�2𝑀2
𝐸. 𝐼
 . 𝑑𝑥 
0
𝑙2
+ ∫ 
�̅�3𝑀3
𝐸. 𝐼
 . 𝑑𝑥 
0
𝑙3
 + ∫ 
�̅�4𝑀4
𝐸. 𝐼
 . 𝑑𝑥 
0
𝑙4
 
 
E e I de todas as barras são constantes e iguais; 
 
𝛿𝑀 =
1
𝐸 . 𝐼
[∫ �̅�1𝑀1. 𝑑𝑥 
0
𝑙1
+ ∫�̅�2𝑀2. 𝑑𝑥 
0
𝑙2
+ ∫ �̅�3𝑀3. 𝑑𝑥 + ∫ �̅�4𝑀4. 𝑑𝑥 
0
𝑙4
0
0
𝑙3
] 
 
Neste caso, apenas as barras 1 e 2 contribuem em termo de momento; 
 
𝛿𝑀 =
1
𝐸 . 𝐼
[∫ (1,0 . 𝑥). ( 50,0 𝑘𝑁 . 𝑥 ). 𝑑𝑥 
4 𝑚
0
+ ∫ (0,667 . 𝑥)(33,33 𝑘𝑁 . 𝑥). 𝑑𝑥 
6 𝑚
0
0
+ 0] 
 
 *** Se os momentos estiverem tracionando lados opostos  negativo 
 
𝛿𝑀 =
1
𝐸 . 𝐼
[∫ ( 50,0 𝑘𝑁 . 𝑥2) . 𝑑𝑥 
4 𝑚
0
+ ∫ (22,23 𝑘𝑁 . 𝑥2) . 𝑑𝑥 
6 𝑚
0
0
] 
 
𝛿𝑀 =
1
𝐸 . 𝐼
[ 50,0 𝑘𝑁 . ∫ 𝑥2 . 𝑑𝑥 + 22,23 𝑘𝑁 . ∫ 𝑥2 . 𝑑𝑥 
6 𝑚
0
0
 
4 𝑚
0
] 
 
𝛿𝑀 =
1
𝐸 . 𝐼
[ 50,0 𝑘𝑁 . [
𝑥3
3
]
0
4 𝑚
+ 22,23 𝑘𝑁 [
𝑥3
3
]
0
6 𝑚
 ] 
 
𝛿𝑀 =
1
672,5025 . 102𝑘𝑁.𝑚2
[50,0 𝑘𝑁 . 21,33 𝑚3 + 22,23 𝑘𝑁 . 72,0 𝑚3 ] 
 
 
𝛿𝑀 =
2667,06 𝑘𝑁.𝑚3
672,5025 . 102𝑘𝑁.𝑚2
= 3,966 .10−2 𝑚 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
18 
 
Parcela do Normal de todas as barras: 
𝛿𝑁 = ∫ 
�̅�1𝑁1
𝐸. 𝐴
 . 𝑑𝑥 
0
𝑙1
+ ∫ 
�̅�2𝑁2
𝐸. 𝐴
 . 𝑑𝑥 
0
𝑙2
+ ∫ 
�̅�3𝑁3
𝐸. 𝐴
 . 𝑑𝑥 + ∫ 
�̅�4𝑁4
𝐸. 𝐴
 . 𝑑𝑥 
0
𝑙4
0
𝑙3
 
 
E e A de todas as barras são constantes e iguais; 
 
𝛿𝑁 =
1
𝐸 . 𝐴
[∫ �̅�1𝑁1. 𝑑𝑥 
0
𝑙1
0
+ ∫ �̅�2𝑁2. 𝑑𝑥 + ∫ �̅�3𝑁3. 𝑑𝑥 
0
𝑙3
 + ∫ �̅�4𝑁4. 𝑑𝑥 
0
𝑙4
0
𝑙2
] 
 
Neste caso, apenas as barras 1 e 3 contribuem em termo de normal; 
 
𝛿𝑁 =
1
𝐸 . 𝐴
[∫ 0,67 . (−46,67) 𝑘𝑁 . 𝑑𝑥 
4 𝑚
0
0
+ ∫ −0,67 . (−33,33 𝑘𝑁) . 𝑑𝑥 
4 𝑚
0
+ 0] 
 
𝛿𝑁 =
1
𝐸 . 𝐴
[−31,27 𝑘𝑁 ∫ 𝑑𝑥 
4 𝑚
0
0
+ 22,33 𝑘𝑁 ∫ 𝑑𝑥 
4 𝑚
0
] 
 
 
𝛿𝑁 =
1
𝐸 . 𝐴
[ −31,27 𝑘𝑁 . [𝑥]0
0
4 𝑚
0 + 22,33 𝑘𝑁 . [𝑥]0
0
0
4 𝑚
0 ] 
 
𝛿𝑁 =
1
27675 . 102 𝑘𝑁
[ −31,27 𝑘𝑁 . 4 𝑚 + 22,33 𝑘𝑁 . 4 𝑚 ] 
 
 
𝛿𝑁 = 
−35,76 𝑘𝑁 . 𝑚
27675 . 102 𝑘𝑁
 = − 1,292 . 10−5 𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 219 
 
Parcela do Cortante de todas as barras: 
 
𝛿𝑉 = ∫ 
�̅�1𝑉1
𝐴𝑉 . 𝐺
 . 𝑑𝑥 
0
𝑙1
+ ∫ 
�̅�2𝑉2
𝐴𝑉 . 𝐺
 . 𝑑𝑥 
0
𝑙2
+ ∫ 
�̅�3𝑉3
𝐴𝑉 . 𝐺
 . 𝑑𝑥 
0
𝑙3
 
 
AV e G de todas as barras são constantes e iguais; 
 
𝛿𝑉 =
1
𝐴𝑉 . 𝐺
[∫ �̅�1𝑉1. 𝑑𝑥 
0
𝑙1
0
+ ∫�̅�2𝑉2. 𝑑𝑥 
0
𝑙2
+ ∫ �̅�3𝑉3. 𝑑𝑥 
0
𝑙3
+ ∫ �̅�4𝑉4. 𝑑𝑥 
0
𝑙4
 ] 
 
Neste caso, apenas as barras 1 e 2 contribuem em termo de cortante; 
 
𝛿𝑉 =
1
𝐴𝑉 . 𝐺
[∫ 1 . 50 𝑘𝑁 . 𝑑𝑥 
4 𝑚
0
0
+ ∫ (−0,67). (−33,33 𝑘𝑁). 𝑑𝑥 
6 𝑚
0
+ 0 ] 
 
 
𝛿𝑉 =
1
𝐴𝑉 . 𝐺
[50 𝑘𝑁 ∫ 𝑑𝑥 
4 𝑚
0
0
+ 22,33 𝑘𝑁 ∫ 𝑑𝑥
6 𝑚
0
] 
 
 
𝛿𝑉 =
1
𝐴𝑉
0 
. 𝐺
[ 50 𝑘𝑁 . [𝑥]0
0
4 𝑚
0 + 22,33 𝑘𝑁 . [𝑥]0
0
6 𝑚
0 ] 
 
𝛿𝑉 =
1
8870,625 . 102 𝑘𝑁
 [50 𝑘𝑁 . 4 𝑚 + 22,33 𝑘𝑁 . 6 𝑚 ] 
 
 
𝛿𝑉 =
333,98 𝑘𝑁 . 𝑚
8870,625 . 102 𝑘𝑁
= 3,765 . 10−4 𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20 
 
Assim, tem-se o valor do deslocamento horizontal do ponto c: 
 
c = M + N + V 
 
 3,966 . 10 - 2 + (-1,292 . 10 - 5) + 3,765 . 10 - 4 

c = 4,00 . 10 - 2 m = 4,0 cm 
 
 
O valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força virtual unitária está correto, 
ou seja, o ponto c desloca de fato 4,0 cm para a direita. 
 
 Analisando a parcela de contribuição de cada esforço no deslocamento total do ponto 
c tem-se: 
 
M = M / c = 3,966 cm / 4,0 cm = 99,15 % do deslocamento total de c. 
N = N / c = 0,001292 cm / 4,0 cm = 0,323 % 
v = v / c = 0,03765 cm / 4,0 cm = 0,94125 % 
 
Este resultado demonstra que a contribuição do esforço Normal e do esforço 
cortante pode ser desprezada para as estruturas reticuladas usuais: vigas, 
pórticos e grelhas; 
 
Assim, o deslocamento de c considerando apenas a contribuição do momento fletor vale: 
c = 3,966 cm  4,0 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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21 
 
A partir da demonstração 1, verifica-se: 
 
1 - Para estruturas usuais (comuns) na prática as parcelas devido ao esforço 
Normal, ao esforço Cortante podem ser desprezadas, tal consideração permite 
simplificar a equação (12) da seguinte forma: 
 
 VIGAS E PÓRTICOS PLANOS USUAIS com ausência de momento torçor, a 
equação (12) pode ser escrita da seguinte forma: 
𝜹 = ∑ [ ∫ 
�̅�𝑴 
𝑬. 𝑰 
𝟎
𝑳_𝒊
 . 𝒅𝒙 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (estruturas usuais: vigas, pórticos) (13) 
Onde: L_i = comprimento da barra_i 
 Caso existam momentos torçores, esta contribuição deve ser inserida na eq. (13) 
 
GRELHAS USUAIS a contribuição do momento torçor não pode ser desprezada, 
desta forma a equação (12) pode ser escrita da seguinte forma: 
𝜹 = ∑ [ ∫( 
�̅�𝑴 
𝑬. 𝑰 
 
𝟎
𝑳_𝒊
 + 
�̅�𝑻
𝑮 . 𝑱
 ) . 𝒅𝒙] 
0
𝑖=1,2,𝑛
 (estruturas usuais: grelhas) (14) 
Onde: L_i = comprimento da barra_i 
 
TRELIÇAS PLANAS USUAIS 
As barras deste tipo de estrutura ficam submetidas fundamentalmente ao esforço 
normal, ou seja, a contribuição do esforço cortante e do momento fletor pode ser 
desprezada, considerando ainda a ausência de momento torçor, a equação (12) pode 
ser escrita da seguinte forma: 
𝜹 = ∑ [ ∫( 
�̅�𝑵 
𝑬. 𝑨 
 
𝟎
𝑳_𝒊
 ) . 𝒅𝒙] 
0
𝑖=1,2,𝑛
 (estruturas usuais: treliças) (15) 
Onde: L_i = comprimento da barra_i 
 
 
 
 
 
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22 
 
2 - A Parcela do esforço normal não pode ser desprezada nas estruturas que 
trabalhem fundamentalmente ao esforço normal 
PEÇAS PROTENDIDAS, ARCOS considerar a parcela do esforço normal; 
 
 
3 - A Parcela do esforço cortante não pode ser desprezada nas estruturas com 
vãos muito curtos e esforços cortantes muito elevados; 
 
 
4 - Em caso de dúvida, todas as parcelas devem ser consideradas, a fim de se 
evitar erros grosseiros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
 
Quando se trabalha com estruturas compostas por barras retas de seção 
transversal constante e de propriedades constantes, pode-se evitar o desenvolvimento 
analítico da integral que ocorre na equação (13) utilizadas para vigas e pórticos planos 
usuais , bem como na equação (14) adotada para as grelhas usuais; 
 
Para evitar o processo de integração o pesquisador A. N. Vereshchagin 
desenvolveu uma tabela de integração, a qual fornece equações que geram resultados 
numericamente iguais aos obtidos no processo de integração. Esta tabela é apresentada 
nesta apostila como tabelas 3a e 3b. 
 
A utilização das tabelas de integração permite escrever as equações (13) e (14) 
da seguinte forma respectivamente: 
VIGAS E PÓRTICOS PLANOS USUAIS 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (16) 
 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI  em kN.m2 
 
 
GRELHAS USUAIS 
No caso de grelhas usuais, quando as propriedades da seção são constantes e 
como em grelhas usuais o momento torçor ao longo do comprimento de cada barra da 
grelha também é constante, estes podem sair da integral, o que permite escrever: 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] + ∫
�̅�𝑻
𝑮 . 𝑱
𝟎
𝒙
𝟎
 . 𝒅𝒙 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +�̅�𝑻
𝑮 . 𝑱
 . ∫ 𝒅𝒙
𝟎
𝒙=𝑳
𝟎
 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
 
 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
𝑮 . 𝑱
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (17) 
 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI e GJ  em kN.m2 
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24 
 
Conforme já mencionado, as equações apresentadas nas tabelas 3a e 3b 
fornecem equações que geram resultados numericamente iguais aos obtidos no 
processo de integração, bastando para isto, inserir nas equações: 
 
 o valor do MOMENTO REAL 𝑴 em kN.m de cada barra da estrutura; 
 o valor do MOMENTO VIRTUAL �̅� de cada barra da estrutura. 
 o valor do comprimento L em metros de cada barra da estrutura. 
 
Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas 
equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 
 
Caso 𝑴 𝒆 �̅� de uma mesma barra estejam tracionando lados opostos, deve ser 
colocado o sinal de negativo na frente da equação retirada da tabela 3a ou 3b. 
 
A seguir as tabelas 3a e 3b são apresentadas. 
 
 
TRELIÇAS PLANAS USUAIS 
No caso de treliças planas usuais, quando as propriedades da seção são 
constantes e como geralmente o esforço normal ao longo do comprimento de cada barra 
da treliça também é constante, estes podem sair da integral, o que permite escrever a 
equação (15) da seguinte forma: 
 
𝜹 = ∑ [ ∫
�̅�𝑵
𝑬 . 𝑨
𝟎
𝒙
𝟎
 . 𝒅𝒙 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
𝜹 = ∑ [ 
�̅�𝑵
𝑬 . 𝑨
 . ∫ 𝒅𝒙
𝟎
𝒙=𝑳
𝟎
 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
 
 
𝜹 = ∑ [ 
�̅�𝑵 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 
𝑬 . 𝑨
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (18) 
 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EA  em kN.m2