Apostila Teoria da Estrutura II.2

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
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A tabela de integração desenvolvida pelo pesquisador A. N. Vereshchagin 
fornece equações que geram resultados numericamente iguais aos obtidos no 
processo de integração. Esta tabela é apresentada a seguir como tabelas 3a e 3b. 
 
Tabela 3a: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama 
de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/2.L.M.Mub 
 
 
1/2.L.M.Mua 
 
1/2.L.M.(Mua+ Mub) 
 
1/2.L.M.(Mua+ Mub) 
 
 
 
 
1/3.L.Mb.Mub 
 
1/6.L.Mb.Mua 
 
1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 
 
1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 
 
 
 
 
1/6.L.Ma.Mub 
 
1/3.L.Ma.Mua 
 
1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 
 
1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 
 
 
 
 
1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 
 
1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
 
 
 
1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 
 
1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
 
 
 
 
1/3.L.Mm.Mub 
 
1/3.L.Mm.Mua 
 
1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) 
 
1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) 
 
 
 
 
 # # 
 
1/6.L.(Ma - 2Mb).Mub 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/6.L.(2Ma - Mb).Mua 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)- 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)- 
Mb.(Mua+2Mub)] 
OBS1: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra  deve ser 
inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mub Mua 
M 
Mb 
Ma 
Ma 
Mb 
Ma 
par. 2º grau 
Mm 
Mb 
Ma 
Mb 
Mua 
Mub Mua 
Mub 
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb 
Mb 
Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
- 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
1/3.L.Mb.Mub 
 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
 
 - 1/3.L.Mb.Mub 
Mua ou Mub tracionando lado oposto ao do Ma: 
 inserir o sinal de ( - ) no início da equação 
Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas 
equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 
 
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Tabela 3b: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama 
de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
***** 
 
 
 
 
***** 
 
 
 
 
L.M.Mu 
 
 
1/2.L.M.( Mua - Mub) 
 
1/2.L.M.(- Mua + Mub) 
 
 
 
 
1/2.L.Mb.Mu 
 
1/6.L.(Mua - 2Mub).Mb 
 
1/6.L.(-Mua +2Mub).Mb 
 
 
 
 
1/2.L.Ma.Mu 
 
1/6.L.(2Mua - Mub).Ma 
 
1/6.L.(-2Mua + 2Mub).Ma 
 
 
 
1/2.L.(Ma+Mb).Mu 
 
1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)- 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+ 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
 
 
 
1/2.L.(Ma+Mb).Mu 
 
1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)- 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+ 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
 
 
 
 
2/3.L.Mm.Mu 
 
1/3.L.(Mua - Mub).Mm 
 
1/3.L.(- Mua + Mub).Mm 
 
 
 
 
 # # 
 
1/2.L.(Ma - Mb).Mu 
 
 
 
 
 
1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+ 
Mub(-Ma+2Mb)] 
 
1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+ 
Mub(Ma - 2Mb)] 
 
 
 
 
 # # 
 
1/2.L.(-Ma + Mb).Mu 
 
 
 
 
 1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+ 
Mub(Ma - 2Mb)] 
 
 1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+ 
Mub(-Ma+2Mb)] 
 
OBS: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra  deve ser 
inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mb 
Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
- 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
1/3.L.Mb.Mub 
 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
 
 - 1/3.L.Mb.Mub 
M 
Mb 
Ma 
Ma 
Mm 
Ma 
Mb 
Ma 
Mu 
Mua 
Mub 
Mub 
Mua 
Para os casos: Mua = Mub ; Mua > Mub E Mua < Mub 
Mb 
Ma 
par. 2º grau 
Mb 
Mb 
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb 
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb 
Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas 
equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 
 
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Resumo1: 
 
Método da Força Virtual Unitária (MFVU): Efeito de forças reais externas 
 
Este método é utilizado para calcular um determinado deslocamento de uma seção 
transversal qualquer de uma estrutura isostática submetida a ação de forças reais 
externas. 
 
Por exemplo, para o pórtico isostático plano submetido à ação das forças reais 
externas ilustrado na figura 11, a seção transversal C apresenta um deslocamento 
vertical V e um deslocamento horizontal h devido à ação das forças reais externas. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 11: Pórtico isostático plano deformado devido a ação de forças reais externas. 
 
 A seguir é apresentando o procedimento para determinar o deslocamento 
vertical da seção transversal C; 
 
 Vale ressaltar que o procedimento apresentando a seguir é válido para calcular 
qualquer tipo de deslocamento de uma seção transversal s de uma estrutura isostática 
(VIGAS, PÓRTICOS, GRELHAS E TRELIÇAS) sob a ação de forças reais externas; 
 
 
 
 
 
 
 
 
h v 
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1º Passo: considera-se a estrutura submetida apenas à ação de uma força virtual 
unitária externa compatível ao deslocamento a ser determinado, sendo esta força 
aplicada sobre a seção transversalem questão. 
 
Esta força virtual unitária externa compatível é definida consultando a tabela 2; 
Por exemplo: 
Ex1: deseja-se calcular o deslocamento horizontal de uma seção s qualquer: 
Tabela 2: aplica-se uma força unitária virtual horizontal sobre a seção s. 
 
 
Ex2: deseja-se calcular o deslocamento vertical de uma seção s qualquer: 
Tabela 2: aplica-se uma força unitária virtual vertical sobre a seção s. 
 
 
Para determinar o deslocamento vertical da seção transversal c do pórtico 
isostático plano aplica-se uma força virtual unitária vertical sobre a seção c; 
 
 
 
 
 
 
Fig. 11: Estrutura sujeita à ação da força virtual unitária externa 
 
OBS1: Para vigas e pórticos planos  esboçar o diagrama de momento fletor virtual 
 �̅�, devido EXCLUSIVAMENTE a ação da força virtual unitária; 
 
OBS2: Para grelhas  esboçar o diagrama de momento fletor virtual �̅� e o diagrama 
de momento torçor virtual �̅� devido EXCLUSIVAMENTE a ação da força virtual 
unitária; 
 
OBS3: Para treliça NÃO É NECESSÁRIO ESBOÇAR NENHUM DIAGRAMA DE 
ESFORÇO, basta apenas calcular o esforço normal virtual de cada barra �̅�, devido 
EXCLUSIVAMENTE a ação da força virtual unitária; 
 
 
 
�̅� = 𝟏 : força virtual 
unitária compatível ao 
tipo de deslocamento 
que deseja-se determinar 
 
�̅� = 𝟏 
Esboçar o diagrama de 
momento virtual: �̅� 
 
 devido EXCLUSIVAMENTE 
a ação da força virtual unitária 
�̅� = 𝟏 s 
�̅� = 𝟏 
s 
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2º Passo: considera-se a estrutura submetida apenas à ação das forças reais 
externas; 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 12: Estrutura sujeita à ação de forças reais externas 
 
OBS4: Para vigas e pórticos planos  esboçar o diagrama de momento fletor real 𝑴 
m, devido EXCLUSIVAMENTE a ação das forças reais externas; 
 
OBS5: Para grelhas  esboçar o diagrama de momento fletor real 𝑴 e o diagrama 
de momento torçor real 𝑻 devido EXCLUSIVAMENTE a ação das forças reais 
externas; 
 
OBS6: Para treliça NÃO É NECESSÁRIO ESBOÇAR NENHUM DIAGRAMA DE 
ESFORÇO, basta apenas calcular o esforço normal real de cada barra 𝑵, devido 
EXCLUSIVAMENTE a ação das forças reais externas; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esboçar o diagrama de momento 
fletor real: M 
 
 devido EXCLUSIVAMENTE a 
ação das forças reais externas 
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3º Passo: Calcula-se as propriedades da seção transversal das barras da estrutura: 
Estas propriedades devem ser expressas utilizando as seguintes unidades: kN e m 
E e G (Módulo de elasticidade longitudinal e transversal)  kN/m2 
I e J (Momento de inércia e momento polar de inércia)  m4 
A (Área da seção transversal das barras)  m2 
 
4º Passo: Substituem-se os valores obtidos nos PASSOS 1, 2 e 3 nas expressões a 
seguir; 
 
VIGAS E PÓRTICOS PLANOS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
 Inserir os valores dos momentos virtuais �̅� e dos momentos reais 𝑴 de cada 
barra obtidos nos PASSOS 1 e 2 na expressão a seguir; 
𝜹 = ∑ [ ∫ 
�̅�𝑴 
𝑬. 𝑰 
𝟎
𝑳_𝒊
 . 𝒅𝒙 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
= ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (16) 
 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 E  módulo de elasticidade longitudinal do material em kN/m2 
 I  momento de inércia da seção transversal em m4 
 
 
GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
Inserir os valores dos momentos virtuais �̅� ; �̅� e dos momentos reais 𝑴 ; 𝑻 de 
cada barra obtidos nos PASSOS 1 e 2 na expressão a seguir; 
𝜹 = ∑ [ ∫ 
�̅�𝑴 
𝑬. 𝑰 
𝟎
𝑳_𝒊
. 𝒅𝒙 + ∫
�̅�𝑻
𝑮 . 𝑱
𝟎
𝒙
𝟎
 . 𝒅𝒙]
0
𝑖=1,2,𝑛
= ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑻
𝑮 . 𝑱
 . ∫ 𝒅𝒙
𝟎
𝒙=𝑳
𝟎
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
𝑮 . 𝑱
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (estruturas usuais: grelhas)(17) 
 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 E  módulo de elasticidade longitudinal do material em kN/m2 
G  módulo de elasticidade transversal do material em kN/m2 
 I  momento de inércia da seção transversal em m4 
 J  momento polar de inércia da seção transversal em m4 
 
 
 
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TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
Inserir os valores dos esforços normais virtuais �̅� e dos esforços normais reais 
𝑵 de cada barra obtidos nos PASSOS 1 e 2 na expressão a seguir; 
𝜹 = ∑ [ ∫( 
�̅�𝑵 
𝑬. 𝑨 
 
𝟎
𝑳_𝒊
 ) . 𝒅𝒙] 
0
𝑖=1,2,𝑛
= ∑ [ 
�̅�𝑵 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 
𝑬 . 𝑨
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (18) 
 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 E  módulo de elasticidade longitudinal do material em kN/m2 
A  área da seção transversal em m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo1: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação relativa do ponto b; 
b) o deslocamento horizontal do ponto c; 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3 
Resolução: Expressando EI em: kN.m2 
OBS: b = 7 cm; h = 40 cm; 
Momentode inércia da seção: I = Iz = (tabela 1) = b.h3/12 = 3,7333 . 10- 4 m4 
Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 . 109 N/m2 = 205 . 106 kN/m2 
EI = 205 . 106 kN/m2 . 3,7333 . 10- 4 m4 = 7,6533 . 10 4 kN.m2 
 
Item a) 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa no ponto b. 
 =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força momento unitária em b. 
 Caso 3 da tabela 2 
 
2 - Esboçar o diagrama virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ 
 
 
 
 
 
 Ma= 0 +  Vd . 6,0 + 1,0 = 0 
 Vd = 1/6 = - 0,167 
 Vd = 0,167 
 
 
 +  Fy = 0  Va - Vd = 0 
 Va = Vd = 0,167 
 50 kN 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
1ª 
2ª 
3ª 
 10 kN/m 
 Ha = 0 
 Mu = 1 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
 va = 0,167 
 Vd = 0,167 
1ª 
2ª 
3ª 
 40 cm 
 7 cm 
 40 cm 
 40 cm 
 40 cm 
Diagrama de momento fletor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 
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3 - Esboçar o diagrama real: M 
 
 
 
 
 Ma= 0 +  Vd . 6,0 + 50,0 . 4,0 - R . 2,0 = 0 
 Vd = -120/6 = -20,0 kN 
 Vd = 20 kN 
 
 +  Fy = 0  Va - Vd = 0 
 Va = Vd = 20,0 kN 
4 - Cálculo da rotação relativa do ponto b ( =?) 
𝛿 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI  em kN.m2 
 
Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
Neste caso apenas a barra 2 contribui para a rotação do ponto b 
 
Barra 2: 
  1/3.L.Ma.Mua 
 
 = 1 . [ 0 + 1/3 . L2.Ma.Mua + 0 ] = 1 . [1/3 . 6 . 120 . 1 ] 
 E.I 7,6533 . 10 4 

 = 3,14 .10- 3 rad  lembrete: 2rad = 3600 
 
O valor positivo indica que o sentido arbitrado está correto, ou seja, o ponto b sofre 
uma rotação de 3,14 .10- 3 rad no sentido anti-horário, conforme arbitrado inicialmente. 
 
 
 Ha = 10 kN 
 50 kN 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
 va = 20,0 kN 
 Vd = 20,0 kN 
 R = 40 kN 
Ma = 120 kN.m Mua =1 
Diagrama de momento fletor real: M 
- devido à ação das forças reais externas 
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Resolução: Item b) 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto c. 
 =? 
 De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em c. 
 Caso 2 da tabela 2 
 
2 - Esboçar o diagrama virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ 
 
 
 
 
 Ma= 0 +  Vd . 6,0 - 1,0 . 4,0 = 0 
 Vd = 4/6 = 0,67 
 
 
 +  Fy = 0  Va + Vd = 0 
 Va = - 0,67 = 0,67 
3 - Esboçar o diagrama real: M 
 
** Não será necessário esboçar este diagrama M, uma vez que, este já foi 
esboçado no item a, desta forma, serão utilizadas as informações deste mesmo 
diagrama. 
 Ha = 1 
 Fu = 1 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
 va = 0,67 
 Vd = 0,67 
1ª 
2ª 
3ª 
Diagrama de momento fletor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
 
 
Diagrama de momento fletor real: M 
- devido à ação das forças reais externas 
 
Mesmo diagrama do item a; 
 
 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 
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4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto c ( =?) 
𝛿 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI  em kN.m2 
 
Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento do ponto c 
Barra 1: 
 
 + 
 
 
  - 1/3.L1.Ma.Mua + 1/3.L1.Mm.Mub 
 - 1/3 . 4. 120 . 4 + 1/3 . 4 . 20 . 4 = - 533,33 
 
Barra 2: 
 
 
  - 1/3.L2.Ma.Mua 
 -1/3 . 6 . 120 . 4 = - 960 
 
 = 1 . [ - 533,33 - 960 + 0 ] = 1 . [ - 1493,33 ] 
 E.I 7,6533 . 10 4 
 
 = - 0,0195 m = - 19,5 mm 
 
O valor negativo indica que o sentidoarbitrado está errado, ou seja, o ponto c sofre 
um deslocamento horizontal de 19,5 mm para a esquerda, contrário ao arbitrado 
inicialmente. 
 
 
Exemplo2: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b; 
b) o deslocamento vertical do ponto e; 
 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3 
Ma = 120 kN.m 
Mua = 4 
Mb = 120 kN.m Mub = 4 Mub = 4 Mm = 20 kN.m 
 10 kN 
4,0 m 
a 
5,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
1ª 
2ª 
3ª 
 18 kN/m 15 kN 
4ª e 
3,0 m 
 40 cm 
 50 cm 
 
2,5 cm 
2 cm 
 40 cm 
 40 cm 
 40 cm 
 40 cm 
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Resolução: Expressando EI em: kN.m2 
OBS: b = 40 cm; h = 50 cm; tb = 2,0 cm; th = 2,5 cm; 
Momento de inércia da seção: I = Iy = b3 tb /6 = 2,1333 . 10- 4 m4 
Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 . 109 N/m2 = 205 . 106 kN/m2 
EI = 205 . 106 kN/m2 . 2,1333 . 10- 4 m4 = 4,3733 . 10 4 kN.m2 
Item a) 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que 
concorrem para a rótula b. 
 =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momento virtual 
unitária em torno da rótula b. 
 Caso 4 da tabela 2 
 
2 - Esboçar o diagrama virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1ª ordem: 
 Mb= 0 +  Vd . 5,0 + 1,0 = 0 
 Vd = 1/5 = - 0,2 
 Vd = 0,2 
 
 +  Fy = 0  Vb - Vd = 0 
 Vb = Vd = 0,2 
2ª ordem: 
Ma= 0 +  - Ma - 1,0 = 0 
 Ma = -1 
 Ma = 1 
 Mu = 1 
 Mu = 1 
b 
3,0 m 
b c 
d 
2ª 4ª e 
3,0 m 
 Vd = 0,2 
4,0 m 
a 
5,0 m 
1ª 
3ª 
 Mu = 1 
 Mu = 1 
b c 
d 
e 
a 
 Q. 1ª ordem 
 Q. 2ª ordem 
 Hb = 0 
 vb = 0,2 
 vb’ = 0,2 
 Ha = 0 
 va = 0,2 
 Ma = 1 
Diagrama de momento fletor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
 
 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 
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3 - Esboçar o diagrama real: M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1ª ordem: 
 Mb= 0 + Vd .5,0 - R.2,5 - 15. 8,0=0 
 Vd = 345/5 = 69 kN 
 
 +  Fy = 0  Vb + Vd = 105 
 Vb = 36 kN 
 
2ª ordem: 
Ma= 0 +  - Ma + 10. 4,0 = 0  Ma = 40 kN.m 
 
4 - Cálculo da rotação relativa entre as barras 1 e 2 no ponto b ( =?) 
𝛿 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI  em kN.m2 
 
 
 
b 
3,0 m 
b c 
d 
2ª 4ª e 
3,0 m 
 Vd = 69 kN 
4,0 m 
a 
5,0 m 
1ª 
3ª 
b c 
d 
e 
a 
 Q. 1ª ordem 
 Q. 2ª ordem 
 Hb = 10 kN 
 vb = 36 kN 
 vb’ = 36 kN 
 Ha = 10 kN 
 va = 36 kN 
 Ma = 40 kN.m 
R = 90 kN 
 10 kN 
 18 kN/m 15 kN 
 10 kN 
 15 kN 
 Hb’ = 10 kN 
Diagrama de momento fletor real: M 
- devido à ação das forças reais externas 
 
 
 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
38 
 
Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para a rotação relativa solicitada; 
 
Barra 1: 
 
 
 
  - 1/2.L1.Ma.Mu  - 1/2. 4. 40.1 = - 80,0 
 
Barra 2: 
 
 
  1/6.L2.Mb.Mua + -1/3.L2.Mm.Mua 
 1/6. 5. 45.1 + - 1/3.5. 56,25.1 = - 56,25 
 
 = 1 . [ - 80 - 56,25 ] = 1 . [ - 136,25 ] = - 3,115 .10-3 rad 
 E.I 4,3733 . 10 4 
 
O valor negativo indica que o sentido arbitrado está errado 
ou seja, as barras 1 e 2 sofrem uma rotação relativa 3,115 . 10-3 rad, 
no sentido contrário ao arbitrado inicialmente. 
O sentido correto é ilustrado ao lado. 
 
Resolução: Item b) 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto e. 
 =? 
 De acordo com a tabela 2:deve ser aplicada uma força virtual unitária em e 
  Caso 1 da tabela 2 
 
2 - Esboçar o diagrama virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1ª ordem: 
 Mb= 0 +  Vd . 5,0 - 1. 8,0 = 0 
 Vd = 8/5 = 1,6 
 
 
 +  Fy = 0  Vb + Vd = 1,0 
2ª ordem: Vb = - 0,6 
Ma= 0 +  - Ma = 0 Vb = 0,6 
 Ma = 0 
Mb = 45 kN.m Mua = 1 
Ma = 40 kN.m Mu = 1 
Mm = 56,25 kN.m Mua = 1 
b 
3,0 m 
b c 
d 
2ª 4ª e 
3,0 m 
 Vd = 1,6 
4,0 m 
a 
5,0 m 
1ª 
3ª 
b c 
d 
e 
a 
 Q. 1ª ordem 
 Q. 2ª ordem 
 Hb = 0 
 vb = 0,6 
 vb’ = 0,6 
 Ha = 0 
 va = 0,6 
 Ma = 0 
 Fu = 1 
 Fu = 1 
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39 
 
3 - Esboçar o diagrama real: M 
 
** Não será necessário esboçar este diagrama M, uma vez que, este já foi 
esboçado no item a, desta forma, serão utilizadas as informações deste mesmo 
diagrama. 
4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto e ( =?) 
𝛿 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI  em kN.m2 
Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
Neste caso apenas as barras 2 e 4 contribuem para o deslocamento do ponto e 
 
Barra 2: 
 
 
  1/3.L2.Mb.Mub + -1/3.L2.Mm.Mub 
 1/3. 5. 45.3 + - 1/3.5. 56,25.3 = - 56,25 
Mb = 45 kN.m Mub = 3 Mm = 56,25 kN.m Mub = 3 
Diagrama de momento fletor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
 
 
Diagrama de momento fletor real: M 
- devido à ação das forças reais externas 
 
Mesmo diagrama do item a; 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
40 
 
Barra 4: 
 
 
  1/3.L4.Ma.Mua 
 1/3 . 3 . 45 . 3 = 135,0 
 
 = 1 . [ - 56,25 + 135,0 ] = 1 . [ 78,75 ] = 1,80 x10-3 m = 1,80 mm 
 E.I 4,3733 . 10 4 
 
 O valor positivo indica que o sentido arbitrado está correto, ou seja, o ponto e sofre 
um deslocamento vertical de 1,80 mm para baixo, conforme arbitrado inicialmente. 
 
 
Exemplo3: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação absoluta da corda bc da grelha; 
b) o deslocamento vertical do ponto c; 
c) a rotação relativa entre as cordas ab e bc; 
 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3 
 
 
Resolução: Expressando EI e GJ em: kN.m2 
OBS: b = 15 cm; h = 20 cm; tb = th = 1,5 cm; 
Momento de inércia da seção: I = Iy = b2 (btb + 3hth)/6 = 4,2188 . 10- 5 m4 
 
Momento de inércia polar da seção: J = Iz + Iy = 
 h2 (hth + 3btb)/6 + b2 (btb + 3hth)/6 
 = 10,7187 . 10- 5 m4 
 
Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 . 109 N/m2 = 205 . 106 kN/m2 
Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 . 106 kN/m2 
 
EI = 205 . 106 kN/m2 . 4,2188 . 10- 5 m4 = 8,6485 . 10 3 kN.m2 
GJ = 78,85 . 106 kN/m2 . 10,7187 . 10- 5 m4 = 8,4517. 10 3 kN.m2 
 
 
 
Ma = 45 kN.m Mua = 3 
 3 kN.m 
a 
2,0 m b 
c 
1ª 2ª 
 8 kN/m 6 kN 
1,0 m 
 4 kN.m d 
1,5 m 
X 
Y 
Z 
 15 cm 
20 cm 
1,5 cm 
 15 cm 
 15 cm 
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41 
 
Item a) 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação absoluta da corda bc da grelha. 
 =? 
 De acordo com a tabela 2: deve ser aplicado um par de forças virtuais unitárias 
no ponto b e no ponto c. 
 Caso 6 da tabela 2 
 
2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑻 ̅̅ ̅ 
 
 
  Tab = 0 +  - Fu . 1,5 + Ta = 0 
 Ta = 1 
 
  Tbc = 0 +  Ma = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Esboçar os diagramas reais: M e T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 +  Fz = 0  Va = 6 + R  Va = 18 kN 
 
  Tab = 0 + Ta - 4 - R . 0,75 = 0  Ta = 13 kN.m 
 
  Tbc = 0 +  Ma + Va . 2,0 - 6 . 1,0 + 3 = 0  Ma = - 33 kN.m 
 Ma = 33 kN.m 
a 
2,0 m 
b 
c 
1ª 2ª 
 Fu = 1/1,5 
1,0 m 
d 
1,5 m 
X 
Y Z 
 Fu = 1/1,5 
 Va = 0 
 Ma = 0 
Ta = 1 
a 
2,0 m 
b 
c 
1ª 2ª 
 R = 12 kN 
1,0 m 
d 
1,5 m 
X 
Y 
Z 
 Va = 18 kN 
 Ma = 33 kN.m 
Ta = 13 kN.m 3 kN.m 
 6 kN 
 4 kN.m 
Diagrama de momento fletor virtual e momento torçor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑻 ̅̅ ̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
 
 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 𝑻 ̅ 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
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42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Cálculo da rotação absoluta da corda bc da grelha ( =?) 
 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
𝑮 . 𝑱
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI e GJ  em kN.m2 
 
 
Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
 
Barra 1: Não contribui em termos de M = 0 || 𝑇1̅ = −1 ; T1 = - 13 kN.m 
 𝑇1̅ . 𝑇1 . 𝐿1 = −1 . (−13). 2 = 26 
 
Barra 2: 
 
 𝑇2̅ = 0 ; T2 = 3 kN.m 
 
1/6.L2.(2Ma+Mb).Mua + -1/3.L2.Mm.Mua 𝑇2̅. 𝑇2 . 𝐿2 = 0 . 3 . 1,5 = 0 
 1/6. 1,5.(2.13 + 4).1 + -1/3.1,5. 2,25 .1 = 6,375 
 
 
OBS: caso a barra 1 contribuísse teria que ser feito: DOIS TRECHOS  ad e db. 
 
 
 
 
 
4 kN.m 
Mua = 1 Mm = 2,25 kN.m Mua = 1 13 kN.m 
Diagrama de momento fletor real e momento torçor real: M ; T 
- devido à ação das forças reais externas 
 
 
 
Ma 
Mb 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
43 
 

 = 1 . [ 0 + 6,375 ] + 1 . [ 26 + 0 ] = 
 E.I GJ 
 
 = [ 6,375 ] + [ 26 ] 
 
 8,6485 . 10 3 8,4517 . 10 3 

 = 3,81 . 10 - 3 rad 
 
O valor positivo indica que o sentido arbitrado 
está correto, ou seja, a corda bc sofre uma rotação absoluta 
de 3,81 . 10-3 rad no sentido horário, conforme arbitrado inicialmente. 
 
 
 
Resolução: Item b) 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto c. 
 =? 
 De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em c 
  Caso 1 da tabela 2 
 
2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑻 ̅̅ ̅ 
 
 +  Fz = 0  Va = 1 
  Tab = 0 +  - Fu . 1,5 + Ta = 0 
 Ta = 1,5 
 
  Tbc = 0 +  Ma + 1. 2,0 = 0 
 Ma = - 2,0 
 Ma = 2,0 
 
 
 
 
a 
2,0 m 
b 
c 
1ª 2ª 
 Fu = 1 
1,0 m 
d 
1,5 m 
X 
Y Z 
 Va = 1 
 Ma = 2 
Ta = 1,5 
Diagrama de momento fletor virtual e momento torçor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑻 ̅̅ ̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
𝑴 ̅̅̅̅ 
𝑻 ̅ 
a 
b 
c 
d 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
44 
 
3 - Esboçar os diagramas reais: M e T 
 
** Não será necessário esboçar estes diagramas M e T, uma vez que, estes já 
foram esboçados no item a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto c ( =?) 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
𝑮 . 𝑱
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI e GJ  em kN.m2 
 
Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
Barra 1: 
trecho(ad): Lad = 1,0 m e não 2,0m 
 
 
 
 1/6.Lad. [ Ma .(2Mua + Mub) + Mb .(Mua + 2Mub) ] 
 
 1/6. 1,0.[ 33 . ( 2 . 2 + 1) + 15 .(2 +2.1) ] = 37,5 
 
trecho(db): Ldb = 1,0 m e não 2,0m 𝑇1̅ = −1,5 ; T1 = 13 kN.m 
 
 𝑇1̅ . 𝑇1 . 𝐿1 = −1,5 . 13 . 2 = 39 
 
 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 
 1/6. 1,0.(2.15 + 3). 1 = 5,5 
 
Total da barra 1 : 37,5 + 5,5 = 43,0 
Mb = 15 kN.m 
Mua = 2 Ma = 33 kN.m 
Mb = 3 kN.m 
Mua = 1 Ma = 15 kN.m 
Mub = 1 
Diagrama de momento fletor real e momento torçor real: M ; T 
- devido à ação das forças reais externas 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
45 
 
Barra 2:𝑇2̅ = 0 ; T2 = 3 kN.m 
 
1/6.L2.(2Ma+Mb).Mua + -1/3.L2.Mm.Mua 𝑇2̅. 𝑇2 . 𝐿2 = 0 . 3 . 1,5 = 0 
 1/6. 1,5.(2.13 + 4).1,5 + -1/3.1,5. 2,25 .1,5 = 9,5625 
 
 
Rotação absoluta da barra bc: 
 = 1 . [ 43,0 + 9,5625 ] + 1 . [ 39,0 + 0] = 
 E.I GJ 
 
 = [52,5625 ] + [ 39,0 ] 
 
 8,6485 . 10 3 8,4517 . 10 3 
 

 = 0,01069 m = 10,7 mm 
 
O valor positivo indica que o sentido arbitrado 
está correto, ou seja, o ponto c sofre um deslocamento 
vertical de 10,7 mm para baixo, conforme arbitrado inicialmente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 kN.m 
Mua = 1,5 
Mm = 2,25 kN.m Mua = 1,5 13 kN.m 
Ma 
Mb 
a 
b 
c 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
46 
 
Item c) 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as cordas ab e bc 
da grelha. 
 = ? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicado um par de forças virtuais unitárias 
no ponto b e no ponto c. 
 Caso 7 da tabela 2 
 
2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑻 ̅̅ ̅ 
 
 
  Tab = 0 +  - Fu1 . 1,5 + Ta = 0 
 Ta = 1 
 
  Tbc = 0 +  Ma + Fu2 . 2,0 = 0 
 Ma = -1 
 Ma = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Esboçar os diagramas reais: M e T 
 
 
** Não será necessário esboçar estes diagramas M e T, uma vez que, estes já 
foram esboçados no item a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
2,0 m 
b 
c 
1ª 2ª 
 Fu1 = 1/1,5 
1,0 m 
d 
1,5 m 
X 
Y 
Z 
 Fu1 = 1/1,5 
 Va = 0 
 Ma = 1 Ta = 1 
 Fu2 = 1/2,0 
 Fu2 = 1/2,0 
1 
Diagrama de momento fletor virtual e momento torçor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑻 ̅̅ ̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 𝑻 ̅ 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Cálculo da a rotação relativa entre as cordas ab e bc da grelha ( =?) 
 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
𝑮 . 𝑱
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI e GJ  em kN.m2 
 
Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
Barra 1: 
trecho(ad): Lad = 1,0 m e não 2,0m 
 
 
 
 1/6.Lad. [ Ma .(2Mua + Mub) + Mb .(Mua + 2Mub) ] 
 
+1/6. 1,0.[ 33 . ( 2 . 1 + 0,5) + 15 .(1 + 2.0,5) ] = 18,75 
 
trecho(db): Ldb = 1,0 m e não 2,0m 𝑇1̅ = −1 ; T1 = -13 kN.m 
 
 𝑇1̅ . 𝑇1 . 𝐿1 = −1 . (− 13) . 2 = 26 
 
 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 
 1/6. 1,0.(2.15 + 3). 0,5 = 2,75 
 
 Total da barra 1 : 18,75 + 2,75 = 21,5 
 
 
Diagrama de momento fletor real e momento torçor real: M ; T 
- devido à ação das forças reais externas 
 
Mb = 15 kN.m 
Mua = 1 Ma = 33 kN.m 
Mb = 3 kN.m 
Mua = 0,5 Ma = 15 kN.m 
Mub = 0,5 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
48 
 
Barra 2: 
 
 𝑇2̅ = 0 ; T2 = 3 kN.m 
 
1/6.L2.(2Ma+Mb).Mua + -1/3.L2.Mm.Mua 𝑇2̅. 𝑇2 . 𝐿2 = 0 . 3 . 1,5 = 0 
 1/6. 1,5.(2.13 + 4).1 + -1/3.1,5. 2,25 .1 = 6,375 
 
 
 
 
 = 1 . [ 21,5 + 6,375 ] + 1 . [ 26 + 0 ] = 
 E.I GJ 
 
 = [ 27,875 ] + [ 26 ] 
 
 8,6485 . 10 3 8,4517 . 10 3 

 = 6,30 . 10 - 3 rad 
 
O valor positivo indica que o sentido arbitrado está correto, 
ou seja, as cordas ab e bc sofrem uma rotação relativa de 6,30 . 10-3 rad, 
conforme o sentido arbitrado inicialmente; 
 
 
 
 
 
 
Exemplo4: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento horizontal do 
ponto b; 
 
 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 25 GPa; υ = 0,2 
 
 
Resolução: Expressando EI em: kN.m2 
OBS: b = 20 cm; h = 60 cm; 
Momento de inércia da seção: I = Iz = bh3 /12 = 3,6 . 10- 3 m4 
Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 25 . 109 N/m2 = 25 . 106 kN/m2 
EI = 25 . 106 kN/m2 . 3,6 . 10- 3 m4 = 90 . 10 3 kN.m2 
 
 1 kN 
4,0 m 
a 
5,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
1ª 
2ª 
3ª 
 3 kN/m 2 kN 
4ª e 
3,0 m 
 20 cm 
 60 cm 
 60 cm 
 60 cm 
 60 cm 
 60 cm 
4 kN.m 
Mua = 1 
Mm = 2,25 kN.m Mua = 1 13 kN.m 
MaMb 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
49 
 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto b. 
 =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária horizontal 
no ponto b.  Caso 2 da tabela 2 
 
2 - Esboçar o diagrama virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ 
 
 
 
 
 
 
 Ma = 0 +  Vd . 5,0 + 1,0 .4,0 = 0 
 Vd = -0.8 
 Vd = 0.8 
 
 +  Fy = 0  Va - Vd = 0 
 Va = 0,8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Esboçar o diagrama real: M 
 
 
 
 
 
 Ma = 0 +  Vd . 5 - R . 2,5 - 2 . 8 - 1. 4 = 0 
 Vd = 11,5 kN 
 
 +  Fy = 0  Va + Vd = 17 kN 
 Va = 5,5 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fu = 1 
3,0 m 
3,0 m 
 Vd = 0,8 
4,0 m 
5,0 m 
b c 
d 
e 
a 
 Ha = 1 
 Va = 0,8 
3,0 m 
3,0 m 
 Vd = 11,5 kN 
4,0 m 
5,0 m 
b c 
d 
e 
a 
 Ha = 1 kN 
 Va = 5,5 kN 
 1 kN 
 2 kN R=15 kN 
Diagrama de momento fletor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 
- devido à ação força virtual unitária 
 
Diagrama de momento fletor real: M 
- devido à ação das forças reais externas 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
50 
 
4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto b ( =?) 
 
𝛿 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento horizontal do 
ponto b 
 
Barra 1: 
 
 
 
  - 1/3.L.Ma.Mua  - 1/3. 4. 4 . 4 = - 21,33 
 
Barra 2: 
 + 
 
 
 
 - 1/6.L.(2Ma - Mb).Mua + -1/3.L.Mm.Mua 
 - 1/6. 5. (2 . 4 - 6). 4 + - 1/3.5. 9,375 . 4 = - 69,17 
 
 = 1 . [ - 21,33 - 69,17] = - 90,50 = - 1,0 . 10-3 m = - 1,0 mm 
 E.I 90 . 10-3 
 
 = - 1,0 mm 
 
O valor negativo indica que o sentido arbitrado está errado, ou seja, o ponto b sofre 
deslocamento horizontal de 1,0 mm para a direita, contrário ao arbitrado inicialmente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mb = 6 kN.m Mua = 4 
Ma = 4 kN.m Mu = 4 
Mm = 9,375 kN.m Mua = 4 
Ma = 4 kN.m 
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51 
 
Exemplo5: Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação relativa entre as 
barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b. 
 
 
 
 Seção transversal 
 
 
 
 
 
 
E = 21 GPa; υ = 0,2 
 
Resolução: Expressando EI em: kN.m2 
OBS: b = 15 cm; h = 55 cm; 
Momento de inércia da seção: I = Iy = hb3 /12 = 1,55 . 10- 4 m4 
Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 21 . 109 N/m2 = 21 . 106 kN/m2 
EI = 21 . 106 kN/m2 . 1,55 . 10- 4 m4 = 32,55 . 10 2 kN.m2 
 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as barras 1 e 2. 
 =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momento unitária 
em b. 
 Caso 4 da tabela 2 
 
2 - Esboçar o diagrama virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 Neste caso não é necessário 
 calcular as reações de apoio 
 para esboçar o diagrama Mu 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5,0 m 
b c 
d a 
2,0 m 3,0 m 
13 kN. m 
50 kN 
15 kN/ m 
1ª 2ª 3ª 
 15 cm 
55 cm 
 7 kN. m 7 kN. m 
5,0 m 
b 
c 
d 
a 
2,0 m 3,0 m 
Mu = 1 
b 
Mu = 1 
 15 cm 
Diagrama de momento fletor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 
- devido à ação força virtual unitária 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 
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52 
 
3 - Esboçar o diagrama real: M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Neste caso não é necessário 
 calcular as reações de apoio 
 deste trecho da viga gerber 
 para esboçar o diagrama M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto b ( =?) 
 
𝛿 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
 
Barra 1: - 1/6.L .( Ma – 2Ma ). Mub  - 1/6. 5. (13 – 2 . 7).1 = + 0,8333 
 
 
 
Ma = 13 kN.m 
Mub = 1 
5,0 m 
b 
c 
d 
a 
2,0 m 3,0 m 
7 kN.m 
b 
7 kN.m 
13 kN.m 
Vb = 42,1 kN Vd = 52,9 kN 
50 kN 
R = 45 kN 
Mb = 7 kN.m 
Diagrama de momento fletor real: M 
- devido à ação das forças reais externas 
 
M 
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53 
 
Barra 2: 
 
 
 
 
 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)]  
 
 1/6. 2,0 [ 7 .(2 . 1 + 0,6) + 91,2 . (1 + 2 . 0,6)] = + 72,95 
 
 
 
Barra 3: 
 
 
 
 
  + 1/3.L.Ma .Mua + 1/3.L.Mm.Mua 
 1/3. 3. 91,2 . 0,6 + 1/3.3. 16,875 . 0,6 = + 64,85 
 
 
 
 
 = 1 . [ + 0,833 + 72,95 + 64,85] = 1 . (138,633) = 0,0426 rad 
 E.I (32,55 . 10 2) 
 
 = 0,0426 rad 
 
 
O valor positivo indica que o sentido arbitrado 
está correto, ou seja as barras 1 e 2 sofrem uma 
rotação relativa de 0,0426 rad, conforme arbitrado inicialmente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mb = 91,2 kN.m Mua = 1 
Ma = 7 kN.m 
Mub = 0,6 
Mua = 0,6 Mm = 16,875 kN.m Mua = 0,6 Ma = 91,2 kN.m 
 
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54 
 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir é apresentado o material que será 
disponibilizado pelo professor para consulta no dia da 
avaliação; 
 
 
Dica: Treinar o uso deste material disponibilizado no dia 
da avaliação por meio da resolução de exercícios das 
listas; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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55 
 
A tabela 1 apresenta as propriedades de seção A, Iy, Iz, fy, fz e J para as seções 
transversais mais usuais. 
 
 tabela 1: propriedades para as seções transversais mais usuais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
h 
h>b 
𝐼𝑧 = 
𝑏ℎ3
12
 
𝐼𝑦 = 
ℎ𝑏3
12
 
𝐽 = 
𝑏ℎ3
12
+
ℎ𝑏3
12
=
𝑏ℎ3 + ℎ𝑏3
12
 
𝐴 = 𝑏 . ℎ 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 1,2 
z 
y 
z 
y 
r 
𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 = 
𝜋𝑟4
4
 𝐽 = 
𝜋𝑟4
4
+
𝜋𝑟4
4
=
𝜋𝑟4
2
 
𝐴 = 𝜋𝑟2 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 1,11 
z 
y 
r 
t 
𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 ≅ 𝜋𝑟
3𝑡 𝐽 = 𝜋𝑟3𝑡 + 𝜋𝑟3𝑡 ≅ 2𝜋𝑟3𝑡 
𝐴 ≅ 2𝜋𝑟𝑡 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 2,0 
z 
y 
b 
h>b 
h 
th th 
tb 
tb 
𝐼𝑧 ≅ 
ℎ2
6
(ℎ𝑡ℎ + 3 𝑏𝑡𝑏) 𝐽 ≅ 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 
𝑓𝑧 = 
𝐴
2𝑏𝑡𝑏
 𝑓𝑦 = 
𝐴
2ℎ𝑡ℎ
 
𝐼𝑦 ≅ 
𝑏2
6
(𝑏𝑡𝑏 + 3 ℎ𝑡ℎ) 𝐴 ≅ 2( 𝑏𝑡𝑏 + ℎ𝑡ℎ) 
z 
y 
b 
h 
tb 
tb 
th 
𝐼𝑧 ≅ 
ℎ2
12
(ℎ𝑡ℎ + 6 𝑏𝑡𝑏) 𝐽 ≅ 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 
𝑓𝑧 = 
𝐴
2𝑏𝑡𝑏
 𝑓𝑦 = 
𝐴
ℎ𝑡ℎ
 
𝐼𝑦 ≅ 
𝑏3𝑡𝑏
6
 𝐴 ≅ ( ℎ𝑡ℎ + 2𝑏𝑡𝑏 ) 
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56 
 
Cada tipo de deslocamento a ser determinado exige a aplicação de uma força 
virtual unitária externa compatível com o deslocamento a ser calculado, conforme 
apresentado na tabela 2 a seguir. 
 
 Tabela 2: Escolha do Modelo de força virtual unitária 
 
Deslocamento (  ) a calcular da seção s 
 
Força virtual unitária 
 
 
1 - translação vertical, ou seja, deslocamento 
linear vertical de uma seção s 
 
 
 
2 - translação horizontal, ou seja, deslocamento 
linear horizontal de uma seção s 
 
 
 
3 - rotação, ou seja, deslocamento angular de uma 
seção s 
 
 
 
4 - rotação relativa entre duas barras i e j que 
concorrem para a mesma rótula 
 
 
 
 
5 - rotação relativa entre duas seções s e s’ de 
uma mesma barra 
 
 
 
6 - rotação absoluta de uma corda AB 
 
 
 
 
 
7 - rotação relativa de 2 cordas AB e CD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 - variação do comprimento de uma corda que 
une 2 pontos A e B 
 
 
 
 
 
 
 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
s 
 
s 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
s 
 
s 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
i 
 
i j 
 
j 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
s 
 
s 
s’ 
 
s’ 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
A 
B 
�̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 
 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 
 
 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 
(AB = L) 
A 
B 
C 
D
C 
(AB = L1) 
(CD = L2) 
 
 
�̅�𝒖𝟏 
A 
B 
�̅�𝒖 = 𝟏 
�̅�𝒖𝟏 = 𝟏/𝑳𝟏 
�̅�𝒖𝟐 = 𝟏/𝑳𝟐 
�̅�𝒖𝟐 
�̅�𝒖 = 𝟏 
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57 
 
A tabela de integração desenvolvida pelo pesquisador A. N. Vereshchagin 
fornece equações que geram resultados numericamente iguais aos obtidos no 
processo de integração. Esta tabela é apresentada a seguir como tabelas 3a e 3b. 
 
Tabela 3a: equaçõesque representam o valor da integral do produto entre o diagrama 
de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/2.L.M.Mub 
 
 
1/2.L.M.Mua 
 
1/2.L.M.(Mua+ Mub) 
 
1/2.L.M.(Mua+ Mub) 
 
 
 
 
1/3.L.Mb.Mub 
 
1/6.L.Mb.Mua 
 
1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 
 
1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 
 
 
 
 
1/6.L.Ma.Mub 
 
1/3.L.Ma.Mua 
 
1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 
 
1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 
 
 
 
 
1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 
 
1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
 
 
 
1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 
 
1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
 
 
 
 
1/3.L.Mm.Mub 
 
1/3.L.Mm.Mua 
 
1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) 
 
1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) 
 
 
 
 
 # # 
 
1/6.L.(Ma - 2Mb).Mub 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/6.L.(2Ma - Mb).Mua 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)- 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)- 
Mb.(Mua+2Mub)] 
OBS1: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra  deve ser 
inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mub Mua 
M 
Mb 
Ma 
Ma 
Mb 
Ma 
par. 2º grau 
Mm 
Mb 
Ma 
Mb 
Mua 
Mub Mua 
Mub 
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb 
Mb 
Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
- 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
1/3.L.Mb.Mub 
 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
 
 - 1/3.L.Mb.Mub 
Mua ou Mub tracionando lado oposto ao do Ma: 
 inserir o sinal de ( - ) no início da equação 
Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas 
equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 
 
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58 
 
Tabela 3b: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama 
de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
***** 
 
 
 
 
***** 
 
 
 
 
L.M.Mu 
 
 
1/2.L.M.( Mua - Mub) 
 
1/2.L.M.(- Mua + Mub) 
 
 
 
 
1/2.L.Mb.Mu 
 
1/6.L.(Mua - 2Mub).Mb 
 
1/6.L.(-Mua +2Mub).Mb 
 
 
 
 
1/2.L.Ma.Mu 
 
1/6.L.(2Mua - Mub).Ma 
 
1/6.L.(-2Mua + 2Mub).Ma 
 
 
 
1/2.L.(Ma+Mb).Mu 
 
1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)- 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+ 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
 
 
 
1/2.L.(Ma+Mb).Mu 
 
1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)- 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+ 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
 
 
 
 
2/3.L.Mm.Mu 
 
1/3.L.(Mua - Mub).Mm 
 
1/3.L.(- Mua + Mub).Mm 
 
 
 
 
 # # 
 
1/2.L.(Ma - Mb).Mu 
 
 
 
 
 
1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+ 
Mub(-Ma+2Mb)] 
 
1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+ 
Mub(Ma - 2Mb)] 
 
 
 
 
 # # 
 
1/2.L.(-Ma + Mb).Mu 
 
 
 
 
 1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+ 
Mub(Ma - 2Mb)] 
 
 1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+ 
Mub(-Ma+2Mb)] 
 
OBS: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra  deve ser 
inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mb 
Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
- 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
1/3.L.Mb.Mub 
 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
 
 - 1/3.L.Mb.Mub 
M 
Mb 
Ma 
Ma 
Mm 
Ma 
Mb 
Ma 
Mu 
Mua 
Mub 
Mub 
Mua 
Para os casos: Mua = Mub ; Mua > Mub E Mua < Mub 
Mb 
Ma 
par. 2º grau 
Mb 
Mb 
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb 
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb 
Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas 
equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 
 
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59 
 
1- Deslocamentos devido ao efeito de forças reais externas: 
VIGAS E PÓRTICOS PLANOS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (estruturas usuais: vigas, pórticos) 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI  em kN.m2 
 
GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
𝑮 . 𝑱
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (estruturas usuais: grelhas) 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI e GJ  em kN.m2 
 
TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
𝜹 = ∑ [ 
�̅�𝑵 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 
𝑬 . 𝑨
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (estruturas usuais: treliças planas) 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EA  em kN.m2 
 
 
 
 
 
2- Deslocamentos devido ao efeito da temperatura: 
VIGAS, PÓRTICOS PLANOS E GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material 
constantes; 
𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . 𝑨
𝑵𝟎̅̅ ̅̅
 + [𝜶 . (𝒕𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨
𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅
 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . �̅� . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
3- Deslocamentos devido ao efeito de deslocamentos prescritos: 
VIGAS, PÓRTICOS PLANOS, TRELIÇAS E GRELHAS USUAIS: 
𝜹 = - ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) 
Onde: 
 = deslocamento de uma seção s qualquer a ser determinado; 
R_ j = deslocamento prescrito (recalque de apoios), ou seja, recalque em cada apoio; 
�̅�𝒋 = reações de apoio da estrutura devido à ação da força virtual unitária externa; 
Os deslocamentos devido ao efeito da temperatura e devido ao efeito dos 
deslocamentos prescritos são apresentados a seguir nos tópicos 3.2 e 3.3 
respectivamente. 
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