Apostila Teoria II.3

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
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3.2 - Método da força Virtual Unitária (MFVU): Efeito da variação de temperatura 
 Seja a estrutura composta por elementos de barra reta de altura h representada 
na figura 13 em que se impõe a variação de temperatura te na “face” ou “fibra” externa 
ou superior da barra e a variação de temperatura ti na “face” ou “fibra” interna ou inferior 
da barra. Ao longo da altura h da seção das barras da estrutura, a variação de 
temperatura possui uma lei de comportamento linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 13: estrutura sob o efeito de temperatura 
 
 Uma viga livre sem vínculos externos submetida à variação de temperatura pode 
sofrer um alongamento ou um encurtamento ao longo de seu eixo longitudinal, fazendo 
com que a barra adquira uma curvatura que pode ser voltada para cima ou para baixo, 
conforme ilustrado na figura 13. 
 O alongamento ou encurtamento da fibra que passa pelo centro de gravidade da 
seção transversal da barra devido à variação de temperatura provoca deslocamentos 
relativos internos entre as seções adjacentes distantes dx, conforme ilustrado na figura 
13. 
 Considerando  o coeficiente de dilatação térmica do material e dx a distância 
entre duas seções adjacentes, estas por sua vez, adquirem deslocamentos relativos 
composto de duas partes: 
a) deslocamento relativo axial (longitudinal): d = . tg . dx (19) 
b) rotação relativa entre essas seções: d= [ (ti - te)/h ] . dx (20) 
 pequenos ângulos (d: tg d = d = cateto oposto / cateto adjacente 
 dti . dx - te . dx) / h = [ (ti - te) / h ] . dx 
te 
h/2 
s 
s 
. te.dx 
h 
dx 
C.G. 
h 
ti 
te 
. ti. dx 
. tg . dx C. G. = centro geométrico 
 da seção, ou seja, 
 o centróide da seção 
 
tg = temperatura no 
 centróide da seção 
dx 
d 
h 
te 
ti 
ti > te 
ti 
te > ti 
te = temperatura na fibra 
externa ou superior 
 
ti = temperatura na fibra 
interna ou inferior 
 
d 
d 
d 
h 
ti.dx - te.dx 
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O deslocamento () em uma dada direção, em uma determinada seção s de uma 
estrutura devido à ação da temperatura é determinado por meio da equação geral do 
MFVU, ou seja, da equação (6). 
 
Considerando que a estrutura esteja apenas sob a ação da temperatura e que os 
apoios da estrutura não apresentam deslocamentos prescritos, ou seja, os apoios não 
apresentam recalques (deslocamentos prescritos = conhecidos), a equação (6), pode ser 
escrita da seguinte forma: 
𝜹𝑹_ 𝒋 = 𝟎 → 𝒐𝒔 𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐𝒔 𝒏ã𝒐 𝒂𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒎 𝒓𝒆𝒄𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐; 
𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
 + �̅� . 𝒅𝜽 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (6) 
𝜹 = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
 + �̅� . 𝒅𝜽 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
Visto que a estrutura está somente sob a ação da temperatura, ação esta, que gera 
apenas deslocamento relativo axial longitudinal (d) das seções transversais e rotação 
relativa entre essas seções transversais (d) da estrutura, o que permite escrever a 
equação anterior da seguinte forma: 
𝜹 = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
Substituindo as equações (19) e (20) na equação anterior obtém-se a equação 
que permite calcular o deslocamento de qualquer seção transversal de uma estrutura 
usual (vigas, pórticos plano, grelhas e treliças) sob o efeito da temperatura, a qual é dada 
por: d = . tg . dx (19) 
 d= [ (ti - te)/h ] . dx (20) 
 
 
𝜹 = ∑ [ ∫ �̅� . 𝜶 . 𝒕
𝒈 . 𝒅𝒙 + �̅� . [𝜶 . (𝒕𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉]. 𝒅𝒙 
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
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𝜹 = ∑ [ ∫ �̅� . 𝜶 . 𝒕
𝒈 . 𝒅𝒙
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
 + ∫ �̅� . [𝜶 . (𝒕𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝒅𝒙 
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (21) 
 
A equação (21) é a expressão geral do MFVU para estruturas compostas por vários 
elementos ((peça do tipo barra: reta ou curva  ex: vigas, treliças, pórticos planos e 
grelhas)) sujeitas ao Efeito da variação de temperatura; 
 
Para estruturas usuais , tg, te, ti são constantes ao longo das barras, e para barras 
com h constante, o que permite retirar estes termos da integral, e desta forma a equação 
(21) pode ser escrita da seguinte forma: 
𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . ∫ �̅� . 𝒅𝒙
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
 + [𝜶 . (𝒕𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . ∫ �̅� . 𝒅𝒙 
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (22) 
 
 Na equação acima as integrais  �̅� . dx = 𝑨𝑵𝟎̅̅ ̅̅ e �̅� . dx = 𝑨𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅ se 
identificam como o valor das áreas dos diagramas de esforço normal 𝑨𝑵𝟎̅̅ ̅̅ e do momento 
fletor 𝑨𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅ das barras da estrutura sob a ação da força virtual unitária, assim a equação 
anterior pode ser escrita da seguinte forma: 
VIGAS, PÓRTICOS PLANOS E GRELHAS USUAIS: de barras de seção e 
material constantes; 
𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . 𝑨𝑵𝟎̅̅ ̅̅ + [𝜶 . (𝒕
𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅ ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (23) 
 Barra de seção constante ao longo comprimento 
 A eq. (23) é válida apenas para barras de seção constante, caso de barras 
com seções variáveis deve ser utilizado a eq. (22). 
 
TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
Visto que a contribuição do momento pode ser desprezada, e como geralmente 
o esforço normal de cada barra também é constante ao longo de comprimento, permite 
escrever a equação (22) da seguinte forma. 
𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . �̅� . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂]
0
𝑖=1,2,𝑛(24) 
 Barra de seção constante ao longo comprimento 
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Para o emprego das equações (22), (23) e (24), a seguinte convenção de sinais 
para os esforços virtuais é adotada: 
�̅�  (+ ), barra tracionada; 
�̅�  ( - ), barra comprimida; 
�̅�  (+ ), fibras internas e inferiores tracionadas; 
�̅�  ( - ), fibras externas e superiores tracionadas; 
 
 
Efeito combinado: Deslocamento devido ao efeito combinado de força externa + 
variação de temperatura; 
Para estruturas usuais o deslocamento total é determinado somando-se o 
deslocamento provocado por cada efeito calculado em separado, e ao final soma-se 
estes deslocamentos de forma a obter deslocamento total; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fibras 
internas 
Fibras 
externas 
 + �̅� 
�̅�  + 
�̅�  + 
�̅�  - 
�̅�  - 
-  �̅� 
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Resumo2: 
 
Método da Força Virtual Unitária (MFVU): Efeito da variação de temperatura 
 
Este método é utilizado para calcular um determinado deslocamento de uma seção 
transversal qualquer de uma estrutura isostática submetida a ação da temperatura. 
 
Por exemplo, para o pórtico isostático plano submetido à ação da temperatura ilustrado 
na figura 14, a seção transversal C apresenta um deslocamento vertical V e um 
deslocamento horizontal h devido à ação da temperatura. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 14: Pórtico isostático plano deformado devido a ação da temperatura. 
 
 A seguir é apresentando o procedimento para determinar o deslocamento vertical 
da seção transversal C; 
 
 Vale ressaltar que o procedimento apresentando a seguir é válido para calcular 
qualquer tipo de deslocamento de uma seção transversal s de uma estrutura isostática 
(VIGAS, PÓRTICOS, GRELHAS E TRELIÇAS) sob a ação da temperatura; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h v 
te 
ti 
te  temperatura externa; 
ti  temperatura interna; 
 
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1º Passo: considera-se a estrutura submetida apenas à ação de uma força virtual 
unitária externa compatível ao deslocamento a ser determinado, sendo esta força 
aplicada sobre a seção transversal em questão. 
 
Esta força virtual unitária externa compatível é definida consultando a tabela 2; 
Por exemplo: 
Ex1: deseja-se calcular o deslocamento horizontal de uma seção s qualquer: 
Tabela 2: aplica-se uma força unitária virtual horizontal sobre a seção s. 
 
Ex2: deseja-se calcular o deslocamento vertical de uma seção s qualquer: 
Tabela 2: aplica-se uma força unitária virtual vertical sobre a seção s. 
 
 
Para determinar o deslocamento vertical da seção transversal c do pórtico 
isostático plano aplica-se uma força virtual unitária vertical sobre a seção c; 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 14: Estrutura sujeita à ação da força virtual unitária externa 
 
OBS1: Para vigas, pórticos planos e grelhas  esboçar o diagrama de esforço normal 
virtual �̅�, e o diagrama de momento fletor virtual �̅�, devido EXCLUSIVAMENTE a 
ação da força virtual unitária; 
 
OBS2: Para grelhas sob o efeito da temperatura NÃO É NECESSÁRIO ESBOÇAR O 
DIAGRAMA DE MOMENTO TORÇOR VIRTUAL �̅� 
 
OBS3: Para treliça NÃO É NECESSÁRIO ESBOÇAR NENHUM DIAGRAMA DE 
ESFORÇO, basta apenas calcular o esforço normal virtual de cada barra �̅�, devido 
EXCLUSIVAMENTE a ação da força virtual unitária; 
 
 
 
�̅� = 𝟏 : força virtual 
unitária compatível ao 
tipo de deslocamento que 
deseja-se determinar  
�̅� = 𝟏 
Esboçar o diagrama de normal 
virtual e momento virtual: 
 𝑵 ̅̅ ̅ ; �̅� 
 
 devido EXCLUSIVAMENTE a 
ação da força virtual unitária 
�̅� = 𝟏 s 
�̅� = 𝟏 
s 
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2º Passo: Calcula-se as propriedades da seção transversal das barras da estrutura, o 
somatório da área do diagrama do esforço normal de cada barra da estrutura e o 
somatório da área do diagrama do momento fletor de cada barra da estrutura; 
 
Propriedades: 
 t = ti - te (variação de temperatura ao longo da seção)  0C 
 tg (temperatura no centro de gravidade da seção)  0C 
 
 
 
 
 
 
 
Somatório das áreas dos diagramas das barras: 
Somar as áreas do diagrama do esforço normal virtual das barras da estrutura 
 𝑨𝑵𝟎̅̅ ̅̅ bem como somar as áreas do diagrama de momento fletor virtual das barras da 
estrutura 𝑨𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅ e inserir estes valores na expressão a seguir; 
 
O somatório das áreas dos diagramas obedece a seguinte convenção de sinais: 
 
�̅�  (+ ), barra tracionada: 𝑨�̅� = + 
�̅�  ( - ), barra comprimida: 𝑨�̅� = − 
�̅�  (+ ), fibras internas e inferiores tracionadas: 𝑨�̅� = + 
�̅�  ( - ), fibras externas e superiores tracionadas: 𝑨�̅� = − 
 
 
 
 
 
 
 
 
te  + 25 0C 
ti  + 13,5 0C 
50 cm 
15 cm + 25 0C 
+ 13,5 0C 
tg = ? 0C 
Fibras 
internas 
Fibras 
externas 
 + �̅� 
�̅�  + 
�̅�  + 
�̅�  - 
�̅�  - 
-  �̅� 
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3º Passo: Inserir os valores obtidos nos passos 1 e 2 nas seguintes equações: 
 
VIGAS, PÓRTICOS PLANOS E GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material 
constantes; 
Inserir o valor do somatório das áreas do diagrama de esforço normal das barras 
da estrutura 𝑨�̅� bem como, o valor do somatório das áreas do diagrama de momento 
fletor virtual das barras da estrutura 𝑨�̅�obtidos nos PASSOS 1 e 2, respectivamente, 
na expressão a seguir; 
𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . 𝑨𝑵𝟎̅̅ ̅̅ + [𝜶 . (𝒕
𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅ ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (23) 
 Barra de seção constante ao longo comprimento 
 
 
TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
Inserir o valor do somatório das áreas do diagrama de esforço normal das barras 
da estrutura 𝑨�̅� obtidos no PASSOS 1, na expressão a seguir 
𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . �̅� . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (24) 
 Barra de seção constante ao longo comprimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo6: Calcule para a estrutura devido a forças externas e variação de temperatura 
presentados abaixo os seguintes deslocamentos 
a) a rotação do ponto a devido à variação de temperatura. 
b) o deslocamento horizontal do ponto c devido ao efeito combinado (Forças externas + 
variação de temperatura); 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3;  = 1,2 .10-5/0C; 
 
 
Resolução: Item a) 
 
 
 
 
 
 
 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação no ponto a. 
 =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força momento virtual unitária 
no ponto a. 
 Caso 3 da tabela 2 
 
2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅ 
 
 
 
 
 
 Ma= 0 +  Vd . 6,0 + 1,0 = 0 
 Vd = 1/6 = - 0,167 
 Vd = 0,167 
 
 +  Fy = 0  Va - Vd = 0  Va = 0,167 
 
 
 
 
 
 
 
 
d 
x= 5+tg 
-50C 
ti =+15 0C 
 50 kN 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
1ª 
2ª 
3ª 
 10 kN/m 
 Ha = 0 Mu = 1 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
 va = 0,167 
 Vd = 0,167 
1ª 
2ª 
3ª 
40 cm 
 7 cm 
te = - 5 0C 
150C 
tg = ? 
5+15 = 20 
h 
h/2 
h / 20 = (h/2) / x 
x = (h/2) . (20/h) 
x = 20/2 = 10 
x = 5 + tg  
 tg = x - 5 = 10 - 5 = 5 
 tg = 50C C.G. 
s1 
s2 
s1 
s2 
s1’ 
s2’ 
 40 cm 
 40 cm 
 40 cm 
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3 - Cálculo da rotação relativa do ponto a (a =?) 
𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕
𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 ti - te = 15 - (-5) = 20
 
= {1,2 . 10-5 . 5 . [(-0,167 . 4) + (0,167 . 3)]} + {1,2 . 10-5. 20/0,40 . [ (-1.4) + (-1.6/2) ]} 
 
= { -1,002 . 10-5 } + {- 420,0 . 10-5} = - 421 . 10-5 = - 0,0042 rad 
 
 = -0,0042 rad  lembrete: 2rad = 3600 
 
O valor negativo indica que o sentido arbitrado está errado, ou seja, o ponto a sofre 
uma rotação de 0,0042 rad no sentido horário, contrário ao arbitrado inicialmente. 
 
 
Resolução: Item b) 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto c devido 
ao efeito combinado (Forças externas + variação de temperatura). 
 =? 
 
De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária no ponto b. 
 Caso 2 da tabela 2 
 
2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅ 
 
 
 
 
 
 Ma= 0 +  Vd . 6,0 - 1,0 . 4,0 = 0 
 Vd = 4/6 = 0,67 
 
 
 +  Fy = 0  Va + Vd = 0 
 Va = - 0,67 = 0,67 
 
 Ha = 1 
 Fu = 1 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
 va = 0,67 
 Vd = 0,67 
1ª 
2ª 
3ª 
Diagrama de momento fletor virtual e esforço normal virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑵 ̅̅ ̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 𝑵 ̅̅ ̅ 
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3 - Esboçar o diagrama real: M 
 
4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto c (c =?) devido ao efeito combinado 
(Forças externas + variação de temperatura); 
 
𝜹 = ∑ [
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ]]
0
𝑖=1,2,𝑛
+ ∑ [𝜶 . 𝒕𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕
𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
Forças externas Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento do ponto c 
Barra 1: 
 
 + 
 
 
  - 1/3.L.Mb.Mub + 1/3.L.Mm.Mub 
 - 1/3 . 4. 120 . 4 + 1/3 . 4 . 20 . 4 = - 533,33 
 
 
Mb = 120 kN.m Mub = 4 Mub = 4 Mm = 20 kN.m 
Diagrama de momento fletor virtual e esforço normal virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑵 ̅̅ ̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 𝑵 ̅̅ ̅ 
Diagrama de momento fletor real: M 
- devido à ação das forças reais externas; 
 
OBS: é a mesma estrutura sob o mesmo carregamento externo real do exemplo 1 
desta apostila  portanto o diagrama real M é o mesmo do exemplo 1; 
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Barra 2: 
 
 
  -1/3.L.Ma.Mua  -1/3 . 6 . 120 . 4 = - 960 
 
Expressando EI em: kN.m2 
Momento de inércia da seção: I = Iz = b.h3/12 = 3,73 . 10- 4 m4 
Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 . 109 N/m2 = 205 . 106 kN/m2 
EI = 205 . 106 kN/m2 . 3,73 . 10- 4 m4 = 7,65 . 10 4 kN.m2 
 
Forças externas  Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
Contribuição das forças externas: 
𝜹𝒇 = ∑ [
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ]]
0
𝑖=1,2,𝑛
 

f = 1 . [ - 533,33 - 960 + 0 ] = - 1493,33  f = - 0,01952 m = - 19,52 mm 
 E.I (7,65 . 104) 
 
Variação de temperatura Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
Contribuição da variação de temperatura: 
𝜹𝒕 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕
𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 ti - te = 15 - (-5) = 20 

t= {1,2 . 10-5. 5 .[(0,67 . 4)+(1. 6)+(-0,67. 3)]} + {1,2 . 10-5. (20/0,40) .[(4 . 4/2)+(4 .6/2)] } 

t= { 40,0 . 10-5 } + {1200 . 10-5} = 1240 .10-5 = 0,0124 m = 12,4 mm 

Deslocamento total devido ao efeito combinado: 
total = f + t = - 19,52 + 12,4 = - 7,12 mm 
 
O valor negativo indica que o sentido arbitrado está errado, ou seja, o ponto a sofre 
um deslocamento horizontal de 7,12 mm para a esquerda, contrário ao arbitrado 
inicialmente. 
 
Exemplo7: Calcule para a estrutura devido ao acréscimo uniforme de temperatura no 
valor de 30 0C a rotação relativa entre as barras 3 e 4 que concorrem para a rótula d; 
 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 25 GPa; υ = 0,2;  = 1,0 . 105/0C; 
e a 
 18 kN 
3,0 m 
1,5 m 
5,0 m 
b 
c 
1ª 
2ª 
4ª 
 q= 15 kN/m 
 50 cm 
3,0 m 
2,0 m 
d 3ª 
Ma = 120KN.m Mua = 4 
 50 cm 
 25 cm 50 cm 
 50 cm 
 50 cm 
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Resolução: Item a) 
 
 
 
 
 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as barras 3 e 4 que 
concorrem para a rótula d. 
 =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momento unitária 
em d. 
 Caso 4 da tabela 2 
 
2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª ordem: 
Md = 0 +  He . 5,0 + 1,0 = 0 
 p/inferior 
 He = -1/5 = - 0,20 
 He = 0,20 
 
+  Fx = 0  Hb - He = 0 
 Hb = 0,2 
 
Md = 0 +  - Hb . 2,0 + Vb . 4,5 + 1,0 = 0 
 p/esquerda 
 4,5 Vb = 0,2 . 2,0 - 1,0  Vb = -0,6/4,5 = -0,133  Vb = 0,133 
 
+  Fy = 0  - Vb + Ve = 0  Ve = 0,133 
 
 
 
 2ª ordem: 
 Ma= 0 +  Hb’ . 3,0 + Ma = 0 
 Ma = -0,6  Ma = 0,6 
 
 
 
 
 Hb = 0,2 
3,0 m 1,5 m 
d 
 Mu = 1 
 Mu = 1 
300C 
300C 
tg = ? h = 50 cm 
Acréscimo uniforme de temperatura: 
 
Todas as fibras estão sob o efeito de uma 
mesma temperatura, inclusive o centróide da 
seção. Então: tg = 300C 
C.G. 
e a 
3,0 m 
5,0 m 
b 
c 
1ª 
2ª 
4ª 
2,0 m 
3ª 
d 
 Mu = 1 
 Mu = 1 
e 
b 
c 
2ª 
4ª 
3ª 
5,0 m 
3,0 m 1,5 m 
3,0 m 
2,0 m 
 Q. 1ª ordem 
 He = 0,2 
 Vb = 0,133 
 Ve = 0,133 
a 
3,0 m 
b 
1ª 
 Hb’ = 0,2 
 Vb’ = 0,133 
 Q. 2ª ordem 
 Ha = 0,2 
 Va = 0,133 
 Ma = 0,6 
s 
s 
s’ 
s’ 
s 
s 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
77 
 
3 - Cálculo da rotação relativa do ponto d ( =?) 
𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕
𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 ti - te = 30 - (30) = 0 
Para acréscimos uniformes de temperatura a contribuição do momento fletor é nula. 
Então: 
𝜹 = ∑ [𝛼 . 𝑡
𝑔 . 𝐴�̅� + [𝛼 . (0)/ℎ] . 𝐴�̅� ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 → 𝜹 = ∑ [𝛼 . 𝑡
𝑔 . 𝐴�̅� ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
= {1,0x10-5. 30 . [(0,133 . 3) + (-0,014 . 2,5) + (-0,2 .3) + (-0,133 . 5) ] } 
 
= -27,03x10-5 = - 0,00027 rad 
 
 = - 0,00027 rad  lembrete: 2rad = 3600 
 
O valor negativo indica que o sentido arbitrado está errado, 
ou seja, as barras 3 e 4 sofrem uma rotação relativa de 0,00027 rad 
no sentido contrário ao arbitrado inicialmente. 
O sentido correto é ilustrado ao lado. 
Diagrama de momento fletor virtual e esforço normal virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑵 ̅̅ ̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 𝑵 ̅̅ ̅ 
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78 
 
Exemplo8: Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (Forças externas + 
variação de temperatura) a rotação relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem para a 
rótula c; 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 200 GPa; υ = 0,3;  = 1,2 . 105/0C; 
 
Resolução: Item a) 
OBS: b = 40 cm; h = 50 cm; 
Momento de inércia da seção: I = Iy = b3 tb/6 = 2,133 . 10-4 m4 
 
 
 
 
 
 
 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar a relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem 
para a rótula c. 
 =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momentovirtual 
unitária em torno da rótula c. 
 Caso 4 da tabela 2 
 
2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅ 
 
 Q. 1ª ordem 
 
 
 
 
 
 
 ∑ Mcp/inferior = 0 + 
 - Hd . 5 - 1 = 0 
 Hd = -1/5 = -0,2 
 Hd = 0,2 
 Então: Hb = 0,2 
 
 
 
 
d a 
 18 kN 
3,0 m 
5,0 m b 
1ª 
2ª 
3ª 
 q= 15 kN/m 
5,0 m 
2,0 m 
c 
t* 
 t = 2,0 cm 
 t* = 2,5 cm 
 40 cm 
 50 cm 
t 
x= ? 
100C 
300C 
tg =10 + x 
20 
h 
h/2 
h / 20 = (h/2) / x 
x = (h/2) . (20/h) 
x = 20/2 = 10 
 tg = 10 + x = 10 +10 
 tg = 200C 
C.G. 
s1 
s2 
s1 
s2 
s1’ 
s2’ 
ti =+30 0C 
te = +10 0C 
d a 
3,0 m 
5,0 m 
b 
1ª 
2ª 
3ª 
5,0 m 
2,0 m 
c 
 Mu = 1 
 Mu = 1 
c 
 Mu = 1 
d 
b 
 Vb = 0,12 
 Vd = 0,12 
 Hb = 0,2 
 Hd = 0,2 
∑ Mcp/esquerda = 0 + 
 - Hb . 2 + Vb . 5 + 1 = 0 
 - 0,2 . 2 + Vb . 5 + 1 = 0 
 5. Vb = 0,4 - 1 
 Vb = - 0,12  Vb = 0,12 
 Então: Vd = 0,12 
2ª 
3ª 
 40 cm 
 40 cm 
 40 cm 
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79 
 
Q. 2ª ordem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Esboçar o diagrama real: M 
 
 
 Q. 1ª ordem 
 
 
 
 
 
 
 ∑ Mcp/inferior = 0 + 
 - Hd . 5 = 0 
 Hd = 0 
 Então: Hb = 18 kN 
 
 
a 
b 
1ª 
 Vb’ = 0,12 
 Hb’ = 0,2 
 Va = 0,12 
 Ha = 0,2 
∑ Ma = 0 + 
 - Hb . 3 + Ma = 0 
 - 0,2 . 3 + Ma = 0 
 Ma = 0,6 3,0 m 
d a 
3,0 m 
5,0 m 
b 
1ª 
2ª 
3ª 
5,0 m 
2,0 m 
c 
c 
d 
b 
 Vb = 44,7 kN 
 Vd = 30,3 kN 
 Hb = 18 kN 
 Hd = 0 
∑ Mcp/esquerda = 0 + 
 - Hb . 2 - R . 2,5 + Vb . 5 = 0 
 Vb = 44,7 kN 
 Então: Vd = 75 – 44,7 = 30 ,3 kN 
2ª 
3ª 
 18 kN 
 18 kN 
 q= 15 kN/m 
R= 75 kN 
 Ma = 0,6 
Diagrama de momento fletor virtual e esforço normal virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑵 ̅̅ ̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 𝑵 ̅̅ ̅ 
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80 
 
Q. 2ª ordem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Cálculo da rotação relativa do ponto d (d =?) devido ao efeito combinado (Forças 
externas + variação de temperatura); 
𝜹 = ∑ [
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ]]
0
𝑖=1,2,𝑛
+ ∑ [𝜶 . 𝒕𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕
𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
Expressando EI em: kN.m2 
EI = 200 . 106 kN/m2 . 2,133 . 10-4 m4 = 42,66 . 10 3 kN.m2 
 
Forças externas Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento do ponto d 
Barra 1: 
 
 
 
 
  + 1/3.L.Mb.Mub 
 + 1/3 . 3. 54 . 0,6 = 32,4 
 
Barra 2: 
 
 
  -1/3.L.Mm.Mub 
 -1/3 . 5,39 . 46,880 . 1 = - 84,228 
a 
b 
1ª 
 Vb’ = 44,7 kN 
 Hb’ = 18 kN 
 Va = 44,7 kN 
 Ha = 18 kN 
∑ Ma = 0 + 
 - Hb . 3 + Ma = 0 
 - 18 . 3 + Ma = 0 
 Ma = 54 kN.m 3,0 m 
 Ma = 54 kN.m 
Mm = 46,88 KN.m Mub = 1 
Mb = 54 KN.m Mub = 0,6 
 15 . 5,02 
8 
46,88 kN.m 
46,88 kN.m 
Diagrama de momento fletor real: M 
- devido à ação das forças reais externas 
 
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81 
 
Contribuição das forças externas: 
𝜹𝒇 = ∑ [
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ]]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
f = 1 . [ 32,4 – 84,228 ] = 1 . [ – 51,828 ] 
 E.I 42,66 . 103 
 
f = - 0,001215 rad 
 
Variação de temperaturaParcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
Contribuição da variação de temperatura: 
𝜹𝒕 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕
𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 ti - te = 30 - (10) = 20 
 
 t= {1,2 . 10-5. 20 . [(0,12 . 3) + (-0,14 . 5,39) + (-0,12 .5) ] } + 
 
 {1,2 . 10-5. 20/0,40 . [(0,6 . 3/2) + (-1,0 . 5,39/2) + (-1,0 .5/2) ] } 
 
t= -23,8704 . 10-5 - 257,7 . 10-5 = - 0,00282 rad 
 
Deslocamento total devido ao efeito combinado: 
total = f + t = - 0,001215 + (- 0,00282 ) = - 0,004035 rad 
  lembrete: 2rad = 3600 
 
O valor negativo indica que o sentido arbitrado está errado, 
ou seja, as barras 2 e 3 sofrem uma rotação relativa de 
0,004035 rad no sentido contrário ao arbitrado inicialmente. 
O sentido correto é ilustrado ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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82 
 
Exemplo9: A estrutura a seguir (mesma do exemplo3) está submetida ao carregamento 
externo indicado e a um acréscimo de temperatura no valor de 30 0C nas fibras 
superiores e nenhum acréscimo de temperatura nas fibras inferiores. Determine os 
seguintes deslocamentos: 
a) a rotação absoluta da corda bc da grelha devido apenas ao efeito de temperatura; 
b) o deslocamento vertical do ponto c devido ao efeito combinado (Forças externas + 
variação de temperatura); 
 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3;  = 1,2 .10-5/0C 
 
Resolução: 
Item a) 
 
 
 
 
 
1 - O deslocamento solicitado:Determinar a rotação absoluta da corda bc da grelha. 
bc =? 
 De acordo com a tabela 2: deve ser aplicado um par de forças virtuais unitárias 
no ponto b e no ponto c. 
 Caso 6 da tabela 2 
 
2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅ 
OBS: Nos casos de deslocamento solicitado provocado pelo efeito combinado (forças 
externas + variação de temperatura)  Esboçar também 𝑻 ̅̅ ̅ 
 
 
  Tab = 0 +  - Fu . 1,5 + Ta = 0 
 Ta = 1 
 
  Tbc = 0 +  Ma = 0 
 
 
 
 
 
 
1ª 
300C 
300C 
tg =? h = b = 15 cm C.G. tg 
 30 
h/2 
h/30 = (h/2)/tg 
15/30 = (7,5)/tg 
tg = 15 
a 
2,0 m 
b 
c 
2ª 
 Fu = 1/1,5 
1,5 m 
X 
Y Z 
 Fu = 1/1,5 
 Va = 0 
 Ma = 0 
Ta = 1 
s 
s 
s 
s 
s’ 
 3 kN.m 
a 
2,0 m b 
c 
1ª 2ª 
 8 kN/m 6 kN 
1,0 m 
 4 kN.m d 
1,5 m 
X 
Y 
Z 
 15 cm 
20 cm 
1,5 cm 
 15 cm 
 15 cm 
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83 
 
3 - Cálculo da rotação absoluta da corda bc ( =?) 
𝜹𝒕 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕
𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 ti - te = 0 - (30) = - 30 
 
Como a grelha não apresenta esforço normal virtual, a contribuição do esforço normal é 
nula. 
 
t= {1,2 . 10-5. [ (0 - 30)/0,15] . [(-1 . 1,5/2) ] } 
 
bc= 180 . 10-5 = 1,8 . 10-3 rad 
 
O valor positivo indica que o sentido arbitrado 
está correto, ou seja, a corda bc sofre uma rotação absoluta 
de 1,8 . 10-3 rad no sentido horário, conforme arbitrado inicialmente. 
 
 
 
item b): 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto c devido ao 
efeito combinado (Forças externas + variação de temperatura); 
 
OBS1: A estrutura deste exemplo 9 é a mesma do exemplo3 
 - mesma estrutura; 
 - mesmo carregamento real externo; 
 
OBS2: No exemplo 3 foi determinado o deslocamento vertical do ponto c devido à ação 
do carregamento externo; 
 
OBS3: Então falta apenas determinar o deslocamento vertical do ponto c devido à ação 
da variação de temperatura e somar os efeitos sobre o ponto 
 
OBS4: Mas por questões didáticas todos procedimentos para calcular o deslocamento 
total devido ao efeito combinado são apresentados de forma direta a seguir; 
 
: 
 
a 
b 
c 
1
,
5 
Diagrama de momento fletor virtual e esforço normal virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑵 ̅̅ ̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 𝑵 ̅̅ ̅ = 0 
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84 
 
Deslocamento vertical do ponto c devido ao efeito combinado (forças externas + 
variação de temperatura: 
 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto c. 
 = ? 
 De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em c 
  Caso 1 da tabela 2 
 
2 - Esboçar os diagramas virtuais: apenas para forças externas  𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑻 ̅̅ ̅ 
 apenas para variação de temperatura  𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅ 
 Neste caso, efeito combinado  𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑻 ̅̅ ̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅̅ 
 
 +  Fz = 0  Va = 1 
  Tab = 0 +  - Fu . 1,5 + Ta = 0 
 Ta = 1,5 
 
  Tbc = 0 +  Ma + 1. 2,0 = 0 
 Ma = - 2,0 
 Ma = 2,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
2,0 m 
b 
c 
1ª 2ª 
 Fu = 1 
1,0 m 
d 
1,5 m 
X 
Y Z 
 Va = 1 
 Ma = 2 
Ta = 1,5 
Diagrama de momentos (fletor e torçor) virtuais e esforço normal virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑻 ̅̅ ̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 𝑵 ̅̅ ̅ = 0 𝑻 ̅̅ ̅ 
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85 
 
3 - Esboçar os diagramas reais: M e T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 +  Fz = 0  Va = 6 + R  Va = 18 kN 
 
  Tab = 0 +  Ta - 4 - R . 0,75 = 0  Ta = 13 kN.m 
 
  Tbc = 0 +  Ma + Va . 2,0 - 6 . 1,0 + 3 = 0  Ma = - 33 kN.m 
 Ma = 33 kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto c (c = ?) devido ao efeito combinado 
(Forças externas + variação de temperatura); 
 
 
 
 
 
 
Expressando EI e GJ em: kN.m2 
EI = 205 . 106 kN/m2 . 4,2188 . 10- 5 m4 = 8,6485 . 10 3 kN.m2 
GJ = 78,85 . 106 kN/m2 . 10,7187. 10- 5 m4 = 8,4517 . 10 3 kN.m2 
a 
2,0 m 
b 
c 
1ª 2ª 
 R = 12 kN 
1,0 m 
d 
1,5 m 
X 
Y 
Z 
 Va = 18 kN 
 Ma = 33 kN.m 
Ta = 13 kN.m 3 kN.m 
 6 kN 
 4 kN.m 
Diagrama de momento fletor real e momento torçor real: M ; T 
- devido à ação das forças reais externas 
 
 
 
𝜹 = ∑ [
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
𝑮 . 𝑱
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 + ∑ [𝜶 .𝒕𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕
𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
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86 
 
𝜹 = ∑ [
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
𝑮 . 𝑱
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 + ∑ [𝜶 . 𝒕𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕
𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
 
Deslocamento vertical do ponto c devido a ação das forças externas (f): 
 
Este deslocamento já foi determinado no item b do exemplo3, sendo este dado por: 
 
f = 0,0107 m = 10,7 mm 
 
 O ponto c da grelha desloca verticalmente 
12,5 mm para baixo. 
 
 
 
 
 
Deslocamento vertical do ponto c devido a ação da variação de temperatura (t): 
𝜹𝒕 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕
𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 ti - te = 0 - (30) = - 30 
 
Como a grelha não apresenta esforço normal virtual, a contribuição do esforço normal é 
nula. 
 
t= {1,2 . 10-5. [ (0 - 30)/0,15] . [(-1,5 . 1,5/2) ] + [(-2 . 2,0/2) ] } 
 
t= 750 . 10-5 m = 7,5 mm 
 
 O ponto c da grelha desloca verticalmente 
7,5 mm para baixo 
 
 
 
Deslocamento vertical total do ponto c devido ao efeito combinado (Forças 
externas + variação de temperatura); 
 
 
total = f + t = 10,7 + 7,5 = 18,2 mm 
 
 
 
 
 
 O valor positivo indica que o sentido arbitrado está correto, 
ou seja, o ponto c sofre um deslocamento vertical de 18,2 mm para baixo, 
conforme arbitrado inicialmente. 
 
 
a 
b 
c 
a 
b 
c 
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87 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir é apresentado o material que será disponibilizado 
pelo professor para consulta no dia da avaliação; 
 
 
Dica: Treinar o uso deste material disponibilizado no dia da 
avaliação por meio da resolução de exercícios das listas; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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88 
 
A tabela 1 apresenta as propriedades de seção A, Iy, Iz, fy, fz e J para as seções 
transversais mais usuais. 
 
 tabela 1: propriedades para as seções transversais mais usuais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
h 
h>b 
𝐼𝑧 = 
𝑏ℎ3
12
 
𝐼𝑦 = 
ℎ𝑏3
12
 
𝐽 = 
𝑏ℎ3
12
+
ℎ𝑏3
12
=
𝑏ℎ3 + ℎ𝑏3
12
 
𝐴 = 𝑏 . ℎ 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 1,2 
z 
y 
z 
y 
r 
𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 = 
𝜋𝑟4
4
 𝐽 = 
𝜋𝑟4
4
+
𝜋𝑟4
4
=
𝜋𝑟4
2
 
𝐴 = 𝜋𝑟2 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 1,11 
z 
y 
r 
t 
𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 ≅ 𝜋𝑟
3𝑡 𝐽 = 𝜋𝑟3𝑡 + 𝜋𝑟3𝑡 ≅ 2𝜋𝑟3𝑡 
𝐴 ≅ 2𝜋𝑟𝑡 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 2,0 
z 
y 
b 
h>b 
h 
th th 
tb 
tb 
𝐼𝑧 ≅ 
ℎ2
6
(ℎ𝑡ℎ + 3 𝑏𝑡𝑏) 𝐽 ≅ 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 
𝑓𝑧 = 
𝐴
2𝑏𝑡𝑏
 𝑓𝑦 = 
𝐴
2ℎ𝑡ℎ
 
𝐼𝑦 ≅ 
𝑏2
6
(𝑏𝑡𝑏 + 3 ℎ𝑡ℎ) 𝐴 ≅ 2( 𝑏𝑡𝑏 + ℎ𝑡ℎ) 
z 
y 
b 
h 
tb 
tb 
th 
𝐼𝑧 ≅ 
ℎ2
12
(ℎ𝑡ℎ + 6 𝑏𝑡𝑏) 𝐽 ≅ 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 
𝑓𝑧 = 
𝐴
2𝑏𝑡𝑏
 𝑓𝑦 = 
𝐴
ℎ𝑡ℎ
 
𝐼𝑦 ≅ 
𝑏3𝑡𝑏
6
 𝐴 ≅ ( ℎ𝑡ℎ + 2𝑏𝑡𝑏 ) 
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89 
 
Cada tipo de deslocamento a ser determinado exige a aplicação de uma força 
virtual unitária externa compatível com o deslocamento a ser calculado, conforme 
apresentado na tabela 2 a seguir. 
 
 Tabela 2: Escolha do Modelo de força virtual unitária 
 
Deslocamento (  ) a calcular da seção s 
 
Força virtual unitária 
 
 
1 - translação vertical, ou seja, deslocamento linear 
vertical de uma seção s 
 
 
 
2 - translação horizontal, ou seja, deslocamento 
linear horizontal de uma seção s 
 
 
 
3 - rotação, ou seja, deslocamento angular de uma 
seção s 
 
 
 
4 - rotação relativa entre duas barras i e j que 
concorrem para a mesma rótula 
 
 
 
 
5 - rotação relativa entre duas seções s e s’ de 
uma mesma barra 
 
 
 
6 - rotação absoluta de uma corda AB 
 
 
 
 
 
7 - rotação relativa de 2 cordas AB e CD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 - variação do comprimento de uma corda que une 
2 pontos A e B 
 
 
 
 
 
 
 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
s 
 
s 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
s 
 
s 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
i 
 
i j 
 
j 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
s 
 
s 
s’ 
 
s’ 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
A 
B 
�̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 
 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 
 
 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 
(AB = L) 
A 
B 
C 
D
C 
(AB = L1) 
(CD = L2) 
 
 
�̅�𝒖𝟏 
A 
B 
�̅�𝒖 = 𝟏 
�̅�𝒖𝟏 = 𝟏/𝑳𝟏 
�̅�𝒖𝟐 = 𝟏/𝑳𝟐 
�̅�𝒖𝟐 
�̅�𝒖 = 𝟏 
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90 
 
A tabela de integração desenvolvida pelo pesquisador A. N. Vereshchagin 
fornece equações que geram resultados numericamente iguais aos obtidos no processo 
de integração. Esta tabela é apresentada a seguir como tabelas 3a e 3b. 
 
Tabela 3a: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama 
de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/2.L.M.Mub 
 
 
1/2.L.M.Mua 
 
1/2.L.M.(Mua+ Mub) 
 
1/2.L.M.(Mua+ Mub) 
 
 
 
 
1/3.L.Mb.Mub 
 
1/6.L.Mb.Mua 
 
1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 
 
1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 
 
 
 
 
1/6.L.Ma.Mub 
 
1/3.L.Ma.Mua1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 
 
1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 
 
 
 
 
1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 
 
1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
 
 
 
1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 
 
1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
 
 
 
 
1/3.L.Mm.Mub 
 
1/3.L.Mm.Mua 
 
1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) 
 
1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) 
 
 
 
 
 # # 
 
1/6.L.(Ma - 2Mb).Mub 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/6.L.(2Ma - Mb).Mua 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)- 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)- 
Mb.(Mua+2Mub)] 
OBS1: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra  deve ser 
inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mub Mua 
M 
Mb 
Ma 
Ma 
Mb 
Ma 
par. 2º grau 
Mm 
Mb 
Ma 
Mb 
Mua 
Mub Mua 
Mub 
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb 
Mb 
Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
- 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
1/3.L.Mb.Mub 
 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
 
 - 1/3.L.Mb.Mub 
Mua ou Mub tracionando lado oposto ao do Ma:  
inserir o sinal de ( - ) no início da equação 
Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas 
equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 
 
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91 
 
Tabela 3b: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama 
de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
***** 
 
 
 
 
***** 
 
 
 
 
L.M.Mu 
 
 
1/2.L.M.( Mua - Mub) 
 
1/2.L.M.(- Mua + Mub) 
 
 
 
 
1/2.L.Mb.Mu 
 
1/6.L.(Mua - 2Mub).Mb 
 
1/6.L.(-Mua +2Mub).Mb 
 
 
 
 
1/2.L.Ma.Mu 
 
1/6.L.(2Mua - Mub).Ma 
 
1/6.L.(-2Mua + 2Mub).Ma 
 
 
 
1/2.L.(Ma+Mb).Mu 
 
1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)- 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+ 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
 
 
 
1/2.L.(Ma+Mb).Mu 
 
1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)- 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+ 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
 
 
 
 
2/3.L.Mm.Mu 
 
1/3.L.(Mua - Mub).Mm 
 
1/3.L.(- Mua + Mub).Mm 
 
 
 
 
 # # 
 
1/2.L.(Ma - Mb).Mu 
 
 
 
 
 
1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+ 
Mub(-Ma+2Mb)] 
 
1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+ 
Mub(Ma - 2Mb)] 
 
 
 
 
 # # 
 
1/2.L.(-Ma + Mb).Mu 
 
 
 
 
 1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+ 
Mub(Ma - 2Mb)] 
 
 1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+ 
Mub(-Ma+2Mb)] 
 
OBS: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra  deve ser 
inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mb 
Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
- 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
1/3.L.Mb.Mub 
 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
 
 - 1/3.L.Mb.Mub 
M 
Mb 
Ma 
Ma 
Mm 
Ma 
Mb 
Ma 
Mu 
Mua 
Mub 
Mub 
Mua 
Para os casos: Mua = Mub ; Mua > Mub E Mua < Mub 
Mb 
Ma 
par. 2º grau 
Mb 
Mb 
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb 
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb 
Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas 
equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 
 
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92 
 
1- Deslocamentos devido ao efeito de forças reais externas: 
VIGAS E PÓRTICOS PLANOS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (estruturas usuais: vigas, pórticos) 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI  em kN.m2 
 
GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
𝑮 . 𝑱
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (estruturas usuais: grelhas) 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI e GJ  em kN.m2 
 
TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
𝜹 = ∑ [ 
�̅�𝑵 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 
𝑬 . 𝑨
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (estruturas usuais: treliças planas) 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EA  em kN.m2 
 
2- Deslocamentos devido ao efeito da temperatura: 
VIGAS, PÓRTICOS PLANOS E GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material 
constantes; 
𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . 𝑨
𝑵𝟎̅̅ ̅̅
 + [𝜶 . (𝒕𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨
𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅
 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . �̅� . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
 
 
 
 
3- Deslocamentos devido ao efeito de deslocamentos prescritos: 
VIGAS, PÓRTICOS PLANOS, TRELIÇAS E GRELHAS USUAIS: 
𝜹 = - ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) 
Onde: 
 = deslocamento de uma seção s qualquer a ser determinado; 
R_ j = deslocamento prescrito (recalque de apoios), ou seja, recalque em cada apoio; 
�̅�𝒋 = reações de apoio da estrutura devido à ação da força virtual unitária externa; 
Os deslocamentos devido ao efeito dos deslocamentos prescritos são apresentados a 
seguir no tópico 3.3. 
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93 
 
2 Lista de exercícios: 
1) Calcule para a estrutura abaixo os seguintes deslocamentos: 
a) o deslocamento horizontal do ponto c devido apenas a variação de temperatura. 
b) a rotação relativa do ponto do b devido ao efeito combinado (força externas + variação 
de temperatura). 
 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 E = 25 GPa; υ = 0,2;  = 1,0 . 10-5/0C; 
 
2) Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (força externa + acréscimo 
uniforme de temperatura no valor de 30 0C)os seguintes deslocamentos: 
a) o deslocamento vertical do ponto b. 
b) a rotação relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem para a rótula c. 
 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3;  = 1,2 . 10-5/0C; 
 
3) Calcule para a estrutura devido aos acréscimos de temperatura apresentados abaixo 
os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação relativa entre as barras 3 e 4 que concorrem para a rótula d. 
b) o deslocamento vertical do ponto c. 
 
 
 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 23 GPa; υ = 0,2;  = 1,0 . 10-5/0C; 
e 
 7 kN.m 
ti =+50 0C 
6,0 m 
 5 kN 
4,0 m 
a 
b c 
1ª 
2ª 
3ª 
 q= 8 kN/m 
d 
2,0 m 
4,0 m 
 60 cm 
 15 cm 
te = - 5 0C 
ti =+30 0C 
3,0 m 4,0 m 
 7 kN 
4,0 m 
a 
b c 
1ª 
2ª 
3ª 
 q = 10 kN/m 
d 
4,0 m 
 50 cm 
15 cm 
te = + 30 0C 
ti =+38 0C 
4,0 m 
 7 kN.m 
2,0 m 
a 
b 
1ª 
2ª 
3ª 
 q = 13 kN/m 
 40 cm 
 15 cm 
te = -10 0C 
d c 
2,0 m 
4,0 m 3,0 m 
4ª 
 60 cm 
 60 cm 
 60 cm 
 50 cm 
 50 cm 
 50 cm 
 40 cm 
 40 cm 
 40 cm 
 40 cm 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
94 
 
4) Calcule para a estrutura devido ao decréscimo uniforme de temperatura no valor de - 
25 0C apresentado abaixo os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem para a rótula c. 
b) o deslocamento horizontal do ponto b. 
 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3;  = 1,2 . 10-5/0C; 
 
5) Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (força externa + variação de 
temperatura) os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação relativa entre as barras 3 e 4 que concorrem para a rótula d. 
b) o deslocamento vertical do ponto c. 
 
 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 E = 25 GPa; υ = 0,2;  = 1,0x10-5/0C; 
 
 
6) Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (força externa + variação de 
temperatura) os seguintes deslocamentos: 
a) o deslocamento horizontal do ponto d. Seção transversal 
b) o deslocamento vertical do ponto d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 25 GPa; υ = 0,2;  = 1,0 . 10-5/0C; 
d 
4,0 m 3,0 m 1,5 m 
ti = - 25 0C 
e 
4,0 m 
 7 kN 
a d 
b 
3ª 
4ª 
 q = 10 kN/m 
 30 cm 
15 cm 
te = - 25 0C 
c 
4,0 m 6ª 
ti = - 25 0C 
2ª 
te = - 25 0C 
f 
g 
5ª 
1ª 
te = + 15 0C 
e 
a 
 18 kN 
3,0 m 
1,5 m 
5,0 m 
b 
c 
1ª 
2ª 
4ª 
 q= 15 kN/m 
 35 cm 
2,0 m 3,5 m 
2,0 m 
3ª 
f 
ti = + 30 0C 
 30 cm 
 30 cm 30 cm 
 35 cm 
 3,5 kN.m 
 1,5 m 1,5 m 3,0 m 
 3 kN 
 4 kN 
 2,667 kN/m 
5,333 kN/m 
 2 kN.m 
 0,80 m 
 0,80 m 
 1,60 m 
te = + 45 0C 
ti = 0 0C 
 55 cm 
 15 cm 
a 
1ª 
b 
c 
d 
2ª 
3ª 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
95 
 
7) Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (força externa + variação de 
temperatura) os seguintes deslocamentos: 
a) o deslocamento vertical do ponto b. Seção transversal 
b) a rotação relativa do ponto b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3;  = 1,2 . 10-5/0C; 
 
 
8) A estrutura a seguir está submetida ao carregamento externo indicado e a uma 
variação de temperatura caracterizada por uma temperatura - 10 0C nas fibras superiores 
e de 25 0C nas fibras inferiores. Determine os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação absoluta da corda ab devido ao efeito combinado. 
b) o deslocamento vertical do ponto a devido ao efeito combinado. 
 
 Seção transversal das barras 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3;  = 1,2 . 10-5/0C; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 kN 
 4 kN/m 
 1,5 kN 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 8 kN/m 
 4 kN.m 
 6 kN.m 
 2 kN.m 
 0,60 m 
 0,90 m 
 0,90 m 
 3 kN 
te = - 25 0C 
ti = +13 0C 
a 
1ª 
b 
c 
d 
2ª 
3ª 
t* = 1,5 cm 
 15 cm 
 40 cm 
t = 1,5 cm 
t 
3,0 m 
3 kN 
X 
Y 
Z 
 2 kN/m 4 kN 
3,5 m 
2,0 m 
2,5 m 
2 kN 
a b
 a 
c
 a 
d
 a 
e
 a 
f
 a 1ª 
2ª 
 
3ª 
4ª 
5ª 
 35 cm 
 45 cm 
t = 2,0 cm 
t 
 35 cm 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
96 
 
9) A estrutura a seguir está submetida ao carregamento externo indicado e a uma 
variação de temperatura caracterizada por uma temperatura - 15 0C nas fibras superiores 
e - 5 0C nas fibras inferiores. Determine os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação absoluta da corda fg devido ao efeito combinado. 
b) o deslocamento vertical do ponto g devido ao efeito combinado. 
 
 Seção transversal das barras 
 
E = 26 GPa; υ = 0,2;  = 1,0 . 10-5/0C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) A estrutura a seguir está submetida ao carregamento externo indicado e a uma 
variação de temperatura caracterizada por uma temperatura +45 0C nas fibras superiores 
e 10 0C nas fibras inferiores. Determine os seguintes deslocamentos: 
a) o deslocamento vertical do ponto a devido ao efeito combinado. 
b) o deslocamento vertical do ponto f devido ao efeito combinado. 
 
 Seção transversal das barras 
 
E = 26 GPa; υ = 0,2;  = 1,0 . 10-5/0C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3,5 m 
3 kN 
X 
Y 
Z 
 2 kN/m 4 kN 
3,0 m 
2,0 m 
2,5 m 
2 kN 
2 kN.m 5 kN.m 
3 kN.m 
 45 cm 
20 cm 
 45 cm 
1ª 
2ª 
3ª 
4ª 
5ª 
6ª 
a b 
c 
d e 
f 
g 
 60 cm 
15 cm 
 60 cm 
3,5 m 
1 kN 
X 
Y 
Z 
 3 kN/m 
2 kN 
3,0 m 
2,0 m 
2,5 m 
3 kN 
4 kN 
4,0 m 2 kN.m 
4 kN.m 1ª 
e 
4ª 
d 
f 
a 
b
 a 
c 
2ª 
3ª 
5ª