Apostila Teoria II.4

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
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3.3 - Método da força virtual unitária: Efeito de deslocamentos prescritos (ij) 
 Seja a estrutura composta por elementos (peças, barras) representada na figura 
15a, submetida apenas ao efeito de deslocamento prescritos, no caso, os apoios sofrem 
os recalques conhecidos (Calculados pela Mecânica dos Solos), nela indicados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15a: estrutura apenas sob o efeito Figura 15b: estrutura sob o efeito de 
 de deslocamento prescrito (ij) carregamento exterior e 
 deslocamento prescrito 
 
O deslocamento () em uma dada direção, em uma determinada seção s de uma 
estrutura devido à ação de deslocamentos prescritos (recalque de apoio) é determinado 
por meio da equação geral do MFVU, ou seja, da equação (6). 
 
Considerando que a estrutura esteja apenas sob a ação de deslocamentos 
prescritos e que as forças reais externas são nulas, a equação (6), pode ser escrita da 
seguinte forma: 
Forças reais externas = 0 ( N = V = M = T = 0) 
Então: 
𝒅𝜹 =
𝑵
𝑨𝑬
 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝝋 =
𝑴 
𝑬. 𝑰 
 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝝀 =
𝑸
𝑨𝑸 . 𝑮
 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝜽 =
𝑻
𝑮 . 𝑱
 . 𝒅𝒙 
 
𝒅𝜹 = 𝟎 ; 𝒅𝝋 = 𝟎 ; 𝒅𝝀 = 𝟎 ; 𝒅𝜽 = 𝟎; 
 
 = 0 = 0 = 0 = 0 
𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
 + �̅� . 𝒅𝜽 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (6) 
 
s 
s 
ha 
va vb 
a b a b 
va vb 
s 
s 
P1 Pi Pn 
P1 
Pi 
Pn 
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𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = 0 
 
𝜹 = - ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) (25) 
A equação (25) é a expressão geral do MFVU para estruturas compostas por vários 
elementos ((peça do tipo barra: reta ou curva  ex: vigas, treliças, pórticos planos e 
grelhas)) sujeitas ao Efeito de deslocamentos prescritos; 
 
Onde: 
 = deslocamento de uma seção s qualquer a ser determinado; 
R_ j = deslocamento prescrito (recalque de apoios), ou seja, recalque em cada apoio; 
�̅�𝒋 = reações virtuais de apoio da estrutura devido à ação da força virtual unitária 
externa; 
 
 
 
OBS: O produto ( �̅�𝒋 . 𝜹R_ 𝒋 )  envolve dois vetores, portanto, é importante 
mencionar o conceito de multiplicação entre dois vetores: 
EX: 
 
 V1= 10 V2= 5 V1= 10 V2= 5 
 V1 . V2 = 50 V1 . V2 = - 50 
 
recalque de apoio e reação de apoio no mesmo sentido: ( + �̅�𝑗 . 𝛿R_ 𝑗 ) 
 
recalque de apoio e reação de apoio em sentido opostos: ( − �̅�𝑗 . 𝛿R_ 𝑗 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Efeito combinado: Deslocamento devido ao efeito combinado de força externa + 
deslocamentos prescritos; 
Para estruturas usuais o deslocamento total é determinado somando-se o 
deslocamento provocado por cada efeito calculado em separado, e ao final soma-se 
estes deslocamentos de forma a obter deslocamento total; 
 
 
Deslocamento total: 
 O deslocamento total () em uma dada direção, em uma determinada seção s de 
uma estrutura é obtido por meio da soma das parcelas de deslocamentos produzidos por 
cada solicitação real externa que atua sobre a estrutura: 
 - Deslocamento devido ao efeito de forças reais externas (F); 
 - Deslocamento devido ao efeito da temperatura (t); 
 - Deslocamento devido ao efeito de Deslocamentos prescritos (R); 
 
 Portanto, para estruturas submetidas ao efeito combinado de duas ou três 
solicitações externas apresentam deslocamentos finais em uma seção qualquer s, cujos 
valores são determinados calculando-se o deslocamento produzido por cada uma das 
solicitações em separado e ao final o deslocamento total é obtido somando-se estes 
deslocamentos. 
Exemplos: 
Ex1: Estrutura  efeito de força real externa + efeito da temperatura 
  = F + t 
 
Ex2: Estrutura  efeito de força real externa + efeito de deslocamentos prescritos 
  = F + R 
 
Ex3: Estrutura  efeito de força real externa + efeito da temperatura + efeito de 
deslocamentos prescritos 
  = F + t + R 
 
 
 
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Resumo3: 
 
Método da Força Virtual Unitária (MFVU): Efeito de deslocamentos prescritos 
Este método é utilizado para calcular um determinado deslocamento de uma seção 
transversal qualquer de uma estrutura isostática submetida a ação de deslocamentos 
prescritos (recalque de apoios). 
 
Por exemplo, para o pórtico isostático plano submetido à ação de deslocamentos 
prescritos ilustrado na figura 16, a seção transversal C apresenta um deslocamento 
vertical V e um deslocamento horizontal h devido à ação de deslocamentos prescritos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 16: Pórtico isostático plano deformado devido a ação 
de deslocamentos prescritos (recalque de apoios) 
 
 A seguir é apresentando o procedimento para determinar o deslocamento vertical 
da seção transversal C; 
 
 Vale ressaltar que o procedimento apresentando a seguir é válido para calcular 
qualquer tipo de deslocamento de uma seção transversal s de uma estrutura isostática 
(VIGAS, PÓRTICOS, GRELHAS E TRELIÇAS) sob a ação da deslocamentos 
prescritos; 
 
v_A  deslocamento vertical do apoio A (valor conhecido); 
h_A  deslocamento horizontal do apoio A (valor conhecido); 
v_B  deslocamento vertical do apoio B (valor conhecido); 
h 
v 
h_A 
v_A 
h_BCurso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
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1º Passo: considera-se a estrutura submetida apenas à ação de uma força virtual 
unitária externa compatível ao deslocamento a ser determinado, sendo esta força 
aplicada sobre a seção transversal em questão. 
 
Esta força virtual unitária externa compatível é definida consultando a tabela 2; 
Por exemplo: 
Ex1: deseja-se calcular o deslocamento horizontal de uma seção s qualquer: 
Tabela 2: aplica-se uma força unitária virtual horizontal sobre a seção s. 
 
Ex2: deseja-se calcular o deslocamento vertical de uma seção s qualquer: 
Tabela 2: aplica-se uma força unitária virtual vertical sobre a seção s. 
 
Para determinar o deslocamento vertical da seção transversal c do pórtico 
isostático plano aplica-se uma força virtual unitária vertical sobre a seção c; 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 17: Estrutura sujeita à ação da força virtual unitária externa 
 
OBS1: NÃO É NECESSÁRIO ESBOÇAR NENHUM DIAGRAMA DE ESFORÇO, basta 
apenas calcular o valor das reações de apoio virtual; 
 
2º Passo: Inserir os valores das reações de apoio virtual e dos correspondentes 
deslocamentos prescritos na equação a seguir: 
𝜹 = - ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) 
 
OBS: O produto ( �̅�𝒋 . 𝜹R_ 𝒋 )  envolve dois vetores, portanto, é importante 
mencionar o conceito de multiplicação entre dois vetores: 
EX: 
 R = 10 ; = 1,5 R  R  
 R .  = 5 R .  = - 5 
recalque de apoio e reação de apoio no mesmo sentido: ( + �̅�𝑗 . 𝛿R_ 𝑗 ) 
recalque de apoio e reação de apoio em sentido opostos: ( − �̅�𝑗 . 𝛿R_ 𝑗 ) 
�̅� = 𝟏 : força virtual 
unitária compatível ao 
tipo de deslocamento que 
deseja-se determinar  
�̅� = 𝟏 
Determinar o valor das reações 
de apoio virtual: R j̅ ; 
 
 devido EXCLUSIVAMENTE a 
ação da força virtual unitária 
�̅� = 𝟏 s 
�̅� = 𝟏 
s 
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Exemplo10: Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (forças externas + 
deslocamento prescrito) o deslocamento vertical do ponto F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deslocamentos prescritosij): 
bv = 2,0 cm; dv = 2,0 cm; ev = 4,0 cm; 
 
E = 23 GPa; υ = 0,2 ; = 1,0x105/0C; 
 
Resolução: Expressando EI e GJ em: kN.m2 
OBS: b = 15 cm; h = 20 cm; 
Momento de inércia da seção: I = Iy = hb3/12 = 0,563 . 10-4 m4 
 
Momento de inércia polar da seção: J = Iz + Iy = bh3/12 + hb3/12 = 1,563 . 10- 5 m4 
 
Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 23 . 109 N/m2 = 23 . 106 kN/m2 
Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 9,583 . 106 kN/m2 
 
EI = 23 . 106 kN/m2 . 0,563 . 10-4 m4 = 1,295 . 103 kN.m2 
GJ = 9,583 . 106 kN/m2 . 1,563 . 10-4 m4 = 1,498 . 103 kN.m2 
 
 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto F da grelha. 
 =? 
De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária no ponto F. 
 Caso 1 da tabela 2 
 
2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑻 ̅̅ ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 kN 
 5 kN 
 2 kN. m 
a X 
Y Z 
15 cm 
20 cm 
b 
c d 
e 
f 
a X 
Y 
Z 
c d 
e 
f 
 2,0 m 
 2,5 m 
 4,0 m 
 2,0 m 
 2,5 m 
 4,0 m 
 Fu = 1 
b 
 Ve 
 Vd 
 Vb 
+  Fz = 0  Vb + Vd + Ve = 1 
 
 Tce = 0 +  4 . Vb - 1.4 = 0 
 Vb = 1 
 
 Tef = 0 +  4,5 . Vb + 2,5 . Vd = 0 
 Vd = -1,8  Vd = 1,8 
 
 Fz = 0  Vb - Vd + Ve = 1 
 Ve = 1,8 
 
 
 
 
 
 
 15 cm 
1a 2a 
3a 
4a 
5a 
1a 2a 
3a 
4a 
5a 
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3 - Esboçar os diagramas reais: M e T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a X 
Y 
Z 
c d 
e 
f 
 2,0 m 
 2,5 m 
 4,0 m 
b 
 Ve 
 Vd 
 Vb 
+  Fz = 0  Vb + Vd + Ve = 8 kN 
 
 Tce = 0 +  4 . Vb - 2 = 0 
 Vb = 0,5 kN 
 
 Tef = 0 +  - 3 . 4,5 + Vb . 4,5+ Vd . 2,5 = 0 
 Vd = 4,5 kN 
 
 Fz = 0  Vb + Vd + Ve = 8  Ve = 3 kN 
 
 
 
 
 
 
 3 kN 
 5 kN 
 2 kN. m 
Diagrama de momento fletor virtual e momento torçor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑻 ̅̅ ̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
 
 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 𝑻 ̅ 
Diagrama de momento fletor real e momento torçor real: M ; T 
- devido à ação das forças reais externas 
 
 
 
1a 2a 
3a 
4a 
5a 
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4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto f (=?) devido ao efeito combinado (forças 
externas + deslocamentos prescritos) 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
𝑮 . 𝑱
]
0
𝑖=1,2,𝑛
𝑜
 + [ − ∑ �̅�𝒋
𝒋
. 𝜹p_ 𝒋 ] 
 
Forças externas Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
Barra 2: 
 𝑇2̅ = 0 ; T2 = 0 kN.m 
 
 - 1/6.L2. [ Mb . Mua ] 
 - 1/6. 4,0 . [ 2 . 4) ] = - 5,333 𝑇2̅. 𝑇2 . 𝐿2 = 0 . 0 . 4 = 0 
 
Barra 3: 
 𝑇3̅ = −4 ; T3 = 0 kN.m 
 
 - 1/3.L3. [ Mb .Mub ] 
 -1/3. 2,0 . [ 5 . 2) ] = - 6,667 𝑇3̅. 𝑇3 . 𝐿3 = −4 . 0 . 2 = 0 
 
Barra 4: 
 𝑇4̅ = −4 ; T4 = 0 kN.m 
 
 - 1/3.L4. [ Ma .Mua] 
 -1/3. 2,5 . [ 5 . 2) ] = - 8,333 𝑇4̅. 𝑇4 . 𝐿4 = −4 . 0 . 2,5 = 0 
 
Contribuição das forças externas: 
𝜹𝒇 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
𝑮 . 𝑱
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
f= [ - 5,333 + (- 6,667) + (- 8,333) ] + 0 
 1,295 . 103 1,498 . 103 kN.m2 

f= - 0,0157 m 
 
Deslocamentos prescritosParcela contribuinte de cada reação de apoio da estrutura: 
contribuição dos deslocamentos prescritos 
𝜹𝑹 = − ∑ �̅�𝒋
𝒋
. 𝜹R_ 𝒋 = −[(−�̅�𝒃 . 𝜹𝒃𝑽) + (�̅�𝒅 . 𝜹𝒅𝑽) + (−�̅�𝒆 . 𝜹𝒆𝑽)] 
 = - [(- 1 . 2,0 . 10-2) + (1,8 . 2,0 . 10-2) + (-1,8 . 4,0 . 10-2) ] = + 5,6 . 10-2 

 
Deslocamento total devido ao efeito combinado: 

total= f + R = - 0,0157 + 0,056 = 0,0403 m = 4,03 cm
 
O valor positivo indica que o sentido arbitrado está correto, 
ou seja, o ponto f sofre um deslocamento vertical de 4,03 cm para baixo, 
conforme arbitrado inicialmente. 
Mua = 4 
Mb = 2 kN.m 
 
Mub = 2 
Mb = 5 kN.m 
 
Mua = 2 
Ma = 5 kN.m 
 
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Exemplo11: Utilizando o exemplo 2, calcule para a estrutura devido ao efeito combinado 
(forças externas + deslocamento prescrito) a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que 
concorrem para a rótula b; 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3; 
 
 
 
 
Resolução: Expressando EI em: kN.m2 
OBS: b = 40 cm; h = 50 cm; tb = 2,0 cm; th = 2,5 cm; 
Momento de inércia da seção: I = Iy = b3 tb /6 = 2,1333 . 10- 4 m4 
Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 . 109 N/m2 = 205 . 106 kN/m2 
EI = 205 . 106 kN/m2 . 2,1333 . 10- 4 m4 = 4,3733 . 10 4 kN.m2 
UTILIZANDO O MESMO DESENVOLVIMENTO DO EXEMPLO2 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que 
concorrem para a rótula b. 
 =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momento virtual 
 unitária em torno da rótula b. 
 Caso 4 da tabela 2 
 
2 - Esboçar o diagrama virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1ª ordem: 
 Mb= 0 +  Vd . 5,0 + 1,0 = 0 
 Vd = 1/5 = - 0,2 
 Vd = 0,2 
 
 +  Fy = 0  Vb - Vd = 0 
 Vb = 0,2 
2ª ordem: 
Ma= 0 +  - Ma - 1,0 = 0  Ma = -1  Ma = 1 
 q= 15 kN/m B 
 Mu = 1 
 Mu = 1 
b 
3,0 m 
b c 
d 
2ª 
4ª 
e 
3,0 m 
 Vd = 0,2 
4,0 m 
a 
5,0 m 1ª 
3ª Mu = 1 
 Mu = 1 
b c 
d 
e 
a 
 Q. 1ª ordem 
 Q. 2ª ordem 
 Hb = 0 
 vb = 0,2 
 vb’ = 0,2 
 Ha = 0 
 va = 0,2 
 Ma = 1 
Deslocamentos prescritos: 
Apoio a: av = 2,0 cm; ah = 1,0 cm;a = 2 . 10-3 rad 
Apoio b: dv = 3,5 cm;  
 10 kN 
4,0 m 
a 
5,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
1ª 
2ª 
3ª 
 q= 18 kN/m 15 kN 
4ª e 
3,0 m 
 40 cm 
50 cm 
t 
t* 
 t = 2,0 cm 
 t* = 2,5 cm 40 cm 
 40 cm 
 40 cm 
 40 cm 
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3 - Esboçar o diagrama real: M 
 
 
 
 
 
 
 
 1ª ordem: 
 Mb= 0 + Vd .5,0 - R.2,5 - 15. 8,0=0 
 Vd = 345/5 = 69 kN 
 
 +  Fy = 0  Vb + Vd = 105 
 Vb = 36 kN 
 
 2ª ordem: 
 Ma= 0 +  - Ma + 10. 4,0 = 0  Ma = 40 kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
3,0 m 
b c 
d 
2ª 4ª e 
3,0 m 
 Vd = 69 KN 
4,0 m 
a 
5,0 m 
1ª 
3ª 
 Q. 1ª ordem 
 Q. 2ª ordem 
 Hb = 10 kN 
 vb = 36 kN 
 vb’ = 36 kN 
 Ha = 10 kN 
 va = 36 kN 
 Ma = 40 kN.m 
R = 90 KN 
 10 kN 
 15 kN 
 10 kN 
 15 kN 
 Hb’ = 10 kN 
Diagrama de momento fletor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ 
- devido à ação força virtual unitária 
 
 
 
𝑴 ̅̅̅̅ 
Diagrama de momento fletor real: M 
- devido à ação das forças reais externas 
 
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107 
 
4 - Cálculo da rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b. 
( =?) devido ao efeito combinado (forças externas + deslocamentos prescritos) 
 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ]]
0
𝑖=1,2,𝑛
0
 + [ − ∑ �̅�𝒋
𝒋
. 𝜹p_ 𝒋 ] 
 
 
Forças externas Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: 
 
A contribuição das forças externas não precisa ser calculada, pois este exemplo 10 utiliza 
o exemplo 2, onde já foi determinadoa rotação relativa entre as barras 1 e 2 devido à 
ação das forças externas cujo valor foi de aproximadamente: 
F= - 3,115 . 10-3 rad 
 
 
Deslocamentos prescritosParcela contribuinte de cada reação de apoio da estrutura: 
contribuição dos deslocamentos prescritos 
 
𝜹𝑹 = − ∑ �̅�𝒋
𝒋
. 𝜹R_ 𝒋 = −[(−�̅�𝒂 . 𝜹𝒂𝑽) + (�̅�𝒂 . 𝜹𝒂𝑯) + (�̅�𝒂 . 𝜹𝒂𝜽) + (�̅�𝒅 . 𝜹𝒅𝑽) ] 
 
R = - [ (- 0,2 . 2,0 . 10-2) + 0 + (1,0 . 2,0 . 10-3) + (0,2 . 3,5 . 10-2)] = - 5,0 . 10-3 rad 
R= - 5,0 . 10-3 rad 
 
 
Deslocamento total devido ao efeito combinado: 

total= f + R = (- 3,115 . 10-3 ) + (- 5,0 . 10-3) = - 8,115 . 10-3 rad 
 
 
 
O valor negativo indica que o sentido arbitrado está errado, 
ou seja, as barras 1 e 2 sofrem uma rotação relativa de 
8,115 . 10-3 rad no sentido contrário ao arbitrado inicialmente. 
O sentido correto é ilustrado ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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108 
 
 
 
 
 
 
A seguir é apresentado o material que será disponibilizado 
pelo professor para consulta no dia da avaliação; 
 
 
Dica: Treinar o uso deste material disponibilizado no dia da 
avaliação por meio da resolução de exercícios das listas; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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109 
 
A tabela 1 apresenta as propriedades de seção A, Iy, Iz, fy, fz e J para as seções 
transversais mais usuais. 
 
 tabela 1: propriedades para as seções transversais mais usuais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
h 
h>b 
𝐼𝑧 = 
𝑏ℎ3
12
 
𝐼𝑦 = 
ℎ𝑏3
12
 
𝐽 = 
𝑏ℎ3
12
+
ℎ𝑏3
12
=
𝑏ℎ3 + ℎ𝑏3
12
 
𝐴 = 𝑏 . ℎ 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 1,2 
z 
y 
z 
y 
r 
𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 = 
𝜋𝑟4
4
 𝐽 = 
𝜋𝑟4
4
+
𝜋𝑟4
4
=
𝜋𝑟4
2
 
𝐴 = 𝜋𝑟2 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 1,11 
z 
y 
r 
t 
𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 ≅ 𝜋𝑟
3𝑡 𝐽 = 𝜋𝑟3𝑡 + 𝜋𝑟3𝑡 ≅ 2𝜋𝑟3𝑡 
𝐴 ≅ 2𝜋𝑟𝑡 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 2,0 
z 
y 
b 
h>b 
h 
th th 
tb 
tb 
𝐼𝑧 ≅ 
ℎ2
6
(ℎ𝑡ℎ + 3 𝑏𝑡𝑏) 𝐽 ≅ 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 
𝑓𝑧 = 
𝐴
2𝑏𝑡𝑏
 𝑓𝑦 = 
𝐴
2ℎ𝑡ℎ
 
𝐼𝑦 ≅ 
𝑏2
6
(𝑏𝑡𝑏 + 3 ℎ𝑡ℎ) 𝐴 ≅ 2( 𝑏𝑡𝑏 + ℎ𝑡ℎ) 
z 
y 
b 
h 
tb 
tb 
th 
𝐼𝑧 ≅ 
ℎ2
12
(ℎ𝑡ℎ + 6 𝑏𝑡𝑏) 𝐽 ≅ 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 
𝑓𝑧 = 
𝐴
2𝑏𝑡𝑏
 𝑓𝑦 = 
𝐴
ℎ𝑡ℎ
 
𝐼𝑦 ≅ 
𝑏3𝑡𝑏
6
 𝐴 ≅ ( ℎ𝑡ℎ + 2𝑏𝑡𝑏 ) 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
110 
 
Cada tipo de deslocamento a ser determinado exige a aplicação de uma força 
virtual unitária externa compatível com o deslocamento a ser calculado, conforme 
apresentado na tabela 2 a seguir. 
 
 Tabela 2: Escolha do Modelo de força virtual unitária 
 
Deslocamento (  ) a calcular da seção s 
 
Força virtual unitária 
 
 
1 - translação vertical, ou seja, deslocamento linear 
vertical de uma seção s 
 
 
 
2 - translação horizontal, ou seja, deslocamento 
linear horizontal de uma seção s 
 
 
 
3 - rotação, ou seja, deslocamento angular de uma 
seção s 
 
 
 
4 - rotação relativa entre duas barras i e j que 
concorrem para a mesma rótula 
 
 
 
 
5 - rotação relativa entre duas seções s e s’ de 
uma mesma barra 
 
 
 
6 - rotação absoluta de uma corda AB 
 
 
 
 
 
7 - rotação relativa de 2 cordas AB e CD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 - variação do comprimento de uma corda que une 
2 pontos A e B 
 
 
 
 
 
 
 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
 
s 
s 
 
s 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
s 
 
s 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
i 
 
i j 
 
j 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
s 
 
s 
s’ 
 
s’ 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
�̅�𝒖 = 𝟏 
 
�̅� = 𝟏 
A 
B 
�̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 
 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 
 
 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 
(AB = L) 
A 
B 
C 
D
C 
(AB = L1) 
(CD = L2) 
 
 
�̅�𝒖𝟏 
A 
B 
�̅�𝒖 = 𝟏 
�̅�𝒖𝟏 = 𝟏/𝑳𝟏 
�̅�𝒖𝟐 = 𝟏/𝑳𝟐 
�̅�𝒖𝟐 
�̅�𝒖 = 𝟏 
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111 
 
A tabela de integração desenvolvida pelo pesquisador A. N. Vereshchagin 
fornece equações que geram resultados numericamente iguais aos obtidos no processo 
de integração. Esta tabela é apresentada a seguir como tabelas 3a e 3b. 
 
Tabela 3a: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama 
de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/2.L.M.Mub 
 
 
1/2.L.M.Mua 
 
1/2.L.M.(Mua+ Mub) 
 
1/2.L.M.(Mua+ Mub) 
 
 
 
 
1/3.L.Mb.Mub 
 
1/6.L.Mb.Mua 
 
1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 
 
1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 
 
 
 
 
1/6.L.Ma.Mub 
 
1/3.L.Ma.Mua 
 
1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 
 
1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 
 
 
 
 
1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 
 
1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
 
 
 
1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 
 
1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
 
 
 
 
1/3.L.Mm.Mub 
 
1/3.L.Mm.Mua 
 
1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) 
 
1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) 
 
 
 
 
 # # 
 
1/6.L.(Ma - 2Mb).Mub 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/6.L.(2Ma - Mb).Mua 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)- 
Mb.(Mua+2Mub)] 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)- 
Mb.(Mua+2Mub)] 
OBS1: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra  deve ser 
inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. 
Exemplos:Mub Mua 
M 
Mb 
Ma 
Ma 
Mb 
Ma 
par. 2º grau 
Mm 
Mb 
Ma 
Mb 
Mua 
Mub Mua 
Mub 
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb 
Mb 
Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
- 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
1/3.L.Mb.Mub 
 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
 
 - 1/3.L.Mb.Mub 
Mua ou Mub tracionando lado oposto ao do Ma:  
inserir o sinal de ( - ) no início da equação 
Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas 
equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 
 
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112 
 
Tabela 3b: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama 
de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
***** 
 
 
 
 
***** 
 
 
 
 
L.M.Mu 
 
 
1/2.L.M.( Mua - Mub) 
 
1/2.L.M.(- Mua + Mub) 
 
 
 
 
1/2.L.Mb.Mu 
 
1/6.L.(Mua - 2Mub).Mb 
 
1/6.L.(-Mua +2Mub).Mb 
 
 
 
 
1/2.L.Ma.Mu 
 
1/6.L.(2Mua - Mub).Ma 
 
1/6.L.(-2Mua + 2Mub).Ma 
 
 
 
1/2.L.(Ma+Mb).Mu 
 
1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)- 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+ 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
 
 
 
1/2.L.(Ma+Mb).Mu 
 
1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)- 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+ 
Mub.(Ma+2Mb)] 
 
 
 
 
 
2/3.L.Mm.Mu 
 
1/3.L.(Mua - Mub).Mm 
 
1/3.L.(- Mua + Mub).Mm 
 
 
 
 
 # # 
 
1/2.L.(Ma - Mb).Mu 
 
 
 
 
 
1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+ 
Mub(-Ma+2Mb)] 
 
1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+ 
Mub(Ma - 2Mb)] 
 
 
 
 
 # # 
 
1/2.L.(-Ma + Mb).Mu 
 
 
 
 
 1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+ 
Mub(Ma - 2Mb)] 
 
 1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+ 
Mub(-Ma+2Mb)] 
 
OBS: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra  deve ser 
inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mb 
Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
Mb Mub 
- 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
1/3.L.Mb.Mub 
 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
 
 - 1/3.L.Mb.Mub 
M 
Mb 
Ma 
Ma 
Mm 
Ma 
Mb 
Ma 
Mu 
Mua 
Mub 
Mub 
Mua 
Para os casos: Mua = Mub ; Mua > Mub E Mua < Mub 
Mb 
Ma 
par. 2º grau 
Mb 
Mb 
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb 
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb 
Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas 
equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 
 
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113 
 
1- Deslocamentos devido ao efeito de forças reais externas: 
VIGAS E PÓRTICOS PLANOS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (estruturas usuais: vigas, pórticos) 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI  em kN.m2 
 
GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
𝜹 = ∑ [ 
𝟏 
𝑬. 𝑰 
[∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
𝑮 . 𝑱
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (estruturas usuais: grelhas) 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EI e GJ  em kN.m2 
 
TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
𝜹 = ∑ [ 
�̅�𝑵 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 
𝑬 . 𝑨
]
0
𝑖=1,2,𝑛
 (estruturas usuais: treliças planas) 
Onde: i = Número da barra_i da estrutura 
 EA  em kN.m2 
 
2- Deslocamentos devido ao efeito da temperatura: 
VIGAS, PÓRTICOS PLANOS E GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material 
constantes; 
𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . 𝑨𝑵𝟎̅̅ ̅̅ + [𝜶 . (𝒕
𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅ ]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 
𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕
𝒈 . �̅� . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂]
0
𝑖=1,2,𝑛
 
 
3- Deslocamentos devido ao efeito de deslocamentos prescritos: 
VIGAS, PÓRTICOS PLANOS, TRELIÇAS E GRELHAS USUAIS: 
𝜹 = - ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) 
Onde: 
 = deslocamento de uma seção s qualquer a ser determinado; 
R_ j = deslocamento prescrito (recalque de apoios), ou seja, recalque em cada apoio; 
�̅�𝒋 = reações de apoio da estrutura devido à ação da força virtual unitária externa; 
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114 
 
3 Lista de exercícios: 
1) Calcule para a estrutura devido aos recalques dos apoios os seguintes 
deslocamentos: 
a) a rotação relativa entre as barras 4 e 5 que concorrem para a rótula e. 
b) o deslocamento vertical do ponto d. 
 
 
 
Deslocamentos prescritos: 
 
 
 
 
 
 
 
2) Exercício 6 da 1 Lista: Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado os 
seguintes deslocamentos: 
a) a rotação do ponto a devido ao recalque dos apoios; 
b) o deslocamento horizontal do ponto b; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Deslocamentos prescritos: 
E = 205 GPa; υ = 0,3 
 
 
3) Exercício 9 da 1Lista: Calcule para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento 
vertical do ponto a devido ao efeito combinado (carregamento exterior + recalque dos 
apoios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Deslocamentos prescritos 
 
 
E = 26 GPa; υ = 0,2 
3,0 m 4,0 m 3,0 m h 
hv = 2,0 cm 
a 
av = 3,0 cm 
ah = 1,5 cm 
a 
1ª 
3,0 m 
 60 cm 
Seção transversal 
b 
c 
d 
e 
f 
g 
h 
3,0 m 
a = 1,5 . 10-3 rad 
hh = 2,5 cm 
2ª 
3ª 
4ª 
5ª 
6ª 
7ª 
3,0 m 
 2 kN 
4,0 m 
a 
b c 
1ª 
2ª 
3ª 
 q= 9 kN/m 
d 
4,0 m 
1,5 cm 
 15 cm 
 60 cm 
av = 1,0 cm dv = 2,5 cm 
a d 
4,0 m 
X 
Y 
Z 
 q = 30 kN/m30 kN 
3,0 m 
3,0 m 
29 kN. m 
18 kN. m 
30 kN 
a 
1ª 
b c 2ª 
3ª 
100 cm 
20 cm 
bv = 1,5 cm 
b 
cv = 2,5 cm 
c 
dv = 3,5 cm 
d 
d 
 60 cm 
 60 cm 
 15 cm 
Seção transversal 
 60 cm 
 60 cm 
 100 cm 
Seção transversal 
1,5 cm 
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115 
 
4) Exercício 4 da 1Lista: Determine o deslocamento vertical do ponto c do pórtico 
esquematizado na figura abaixo devido ao efeito combinado (carregamento exterior + 
recalque dos apoios), sendo E = 25 GPa. 
 
 
 
 
 
 Deslocamentos Prescritos: 
 
 
 
 
5) Exercício 8 da 1Lista: Calcule para a estrutura apresentada abaixo devido ao efeito 
combinado (carregamento exterior + recalque dos apoios) os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação relativa entre as barras 2 e 4 que concorrem para a rótula c; 
b) o deslocamento horizontal do ponto f; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3 Deslocamentos prescritos: 
 
 
 
 
6) Exemplo2: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo devido ao efeito combinado 
(carregamento exterior + recalque dos apoios) os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação relativa entre as barras 1 e 2; 
b) o deslocamento vertical do ponto e; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Deslocamentos prescritos: 
E = 205 GPa; υ = 0,3 
 
 
d 
1,5 m 
b a 1ª 
1,5 m 
c d 
2,0 m 
q = 10 kN/ m 
3ª 
100 cm 
15 cm 
2ª 
1,5 m 
av = 2,5 cm 
a 
dv = 3,0 cm 
ah = 1,5 cm 
 10 kN 
4,0 m 
a 
5,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
1ª 
2ª 
3ª 
 q= 18 kN/m 15 kN 
4ª e 
3,0 m 
a 
av = 2,0 cm ah = 1,5 cm 
a = 1,5 . 10-3 rad 
d 
dv = 1,5 cm 
f d 
4,0 m 
4,0 m 
a 
b c 
1ª 
2ª 
3ª 
 q= 10 kN/m 
e 
3,0 m 
t = 2,0 cm 
3,0 m 
 q = 15 kN/m 
5ª 
4ª 
d = 50 cm 
av = 2,5 cm 
a d 
dv = 1,5 cm 
ah = 1,5 cm dh = 1,0 cm 
 100 cm 
 100 cm 
Seção transversal 
Seção transversal 
 40 cm 
 50 cm 
 
 40 cm 
 40 cm 
 40 cm 
 40 cm 
Seção transversal 
2,5 cm 
2 cm 
fv = 1,0 cm 
f 
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116 
 
7) Exercício 5 da 1Lista: Calcule para a estrutura apresentada abaixo devido ao efeito 
combinado (carregamento exterior + recalque dos apoios) a rotação relativa entre as 
barras 2 e 3; 
 
 
 Seção transversal das barras 
 
 
 
 
 
 
 
E = 25 GPa; υ = 0,2 Deslocamentos prescritos: 
 
 
 
 
 
8) Exercício 10 da 1Lista: Calcule para a estrutura apresentada abaixo devido ao efeito 
combinado (carregamento exterior + recalque dos apoios) o deslocamento vertical do 
ponto c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção transversal das barras 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3 
 
 
 
 
 
 
 
 Deslocamentos prescritos: 
 
 
 
 
 
av = 2,5 cm 
a 
d 
dv = 1,0 cm 
ah = 1,5 cm 
a 
av = 2,0 cm 
a = 1,5 x 10-3 rad 
4,0 m 
a 
5,0 m 
b 
d 
1ª 
2ª 
3ª 
 3 kN/m 
20 cm 
 60 cm 
2 kN.m 
2 kN.m 
 60 cm 
 60 cm 
 60 cm 
c 
b 
1,5 m 
X 
Y 
Z 
 3 kN/m 
2 kN 
2,0 m 
2,0 m 
4 kN. m 
a 
1ª 
c 
d 
2ª 
3ª 
4 kN 
 35 cm 
45 cm 
t = 2,0 cm 
t 
 35 cm 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
117 
 
9) Exercício 6 da 2Lista: Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (forças 
externas + variação de temperatura + deslocamentos prescritos) os seguintes 
deslocamentos: 
a) o deslocamento horizontal do ponto d. Seção transversal 
b) o deslocamento vertical do ponto d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 25 GPa; υ = 0,2;  = 1,0 . 10-5/0C; 
 Deslocamentos prescritos: 
 
 
 
 
 
10) Exercício 7 da 2Lista: Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (forças 
externas + variação de temperatura + deslocamentos prescritos) os seguintes 
deslocamentos: 
a) o deslocamento vertical do ponto b. Seção transversal 
b) a rotação relativa do ponto b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3;  = 1,2 . 10-5/0C; 
 
 Deslocamentos prescritos: 
 
 
 3,5 kN.m 
 1,5 m 1,5 m 3,0 m 
 3 kN 
 4 kN 
 2,667 kN/m 
5,333 kN/m 
 2 kN.m 
 0,80 m 
 0,80 m 
 1,60 m 
te = + 45 0C 
ti = 0 0C 
 55 cm 
 15 cm 
a 
1ª 
b 
c 
d 
2ª 
3ª 
 6 kN 
 4 kN/m 
 1,5 kN 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 8 kN/m 
 4 kN.m 
 6 kN.m 
 2 kN.m 
 0,60 m 
 0,90 m 
 0,90 m 
 3 kN 
te = - 25 0C 
ti = +13 0C 
a 
1ª 
b 
c 
d 
2ª 
3ª 
t* = 1,5 cm 
 15 cm 
 40 cm 
t = 1,5 cm 
t 
av = 2,5 cm 
a c 
cv = 1,0 cm 
ah = 1,5 cm 
av = 2,5 cm 
a c 
cv = 1,0 cm 
ah = 1,5 cm