Apostila Probabilidade e Estatística

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Cap´ıtulo 1
CONCEITOS INICIAIS
1.1 INTRODUC¸A˜O
A Estat´ıstica trabalha com a coleta, apresentac¸a˜o, ana´lise e uso de dados para a resoluc¸a˜o de
problemas, tomada de deciso˜es, desenvolvimento de estimativas e planejamento e desenvolvi-
mento tanto de produtos quanto de procedimentos.
A Estat´ıstica e´ usada em va´rios sentidos. Pode referir-se na˜o so´ a simples tabulac¸a˜o de
informac¸o˜es nume´ricas, como a relato´rios de transac¸o˜es na bolsa de valores, como ao corpo de
te´cnicas utilizadas para processar ou analisar dados. A palavra Estat´ıstica e´ de origem grega
statisto´s que significa estabelecer ou verificar. Este ramo da cieˆncia tambe´m pode ser definido
como a parte da matema´tica em que se investigam os processos de obtenc¸a˜o, organizac¸a˜o e ana´lise
de dados sobre determinada populac¸a˜o ou amostra e os me´todos de obtenc¸a˜o de concluso˜es, fazer
infereˆncia, ilac¸o˜es ou predic¸o˜es com base nesses dados.
Nas u´ltimas de´cadas teˆm ocorrido um crescimento acentuado do uso das te´cnicas estat´ısticas,
uma vez que atrave´s delas e´ poss´ıvel estudar fenoˆmenos e prever alguns resultados, e ainda e´
poss´ıvel melhorar ı´ndices.
A esseˆncia de uma ana´lise estat´ıstica e´ tirar concluso˜es sobre uma populac¸a˜o, ou
universo, com base em uma amostra de observac¸o˜es.
1.2 Pesquisas, dados, variabilidade e estat´ıstica
Normalmente Estat´ıstica esta´ associado a nu´meros, tabelas e nu´meros, mas a importaˆncia da
Estat´ıstica fica melhor representada por dois ingredientes comuns: dados e variabilidade.
Para o engenheiro conhecer as propriedades f´ısicas de um novo material, tais como dureza,
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flexibilidade, densidade, porosidade, entre outros pode ser fatores que podera˜o por a casa a pique!
Em geral, a busca por melhorias na qualidade de um processo produtivo implica a reduc¸a˜o
da variabilidade. A variabilidade pode ser reduzida com investimentos em pessoal, ma´quinas
e tecnologia, mas muitas vezes ela pode ser acomodada com o conhecimento de relac¸o˜es entre
fatores do processo e caracter´ısticas funcionais do produto, o que envolve conhecimentos de
engenharia, pesquisas, dados e ana´lises estat´ısticas.
1.3 A Estat´ıstica na Engenharia
Logo apo´s a Revoluc¸a˜o Industrial, me´todos estat´ısticos foram incorporados nos processos
industriais para garantir a qualidade dos produtos. Amostras de itens produzidos eram avaliadas
sistematicamente para inferir se o processo estava sob controle. Mais recentemente, a avaliac¸a˜o
da qualidade passou a ser feita ao longo do processo produtivo como forma de corrigir eventuais
falhas no sistema assim que elas aparecessem. Isso levou a um aumento da qualidade do produto
final e reduc¸a˜o de custos, pois se reduziriam drasticamente as perdas por defeitos.
Ale´m do acompanhamento estat´ıstico da qualidade, as indu´strias costumam fazer experimen-
tos estatisticamente planejados para encontrar a combinac¸a˜o dos n´ıveis dos fatores do processo
que levem a melhor qualidade poss´ıvel. Na outra ponta, as empresas levantam dados de amostras
de consumidores para realizar pesquisas de marketing direcionadas ou para adequar os produ-
tos aos clientes. O planejamento dessas amostras e a ana´lise dos dados necessitam de te´cnicas
estat´ısticas.
Muitas vezes, a relac¸a˜o entre estat´ıstica e engenharia e´ ainda mais estreita. Os pro´prios
me´todos de engenharia costumam incorporar intrinsecamente procedimentos probabil´ısticos ou
estat´ısticos.
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A Estat´ıstica pode ser dividida em 4 grandes grupos:
1. Amostragem: subconjuntos com as mesmas caracter´ısticas da populac¸a˜o, usada em quase
tudo na Estat´ıstica;
2. Estat´ıstica Descritiva: descreve e organiza os dados atrave´s de tabelas, gra´ficos e nu´meros
ı´ndices;
3. Probabilidade: estudo de fenoˆmenos aleato´rios que ocorrem ao acaso (incerteza);
4. Infereˆncia Estat´ıstica: ferramentas para tomadas de decisa˜o acerca da populac¸a˜o (Testes
de hipo´teses, Intervalos de confianc¸a, ANOVA).
1.4 Estat´ıstica descritiva e infereˆncia estat´ıstica
Os governos veˆm, de longa data, utilizando recenceamentos como forma de contar indiv´ıduos e
propriedades, e o escopo de descrever, resumir e analisar dados de censos levou ao desenvolvi-
mento de me´todos que consistem o que se chama estat´ıstica descritiva, que compreende o
manejo dos dados para resumi-los ou descreveˆ-los, sem ir ale´m, isto e´, sem fazer nenhuma in-
fereˆncia. Por exemplo, se os testes feitos em um laborato´rio mostraram que um determinado
metal atinge de 0 a 60 graus em
18, 7 19, 2 16, 2 12, 3 17, 5 13, 9
minutos, afirmamos que a metade deles atinge 60 graus em 16,3 minutos, esta e´ uma caracter´ıstica
da estat´ıstica descritiva.
Embora a estat´ıstica descritiva seja um ramo importante da estat´ıstica as informac¸o˜es es-
tat´ısticas quase sempre sa˜o obtidas de amostras, e isto significa que sua ana´lise exige general-
izac¸o˜es que ultrapassam os dados. Assim, a infereˆncia estat´ıstica teˆm sido muito utilizada, e
seus me´todos teˆm apresentados resultados interessantes.
Os me´todos da infereˆncia estat´ıstica permitem prever a durac¸a˜o me´dia da vida u´til de uma
calculadora manual, estimar o valor de consumo de a´gua do ano de 2010, comparar eficieˆncia
de dois programas de dieta, determinar a dosagem ideal para determinado medicamento, entre
va´rias coisas.
1.5 Populac¸a˜o e amostra
Define-se populac¸a˜o como um conjunto de elementos que possuem caracter´ısticas similares.
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Amostra pode ser definida como uma parte da populac¸a˜o, um subconjunto, ou ainda um
fragmento ou exemplar representativo da populac¸a˜o. Geralmente, e´ a partir deste subconjunto
da populac¸a˜o que se estabelecem ou estimam as propriedades e caracter´ısticas dessa populac¸a˜o.
Na maioria dos casos, os pesquisadores fazem uso de amostras com o objetivo de descrever e
fazer infereˆncias na populac¸a˜o.
1.6 Natureza dos dados
Os dados estat´ısticos constituem a mate´ria-prima das pesquisas estat´ısticas, e nada mais sa˜o do
que informac¸o˜es sobre fatos observados. Podem ser pesos de animais, medidas de caracter´ısticas
pessoais ou intensidade de terremotos, podem ser simples respostas (sim ou na˜o, solteiro ou
casado, defeituoso ou perfeito), este tipo de dados sa˜o chamados de dados catego´ricos (qualitativos
ou descritivos). Estes dados podem ser associados com nu´meros (0 ou 1), ou seja, sa˜o nume´ricos
apenas na apareˆncia, da´ı recebem a nomenclatura de dados nominais. E, os dados quantitativos,
que representam uma quantidade, sa˜o nu´meros e a partir deles podem-se fazer va´rios estudos
(nu´meros de filhos numa famı´lia, temperatura de determinado metal, ı´ndice de inflac¸a˜o).
Principalmente em pesquisas sociais, o analista se defronta com situac¸o˜es em que dispo˜e de
muitos dados, e e´ dif´ıcil absorver as informac¸o˜es que procura investigar, e portanto e´ dif´ıcil captar
intuitivamente todas as informac¸o˜es que os dados conte´m.
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E´ necessa´rio reduzir as informac¸o˜es ate´ o ponto que elas possam ser interpretadas com clareza,
isto e´, resumi-las atrave´s de medidas-s´ınteses, comumente chamadas de estat´ısticas descritivas.
Assim, uma estat´ısitca descritiva e´ um nu´mero que descreve sozinho uma caracter´ıstica de um
conjunto de dados.
As pessoas normalmente se lembram da estat´ıstica quando se veˆem diante de grandes quan-
tidades de informac¸a˜o. Na percepc¸a˜o do senso comum, o emprego de me´todos estat´ısticos seria
algo semelhante a` pra´tica da minerac¸a˜o. Um estat´ıstico seria um tipo de minerador bem suce-
dido, capaz de explorar e processar montanhas de nu´meros e delas extrair valiosas concluso˜es.
Entretanto, a atividade estat´ıstica mais importante na˜o e´ a ana´lise de dados, e sim o planeja-
mento dos experimentos emque os dados devem ser obtidos. Quando isso na˜o for feito da forma
apropriada, o resultado muitas vezes e´ uma montanha de nu´meros este´reis, da qual estat´ıstico
algum conseguiria quaisquer concluso˜es.
Para tal, devemos projetar o planejamento de forma que ele seja capaz de fornecer exatamente
o tipo de informac¸a˜o que procuramos. Quando se pretende fazer um estudo estat´ıstico completo,
existem va´rias faces do trabalho que devem ser observadas:
1. definic¸a˜o do problema: definic¸a˜o ou formulac¸a˜o correta do problema a ser estudado;
2. planejamento: determinac¸a˜o do procedimento necessa´rio para resolver o problema, espe-
cialmente em como levantar informac¸o˜es sobre o objeto de estudo;
3. coleta de dados: obtenc¸a˜o, reunia˜o e registro sistema´tico de dados;
4. operac¸a˜o dos dados: sumarizac¸a˜o, consiste em resumir os dados atrave´s de sua contagem
e agrupamento;
5. apresentac¸a˜o dos dados: pode ser em forma de tabelas ou gra´ficos;
6. ana´lise e interpretac¸a˜o dos dados: mais importante e mais delicada fase, consiste em
tirar concluso˜es que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema e propor medidas que
solucionem o mesmo.
1.7 Amostragem
A Estat´ıstica lida na˜o somente com a organizac¸a˜o e ana´lise de dados depois de sua coleta, como
tambe´m com o desenvolvimento de te´cnicas de coleta (Amostragem).
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Na˜o basta saber descrever os dados convenientemente e dominar as te´cnicas estat´ısticas as-
sociadas para tal. Antes de tudo, e´ preciso garantir que a amostra ou amostras que sera˜o usadas
sejam obtidas de maneira adequada, para evitar que erros grosseiros acontec¸am e leve a perder
os resultados.
E´ de suma importaˆncia que os dados sejam de uma amostra representativa da populac¸a˜o, ou
seja, a amostra deve manter as caracter´ısticas principais da populac¸a˜o. Para tal, assumiremos
que a populac¸a˜o seja finita e composta de N elementos, salvo quando explicitamos o contra´rio.
O nu´mero de elementos que sera˜o amostrados sera´ representado por n.
Os problemas de amostragem podem ser de dif´ıcil entendimento dependendo do que se deseja
estudar em uma populac¸a˜o. Por exemplo, em pesquisas de opinia˜o ha´ uma grande complexidade
de coleta de dados, e, em tais casos e´ necessa´rio maiores cuidados.
Distinguem-se dois tipos de amostragem: (1) Amostragem probabil´ıstica: quando todos os ele-
mentos da populac¸a˜o tem probabilidades conhecidas, e diferente de zero, de pertencer a` amostra.
(2) Em caso contra´rio, a amostragem e´ dita ser na˜o-probabil´ıstica.
1.8 Amostragem probabil´ıstica
Desta maneira, a amostragem probabil´ıstica implica um sorteio com regras bem determinadas,
cuja realizac¸a˜o so´ e´ poss´ıvel se a populac¸a˜o e´ finita e totalmente acess´ıvel.
A amostragem probabil´ıstica e´ a melhor recomendac¸a˜o que se deve fazer no sentido de garantir
a representatividade da amostra, pois o acaso sera´ o u´nico responsa´vel por eventuais discrepaˆncias
entre populac¸a˜o e amostra.
Ale´m disso, as amostragens probabil´ısticas sa˜o particularmente importantes nos processos de
infereˆncia, pois os me´todos estat´ısticos sa˜o constru´ıdos sob suas propriedades. Descreveremos a
seguir alguns tipos de amostragens probabil´ısticas.
1.8.1 Amostragem casual simples
Tambe´m conhecida como simples ao acaso, aleato´ria, casual, simples, elementar, randoˆmica,
e´ equivalente a um sorteio lote´rico. Nela, todos os elementos da populac¸a˜o teˆm igual
probabilidade de pertencer a` amostra.
Sendo N o nu´mero de elementos da populac¸a˜o e n o nu´mero de elementos da amostra, cada
elemento da populac¸a˜o tem probabilidade n
N
de pertencer a` amostra ( considernado-se amostras
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sem reposic¸a˜o).
E´ a te´cnica amostral mais utilizada em pesquisas. Na pra´tica, enumera-se os elementos da
populac¸a˜o de 1 a N , e sorteia-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleato´rio qualquer, n
nu´meros da sequeˆncia, estes nu´meros compora˜o a amostra.
A selec¸a˜o de uma amostra aleato´ria simples pode ser facilitada com o uso de nu´meros
aleato´rios, ou seja, nu´meros resultantes de sucessivos sorteios aleato´rios do conjunto {1, 2, 3, · · · , 9}
fazendo com que todo nu´mero com mesma quantidade de algarismos tenha a mesma probabili-
dade de ocorreˆncia.
1.8.2 Amostragem sistema´tica
Quando os elementos da populac¸a˜o se apresentam ordenados e a retirada dos elementos da
amostra e´ feita periodicamente, temos uma amostragem sistema´tica.
Assim:
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1. calcula-se o intervalo de selec¸a˜o, dado por I = N/n, desprezando as decimais;
2. sorteia-se o primeiro elemento do conjunto {1, 2, · · · , I}; e
3. completa-se a amostra, extraindo um elemento a cada I elementos.
Por exemplo, em uma linha de produc¸a˜o onde sa˜o produzidos 300 itens por dia, uma amostra
sistema´tica de tamanho 10, deve escolher elementos de cada 30 itens produzidos.
Ou ainda, seja N = 800 e n = 50, supondo a populac¸a˜o ordenada, a amostra sistema´tica e´
composta pelos elementos de posic¸a˜o mu´ltipla de 16 (800
50
= 16)!!!
A principal vantagem da amostragem sistema´tica esta´ na grande facilidade de coleta, en-
tretanto existe um grande perigo: pois se existem ciclos de variac¸a˜o da varia´vel de interesse, a
amostra sistema´tica contera´ a caracter´ıstica do ciclo; especialmente se o per´ıdo coincidir com a
retirada do elemento.
1.8.3 Amostragem Estratificada
Muitas vezes a populac¸a˜o se divide em subpopulac¸o˜es ou estratos, com caracter´ısticas comuns
em cada estrato, e diferente de estrato para estrato. E pode ocorrer que os estratos na˜o sejam
bem representados na amostra simples, por exemplo, pois os tamanhos dos estratos diferem.
Por exemplo, se para estudar a dureza de certo ac¸o temos corpos de prova de dois fornecedores,
enta˜o a populac¸a˜o dos corpos de prova pode ser dividida em dois estratos. Sob os diversos estratos
da populac¸a˜o sa˜o realizadas selec¸o˜es aleato´rias de forma independente. A amostra completa e´
obtida atrave´s da agregac¸a˜o das amostras de cada estrato.
Amostragem estratificada proporcional: a proporcionalidade do tamanho de cada estrato da
populac¸a˜o e´ mantida na amostra. Por exemplo, se um estrato abrange 20% da populac¸a˜o, ele
tambe´m deve abranger 20% da amostra.
Amostragem estratificada uniforme: selecionamos o mesmo nu´mero de elementos em cada
estrato. E´ o processo usual quando se deseja comparar os diversos estratos.
Exemplo: considere uma populac¸a˜o de tamanho 100, onde existem 4 estratos, com 50, 25,
10 e 15 elementos cada um. Extraia uma amostra estratificada proporcional de tamanho 10.
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1.8.4 Amostragem por meio de conglomerados
Ao contra´rio da amostragem estratificada, a amostragem de conglomerados tende a produzir
uma amostra que gera resultados menos precisos, quando comparada com uma amostra aleato´ria
simples de mesmo tamanho. Contudo, seu custo financeiro tende a ser bem menor, especialmente
em amostragens de grandes populac¸o˜es.
Quando a populac¸a˜o apresenta uma subdivisa˜o por meio de pequenos grupos, chamados de
conglomerados, e´ poss´ıvel - e conveniente - fazer-se a amostragem por conglomerados, que consiste
em sortear um nu´mero suficiente de conglomerados, cujos elementos construira˜o a amostra.
Ou seja, as unidades de amostragem, sobre as quais e´ feito o sorteio, passam a ser os con-
glomerados, e na˜o mais os elementos individuais da populac¸a˜o.
1.9 Amostragem na˜o-probabil´ıstica
As amostras na˜o-probabil´ısticas sa˜o tambe´m, muitas vezes, empregadas na estat´ıstica, por sim-
plicidade ou inacessibilidade de toda a populac¸a˜o.
Nestes casos, supo˜e-se um tamanho amostral e usa-o para coletar as amostras.
Pode-se ainda, “tentar” fazer um sorteio aleato´rio (amostragem a esmo). Por exemplo de
1000 parafusos, realizar uma amostrade tamanho 10. Tomam-se 10 destes parafusos.
E ainda, pode-se fazer uma amostragem intecional, quando o pesquisador deseja que deter-
minado elemento fac¸a parte de sua amostra, logo ele o escolhe intencionalmente. E´ o que ocorre
com os convocados a depor a favor de um re´u, por um advogado perante um tribunal.
1.10 Exerc´ıcios
1. Uma populac¸a˜o de 1000 elementos foi dividida em 3 estratos, sendo um com 100 elementos
(E1), outro com 300 elementos (E2) e o u´ltimo com 600 elementos (E3). Pretende-se retirar
uma amostra de 60 elementos para uma pesquisa, qual deve ser o tamanho da amostra em
cada estrato?
2. Selecione 8 alunos da populac¸a˜o listada abaixo, atrave´s de amostragem casual simples,
usando um dispositivo de sorteio aleato´rio.
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Nu´mero Nome Notas Nu´mero Nome Notas
1 Alysson 5,8 19 Isabela 7,0
2 Amanda 7,3 20 Jessica 2,1
3 Anderson 2,1 21 Jhonatan 3,9
4 Angela 7,5 22 Joa˜o Guilherme 5,6
5 Arthur 8,2 23 Jose´ Alfredo 7,8
6 Artur 4,3 24 Kaio 6,5
7 Camila 5,6 25 Leandro 4,6
8 Cayo 6,6 26 Let´ıcia 7,8
9 Cesar 5,4 27 Lucas 4,9
10 Cezar 7,8 28 Maicon 6,5
11 Daniel 9,5 29 Maresa 4,5
12 Fabio 3,2 30 Maria Isabella 6,7
13 Fagner 4,0 31 Maur´ıcio Andrei 5,5
14 Gabriela 3,7 32 Nathan 5,4
15 Glo´ria 8,4 33 Ricardo 0,3
16 Gryele 6,5 34 Thais 1,3
17 Herily 3,4 35 Thayse 2,5
18 Igor 6,7 36 Valeria 5,8
3. Selecione uma amostra estratificada uniforme, de tamanho n = 6 do exerc´ıcio 1.
4. Seja um conjunto de 20 corpos de prova numerados de 1 a 20. Usando uma tabela de
nu´meros aleato´rios, divida aleatoriamente esses corpos de prova em dois grupos de dez
elementos.
5. Selecione uma amostra estratificada proporcional, de tamanho n = 4 para os grupos do
exerc´ıcio anterior.
6. Identifique o tipo de amostragem utilizado.
(a) Ao escalar um ju´ri um tribunal de justic¸a decidiu selecionar aleatoriamente 4 pessoas
brancas, 3 morenas, e 4 negras.
(b) Um cabo eleitoral escreve o nome de cada senador do Brasil, em carto˜es separados,
mistura e extra´ı 10 nomes.
(c) Um administrador hospitalar faz uma pesquisa com as pessoas que esta˜o na fila de
espera para serem atendidas pelo sistema SUS, entrevistando uma a cada 10 pessoas
da fila.
7. Explique o procedimento que pode ser usado para obter uma amostra aleato´ria simples de
10 servidores da UTFPR que possui 245 servidores.
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8. No problema anterior, explique a maneira de obter uma amostra sistema´tica.
9. No problema anterior, explique a maneira de obter uma amostra estratificada, considerando
faixa de idade como estrato.
10. Descreva o tipo de estratificac¸a˜o que pode ser usado para estudar falta a`s aulas de Proba-
bilidade e Estat´ıstica.
11. Com o objetivo de fazer testes de qualidade com determinados produtos de uma indu´stria
optou-se por realizar um levantamento por amostragem. A populac¸a˜o e´ constitu´ıda por:
produto A: A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10
produto B: B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7, B8, B9, B10
produto C: C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10,
C11, C12, C13, C14, C15, C16, C17, C18, C19, C20,
C21, C22, C23, C24, C25, C26, C27, C28, C29, C30
Realizar uma amostragem aleato´ria estratificada proporcional por produto para obter uma
amostra global de tamanho 10.
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Cap´ıtulo 2
Ana´lise Explorato´ria de dados
Com o advento da informa´tica, o mundo encheu-se de dados. As empresas tem dados de suas
atividades, de seus funciona´rios, de seus clientes, etc. Mas para que estes dados sejam informa-
tivos, necessitamos organiza´-los de forma adequada. Este e´ o papel da estat´ıstica descritiva.
Na ana´lise explorato´ria dos dados, ale´m de descrever os dados, buscamos conhecer algumas
caracter´ısticas do processo, com base nos dados. Com o uso adequado de tabelas, gra´ficos e
medidas, podemos descobrir certas estruturas que na˜o eram evidentes nos dados brutos.
2.1 Organizac¸a˜o e apresentac¸a˜o de dados
No dia-a-dia nos deparamos com varia´veis qualitativas e varia´veis quantitativas, estas u´ltimas
podendo ser cont´ınuas (idade, peso, diaˆmetro) ou discretas (n. de filhos, n. de defeitos por
unidade). O me´todo mais comum de resumir dados consiste em apresenta´-los em forma conden-
sada de tabelas ou gra´ficos.
Suponha o banco de dados abaixo, que sa˜o notas de um teste de coordenac¸a˜o f´ısica aplicado
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a 20 estudantes, apo´s terem ingerido uma quantidade de a´lcool igual a 10% de seu peso:
69 84 52 93 61 74 79 65 88 63
57 64 67 72 74 55 82 61 68 77
Pergunta: O que podemos fazer para tornar esta massa de informac¸a˜o mais utiliza´vel???
1. alguns autores acham interessante calcular valores extremos;
2. algumas vezes e´ interessante ordenar os dados, ou seja criar um rol de dados;
3. entretanto, para um banco grande de dados, a ordenac¸a˜o e´ uma tarefa bastante dif´ıcil. E´
conveniente enta˜o usar a te´cnica de apresentac¸a˜o em ramo-e-folhas que oferece uma boa
visualizac¸a˜o global dos dados.
Para tal, decompomos os algarismos em dezenas e unidades, marcando junto valores com
mesmas dezenas. As dezenas ficam alinhadas a esquerda, e as unidades a` direita. Cada
linha representa a posic¸a˜o de um ramo e cada algarismo a` direita da reta vertical pode ser
considerado como uma folha;
4. Distribuic¸a˜o de frequ¨eˆncias, seja a tabela que representa a quantidade (em toneladas) de
o´xido de enxofre emitidas por uma indu´stria em 80 dias:
Toneladas de oxido de enxofre frequ¨eˆncia
5,0 ⊢ 9,0 3
9,0⊢ 13,0 10
13,0⊢ 17,0 14
17,0⊢ 21,0 25
21,0⊢ 25,0 17
25,0⊢ 29,0 9
29,0⊢ 33 2
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Esta tabela e´ chamada de distribuic¸a˜o de frequ¨eˆncia ou distribuic¸a˜o. Se os dados esta˜o
agrupados em categorias na˜o nume´ricas, a tabela se chama distribuic¸a˜o por categorias (ou
qualitativa), por exemplo, considere as 2439 queixas sobre caracter´ısticas de conforto nos
avio˜es de uma companhia ae´rea:
Natureza das reclamac¸o˜es n. de reclamac¸o˜es
espac¸o insuficiente para pernas 719
assentos desconforta´veis 914
corredores estreitos 146
espac¸o insuficiente p/ bagagem ma˜o 218
banheiros insuficientes 58
outras 384
E´ poss´ıvel transformar uma tabela como esta em uma distribuic¸a˜o nume´rica mediante
codificac¸a˜o dos dados, por exemplo, atribuindo a`s seis alternativas os nu´meros 1,2,3,4,5 e
6, mas isto nos daria dados nominais que sa˜o nume´ricos apenas em sentido trivial.
A construc¸a˜o de uma tabela de frequ¨eˆncia consiste essencialmente de treˆs etapas:
1. escolha das classes (intervalos ou categorias);
2. enquadramento dos dados nessa categoria;
3. contagem do nu´mero de elementos em cada classe.
A etapa mais dif´ıcil e´ a primeira, a saber, a escolha de uma classificac¸a˜o conveniente. Em
distribuic¸o˜es nume´ricas, consiste em decidir quantas classes utilizar e a amplitude de cada uma.
Esta escolha e´ puramente arbitra´ria, mas costuma-se observar:
1. raramente usam-se menos de seis classes ou mais de quinze classes. O nu´mero exato depende
de cada situac¸a˜o;
2. ter certeza que cada elemento se enquadra em uma e somente uma classe;
3. sempre que poss´ıvel, as classes devem ter amplitudes iguais, geralmente sa˜o mu´ltiplos de
5;
Um crite´rio utilizado na determinac¸a˜o do nu´mero de classes k e´ atrave´s da fo´rmula emp´ırica
de Sturges:
k = 1 + 3, 32logn
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onde n representa o total de observac¸o˜es.
A amplitude (h) de cada classe sera´ dada por
h =
a
k
onde a representa a amplitude total das observac¸o˜es, definida como a diferenc¸a entre o maior e
o menor valores observados.
Exemplo: (a) Construa uma distribuic¸a˜o para as seguintes notas obtidas por 40 estudantes
em um teste.
75 89 66 52 90 68 83 94 77 60 38 47 87 65 97 49 65 72
73 81 63 77 91 88 74 37 85 76 74 63 69 72 31 87 76 58
63 70 72 65
(b) Construa a tabela de frequeˆncias relativas;
(c) Construa atabela de frequeˆncias acumuladas;
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(d)Construa a tabela de frequeˆncias acumladas relativas;
2.2 Apresentac¸o˜es gra´ficas
Quando as distribuic¸o˜es de frequ¨eˆncia teˆm como principal objetivo condensar grandes conjuntos
de dados em uma forma fa´cil de assimilar, e´ melhor apresentar essas distribuic¸o˜es graficamente.
Uma figura fala mais alto que mil palavras!
Para as distribuic¸o˜es de frequ¨eˆncia, a forma mais comum de apresentac¸a˜o gra´fica e´ o his-
tograma. Um histograma e´ constru´ıdo, representando-se as medidas ou observac¸o˜es que sa˜o
agrupadas em uma escala horizontal, e as frequ¨eˆncias de classe em uma escala vertical; trac¸am-se
enta˜o retaˆngulos, cujas bases sa˜o iguais aos intervalos de classe e cujas alturas sa˜o as frequ¨eˆncias
de classe correspondentes. As marcac¸o˜es na escala horizontal de um histograma podem ser os
pontos me´dios, os limites de classe, as fronteiras de classe ou outros valores ba´sicos arbitra´rios.
Obs.: os retaˆngulos de um histograma va˜o de uma fronteira de classe ate´ a pro´xima. Na˜o e´
poss´ıvel trac¸ar histogramas de distribuic¸o˜es com classes abertas; exige-se, outrossim, cuidado
especial quando os intervalos de classe na˜o sa˜o todos iguais.
Exemplo: Construa o histograma do exemplo de toneladas de o´xido de enxofre emitidas por
uma indu´stria em 80 dias!!!
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Ana´logos aos histogramas sa˜o os gra´ficos de barras. As alturas dos retaˆngulos, ou barras,
representam as frequ¨eˆncias de classe como em um histograma, mas na˜o se tem necessariamente
em vista uma escala horizontal cont´ınua.
Outra forma, na˜o tanto utilizada, e´ o pol´ıgono de frequ¨eˆncia. Aqui, as frequ¨eˆncias de classe
sa˜o marcadas nos pontos me´dios, e os valores sucessivos sa˜o unidos por segmentos retil´ıneos. Se
faz necessa´rio acrescentar classes com frequ¨eˆncia zero em ambos os extremos da distribuic¸a˜o para
ligar o gra´fico a` escala horizontal.
Aplicando a uma distribuic¸a˜o cumulativa te´cnica ideˆntica, obtemos a chamada ogiva. Em
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uma ogiva, entretanto, as frequ¨eˆncias sa˜o acumuladas sa˜o marcadas nas fronteiras de classe, e
na˜o nos pontos me´dios.
Embora o aspecto visual dos histogramas, gra´ficos em barras, pol´ıgonos de frequ¨eˆncia e ogivas
constitua acentuada melhoria sobre as simples tabelas, ha´ va´rias maneiras em que as distribuic¸o˜es
podem ser apresentadas de forma ainda mais eficiente. Duas formas, bastante utilizada por
jornais e revistas, sa˜o o pictograma e o gra´fico de setores, conhecido tambe´m como gra´fico
de pizza.
Para construir um gra´fico de setor, comec¸amos por converter a distribuic¸a˜o em uma dis-
tribuic¸a˜o percentual. Como um c´ırculo completo corresponde a 360 graus, obtemos os aˆngulos
centrais dos diversos setores multiplicando as percentagens por 360. Existem bastante variac¸o˜es
destes gra´ficos. Um aspecto negativo neste tipo de gra´fico e´ que ele e´ de dif´ıcil comparac¸a˜o com
outros, o que na˜o ocorre com os histogramas.
E, informac¸o˜es nume´ricas podem ser resumidas atrave´s de mapas, que podem ser feitos
somente com auxilio de programas gra´ficos.
2.3 Medidas descritivas
Quando analisamos uma varia´vel qualitativa, basicamente constru´ımos sua distribuic¸a˜o de frequeˆncias.
No entanto, ao explorarmos varia´veis quantitativas, temos condic¸o˜es de empregar algumas me-
18
didas descritivas, que sintetizam as caracter´ısticas da distribuic¸a˜o. Vamos falar de medidas de
tendeˆncia central e de dispersa˜o.
2.3.1 Medidas de tendeˆncia central
1. Me´dia aritme´tica
O conceito de me´dia e´ bastante familiar. Seja (x1, x2, · · · , xn) uma amostra de n observac¸o˜es
de certa varia´vel aleato´ria X. A me´dia aritme´tica dessas observac¸o˜es e´ definida por:
x¯ =
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
=
∑n
i=1 xi
n
A me´dia resume os dados de forma a torna´-los mais informativos.
Exemplo 1: Em 12 dias anotou-se o nu´mero de chamadas telefoˆnicas: 4, 3, 5, 5, 10, 8, 9, 6, 3, 4, 8, 7
Calcule a me´dia das chamadas por dia.
Exemplo 2: Um gerente de supermercado, que deseja estudar a movimentac¸a˜o de pessoas
em seu estabelecimento, constata que 295, 1002, 941, 768, 1283 pessoas entraram na loja
nos u´ltimos 5 dias. Deˆ o nu´mero me´dio de pessoas na loja.
Exemplo 3: Se o sala´rio me´dio anual pago aos treˆs administradores de uma firma e´
R$156000, 00. Algum deles pode receber um sala´rio anual superior a R$500000, 00?
Propriedades da me´dia
(a) a me´dia sempre pode ser calculada;
(b) a me´dia e´ u´nica;
(c) leva em conta todos os valores do banco de dados;
Exemplo 4: As idades de 6 alunos sa˜o: 18, 19, 20, 17, 19, 18 e a idade do professor deles e´
50. Deˆ a me´dia das 7 pessoas.
Estranho na˜o???? Para evitar estes problemas usa-se outra medida de localizac¸a˜o central:
19
2. Mediana
E´ a medida do elemento do meio se n e´ ı´mpar, ou a me´dia dos elementos centrais se n e´
par:
Me =
{
x(n+1
2
), se n impar;
x(n2 )
+x(n2 +1)
2
, se n par.
Nota: Para calcular a mediana e´ necessa´rio que os dados estejam ordenados!!!
Exemplo 1: Sejam os litros de vaza˜o de torneiras por uma hora:
53, 31, 67, 53, 36
Encontre a mediana.
Exemplo 2: Considere o nu´mero de pessoas que frequeˆntam certa disciplina de uma insti-
tuic¸a˜o:
40, 32, 37, 30, 24, 40, 38, 35, 40, 28, 32, 37
Deˆ a mediana.
3. Quantis
A mediana tambe´m e´ conhecida como segundo quartil, e e´ um quantil dentre va´rios exis-
tentes. Por exemplo: os quartis, os decis e os percentis, que dividem o banco de dados em
4, 10 e 100 partes, respectivamente.
O processo de ca´lculo consiste em repetir o mesmo procedimento de ca´lculo para a mediana.
Exemplo 1: Os registros de uma biblioteca mostram que 22 alunos do ensino me´dio con-
sultaram os seguintes nu´meros de livros durante o u´ltimo ano:
62, 73, 40, 72, 79, 88, 35, 51, 48, 42, 75
65, 69, 82, 50, 66, 103, 68, 54, 38, 52, 72
Ache a mediana, Q1 e Q3.
20
Exemplo 2: Ao testarem um novo sistema de coleta de res´ıduos sanita´rios, engenheiros
constataram que 21 resideˆncias despejavam os seguintes litros por uma hora:
69 58 70 80 46 61 65 74 75 55 67
56 70 72 61 66 58 68 70 68 58
Determine a mediana e os quartis.
4. Moda
A moda de um conjunto de dados e´ o nu´mero que teve maior nu´mero de repetic¸o˜es.
Quando na˜o ha´ nu´mero que mais repete, dizemos que o conjunto e´ amodal. Se houverem
dois valores com iguais sequeˆncias, o conjunto e´ bimodal. E se houverem va´rios nu´meros,
dizemos que e´ um conjunto multimodal.
Exemplo 1: Encontre a moda do conjunto de dados de res´ıduos sanita´rios.
5. Me´dia para dados agrupados
Quando os dados sa˜o apresentados em uma distribuic¸a˜o de frequeˆncias, todos os valores
inclu´ıdos num certo intervalo de classe sa˜o considerados coincidentes com o ponto me´dio
do intervalo. Desta maneira:
x =
∑n
i=1 fixi
n
onde: fi e´ a frequeˆncia de cada classe; e xi e´ o ponto me´dio de cada classe.
Exemplo 1: Calcular a me´dia dos dados da distribuic¸a˜o de o´xido de enxofre.
Exemplo 2: Calcular a me´dia dos dados da distribuic¸a˜o de idade dos alunos.
6. Mediana para dados agrupados
21
No caso de dados agrupados em classes de frequeˆncias, a mediana pode ser calculada pela
expressa˜o (deduzida a partir do histograma de frequeˆncias)
Me = Li+
P −′ fa
fMe
h
onde: Li= e´ o limite inferior da classe mediana ( em uma distribuic¸a˜o de frequeˆncias
chama-se classe mediana a` classe que conte´m a mediana)
P = n/2 e´ a posic¸a˜o da classe mediana;
′fa e´ a frequeˆncia acumulada da classe vizinha anterior a` classe mediana;
fMe e´ a frequeˆncia da classe mediana;
h e´ a amplitude do intervalo da classe mediana;
Exemplo:
7. Moda para dados agrupados
No caso de dados agrupados em classes de frequeˆncias, a modapode ser calculada pela
expressa˜o (deduzida a partir do histograma de frequeˆncias)
Mo = Li+
f ′
′f + f ′
h
onde: Li e´ o limite inferior da classe modal (em uma distribuic¸a˜o de frequeˆncias chama-se
de classe modal a` classe de maior frequeˆncia);
′f e´ a frequeˆncia de classe imediatamente inferior a` classe modal;
f ′ e´ a frequeˆncia de classe imediatamente posterior a` classe modal;
h e´ a amplitude de intervalo de classe modal.
Exemplo:
22
2.3.2 Medidas de dispersa˜o
O que e´?
As medidas de tendeˆncia central informam apenas informac¸o˜es parciais sobre um conjunto
de dados, pois diferentes amostras podem ter a mesma me´dia, mas diferentes entre si.
1. Amplitude
A medida de dispersa˜o mais simples de uma amostra e´ a amplitude, que e´ a diferenc¸a entre
o maior e o menor valor da amostra.
Quanto maior a amplitude, sugere-se maior dispersa˜o dos dados, pois ha´ mais valores em
intervalos maiores.
2. Variaˆncia
A variaˆncia e´ a mais importante medida de dispersa˜o. Ela leva em conta os desvios em
relac¸a˜o a` me´dia, e´ definida como:
s2 =
∑n
i=1(xi − x)2
n− 1
Note que: quanto mais perto da me´dia forem os dados, menor sera´ a variaˆncia, uma vez
que os valores xi sera˜o mais parecidos com x. E vice-versa.
Propriedades:
1. A variaˆncia sempre e´ positiva, pois e´ uma soma de valores positivos: (x1− x)2 ≥ 0 para
qualquer que seja xi;
2. Se somarmos alguma constante c a todos os dados e calcularmos a variaˆncia esta na˜o
sera´ alterada;
3. Se multiplicarmos uma constante c por todos os dados, a variaˆncia ficara´ multiplicada
pelo quadrado desta constante.
3. Desvio padra˜o
A variaˆncia e´ uma medida cuja unidade de medida e´ unidades ao quadrado, isto dificulta
a sua comparac¸a˜o com os dados. Com o intuito de resolver este impasse, resolveu-se
estabelecer uma medida de dispersa˜o calculada na mesma unidade dos dados, por isto, o
desvio padra˜o e´ a raiz quadrada da variaˆncia:
s =
√∑n
i=1(xi − x)2
n− 1
23
4. Coeficiente de variac¸a˜o
O desvio padra˜o depende das unidades de medida dos dados, e isto e´ uma desvantagem.
Uma medida de variabilidade relativa que independe de unidades de medida e´ o coeficiente
de varic¸a˜o [CV (%)].
Ele expressa o desvio padra˜o como percentagem do que esta´ sendo medido:
CV (%) =
s
x
× 100%
Nota: quanto menor o valor do CV (%) menor e´ a variabilidade dos dados.
Exemplo 1: Da˜o-se, a seguir, os tempos (em segundos) de reac¸a˜o a um alarme de inceˆndio,
apo´s a liberac¸a˜o de fumac¸a:
12 9 11 7 9 14 6 10
Calcule a me´dia, a variaˆncia, o desvio padra˜o, a amplitude e o coeficiente de variac¸a˜o.
5. Variaˆncia para dados agrupados
Para dados agrupados usa-se a expressa˜o:
s2 =
∑n
i=1 fi(xi − x¯)2
n− 1
onde fi e´ a frequeˆncia de repetic¸a˜o de xi.
2.3.3 O diagrama de caixas
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Uma forma de apresentar graficamente os conceitos discutidos e´ atrave´s do diagrama de
caixas ou Box-plot. Trata-se de um retaˆngulo que representa o desvio interquart´ılico. Esse
retaˆngulo representa, portanto, a faixa dos 50% dos valores mais t´ıpicos da distribuic¸a˜o. O
retaˆngulo e´ dividido no valor correspondente a` mediana; assim, ele indica o quartil inferior, a
mediana e o quartil superior. Entre os quartis e os extremos, sa˜o trac¸adas linhas. Caso existam
valores discrepantes (ale´m de 1, 5dq), a linha e´ trac¸ada ate´ o u´ltimo valor na˜o discrepante, e os
valores discrepantes sa˜o indicados por pontos. Eventuais pontos muito discrepantes (ale´m de
3dq) normalmente sa˜o representados por s´ımbolos diferentes para serem bem destacados.
Interpretando o diagrama de caixa
1. a caixa central inclui os 50% dos dados centrais;
2. os bigodes mostram a amplitude dos dados, isto e´, a diferenc¸a entre o maior e menor valores;
3. a simetria e´ indicada pela caixa e bigodes e pela localizac¸a˜o da me´dia;
4. e´ relativamente fa´cil comparar grupos, construindo diagramas de caixa lado a lado, con-
forme figura a seguir;
Em um Box-plot, para reconhecer simetria nos dados:
1. a distaˆncia de Q1 a` mediana e´ igual a` distaˆncia da mediana ate´ Q3;
2. a distaˆncia do valor mı´nimo ate´ Q1 e´ igual a distaˆncia do valor ma´ximo ate´ Q3;
25
3. a mediana e´ igual a me´dia.
Para reconhecer “outliers”:
1. a partir do valor mı´nimo, marque 3(Q3 − Q1), todos os valores a partir do mı´nimo e
3(Q3 −Q1) e´ um dado disperso;
2. idem para o ma´ximo.
Exemplo 1: Um artigo reportou dados sobre um experimento, investigando o efeito de
muitas varia´veis de processos na oxidac¸a˜o, em fase de vapor, e naftaleno. Uma amostra da
conversa˜o percentual molar de naftaleno em anidrido male´ico resulta em:
4, 2 4, 7 4, 7 5, 0 3, 8 3, 6 3, 0 5, 1 3, 1 3, 8
4, 8 4, 0 5, 2 4, 3 2, 8 2, 0 2, 8 3, 3 4, 8 5, 0
Exemplo 2: As nove medidas que seguem sa˜o temperaturas de fornalha, registradas em
bateladas sucessivas de um processo de fabricac¸a˜o de semicondutores (unidades em oF )
953 950 948 955 951 949 957 954 955
26
2.4 Exerc´ıcios
1. Da˜o-se a seguir as alturas, em cent´ımetros, de 16 alunos de curso secunda´rio:
172 182 177 174 166 158 170 178
163 161 191 167 171 201 166 172
Construa um ramo-e-folhas com os ramos rotulados 15,16,17,18,19 e 20.
2. As cifras abaixo representam os ganhos de 15 vendedores:
425 440 610 518 324 482 624 390
468 457 509 561 482 480 520
Construa um ramo-e-folhas com os ramos rotulados 3,4,5, e 6; utilize os algarismos das
dezenas como folhas.
3. Os pesos dos membros de um time universita´rio de futebol americano variam de 52 a 98.
Indique os limites de 6 classes em que esses pessos podem ser agrupados.
4. Da´-se, a seguir, a distribuic¸a˜o das massas de 125 espe´cimes de minerais coletados em uma
excursa˜o:
peso(gramas) nu´mero de espe´cimes
0,0⊢20,0 16
20,0⊢40,0 38
40,0⊢60,0 35
60,0⊢80,0 20
80,0⊢100,0 11
100,0⊢120,0 4
120,0⊢140,0 1
Se poss´ıvel, determine quantos espe´cimes pesam
(a) no ma´ximo 59,9 gramas;
(b) mais de 59,9 gramas;
(c) mais de 80,0 gramas;
(d) 80 gramas ou menos;
(e) exatamente 70 gramas;
27
(f) entre 60,0 e 100,0 gramas.
5. Da´-se abaixo a distribuic¸a˜o das faturas mensais de 200 clientes de uma loja de departa-
mentos
quantia(reais) frequ¨eˆncia
0,00⊢20,0 22
20,00⊢40,0 47
40,00⊢60,0 66
60,00⊢80,0 35
80,00⊢100,0 21
100,00⊢120,0 9
(a) fac¸a um histograma desta distribuic¸a˜o
(b) fac¸a um gra´fico em barras da distribuic¸a˜o.
6. Da´-se a seguir a distribiuc¸a˜o dos pesos de 150 pedras coletadas em um experimento sobre
rochas
(a) fac¸a um histograma desta distribuic¸a˜o
(b) trace um pol´ıgono de frequ¨eˆncia da mesma.
peso(gramas) frequ¨eˆncia
90⊢100 6
100⊢110 25
110⊢120 46
120⊢130 37
130⊢140 22
140⊢150 7
150⊢160 3
160⊢170 3
170⊢180 0
180⊢190 1
7. Converta a distribuic¸a˜o do exerc´ıcio anterior em uma distribuic¸a˜o cumulativa do tipo
“menos de” e trace uma ogiva.
8. Os sala´rios de quatro homens sa˜o: 1500, 00; 1800, 00; 1950, 00 e 9000, 00 reais. Determinar o
sala´rio me´dio destes homens. Poder-se-ia dizer que o sala´rio me´dio e´ t´ıpico para os sala´rios?
9. Entre 100 nu´meros, vinte sa˜o 4, quarenta sa˜o 5, trinta sa˜o sa˜o 6 e os restantes sa˜o 7.
Determinar a me´dia aritme´tica dos dados.
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10. Calcule a me´dia, moda, mediana e variaˆncia dos dados:
Alturas (cm) frequ¨eˆncia
151⊢ 159 5
159⊢ 167 18
167⊢ 175 42
175⊢ 183 27
183⊢190 8
total 100
11. Os graus de um estudante em seis exames foram: 84, 91, 72, 68, 87 e 78. Determine a
mediana dos graus.
12. Se ha´ (a) 85 e (b) 150 nu´meros ordenados em rol, como se determinaria a mediana desses
nu´meros?
13. Determinar a me´dia, a mediana e a moda dos conjuntos de nu´meros:
(a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6
(b) 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9
14.Os nu´meros que seguem sa˜o as safras (em tabuleiros por acre) de passas secas ao sol durante
um per´ıodo de 10 anos:
715 825 640 900 790
965 895 700 915 945
Determine a amplitude, a variaˆncia, o desvio padra˜o, o coeficiente de variac¸a˜o.
15. Cada uma das listas a seguir conte´m apenas um valor que e´ diferente de todos os outros.
Calcule o desvio padra˜o de cada uma e fac¸a uma ana´lise dos resultados.
a. 6 6 6 10
b. 6 10 10 10
c. 20 20 20 24
d. 20 20 20 20 24
e. 20 20 20 20 20 24
16. Um dado foi lanc¸ado 50 vezes e foram registrados os seguintes resultados:
5 4 6 1 2 5 3 1 3 3 4 4 1 5 5 6 1 2 5 1 6 6 3 2 4
29
3 4 5 1 1 6 6 2 1 1 4 4 4 3 4 3 2 2 2 3 2 6 6 2 1
Construa uma distribuic¸a˜o de frequeˆncia sem intervalo e determine:
(a) A amplitude total R.50
(b) A frequeˆncia total R.50
(c) A frequeˆncia simples absoluta do primeiro elemento R.10
(d) A frequeˆncia simples relativa do primeiro elemento R.20%
(e) A frequeˆncia simples absoluta do segundo elemento R.9
(f) A frequeˆncia simples relativa do quinto elemento R.12%
(g) A frequeˆncia acumulada relativa do sexto elemento R.100%
17. Dado o rol de medidas das alturas (dadas em cm) de uma amostra de 100 alunos das
Engenharias da UTFPR Campus Campo Moura˜o:
151 152 154 158 159 159 160 161 161 161
161 162 163 163 164 165 165 165 166 166
166 166 167 167 167 167 167 168 168 168
168 168 168 168 168 168 168 169 169 169
169 169 169 169 169 170 170 170 170 170
170 170 171 171 171 171 172 172 173 173
173 173 174 174 174 175 175 175 176 176
176 176 176 177 177 177 177 178 178 178
179 179 180 180 180 180 181 181 181 182
182 182 183 184 185 186 187 188 190 190
calcule:
(a) a amplitude amostral;
(b) o nu´mero de classes;
(c) a amplitude de classes;
(d) os limites de classes;
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(e) as frequeˆncias absolutas das classes;
(f) as frequeˆncias relativas;
(g) os pontos me´dios das classes;
(h) as frequeˆncias acumuladas;
(i) o histograma e o pol´ıgono de frequeˆncia;
(j) a ogiva;
(k) fac¸a um breve comenta´rio sobre os valores das alturas desta amostra atrave´s da dis-
tribuic¸a˜o de frequeˆncia.
18. Considere a seguinte distribuic¸a˜o de frequeˆncia correspondente aos diferentes prec¸os de um
determinado produto em vinte lojas pesquisadas:
Prec¸os N. de lojas
50 2
51 5
52 6
53 6
54 1
Total 20
(a) Quantas lojas apresentam um prec¸o de 52, 00? R.2
(b) Construa a tabela de frequeˆncias simples relativas;
(c) Cosntrua a tabela de frequeˆncias absolutas acumuladas;
(d) Quantas lojas apresentaram um prec¸o de ate´ 52, 00 inclusive? R.13
(e) Qual o percentual de lojas com prec¸o maior do que 51, 00 e menor que 54, 00? R.6%
19. Numa empresa o sala´rio me´dio dos homens e´ de R$4000, 00 com um desvio padra˜o de
R$1500, 00, e o das mulheres e´ na me´dia de R$3000, 00 com desvio de R$1200, 00. Qual
dos sexos apresenta maior dispersa˜o? R.mulheres
20. Analisando as curvas abaixo marque a resposta correta
31
(a) a curva I e´ sime´trica - x¯ > med > mo;
(b) a curva II e´ assime´trica - mo > σ2 > x¯;
(c) a curva I e´ sime´trica - x¯ = med = mo;
(d) a curva III e´ sime´trica positiva - x¯ = med = mo
21. Na empresa Mercury Ltda foi observada a distribuic¸a˜o de funciona´rios do setor de servic¸os
gerais com relac¸a˜o ao sala´rio semanal, conforme mostra a distribuic¸a˜o de frequ¨eˆncias:
salario semanal (em dolares) fi
25 ⊢ 30 10
30 ⊢ 35 20
35 ⊢ 40 30
40 ⊢ 45 15
45 ⊢ 50 40
50 ⊢ 55 35
Total 150
Pede-se:
(a) sala´rio me´dio semanal dos funciona´rios
(b) desvio padra˜o, o coeficiente de variac¸a˜o e a moda dos sala´rios semanais dos funciona´rios
(c) Se o empresa´rio divide os funciona´rios em treˆs categorias, com relac¸a˜o ao sala´rio, de
sorte que: Os 25% menos produtivos sejam da categoria A; Os 25% seguintes sejam
da categoria B e Os 25% seguintes, isto e´, os mais produtivos, sejam da categoria C;
Pede-se determinar os limites dos sala´rios das categorias A,B e C
(d) Esboce o box-plot da distribuic¸a˜o e comente-o.
22. Uma distribuic¸a˜o sime´trica unimodal apresenta mediana igual a 36dm e coeficiente de
variac¸a˜o em torno de 20%. Determine a variaˆncia dessa distribuic¸a˜o.
32
Cap´ıtulo 3
Elementos de Probabilidade
3.1 Probabilidades
A maneira mais comum de medirmos as incertezas relacionadas com eventos (por exemplo,
resultado de um pleito eleitoral, resultados obtidos com a ingesta˜o de um novo medicamento)
consiste em atribuir-lhes probabilidades ou especificar as chances de ocorreˆncia do evento.
Dentre os diversos conceitos de probabilidade, o de maior aplicac¸a˜o e´ a interpretac¸a˜o frequen-
cial: A probabilidade de um evento e´ a proporc¸a˜o do nu´mero de vezes que eventos do mesmo tipo
ocorrem a longo prazo
3.2 Experimento aleato´rio
Um experimento e´ dito ser aleato´rio quando satisfaz a`s seguintes condic¸o˜es:
1. pode ser repetido indefinidamente;
2. somos capazes de descrever todos os poss´ıveis resultados do experimento, embora na˜o
sejamos capazes de predizer, com certeza, qual ocorrera´;
3. obedece a` regularidade estat´ıstica, ou seja, quando o experimento for repetido um grande
nu´mero de vezes, surgira´ uma configurac¸a˜o definida;
3.3 Espac¸o amostral
E´ o conjunto S de todos os resultados poss´ıveis de um experimento aleato´rio. Cada resultado do
experimento aleato´rio e´ denominado ponto amostral.
33
Exemplo: Lanc¸ar um dado honesto e observar o resultado obtido; Contar o nu´mero de dias
que choveu durante certo meˆs em certa cidade. O nu´mero de mensagens que sa˜o transmitidas
corretamente por dia em uma rede de computadores.
O espac¸o amostral pode ser:
1. Finito: formado por um nu´mero limitado de resultados poss´ıveis.
2. Infinito enumera´vel: formado por um nu´mero infinito de resultados, os quais podem ser
listados.
1. Infinito: formado por intervalos de nu´meros reais.
Definic¸a˜o: Um espac¸o amostral e´ dito discreto quando for finito ou infinito enumera´vel; e´
dito cont´ınuo quando for infinito, formado por intervalos de nu´meros reais.
3.4 Evento
E´ qualquer subconjunto do espac¸o amostral S. Deve-se sempre considerar como eventos de
qualquer espac¸o amostral, o evento imposs´ıvel (aquele que nunca ocorre) ∅ e o evento certo (o
pro´prio espac¸o amostral) S.
Considerando o espac¸o referente ao lanc¸amento do dado honesto, temos como poss´ıveis even-
tos: ∅, S, {1},{2},{3},{4},{5},{6},{1, 2}, ...,{5, 6}, {1, 2, 3},...,S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Classe de eventos aleato´rios e´ o conjunto formado por todos os eventos de S. Por exemplo,
seja S = {c, k} enta˜o a clase de eventos de S e´
Como um evento e´ um subconjunto do espac¸o amostral, enta˜o todos os conceitos da teoria
de conjuntos podem ser aplicados a eventos. Considerando A e B eventos quaisquer, veja as
principais operac¸o˜es na tabela a seguir:
Unia˜o A ∪B reu´ne os elementos de ocorre quando ocorrer
ambos os conjunto pelo menos um deles
Intersec¸a˜o A ∩B formado somente pelos ocorre quando ocorrer
elementos que esta˜o em A e B ambos os eventos
Complementar A formado pelos elementos ocorre quando na˜o
que na˜o esta˜o em A ocorrer o evento A
Seja o experimento: lanc¸amento de um dado e os eventos:
A= nu´mero par no dado;
34
B= nu´mero maior que 2 no dado;
C= nu´mero 6;
1. Deˆ os eventos complementares;
2. Deˆ as reunio˜es;
3. Deˆ as intersecc¸o˜es;
Eventos sa˜o ditos mutuamente exclusivos se e so´ se eles na˜o puderem ocorrer simultane-
amente. Enta˜o, para dois eventos quaisquer A e B, temos:
A e B sa˜o mutuamente exclusivos ⇐⇒ A ∩B = ∅
Nota: Ha´ uma diferenc¸a entre exclusivo e exaustivo. Se os eventos A e B sa˜o exclusivos, enta˜o:
P (A ∩B) = 0
Se os eventos A e B sa˜o exaustivos, enta˜o:
P (A ∪B) = 1
3.5 Definic¸a˜o axioma´tica de probabilidadeA probabilidade e´ um nu´mero associado a um evento, destinado a medir sua possibilidade de
ocorreˆncia.
Seja S o espac¸o amostral e E um evento associado a ele, P (E) e´ a probabilidade de ocorreˆncia
de E:
1. Axioma 1: 0 ≤ P (E) ≤ 1;
35
2. Axioma 2: P (S) = 1;
3. Axioma 3: Se A,B, · · · , K sa˜o eventos mutuamente exclusivos,
P (A ∪B ∪ · · · ∪K) = P (A) + P (B) + · · ·+ P (K)
Destes axiomas surgem as propriedades:
1. P (∅) = 0;
2. P (A¯) = 1− P (A);
3. P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B);
Uma regra pra´tica e objetiva para a atribuic¸a˜o nume´rica da probabilidade e´:
P (A) =
h
n
onde h e´ o nu´mero de resultados de S favora´veis ao evento A, e n e´ o nu´mero de resultados
poss´ıveis de S, desde que todos sejam igualmente prova´veis.
Exemplo: No lanc¸amento de um dado honesto, calcular a probabilidade de sair:
1. o nu´mero 2:
2. um nu´mero par:
3. um nu´mero ı´mpar:
4. o nu´mero 8:
5. um nu´mero menor que 7:
3.6 Probabilidade condicional e independeˆncia
Muitas vezes, ha´ interesse em calcular a probabilidade de ocorreˆncia de um evento A, dada a
ocorreˆncia de um evento B. Exemplos
1. Qual e´ a probabilidade de chover amanha˜, sabendo que choveu hoje?
2. Qual a probabilidade de um dispositivo eletroˆnico funcionar sem problemas por 200 horas
consecutivas, sabendo que ele ja´ funcionou por 100 horas?
36
Em outras palavras, queremos calcular a probabilidade de ocorreˆncia de A condicionada a`
ocorreˆncia pre´via de B. Essa probabilidade e´ representada por P (A|B) leˆ-se probabilidade de A
dado B.
Sejam A e B eventos quaisquer, sendo P (B) > 0. Definimos a probabilidade condicional de
A dado B por:
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
Desta fo´rmula, segue que:
P (A ∩B) = P (B)P (A|B)
Para treˆs eventos, A,B e C a regra do produto pode ser escrita como
P (A ∩B ∩ C) = P (A)P (B|A)P (C|A ∩B)
Exemplo: Uma urna conte´m 5 bolas exatamente iguais, exceto nas cores, pois 3 sa˜o brancas
e 2 sa˜o pretas. Uma bola e´ retirada dessa urna e em seguida uma outra bola e´ retirada. Qual a
probabilidade de ambas serem brancas, sabendo-se que na˜o houve reposic¸a˜o da primeira bola?
Dois ou mais eventos sa˜o independentes quando a ocorreˆncia de um dos eventos na˜o influ-
encia a probabilidade de ocorreˆncia dos outros.
Se dois eventos A e B sa˜o independentes, enta˜o:
P (A|B) = P (A), P (B|A) = P (B)
Como consequeˆncia, a regra do produto pode ser simplificada da seguinte forma:
P (A ∩B) = P (A)P (B|A) = P (A)P (B)
Essa relac¸a˜o e´ usada para definir formalmente eventos independentes, ou seja:
A e B sa˜o independentes ⇐⇒ P (A ∩B) = P (A)P (B)
A definic¸a˜o de independeˆncia ainda pode ser ampliada para mais eventos, como segue:
E1, E2, · · · , En sa˜o independentes ⇐⇒ P (E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ En) = P (E1)P (E2) · · ·P (En)
37
Exemplo: No caso do exemplo anterior, das 5 bolas na urna, suponhamos agora que sa˜o
retiradas 3 bolas, uma apo´s a outra, sempre com reposic¸a˜o da bola anterior. Qual a probabilidade
das 3 serem brancas?
3.7 Teorema da probabilidade total
A probabilidade de ocorrer pelo menos um entre dois eventos E1 e E2 e´ igual a soma das proba-
bilidades de E1 e E2, menos a probabilidade de E1 e E2 ocorrerem simultaneamente, ou seja,
P (E1 ∪ E2) = P (E1) + P (E2)− P (E1 ∩ E2)
Demonstrac¸a˜o:
No caso de treˆs eventos: E1, E2, E3, tem-se que
P (E1∪E2∪E3) = P (E1)+P (E2)+P (E3)−P (E1∩E2)−P (E1∩E3)−P (E2∩E3)+P (E1∩E2∩E3)
Exemplo: No circuito da figura a seguir, a probabilidade de que cada rele´ esteja fechado e´
de 0, 8. Supondo que cada rele´ seja aberto ou fechado independentemente um do outro, calcular
a probabilidade de que a corrente passe de A para B.
38
3.8 Teorema de Bayes
Se E1, E2, · · · , En sa˜o n eventos dois a dois mutuamente exclusivos e exaurem o conjunto S dos
eventos elementares, enta˜o se P (Ei) > 0(i = 1, 2, · · · , n) tem-se
P (Ei | B) = P (Ei)P (B | Ei)
P (E1)P (B | E1) + P (E2)P (B | E2) + · · ·+ P (En)P (B | En)
onde B e´ um evento que so´ pode ocorrer como efeito de uma das causas mutuamente exclusivas
Ei.
O teorema de Bayes fornece a probabilidade de que o evento Ei tenha ocorrido na hipo´tese
de que o evento B tenha sido observado.
Exemplo 1: Uma caixa A tem 3 fichas vermelhas e 2 azuis e a caixa B tem 2 vermelhas e 8
azuis. Joga-se uma moeda honesta, se a moeda der cara extrai-se uma ficha de A, se der coroa
de B. Uma ficha vermelha e´ extra´ıda. Qual a probabilidade de ter sa´ıdo cara no lanc¸amento?
Exemplo 2: Uma indu´stria produz quatro tipos de va´lvulas eletroˆnicas: A,B,C e D. A
probalidade de uma va´lvula do tipo A ser defeituosa e´ 1%, do tipo B e´ 0, 5%, do tipo C e´ 2%
e do tipo D e´ 0, 2%. Em um depo´sito existem 1000 va´lvulas do tipo A, 500 do tipo B, 300 do
tipo C e 200 do tipo D. Uma va´lvula e´ retirada aleatoriamente do depo´sito e verifica-se que esta´
defeituosa. Qual a probabilidade de que a va´lvula retirada seja do tipo D?
39
3.9 Varia´veis aleato´rias
Sa˜o grandezas sujeitas a variac¸o˜es. Conjunto de dados espec´ıficos que podem assumir valores
ou aspectos distintos, segundo os casos particulares ou circunstaˆncias. CRESPO (1997) define
varia´vel como “...conjunto de resultados poss´ıveis de um fenoˆmeno”.
Pode ser entendida como varia´vel quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores
aleato´rios:
Exemplos:
1. nu´mero de coroas obtido no lanc¸amento de duas moedas;
2. nu´mero de pessoas que visitam um determinado site, num certo per´ıodo de tempo;
3. tempo de resposta de um sistema computacional;
4. tempo de espera numa fila;
Estas varia´veis aleato´rias (v.a.) tem a caracter´ıstica: o resultado e´ um nu´mero real e na˜o
podemos preveˆ-lo com exatida˜o, pois depende do experimento aleato´rio.
Formalmente, uma v.a. e´ uma func¸a˜o que associa elementos do espac¸o amostral ao conjunto
de nu´meros reais.
As v.a.s podem ser discretas ou cont´ınuas.
3.9.1 Varia´veis aleato´rias discretas
Definida uma v.a. discreta, temos a descric¸a˜o do que pode ocorrer no experimento aleato´rio:
1. quais resultados podem ocorrer; e
2. qual a probabilidade de cada resultado acontecer.
Exemplo 1: Seja X uma v.a. X = nu´mero obtido no lanc¸amento de um dado comum.
40
Se X for discreta, com poss´ıveis valores {x1, x2, · · ·} enta˜o a distribuic¸a˜o de probabilidades de
X pode ser apresentada pela chamada func¸a˜o de probabilidade, que associa a cada valor poss´ıvel
xi a sua probabilidade de ocorreˆncia p(xi), ou seja:
p(xi) = P (X = xi), (i = 1, 2, · · ·)
Uma func¸a˜o de probabilidade deve satisfazer:
1. p(xi) ≥ 0;
2.
∑
i p(xi) = 1
Exemplo 2: O espac¸o amostral de um experimento aleato´rio e´ {a, b, c, d, e, f} e cada resul-
tado e´ igualmente prova´vel. Uma v.a. e´ definida como segue:
resultado a b c d e f
X 0 0 1,5 1,5 2 3
41
Exemplo 3: Considere o lanc¸amento de duas moedas honestas. Seja X o nu´mero de caras.
Deˆ a distribuic¸a˜o de X.
Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
E´ outra forma de representar uma distribuic¸a˜o de probabilidade de uma v.a.:
F (x) = P (X ≤ x),∀x ∈ ℜX
Exemplo 4: Seja X= nu´mero obtido no lanc¸amento de um dado. Construa a func¸a˜o de
distribuic¸a˜o acumulada de X.
graficamente:
Exemplo 5: Construa F (x) do exemplo 2 e fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
42
graficamente:
Valor esperado (esperanc¸a) e variaˆncia
Na ana´lise explorato´ria dos dados, definimos me´dia, variaˆncia e desvio padra˜o para sintetizar
informac¸o˜es sobre distribuic¸o˜es de frequeˆncias. De forma ana´loga, essas medidas tambe´m podem
ser definidas para as varia´veis aleato´rias, com o objetivo de sintetizar caracter´ısticas relevantes
de uma distribuic¸a˜o de probabilidades.
A me´dia ou valor esperado de uma v.a. discreta X e´ dada por:
E(X) =
n∑
i=1xip(xi)
E a variaˆncia e´ dada por:
V (X) = σ2X = E[X − E(X)]2 = · · · = E(X2)− [E(X)]2
Demonstrac¸a˜o:
Exemplo 6: Calculemos as esperanc¸as e variaˆncias dos exemplos anteriores!!!
43
Exemplo 7: O nu´mero de mensagens enviadas por hora, atrave´s de uma rede de computa-
dores tem a seguinte distribuic¸a˜o:
X=n. mensagens 10 11 12 13 14 15
p(x) 0,08 0,15 0,30 0,20 0,20 0,07
Calcule E(X) e V (X).
Exemplo 8: A distribuic¸a˜o a seguir e´ de chance que um bit transmitido atrave´s de um canal
de transmissa˜o digital seja recebido com erros. X = nu´mero de bits com erro nos pro´ximos 4
bits transmitidos. Encontre E(X) e V (X).
X 0 1 2 3 4
p(x) 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001
3.9.2 Varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Muitas v.a que surgem na vida de um engenheiro ou de um profissional da informa´tica teˆm
natureza eminentemente cont´ınua, tais como:
1. tempo de resposta de um sistema computacional;
2. rendimento de um processo qu´ımico;
3. tempo de vida de um componente eletroˆnico;
44
4. resisteˆncia de um material; etc
Define-se uma v.a. cont´ınua por meio de sua func¸a˜o de densidade de probabilidade (fdp).
As probabilidades de eventos associados a uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X podem ser
calculadas atrave´s de uma func¸a˜o densidade de probabilidade de f , que deve satisfazer:
1. f(x) ≥ 0, ∀x ∈ ℜ; e
2.
∫∞
−∞ f(x)dx = 1
Se A = [a, b], enta˜o P (A) = P (a < X < b) =
∫ b
a
f(x)dx
Exemplo 9: Seja a varia´vel aleato´ria T definida como o tempo de resposta na consulta a
um banco de dados, em minutos. Suponha que essa varia´vel aleato´ria tenha a seguinte fdp:
f(t) =
{
2e−2t, para t ≥ 0
0, para t < 0
Primeiramente esbocemos o gra´fico:
Calculemos a probabilidade de a resposta demorar mais do que 3 minutos, isto e´: P (T > 3).
Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
45
Como X e´ uma v.a. cont´ınua com fdp f , definimos sua func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
por:
F (x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞
f(s)ds, ∀x ∈ ℜ
Consideremos a fdp do exemplo anterior: para t < 0:
para t ≥ 0:
e, graficamente:
Retomando o exemplo anterior, o ca´lculo de P (T > 3) pode ser feito aplicando a func¸a˜o
acumulada:
46
Dada a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada F , podemos obter a fdp f por:
f(x) =
d
dx
F (x)
Para todo ponto x em que F e´ deriva´vel. Assim, a func¸a˜o F tambe´m caracteriza a distribuic¸a˜o
de probabilidades de uma v.a
Propriedades de F (x)
1. 0 ≤ F (x) ≤ 1;
2. limx→−∞F (x) = 0;
3. limx→∞F (x) = 1;
4. F (x) e´ na˜o-decrescente, isto e´, x1 ≤ x2 =⇒ F (x1) ≤ F (x2);
5. F (x2)− F (x1) = P (x1 ≤ X ≤ x2), x2 > x1
Exemplo 10: Seja X uma fdp dada por
f(x) =


x, 0 ≤ x < 1
2− x, 1 ≤ x < 2
0, x /∈ [0, 2
Calcule:
1. P (0 < X < 5);
2. P (0 < X < 1);
3. F (x);
4. os gra´ficos f(x) e F (x);
47
Esperanc¸a e variaˆncia
Uma v.a. cont´ınua X, com fdp f , tem valor esperado e variaˆncia definidos por:
E(X) =
∫ ∞
−∞
xf(x)dx
V (X) = E(X2)− [E(X)]2
onde E(X2) =
∫∞
−∞ x
2f(x)dx
Propriedades de E(X)
1. E(k) = k, k e´ constante,
2. E(kX) = k(E(X)
3. E(X ± Y ) = E(X)± E(Y )
4. E(aX ± k) = aE(X)± k
5. E(XY ) = E(X)E(Y )
Propriedades de V (X)
1. V (k) = 0
48
2. V (kX) = k2V (X)
3. V (X ± k) = V (X)
4. Cov(X,Y ) = E(XY )− E(X)E(Y )
Se X e Y sa˜o independentes E(XY ) = E(X)E(Y ), logo Cov(X,Y ) = 0
5. V (X ± Y ) = V (X) + V (Y )± 2Cov(X,Y )
Exemplo 11: Para os exemplos anteriores, calcule E(X) e V (X).
49
3.10 Varia´veis aleato´rias bidimensionais
Interesse: estudar mais de um resultado de um experimento aleato´rio. Por exemplo: selecionar
amostras de folhas de ac¸o fabricadas e medir a forc¸a de cisamento e o diaˆmetro da solda. A forc¸a
e o diaˆmetro sa˜o v.a. de interesse. Ainda, selecionar pessoas e medir a altura e o peso.
Definic¸a˜o: Uma v.a. bidimensional (X,Y ) e´ um par de func¸a˜o que associa cada uma um
nu´mero real a cada resultado do espac¸o amostral.
Seja X uma v.a. que assume os valores x1, x2, · · · , xm e Y uma v.a. que assume os valores
y1, y2, · · · , yn.
Definic¸a˜o: A func¸a˜o de probabilidade conjunta associa cada par (xi, yj), i = 1, 2, · · · ,m e
j = 1, 2, · · · , n a probabilidade
P (X = xi, Y = yj) = p(xi, yj)
A distribuic¸a˜o conjunta de probabilidade da v.a. bidimensional (X,Y ) e´ o conjunto:
{(xi, yj), p(xi, yj), i = 1, 2, · · · ,m; j = 1, 2, · · · , n}
Note que
∑m
i=1
∑n
j=1 P (X = xi, Y = yj) = 1
Se (X,Y ) for cont´ınua, a fdp e´ uma func¸a˜o f(x, y) tal que
1. f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ ℜXY ; e
2.
∫ ∫
ℜXY f(x, y)dxdy = 1.
Exemplo 12: Verifique se
{
0, 0453(xy2 + 2x), x ∈ [0, 1] e y ∈ [0, 2]
0, caso contra´rio.
e´ fdp.
50
Distribuic¸o˜es marginais
Sendo (X,Y ) uma v.a. bidimensional discreta, definem-se as distribuic¸o˜es marginais de X e
Y , respectivamente, por
p(xi) = P (X = xi) =
∞∑
j=1
p(xi, yj)
q(yj) = P (Y = yj) =
∞∑
i=1
p(xi, yj)
e no caso cont´ınuo, por
g(x) =
∫ ∞
−∞
f(x, y)dy
h(y) =
∫ ∞
−∞
f(x, y)dx
Dadas duas varia´veis aleato´rias discretas X e Y , elas sa˜o independentes se, para todos os
pares (xi, yj),
p(xi, yj) = p(xi)q(yj)
e sendo elas cont´ınuas, elas sa˜o independentes se, para todos os valores de X e Y ,
f(x, y) = g(x)h(y)
Sendo (X,Y ) uma varia´vel aleato´ria bidimensional e fanzendo Z = H(X,Y ) tem-se
E(Z) =
∞∑
j=1
∞∑
i=1
H(xi, yj)p(xi, yj),
Se (X,Y ) for uma varia´vel aleato´ria bidimensional discreta, e
E(Z) =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
H(x, y)f(x, y)dxdy
se (X,Y ) for uma varia´vel aleato´ria bidimensional cont´ınua.
Exemplo 13: A distribuic¸a˜o de probabilidade conjunta da varia´vel aleato´ria discreta (X,Y )
e´ dada abaixo
YX 2 4 6 8
2 0,05 0,03 0,02 0,01
4 0,10 0,12 0,08 0,05
6 0,06 0,10 0,08 0,06
8 0,08 0,10 0,04 0,02
Determinar:
51
1. as distribuic¸o˜es marginais de X e Y ;
2. E(Z) sendo Z = XY .
3. distribuic¸a˜o marginal de X.
Exemplo 14: Suponha que a fdp conjunta da varia´vel aleato´ria bidimensional (X,Y ) seja
dada por
f(x, y) =
{
k(xy + x
2
2
), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3;
0, quaisquer outros valores.
Calcular:
1. o valor da constante k;
52
2. as distribuic¸o˜es marginais de X e Y ;
3. E(XY ).
3.11 Distribuic¸o˜es teo´ricas de probabilidades
Estudaremos agora alguns modelos probabil´ısticos padro˜es, que podem ser usados em diversas
situac¸o˜es pra´ticas. O problema passa a ser, enta˜o, determinar qual modelo e´ o mais adequado
para a situac¸a˜o em estudo e como aplica´-lo adequadamente.
3.11.1 Principais distribuic¸o˜es teo´ricas discretas de probabilidades
Distribuic¸a˜o de Bernoulli
Talvez os experimentos mais simples sa˜o aqueles em que observamos presenc¸a ou na˜o de alguma
caracter´ıstica, que sa˜o conhecidos como ensaios de Bernoulli. Alguns exemplos:
1. lanc¸ar uma moeda e observar se ocorre cara ou na˜o;
2. lanc¸ar um dado e observar se ocorre seis ou na˜o;
3. numa linha de produc¸a˜o, observar se um item, tomado ao acaso e´ ou na˜o defeituoso;
53
4. verificar se um servidor de uma intranet esta´ ou na˜o ativo.
Denominamos sucesso ou fracasso os dois eventos poss´ıveis em cada caso. O ensaio de
Bernoulli e´ caracterizado por uma varia´vel aleato´ria X, definida por X = 1 se sucesso; X = 0,
se fracasso. A func¸a˜o de probabilidade de X e´ dada por
X p(x)
0 1-p
1 p
total 1
onde p = P (sucesso). A distribuic¸a˜o fica completamente especificada ao atribuirmos um valor
para p. No exemplo da moeda, p = 1
2
. Outras caracter´ısticas da distribuic¸a˜o de Bernoulli:
E(X) = p
V (X) = p(1− p)
F (x) =


0, se x < 0
1− p, se 0 ≤ x < 1
1, se x ≥ 1
Distribuic¸a˜o de Binomial
Na maior parte das vezes, sa˜o realizados n ensaios de Bernoulli. O interesse esta´no nu´mero X
de ocorreˆncias de sucesso, como nos exemplos:
1. lanc¸ar uma moeda cinco vezes e observar o nu´mero de caras;
2. numa linha de produc¸a˜o, observar dez itens, tomados ao acaso, e verificar quantos sa˜o
defeituosos;
3. verificar o nu´mero de bits que na˜o esta˜o afetados por ru´ıdos, em um pacote de n bits.
Nos exemplos precedentes, se for poss´ıvel supor:
1. ensaios independentes;
2. P (sucesso) = p, constante para todo ensaio (0 < p < 1)
Temos, enta˜o, exemplos de experimentos binomiais.
54
Uma v.a. com distribuic¸a˜o binomial de paraˆmetros n e p pode ser apresentada por:
X = X1 +X2 + · · ·+Xn
Onde X1 + X2 + · · · + Xn sa˜o v.a. independentes, sendo cada uma delas com distribuic¸a˜o de
Bernoulli de paraˆmetro p. Como Xi sera´ 0 ou 1, dependendo da ocorreˆncia ou na˜o de sucesso no
i−e´simo ensaio, enta˜o a soma X correspondera´ ao nu´mero de sucessos.
Definic¸a˜o: Seja X uma v.a. com distribuic¸a˜o binomial de paraˆmetros n e p (sendo 0 < p <
1). A probabilidade de X assumir um certo valor x, pertencente ao conjunto {0, 1, 2, · · · , n} e´
dada pela expressa˜o:
p(x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x
Ainda,
E(X) = np
V (X) = npq
Exemplo 15: Sabe-se que 20% dos animais submetidos a certo tratamento na˜o sobrevivem.
Se esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X = nu´mero de na˜o sobreviventes:
1. qual a distribuic¸a˜o de X?
2. E(X) e V (X);
3. P (2 < X ≤ 4);
55
4. P (X ≥ 2);
Exemplo 16: Dados histo´ricos mostram que 5% dos itens provindos de um fornecedor
apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com 20 itens, calcular a probabilidade
de:
1. haver um item com defeito;
2. haver exatamente dois itens defeituosos;
3. haver mais de dois itens defeituosos;
4. qual e´ o nu´mero esperado de itens defeituosos no lote?
5. e de itens bons?
56
Distribuic¸a˜o de Poisson
Muitas vezes, no uso da binomial, acontece que n e´ muito grande (n→∞) e p e´ pequeno (p→ 0).
Nesses casos na˜o encontramos o valor em tabelas, ou enta˜o o ca´lculo e´ dif´ıcil. Assim, pode-se
fazer uma aproximac¸a˜o da binomial pela Poisson, fazendo:
1. n→∞, (n > 30);
2. p→ 0, (p < 0, 1);
3. 0 < np ≤ 10 consideraremos np = λ.
Assim e´ poss´ıvel mostrar que:
X ∼ B(n, p) ≈ X ∼ Poi(λ)
Consideremos a probabilidade de ocorreˆncia de sucessos em um determinado intervalo de
tempo. Seja X = nu´mero de sucessos no intervalo, enta˜o:
P (X = k) =
e−λλk
k!
, k = 0, 1, 2, · · ·
onde λ e´ a me´dia.
Esta distribuic¸a˜o e´ usada em:
1. carros que passam no cruzamento por 1 hora;
2. erros tipogra´ficos por pa´gina;
3. defeitos por unidade por pec¸a fabricada;
4. mortes por atacaque do corac¸a˜o por ano numa cidade;
5. tempo de espera numa fila
Para a Poisson, tem-se
E(X) = λ, V (X) = λ
Exemplo 17: Num livro de 800 pa´ginas ha´ 800 erros de impressa˜o. Qual a probabilidade de
que uma pa´gina contenha pelo menos 3 erros?
57
Exemplo 18: Supondo que as consultas num banco de dados ocorrem de forma independente
e aleato´ria, com uma taxa me´dia de treˆs consultas por minuto, calculemos a probabilidade de
que no pro´ximo minuto ocorram menos do que 3 consultas?
Exemplo 19: Suponha que o nu´mero de consumidores que entrem num banco em uma hora
seja uma v.a. de Poisson. Suponha tambe´m que P (X = 0) = 0, 05. Deˆ E(X) e V (X)
3.11.2 Principais distribuic¸o˜es teo´ricas cont´ınuas de probabilidades
Distribuic¸a˜o Uniforme cont´ınua ou retangular
Uma v.a. X tem distribuic¸a˜o uniforme de paraˆmetros a e b, se sua densidade e´ especificada por
f(x) =
{
1
b−a , se x ∈ [a, b]
0, caso contra´rio.
Dizemos que X ∼ U [a, b].
Aqui, E(X) = b+a
2
, pois
58
e V (X) = (a−b)
2
12
, pois
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada e´:
F (x) =
∫ x
a
1
b− adt = · · ·
Assim,
F (x) =


0, se x < a
x−a
b−a , se a ≤ x < b
1, se x ≥ b
graficamente:
Exemplo 20: A espessura de um filme fotorresistente aplicado a pastilhas na fabricac¸a˜o de
semicondutores, em certa localizac¸a˜o na pastilha esta´ uniformemente distribu´ıda em 0, 2050 e
0, 2150 microˆmetros.
1. deˆ F (x);
59
2. deˆ a proporc¸a˜o de pastilhas que excedem 0, 2125 micrometro na espessura do filme;
3. que espessura e´ excedida por 10% das pastilhas?
4. deˆ E(X) e V (X).
Distribuic¸a˜o exponencial
Enquanto a distribuic¸a˜o de Poisson pode ser usada para modelar o nu´mero de ocorreˆncias em
um per´ıodo cont´ınuo, a distribuic¸a˜o exponencial pode modelar a v.a. cont´ınua que representa o
intervalo entre as ocorreˆncias. Exemplos:
1. tempo (em minutos) ate´ a pro´xima consulta a uma base de dados;
60
2. tempo (em segundos) entre pedidos a um servidor;
3. distaˆncia (em metros) entre defeitos de uma fita;
Assim, X ∼ exp(α) se sua fdp e´
f(x) =
{
αe−αx, se x ≥ 0, α > 0
0, se x < 0
graficamente:
Ainda, E(X) = 1
α
, pois
V (X) = 1
α2
E, a func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada e´ dada por:
F (x) =
∫ x
0
αe−αtdt =
Assim, F (x) =
{
1− e−αx, se x ≥ 0
0, se x < 0
Graficamente:
Exemplo 21: Seja X com fdp
f(x) =
{
k
2
e−x, se x ≥ 0
0, se x < 0
61
1. deˆ k;
2. deˆ F (x);
3. a mediana a distribuic¸a˜o (m e´ mediana se P (X > m) = P (X < m))
Exemplo 22: Dada a varia´vel aleato´ria T= tempo de resposta na consulta a um banco de
dados (em minutos) com fdp
f(t) =
{
2e−2t, para t ≥ 0
0, para t < 0
Calcular a probabilidade da consulta demorar mais que 3 minutos, isto e´, P (T > 3).
Distribuic¸a˜o Normal
A normal e´ considerada a distribuic¸a˜o de probabilidades mais importante, pois permite mode-
lar uma infinidade de fenoˆmenos naturais e, ale´m disso, possibilita realizar aproximac¸o˜es para
calcular probabilidades de muitas varia´veis aleato´rias que teˆm outras distribuic¸o˜es. E´ muito
importante tambe´m na infereˆncia estat´ıstica, como sera´ observado mais adiante.
62
A distribuic¸a˜o normal e´ caracterizada por uma func¸a˜o de probabilidade, cujo gra´fico descreve
uma curva em forma de sino, como mostra a figura a seguir.
Observe que essa forma de distribuic¸a˜o evidencia que ha´ maior probabilidade de a varia´vel
aleato´ria assumir valores pro´ximos do centro.
Dados os paraˆmetros µ ∈ ℜ e σ > 0, a fdp da normal e´ dada por:
f(x) =
1
σ
√
2pi
e
−1
2
(x−µ
σ
)2 , −∞ < x <∞
Com certo esforc¸o matema´tico, e´ poss´ıvel mostrar que
E(X) = µ
V (X) = σ2
A normal ainda tem como caracter´ısticas:
1. a curva e´ sime´trica em torno de µ, assim a me´dia e´ igual a mediana.
2. a func¸a˜o f(x) tem um ponto de ma´ximo para x = µ.
3. teoricamente, a curva prolonga-se de −∞ ate´ ∞, sendo limx→±∞ f(x) = 0.
4. a a´rea total sob a curva e´ igual a 1, ou seja,
∫∞
−∞ f(x)dx = 1.
Distribuic¸a˜o Normal Padra˜o - Z
Todas as curvas normais representativas de distribuic¸o˜es de frequeˆncias podem ser trans-
formadas em uma curva normal padra˜o, usando o desvio padra˜o (σ) como unidade de medida
indicativa dos desvios dos valores da varia´vel em estudo ( x ), em relac¸a˜o a` me´dia (µ ).
A Distribuic¸a˜o Normal Padra˜o e´ caracterizada por ter me´dia (µ ) igual a zero e desvio padra˜o
(σ) igual a 1.
63
Se a varia´vel X tem distribuic¸a˜o normal, pode ser transformada para uma forma padra˜o,
denominada Z, (ou, como comumente se diz, pode ser padronizada) subtraindo-se sua me´dia e
dividindo-se pelo seu desvio padra˜o:
z =
x− µ
σ
E´ importante lembrar que a a´rea sob a curva pode ser entendida como uma medida de sua
probabilidade e que a a´rea sob a curva normal e´ igual a 1 (100%).
Assim, a varia´vel X cuja distribuic¸a˜o e´ X ∼ N(µ, σ2) e´ transformada na forma padronizada
Z cuja distribuic¸a˜o e´ Z ∼ N(0, 1). Essa e´ a distribuic¸a˜o normal padra˜o, que ja´ esta´ tabelada,
pois osparaˆmetros da populac¸a˜o (desvio padra˜o e me´dia) sa˜o conhecidos.
Enta˜o, se forem tomados dois valores espec´ıficos, pode-se determinar a proporc¸a˜o de a´rea sob
a curva entre esses dois valores.
Para aprender a usar a tabela da Normal
1. Seja Z ∼ N(0, 1). Calcule:
(a) P (Z < 1, 32)
(b) P (Z < 3, 0)
(c) P (Z < −0, 82)
64
(d) P (Z > 2, 43)
(e) P (Z > −1, 34)
(f) P (−1 < Z < 1)
2. Z ∼ N(0, 1). Calcule:
(a) P (Z < z) = 0, 9
(b) P (Z < z) = 0, 5
(c) P (Z > z) = 0, 1
(d) P (−1, 24 < Z < z) = 0, 8)
3. Seja X ∼ N(13, 4). Calcule:
(a) P (X < 3)
65
(b) P (X > 8)
(c) P (2 < X < 7)
(d) P (X > x) = 0, 4
Exemplo 23: Em uma populac¸a˜o de indiv´ıduos adultos de sexo masculino, cuja estatura
me´dia e´ 1, 70m e desvio padra˜o e´ 0, 08m, qual a probabilidade de um indiv´ıduo apresentar
estatura entre 1, 60 e 1, 82m?
Exemplo 24: A resisteˆncia a` compressa˜o de amostras de cimento pode ser modelada com
distribuic¸a˜o N(6000kg/cm2, 100kg/cm2).
1. Qual a probabilidade da resisteˆncia da amostra ser menor que 6250kg/cm2?
2. Qual a probabilidade da resisteˆncia da amostra estar entre 5800 e 5900kg/cm2?
66
3. Qual resisteˆncia e´ excedida por 95% das amostras?
Exemplo 25: O tempo de reac¸a˜o de um motorista para o est´ımulo visual e´ normalmente
distribu´ıdo com me´dia 0, 4s e desvio padra˜o 0, 05s.
1. Qual a probabilidade de que uma reac¸a˜o requeira mais de 0, 5s?
2. Qual a probabilidade de que uma reac¸a˜o requeira entre 0, 4s e 0, 5s?
3. Qual o tempo de reac¸a˜o que e´ excedido em 90% do tempo?
3.12 Exerc´ıcios
1. Deˆ o espac¸o amostral dos seguintes experimentos:
(a) lanc¸amento simultaˆneo de treˆs moedas.
(b) lanc¸amento simultaˆneo de um dado e uma moeda.
(c) distribuic¸a˜o dos quatro filhos de um casal, quanto ao sexo, por ordem de nascimento.
67
(d) retirada de 4 bolas de uma urna contendo duas bolas brancas e 5 bolas verdes.
2. Considere o experimento: lanc¸amento de dois dados, um branco e outro verde, e observando
a face superior; determine:
(a) o espac¸o amostral;
(b) o evento: ocorreˆncia de nu´meros iguais nos dois dados;
(c) o evento: ocorreˆncia de nu´meros cuja soma seja 5;
3. Um lote conte´m pec¸as de 5, 10 ,... ,30 mm de diaˆmetro. Suponha que 2 pec¸as sejam
selecionadas no lote. Se x e y indicam respectivamente os diaˆmetros da primeira e da
segunda pec¸as selecionadas, o par (x, y) representa um ponto amostral. Usando o plano
cartesiano, indicar os seguintes eventos:
(a) A = {x = y};
(b) B = {y < x};
(c) C = {x = y − 10};
(d) D = {x+y
2
< 10}
4. Voceˆ faz parte de um grupo de 10 pessoas, para treˆs das quais sera˜o distribu´ıdos preˆmios
iguais. Calcule a probabilidade de que voceˆ seja um dos premiados. R. 3
10
5. Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja menor
que 4? R. 1
12
6. Lanc¸am-se dois dados honestos. Calcule a probabilidade de que a soma obtida seja igual a
10. R. 1
12
7. De um baralho de 52 cartas tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade de
que a carta seja: (a) uma dama; (b) uma dama de paus; (c) uma carta de ouros;R. 1
13
, 1
52
, 13
52
8. No lanc¸amento de dois dados iguais, qual a probabilidade de a soma dos pontos ser 8 e um
dos dados apresentar 6 pontos? R. 1
18
9. Ha´ 50 bolas numa urna, distribu´ıdas como segue:
68
Cor nu´mero
azul 20
vermelho 15
laranja 10
verde 5
Total 50
Misturam-se as bolas e escolhe-se uma. Determine a probabilidade de a bola escolhida ser:
(a) verde; R. 1
10
(b) vermelha ou verde; R.2
5
(c) azul;R.2
5
(d) amarela;R.0
(e) azul ou verde; R.1
2
(f) na˜o-amarela; R.1
(g) na˜o vermelha; R.35
50
10. Determine a chance em favor da extrac¸a˜o de uma dama de um baralho de 52 cartas. Qual
a chance contra? R. 1
13
, 12
13
11. No sistema ilustrado abaixo, cada rele´ tem funcionamento independente e a probabilidade
de que um rele´ qualquer esteja fechado e´ igual a 0, 80. Determine a probabilidade da
corrente ele´trica passar do ponto A para o ponto C do sistema. R.0, 7554
12. Uma indu´stria produz 4 tipos de vigas em ac¸o, A,B,C e D. A probabilidade de que a
viga A seja defeituosa e´ de 5%, a viga B e´ 3%, a viga C e´ 8% e a viga D e´ 10%. Em uma
construc¸a˜o, utilizaram-se todos os tipos de vigas nas seguintes quantidades: 400 vigas do
tipo A, 100 vigas do tipo B, 300 do tipo C e 200 do tipo D. Sabe-se que uma das vigas
utilizadas nesta construc¸a˜o apresentou defeito, calcule a probabilidade de que seja:
(a) Viga do tipo A;
69
(b) Na˜o seja uma viga do tipo C.
13. Em uma fa´brica foram instaladas 1000 laˆmpadas novas. Sabe-se que a durac¸a˜o me´dia
das laˆmpadas e´ de 800 horas e o desvio padra˜o de 100 horas, com distribuic¸a˜o normal.
Determinar a quantidade de laˆmpadas que durara˜o:
(a) Mais que 750 horas; R.691
(b) Entre 520 e 880 horas.R.785
14. Suponha que a porcentagem de impurezas de um composto seja uma varia´vel aleato´ria
cont´ınua com fdp:
f(x) =
{
k(2x2 + x), 0 ≤ x ≤ 1
0, x > 1, x < 0
(a) Calcule o valor da constante k R. 6
7
(b) Calcule P (X > 0, 60) R. 0,722
(c) Esboce o gra´fico da func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada F (X)


0, se x < 0
4x3
7
+ 3x
2
7
, se 0 ≤ x < 1
1, se x ≥ 1
15. Um dado honesto e´ lanc¸ado 10 vezes. Usando a distribuic¸a˜o binomial, calcule a probabili-
dade de:
(a) Verificar face 5 em exatamente 2 lanc¸amentos; R.0, 29
(b) Verificar face 2 no ma´ximo 2 lanc¸amentos; R.0, 8075
(c) Verificar face 3 ao menos 1 vez; R.0, 8385
16. [1 ponto] O nu´mero de vezes que um motor ele´trico e´ acionado em uma indu´stria segue a
distribuic¸a˜o Poisson. Sabe-se que, em me´dia, o motor e´ acionado 3 vezes a cada hora de
expediente. Determine a probabilidade de:
(a) O motor na˜o seja acionado em 2h de expediente; R.e−6
(b) O motor seja acionado no ma´ximo 2 vezes em 2h de expediente; R.19e−6 + e−5
(c) O motor seja acionado ao menos 1 vez em 1h de expediente; R.1− e−3
(d) Qual o nu´mero esperado de acionamento em 4h de expediente? R.12
70
17. Sejam X e Y os escores em um teste de inteligeˆncia geral e em um teste de prefereˆncia ocu-
pacional, rescpectivamente. A func¸a˜o de densidade de probabilidade das varia´veis aleato´rias
X,Y e´ dada por
f(x, y) =
{
k
1000
, 0 ≤ x ≤ 100, 0 ≤ y ≤ 10
0, caso contra´rio
(a) Ache o valor apropriado de k; R.1
(b) Encontre a densidade marginal de X. R.g(X) = 1
100
, x ∈ [0, 100]
18. Suponha que uma caixa contenha treˆs moedas: duas honestas e uma de duas caras. Retirar
uma moeda ao acaso e joga´-la. Pergunta: qual a probabilidade da moeda ter sido a de
duas caras, dado que o resultado final foi cara? R.1
2
19. Dada a distribuic¸a˜o conjunta de X e Y , independentes, seja Z = 2X − 4Y . Calcule E(Z),
V (Z) e as marginais de X e Y . R.E(Z) = 1, 4;V (Z) = 6, 76
X Y 0 1 2
1 0,06 0,12 0,02
2 0,15 0,30 0,05
3 0,09 0,18 0,03
20. Sejam X : renda familiar em R$1000, 00; Y : nu´mero de aparelhos em TV.
X 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3
Y 2 1 3 1 3 3 2 1 2 3
Deˆ a distribuic¸a˜o de (X,Y ), deˆ as marginais, E(X), E(Y ), V (X), V (Y ). R.E(X) = E(Y ) =
2, 1;V (X) = V (Y ) = 0, 69
21. Uma operadora do mercado de ac¸o˜es contata seus 20 clientes mais importantes todas as
manha˜s. Se a probabilidade de se fazer uma transac¸a˜o como resultado desse contato e´ de
uma em treˆs, quais sa˜o as chances de ela fazer 10 ou mais transac¸o˜es? R.0, 9824
22. Verifique se a func¸a˜o a seguir e´ fdp e determine as probabilidades.
f(x) =
2x+ 1
25
, x = 0, 1, 2, 3, 4
(a) P (X = 4) R. 9
25
(b) P (X ≤ 1) R. 4
25
71
(c) P (2 ≤ X < 4) R.12
25
(d) P (X > −10) R.1
23. Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter um determinado poluente orgaˆnico. Con-
sidere que as amostras