Operações com Vetores, Matrizes e Funções

Prévia do material em texto

Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN)
Vetores: Representação gráfica
���
Operações com vetores:
Adição - Vetores v (a,b,c) e u (d,e,f). O vetor soma u + v = v + u = (a+d, b+e, c+f).
Subtração - Vetores v (a,b,c) e u (d,e,f). O vetor soma u - v = (d-a, e-b, f-c).
Multiplicação por um escalar - O vetor v (a,b,c) e o escalar real k. O vetor k.v é dado por (k.a, k.b, k.c).
Considere uma tabela com m linhas e n colunas em que cada elemento que ocupa a “i-ésima” linha e a “j-ésima” coluna é denominado aij
�
Operações com matrizes:
Adição – Para que esteja definida entre duas matrizes Am x n e Bp x q é necessário que m = p e n = q. Para encontrar a matriz C = A + B, basta adicionar os elementos respectivos, isto é, cij = aij + bij.
�
Multiplicação de uma matriz A por um escalar real a - Seja a matriz Am x n. O produto de a por A, isto é, a.A é igual à multiplicação de cada elemento aij por a.
�
Produto de matrizes – Para que esteja definida entre duas matrizes Am x n e Bp x q é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz, isto é, n = p. A matriz produto terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda, isto é, m linhas e q colunas. Cada elemento cij será formado pela multiplicação dos elementos da linha i da matriz A pelos correspondentes elementos da coluna j da matriz B.
�
PROPRIEDADES:
Em regra, se A.B = B.A diz-se que A e B comutam;
A.I = A, I – matriz identidade
A.(B+C) = A.B + A.C - distributiva à esquerda
(B+C).A = B.A + C.A - distributiva à direita
A.(B.C) = (A.B).C – associativa
A.0 = 0, sendo 0, a matriz nula.
Exemplo: Considere as seguintes matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe. Para que seja possível determinar M+N, NxP e P-Q, quais os valores de a, b, c, d, e ?
ADIÇÃO: M2x3 + Naxb ( a = 2 e b = 3
MULTIPLICAÇÃO: M2x3.Pcx4 ( c = 3
SUBTRAÇÃO: Pcx4 – Qdxe ( e = 4 e c =d = 3
Função Real de uma variável Real, Domínio e Imagem - Se f é uma função com domínio em A e contra domínio em B, dizemos que f é uma função definida em A com valores em B. Se tanto A como B forem subconjunto dos reais dizemos que f é uma função real de variável real.
�
Raízes de uma função - Denominamos raiz(es) de um função quando a(s) função(ões) interceptar (tocar, cortar) o eixo das abscissas, neste ponto a função possui as coordenadas (x,0), ou seja y = 0.
Funções Elementares - Suponha dois conjuntos A e B. Diz-se que f: A ( B é uma função se para todo elemento x ( A existe um único elemento y ( B. Lembre-se f(x) = y. Graficamente, podemos identificar se uma curva é uma função traçando retas verticais. Se as retas cortarem em apenas um único ponto a curva, é uma função.
�
Funções Polinomiais - f(x) = an.xn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ...+ a2.x2 + a1.x + a0, onde n>=0. As raízes reais são os valores de x para os quais y é nulo, ou seja, a interseção do gráfico com o eixo x.
�
Teorema de Bolzano - Considere um intervalo (a,b) do domínio da função f(x). Se f(a).f(b) > 0, existe um número par de raízes reais no intervalo (a,b). Se f(a).f(b) < 0, existe um número ímpar de raízes reais no intervalo (a,b).
�
Exemplo: Seja a função polinomial f(x) = 2x3 - 12x2 -3x + 8. Mostre que existe ao menos uma raiz real no intervalo (0, 1) da equação f(x) = 0.
f(0) = 2.(0)3 – 12.(0)2 -3.(0) + 8 = 8
f(1) = 2.(1)3 – 12.(1)2 -3.(1) + 8 = -5
Pelo Teorema de Bolzano, como f(0).f(1) < 0, podemos inferir que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo (0,1).
Funções Crescente e Decrescente - Se x2 > x1 ( f(x2) > f(x1) diz-se que a função é estritamente crescente. Se x2 > x1 ( f(x2) < f(x1) diz-se que a função é estritamente decrescente.
�
Funções Elementares:
Função Constante - f(x) = k, onde k é um número real. Observe que f(x) = a0 x0 = a0 (não é uma função do 1º grau).
Função Linear Afim - f(x) = ax+b. Gráfico é uma reta que não passa pela origem.
Função Linear - f(x) = ax. Gráfico é uma reta passando pela origem.
�
Função Quadrática: f(x) = a.x2 + b.x + c.	�
Função Exponencial: y = ax.	�
Função Logarítmica: y = Logb(x).
Função seno: y = sen(x).
�
Função co-seno: y = cos(x).		�
Função tangente: y = tg(x).	�
	1a Questão (Ref.: 201309166639)
	
	
	
	
	-3
	 
	-7
	
	-11
	
	3
	
	2
	 2a Questão (Ref.: 201309208701)
	
	Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P- Q, se:
	
	
	b = a + 1, c = d= e = 4
	
	b - a = c - d
	 
	a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1
	
	a = b = c = d= e - 1
	
	2b = 2c = 2d = a + c
	 3a Questão (Ref.: 201309166669)
	
	Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1).
	
	
	2
	
	-7
	
	3
	
	-11
	 
	-8