Métodos Diretos e Iterativos em Cálculo Numérico

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Sistema de Equações lineares
Métodos Diretos - São aqueles que fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, a menos de erro de arredondamento.
Dentre eles: Método de Gauss-Jordan e Método da Decomposição LU.
Método de Gauss-Jordan - Consiste em gerar uma matriz diagonal (elementos que não pertencem à diagonal principal, iguais a zero); Operações elementares serão efetuadas com as linhas / colunas; Não é iterativo e sim um método direto pois conduz à solução exata a menos de erros de arredondamento, introduzidos pela máquina, após um número finito de passos.
Escalonamento de sistemas lineares:
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A primeira linha deve manter apenas o “x”, a segunda linha apenas o “y” e a terceira linha apenas o “z”; Para eliminarmos o “2x” da segunda linha podemos multiplicar a primeira linha por (-2):
Para eliminarmos o “3x” da terceira linha podemos multiplicar a primeira linha por (-3):
�
Sistema com as modificações:	�
Com operações semelhantes eliminamos:
“y” e “z” da primeira linha;
“z” da segunda linha;
“y” da terceira linha.
�		REPOSTA: x =1 , y = 2 e z = 4
Método da Decomposição LU ou Fatoração LU – Trabalharemos com a matriz escrita na forma Ax = B. O processo de decomposição LU consiste em decompor a matriz A (matriz dos coeficientes) em um produto de dois ou mais fatores, e, em seguida, resolver uma sequência de sistemas lineares que levará a solução do sistema original. Então, teremos A = LU; onde L é uma matriz triangular inferior de ordem m x n com diagonal principal contendo apenas 1’s, e U é uma matriz de ordem m x n que é da forma escalonada reduzida de A.
Métodos Iterativos – Consiste em generalizar o procedimento na busca de raiz(es) de uma equação, sendo denominado iterativo quando fornece uma sequência de soluções aproximadas, onde cada solução aproximada é obtida utilizando a solução encontrada na sequência anterior pela aplicação de um mesmo procedimento.
Método de Gauss-Jacobi - Considere um sistema linear com “n” equações e “n” incógnitas; Método iterativo que consiste em uma solução inicial (x(0), y(0), z(0)...) que será substituída na expressão de recorrência e testada segundo um critério de parada;
Fórmula de recorrência:			�
Critério de parada:
O número de iterações;
Erro relativo		�
Teste de convergência do método: se o sistema linear satisfaz o critério das linhas então o método de Gauss-Jacobi converge.
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Exemplo: Avalie a convergência do método de Gauss-Jacobi para o sistema linear abaixo
� �
Como amáximo = 0,5 < 1, há convergência.
�		�
Exemplo: Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jacobi com precisão de 0,01.
�
Convergência:		�
Convergência após mudança de linhas:		�
Como amáximo = 0,40 < 1, há convergência.
Fórmulas de recorrência:		�
Valores iniciais: x(0) = 0; y(0) = 0; z(0) = 0; 
Iterações:
Primeira:	 Segunda:	 Terceira:		 Quarta:		 Quinta:
� � � � �
Método de Gauss-Seidel - É semelhante ao método de Jacobi, ou seja, transforma o sistema linear AX= B em X=CX+G por separação da diagonal.
	 1a Questão (Ref.: 201309208740)
	
	No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos:
	
	não há diferença em relação às respostas encontradas.
	 
	o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
	
	o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
	
	no método direto o número de iterações é um fator limitante.
	
	os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema.
	 2a Questão (Ref.: 201309166734)
	
	Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais para pesquisa -1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor:
	 
	1,5
	
	-0,5
	
	0
	
	1
	
	0,5