Revisão AV1

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Revisão AV1
Exemplo: Considerando o método do ponto fixo, indique funções de iteração F (x) para resolução da equação x2-5x- 3=0
Devemos ter que x = F (x);
x2 - 5x - 3 = 0 ( 5x = x2 -3 ( x = (x2 -3)/5
x2 - 5x - 3 = 0 ( x2 = 5x + 3 ( x = 5/x + 3/x2
x2 - 5x - 3 = 0 ( x2 - 5x = 3 ( x.(x-5) = 3 ( x = 3/(x-5)
Exemplo: Considere a equação x3 - x2 + 3 = 0. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
a)(-2,0; -1,5) b)(-1,5; - 1,0) c) (-1,0; 0,0) d)(0,0; 1,0)
TEOREMA DE BOLZANO
f(-2)= -9
f(-1,5) = -2,625		f(-2)*f(-1,5) = 23,625 > 0
f(-1) = 1	 �	f(-1,5)*f(-1) = -2,625 < 0
f(0) = 3			f(-1)*f(0) = 3 > 0
f(1) = 3			f(0)*f(1) = 9 > 0
Exemplo: Suponha a equação 3x3 - 5x2 + 1 = 0. Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação.
f(0) = 1 e f(1) = -1. Como f(0)*f(1) < 0, existe 1 raiz real (0,1).
Primeira iteração: xm= (0+1)/2 = 0,5
f(0,5) = 0,125. Como f(0,5)*f(1) < 0, novo intervalo (0,5;1)
Segunda iteração: xm= (0,5+1)/2 = 0,75
f(0,75)= -0.547. Como f(0,5)*f(0,75) < 0, novo intervalo (0,5;0,75). Assim, xm= (0,5+0,75)/2 = 0,625
Exemplo: A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o ponto inicial x0= 4, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor:
a) 3,2 b) 2,4 c) 1,6 d) 0,8 e) 0
Função derivada: f’(x) = 3.x2 -8
Fórmula de recorrência:
k=1	�
Exemplo: Determine a raiz real positiva da função f(x) = x3 - 8x, com precisão de 0,01 empregando o Método de Newton Raphson.
Função derivada: f’(x) = 3.x2 -8
Fórmula de recorrência:
Valor inicial xo = 4
k=1:
f(4) = 43 – 8.4 = 32	�
f´(4) = 3.42 -8 = 40
4 – 3,2 = 0,8 > 0,01
k=2: x1 = 3,2
f(3,2) = 3,23 – 8.3,2 = 7,168		�
f´(3,2) = 3.(3,2)2 -8 = 22,72
3,2 – 2,885 = 0,315 > 0,01
k=3: x2 = 2,885
f(2,885) = (2,885)3 – 8.(2,885) = 0,9325		�
f´(2,855) = 3.(2,885)2 -8 = 16,9697
2,885-2,83= 0,055 > 0,01
k=4: x3 = 2,83
f(2,83) = (2,83)3 – 8.(2,83) = 0,02519		�
f´(2,83) = 3.(2,83)2 -8 = 16,0267
2,83-2,829= 0,001 < 0,01
RAIZ APROXIMADA: 2,829