calculo_1_derivada_parte_ii_e_iii

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NOTAS DE AULA 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
 
 ERON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALVADOR – BA 
2006 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE II 
 
DERIVADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aprender 
 é a única coisa de que a mente 
nunca se cansa, 
não tem medo 
e nunca se arrepende. 
 
 Leonardo Da Vinci (1452-1519) 
 
Homem Vitruviano 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 4 
 
SUMÁRIO 
 
 
Derivada – um pouco de história 
 
Derivada de uma função num ponto 
 
Derivadas laterais 
 
Função derivada – derivada das funções elementares 
 
Teorema sobre derivada e continuidade 
 
Propriedades das derivadas 
 
Regras de derivação – multiplicação por escalar, adição/subtração 
 
Regra do produto 
 
Regra do quociente (aplicações: derivada da tangente, cotangente, secante, cossecante, etc). 
 
Regra da cadeia e suas aplicações 
 
Derivadas sucessivas 
 
Derivada da função inversa 
 
Derivada das funções trigonométricas inversa 
 
Derivada de uma função na forma implícita 
 
Derivada de uma função na forma paramétrica 
 
Exercícios de Fixação 
 
Tabela de derivadas 
 
Resposta dos exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 5 
DERIVADA – UM POUCO DE HISTÓRIA 
A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as 
aplicações das derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática 
propriamente dita, tem aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e 
muito mais, e novas aplicações aparecem todos os dias. 
A origem da derivada está nos problemas geométricos clássicos de tangência, por exemplo, 
para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado. Euclides (cerca de 
300 a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é 
perpendicular ao raio em P. Arquimedes (287-212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a 
tangente à sua espiral e Apolônio (cerca de 262-190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto 
diferentes, para determinar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Mas estes eram apenas 
problemas geométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os 
gregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas. 
Problemas de movimento e velocidade, também básicos para nosso entendimento de derivadas 
hoje em dia, também surgiram com os gregos antigos, embora estas questões tenham sido 
originalmente tratadas mais filosoficamente que matematicamente. Os quatro paradoxos de Zenon 
(cerca de 450 a.C.) se apóiam sobre dificuldades para entender velocidade instantânea sem ter uma 
noção de derivada. Na Física de Aristóteles (384-322 a.C.), os problemas de movimento estão 
associados intimamente com noções de continuidade e do infinito (isto é, quantidades infinitamente 
pequenas e infinitamente grandes). Na época medieval, Thomas Bradwardine (1295-1349) e seus 
colegas em Merton College, Oxford, fizeram os primeiros esforços para transformar algumas das 
idéias de Aristóteles sobre movimento em afirmações quantitativas. Em particular, a noção de 
velocidade instantânea tornou-se mensurável, pelo menos em teoria; hoje, é a derivada (ou a taxa de 
variação) da distância em relação ao tempo. 
Foi Galileu Galilei (1564-1642) quem estabeleceu o princípio que matemática era a ferramenta 
indispensável para estudar o movimento e, em geral, ciência: “Filosofia [ciência e natureza] está 
escrita naquele grande livro o qual está diante de nossos olhos – quero dizer o universo – mas não 
podemos entendê-lo se não aprendermos primeiro a linguagem... O livro está escrito em linguagem 
matemática ...” Galileu estudou o movimento geometricamente; usou as proporções clássicas de 
Euclides e propriedades das cônicas de Apolônio para estabelecer relações entre distância, velocidade 
e aceleração. Hoje, estas quantidades variáveis são aplicações básicas das derivadas. 
O interesse em tangentes a curvas reapareceu no século XVII como uma parte do 
desenvolvimento da geometria analítica. Uma vez que equações eram então usadas para descrever 
curvas, o número e variedade de curvas aumentou tremendamente naqueles estudos em épocas 
clássicas. Por exemplo, Pierre Fermat (1601-1665) foi o primeiro a considerar a idéia de uma família 
inteira de curvas de uma só vez. Ele as chamou de parábolas superiores, curvas da forma y = kxn, 
onde k é constante e n = 2, 3, 4, … A introdução de símbolos algébricos para estudar a geometria de 
curvas contribuiu significativamente para o desenvolvimento da derivada, da integral e do cálculo. Por 
outro lado, como conclusões e resultados geométricos poderiam ser obtidos mais facilmente usando 
raciocínio algébrico que geométrico, os padrões de rigor lógico que tinham sido iniciados pelos gregos 
antigos foram relaxados em muitos problemas de cálculo, e isto (entre outros fatores) levou a 
controvérsias espirituosas e até amarguradas. Fermat desenvolveu um procedimento algébrico para 
determinar os pontos mais altos (máximos) e mais baixos (mínimos) sobre uma curva; 
geometricamente, ele estava encontrando os pontos onde a tangente à curva tem inclinação zero. 
René Descartes (1596-1650) teve o discernimento de prever a importância da tangente quando, 
em sua Geometria, escreveu “E eu ouso dizer isto [encontrar a normal, ou perpendicular a uma curva, 
a partir da qual podemos facilmente identificar a tangente] não é apenas o problema mais útil e geral 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 6 
da geometria que conheço, mas até aquele que sempre desejei conhecer. Descartes criou um 
procedimento de dupla raiz para encontrar a normal e então a tangente a uma curva. Como resultado 
da tradução da Geometria de Descartes para o latim por Frans van Schooten (1615-1661) e as 
explicações abrangentes por Schooten, Florimonde de Beaune (1601-1652) e Johan Hudde (1628-
1704), os princípios e benefícios da geometria analítica tornaram-se mais amplamente conhecidos. 
Em particular, Hudde simplificou a técnica da dupla raiz de Descartes para determinar pontos 
máximos e mínimos sobre uma curva; o procedimento da dupla raiz foi redescoberto por Christiaan 
Huygens (1629-1695). Então, modificando o processo da tangente de Fermat, Huygens inventou uma 
seqüência de etapas algébricas que produziu os pontos de inflexão de uma curva; veremos que isto 
requer a derivada segunda. René François de Sluse (1622-1685) desenvolveu uma técnica algébrica 
que levou à inclinação da tangente a uma curva. No final da década de 1650, havia grande 
correspondência entre Huygens, Hudde, van Schooten, Sluse e outros sobre tangentes de várias curvas 
algébricas;Hudde e Sluse especialmente procuraram métodos algébricos mais simples e padronizados 
que poderiam ser aplicados a uma variedade maior de curvas. Para Gilles Personne de Roberval (1602-
1675), uma curva era o caminho de um ponto se movendo, e ele desenvolveu um método mecânico 
para encontrar a tangente para muitas curvas, incluindo a ciclóide. Mas o método de Roberval não 
podia ser generalizado para incluir mais curvas. 
Isaac Newton (1642-1727) começou a desenvolver o seu “cálculo de flúxions” entre os seus 
primeiro esforços científicos em 1663. Para Newton, movimento era a “base fundamental” para 
curvas, tangentes e fenômenos relacionados de cálculo e ele desenvolveu seus flúxions a partir da 
versão de Hudde do procedimento da dupla raiz. Newton estendeu esta técnica como um método para 
encontrar a curvatura de uma curva, uma característica que agora sabemos ser uma aplicação da 
derivada segunda. Em 1666, 1669 e 1671, Newton resumiu e revisou seu trabalho de cálculo e estes 
manuscritos circularam entre um grande número de seus colegas e amigos. Ainda assim, embora tenha 
continuado a retornar a problemas de cálculo em épocas diferentes de sua vida científica, os trabalhos 
de Newton sobre cálculo não foram publicados até 1736 e 1745. 
Com algum tutoramento e conselho de Huygens e outros, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-
1716) desenvolveu seu cálculo diferencial e integral durante o período entre 1673 e 1676 enquanto 
vivia como um diplomata em Paris. Em uma pequena viagem a Londres, onde participou de um 
encontro da Sociedade Real em 1673, Leibniz aprendeu o método de Sluse para encontrar tangentes a 
curvas algébricas. Leibniz tinha pouca inclinação para desenvolver estas técnicas e interesse ainda 
menor em fundamentações matemáticas (isto é, limites) necessárias, mas ele aperfeiçoou as fórmulas 
modernas e a notação para derivada no seu famoso artigo "New methods for maximus and minimus, as 
well as tangents, which is neither impeded by fractional nor irrational quantities, and a remarkable 
calculus for them" (Novos métodos para máximos e mínimos, assim como tangentes, os quais não são 
impedidos por quantidades fracionárias e irracionais, e um cálculo notável para eles) de 1684. 
Aqui está o primeiro trabalho publicado em cálculo e de fato a primeira vez que a palavra 
“cálculo” foi usada em termos modernos. Agora, qualquer um poderia resolver problemas de tangentes 
sem ser especialista em geometria, alguém poderia simplesmente usar as fórmulas de “cálculo” de 
Leibniz. 
Algumas vezes se diz que Newton e Leibniz “inventaram” o cálculo. Como podemos ver, isto é 
simplificação exagerada. Em vez disso, como Richard Courant (1888-1972) observou, cálculo tem 
sido “uma luta intelectual dramática que durou 2500 anos”. Depois de 1700, circunstâncias levaram a 
um dos episódios mais tristes e deselegantes em toda a história da ciência: a disputa entre Leibniz e 
Newton, e mais ainda entre seus seguidores, sobre quem deveria receber os créditos do cálculo. Cada 
um fez contribuições importantes para derivada, integral, séries infinitas e, acima de tudo, para o 
Teorema Fundamental do Cálculo. As acusações de plágio e outros ataques eram irrelevantes frente à 
matemática feita por eles, mas as acusações e contra-ataques escalaram para cisões entre matemáticos 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 7 
e cientistas na Inglaterra (leais a Newton) e no continente europeu (seguidores de Leibniz) os quais 
levaram à xenofobia nacionalista por mais de um século. 
O primeiro livro sobre cálculo diferencial foi Analysis of Infinitely Small Quantities for the 
Understanding of Curved Lines (Análise de quantidades infinitamente pequenas para o entendimento 
de curvas,1696) pelo Marquês de l’Hospital (1661-1704). Muito de seu trabalho foi realmente devido 
à Johann Bernoulli (1667-1748) e seguiu o tratamento de Leibniz para derivadas, máximos, mínimos e 
outras análises de curvas. Mas o método de l’Hospital para determinar o raio de curvatura era muito 
parecido com aquele de Newton. Jakob Bernoulli (1654-1705) e seu irmão mais novo Johann 
lideraram o caminho para espalhar o conhecimento do poder das fórmulas de cálculo de Leibniz 
propondo e resolvendo problemas desafiadores (o problema da catenária e da braquistócrona são dois 
exemplos) para os quais o cálculo era necessário. Leibniz, Newton e Huygens também resolveram 
estes problemas. Estes problemas e outros levaram ao desenvolvimento das equações diferenciais e do 
cálculo das variações, novos campos da matemática dependentes de cálculo. 
Na Inglaterra, o novo Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions,1737) de Thomas Simpson 
(1710-1761) forneceu a primeira derivada da função seno. Em 1734, o Bispo George Berkeley (1685-
1753) publicou The Analyst (O Analista), um ataque à falta de fundamentos rigorosos para seus 
flúxions. Berkeley reconheceu a precisão das fórmulas de Newton e a exatidão das suas aplicações 
abrangentes em física e astronomia, mas criticou as "quantidades infinitamente pequenas" e os 
"incrementos imperceptíveis" dos fundamentos das derivadas. Colin Maclaurin (1698-1746) tentou 
defender Newton no seu Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions) (1742) e desenvolveu derivadas 
para funções logarítmicas e exponenciais e expandiu as fórmulas de Simpson para incluir as derivadas 
das funções tangente e secante. 
No continente, Maria Agnesi (1718-1799) seguiu Leibniz e L'Hospital no seu livro de cálculo 
Analytical Institutions (Instituições Analíticas, 1748). Leonhard Euler (1707-1783) deu um passo 
importante na direção de estabelecer uma fundamentação sólida para o cálculo no seu Introduction to 
the Analysis of the Infinite (Introdução à Análise do Infinito, 1748) quando introduziu funções (no 
lugar de curvas) como os objetos para os quais as derivadas e outras técnicas de cálculo seriam 
aplicadas. Por função, Euler queria dizer algum tipo de "expressão analítica"; sua concepção não era 
tão abrangente como a nossa definição moderna. Na sua publicação, também introduziu o termo 
análise como um nome moderno para cálculo e a matemática avançada relacionada. No seu Methods 
of Differential Calculus (Métodos de Cálculo Diferencial, 1755), Euler definiu a derivada como "o 
método para determinar as razões entre os incrementos imperceptíveis, as quais as funções recebem, e 
os incrementos imperceptíveis das quantidades variáveis, das quais elas são funções", que soa não 
muito científico hoje em dia. Mesmo assim, Euler trabalhou com vários casos especiais da regra da 
cadeia, introduziu equações diferenciais e tratou máximos e mínimos sem usar quaisquer diagramas ou 
gráficos. Em 1754, na famosa Encyclopédie francesa, Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) afirmou 
que a "definição mais precisa e elegante possível do cálculo diferencial" é que a derivada é o limite de 
certas razões quando os numeradores e denominadores se aproximam mais e mais de zero, e que este 
limite produz certas expressões algébricas que chamamos de derivada. 
No final do século 18, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) tentou reformar o cálculo e torná-lo 
mais rigoroso no seu Theory of Analytic Functions (Teoria das Funções Analíticas, 1797). Lagrange 
pretendia dar uma forma puramente algébrica para a derivada, sem recorrer à intuição geométrica, a 
gráficos ou a diagramas e sem qualquer ajuda dos limites de d'Alembert. Lagrange desenvolveu a 
principal notação que usamos agora para derivadas e o desenvolvimento lógico de seu cálculo era 
admirável em outros aspectos, mas seu esforço em prover uma base sólida para o cálculo falhou 
porque sua concepção da derivada era baseada em certas propriedades de séries infinitas as quais, 
sabemos agora, não são verdadeiras. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IERON 8 
Finalmente, no início do século 19, a definição moderna de derivada foi dada por Augustin 
Louis Cauchy (1789-1857) em suas aulas para seus alunos de engenharia. Em seu Résumé of Lessons 
given at l'Ecole Polytechnique in the Infinitesimal Calculus (Resumo das Lições Dadas na Escola 
Politécnica Sobre o Cálculo Infinitesimal, 1823), Cauchy afirmou que a derivada é: 
O limite de [f(x + i) - f(x)] / i quando i se aproxima de 0. A forma da função que serve como o 
limite da razão [f(x + i) - f(x)] / i dependerá da forma da função proposta y = f(x). Para indicar sua 
dependência, dá-se à nova função o nome de função derivada. 
Cauchy prosseguiu para encontrar derivadas de todas as funções elementares e dar a regra da 
cadeia. De igual importância, Cauchy mostrou que o Teorema do Valor Médio para derivadas, que 
tinha aparecido no trabalho de Lagrange, era realmente a pedra fundamental para provar vários 
teoremas básicos do cálculo que foram assumidos como verdadeiros, isto é, descrições de funções 
crescentes e decrescentes. Derivadas e o cálculo diferencial estão agora estabelecidos como uma parte 
rigorosa e moderna do cálculo. 
 
 
Fonte: George B. Thomas Cálculo vol I e II. Pearson Education. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 9 
PARTE II – DERIVADAS 
 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO. Definição. Seja :f I →\ onde I ⊆ \ é um conjunto 
aberto e 0x I∈ . A derivada de f no ponto 0x é dada por 
 
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
x x
f x f xf x
x x→
−′ = − 
 
quando este limite existe (este limite deve ser um número). 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
1) Tradicionalmente, também se utiliza a notação 0 00 0
( ) ( )( ) lim
x
f x x f xf x
xΔ →
+ Δ −′ = Δ , ou então 
0 0
0 0
( ) ( )( ) lim
h
f x h f xf x
h→
+ −′ = . 
 
2) Várias notações são utilizadas para indicar a derivada (ou derivada primeira) em relação à variável 
x de uma função de x num certo ponto 0x . Assim, 
 
0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
df dyf x y x f x y x x x D f x
dx dx
′ ′= = = = = =� � , ou ainda, 
0
0 0
x
x x
x x
x x
df dy D f
dx dx == =
= = 
 
3) Dizemos que uma função f é derivável (ou diferenciável) num conjunto I ⊆ \ quando tem 
derivada em todo ponto de I . 
 
 
Exemplos 
 
a) Obtenha a derivada de ( ) 3 5f x x= − no ponto 0 1x = − . 
 
b) Dada 2( )g t t t= + , determine (3)g′ . 
 
c) Verifique a existência de (0)f ′ quando ( )f x x= . 
 
 
Exercícios 
 
1 – Utilize a definição de derivada num ponto para determinar o que se pede. 
 
a) Considere ( ) 3 10F x x= − + , determine o valor (5)F ′ . 
 
b) Calcular o valor de ( )dg a
dt
, a∈\ uma constante, sabendo que 2( ) 3g t t t= − + . 
 
c) Determine (2)C′ quando 3 2( ) 2C x x x x= − + . 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 10 
 
d) Verifique (0)dy
dx
 quando y x= . 
 
2 – Mostre que a função 
1sen se 0
( )
0 se 0
x x
f x x
x
⎧ ⎛ ⎞⋅ ≠⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨⎪ =⎩
 não é derivável em 0x = . 
 
 
DERIVADAS LATERAIS. Seja f uma função definida num intervalo do tipo 0[ , [x a (respect. 0] , ]a x ), 
f é derivável à direita (respect. à esquerda) em 0x se existir 
 
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
x x
f x f xf x
x x+ +→
−′ = − (respectivamente, 
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
x x
f x f xf x
x x− −→
−′ = − ) 
 
 
Teorema de existência da derivada. Considere :f I →\ , I ⊆ \ e 0x I∈ . f é derivável em 0x se, 
e somente se, existem as derivadas laterais 0( )f x+′ , 0( )f x−′ e 0 0( ) ( )f x f x+ −′ ′= . Neste caso, 
0 0 0( ) ( ) ( )f x f x f x+ −′ ′ ′= = . 
 
Demonstração. É imediato verificar isto pelo Teorema de existência do limite. , 
 
 
Exemplos: 
 
a) ( )f x x= em 0 0x = . b) 3( )g u u= em 0 0u = c) ................ 
 
 
Teorema. Se uma função :f I →\ é derivável em 0x I∈ então f é contínua em 0x . 
 
Demonstração. Sendo f derivável em 0x I∈ , existe 
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
x x
f x f xf x
x x→
−′ = − . Assim, 
[ ]
0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) ( ) lim ( ) lim lim ( ) 0
x x x x x x x x
f x f x f x f xf x f x x x x x
x x x x→ → → →
⎡ ⎤− −− = − = − =⎢ ⎥− −⎣ ⎦
. 
 
Ou seja, [ ]
0 0
0 0lim ( ) ( ) 0 lim ( ) ( )x x x x
f x f x f x f x→ →− = ⇒ = . , 
 
 
Exemplos: Verifique a continuidade das funções nos pontos indicados através da derivada. 
 
 
Observação. Note que ( )f x x= não possui derivada em 0 mas é uma função contínua em \ . 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 11 
FUNÇÃO DERIVADA. Seja :f I →\ , onde I ⊆ \ , uma função ( )y f x= . Se para cada valor de x I∈ 
podemos calcular a derivada de f em x, temos a função derivada de f em I : ( )y f x′ ′= . Podemos, 
assim, exibir uma tabela que nos dá a função derivada de algumas funções elementares. 
 
 
Derivada da função constante: f(x) = k , k ∈\ . A derivada desta função num ponto qualquer 0x é 
dada por 
0 0
0
0 0
0( ) lim lim 0
x x x x
k kf x
x x x x→ →
−′ = = =− − , o que significa que a derivada de uma função 
constante num ponto qualquer 0x é nula. Logo, se ( )f x k= então '( ) 0f x = . 
 
Exemplos: a) ( ) 2f x = − b) 6
5
y = c) 0,7y = 
 
 
Derivada da função potência: nf(x) = x com n∈` . 
 
( )( )0 0 0 0 00
0 0
0 00 0
1 2 3 2 2 1
1( ) lim lim
n n n n nn n
n
x x x x
x x x x x x x xx xx xf x nx
x x x x
− − − − −
−
→ →
− + + + + +−′ = = =− −
"
. 
 
Portanto, se ( ) nf x x= então 1( ) nf x nx −′ = . Veremos depois que este resultado se generaliza para 
n∈\ . 
 
Exemplos: a) 3( )f x x= b) 32( )z y y= c) y x= d) 5
1( )u t
t
= e) 4 3( )g x x= 
 
 
Derivada da função exponencial xa . Considere ( ) xf x a= , 0 1a< ≠ . Então 
( )00
0
0
0
0 0
1
( ) lim lim ln
hxxx
x
x x h
a aa af x a a
x x h→ →
−−′ = = =− 
 
Portanto, se ( ) xf x a= temos ( ) lnxf x a a′ = . Disso, sabemos que se xy e= temos xy e′ = . 
 
Exemplos: a) 2xy = b) 4
5
u
z ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
 
Derivada da função logaritmo: 
a
xf(x) = log , 0 1a< ≠ . 
( )0
0
0 0 00 0 00
log log 1 1( ) lim lim lim
ln11 hh
a a
x x h h
xx h hf x
x x x x aax a→ → →
−′ = = = =− −− , neste limite, usamos a 
substituição 0
0
log a
hx h x x a
x
⎛ ⎞ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
. Portanto, 1( ) log ( )
lna
xf x f x
x a
′= ⇒ = . 
 
Exemplos: a) 5logy x= b) lny x= c) logs t= 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 12 
 
 
Derivada função f(x) = senx . 
 
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
sen sen sen( ) sen sen cos sen cos sen( ) lim lim lim cos
x x h h
x x x h x x h h x xf x x
x x h h→ → →
− + − + −′ = = = =− 
 
Daí, se ( ) senf x x= , temos ( ) cosf x x′ = . 
 
 
Derivada função f(x) = cosx . 
 
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
cos cos cos( ) cos cos cos sen en cos( ) lim lim lim sen
x x h h
x x x h x x h hs x xf x x
x x h h→ → →
− + − − −′ = = = = −− 
 
Assim sendo, ( ) cos ( ) senf x x f x x′= ⇒ = − . 
 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
Derivada de uma função multiplicada por uma constante (Regra da multiplicação por escalar) 
 
 ( ) ' '( ) , cy c f x y c f x= ⋅ ⇒ = ⋅ ∈R1. \ 
 
Exemplos – Calcular a derivada de: 
 
a) 35y x= b)( ) 8f x x= − c) 7 lny t= ⋅ d) ( ) 5 cos( )F t t= 
 
 
Derivada da soma e subtração de funções (Regra da soma e subtração) 
 
 ( ) ( ) ' '( ) '( )y f x g x y f x g x= ± ⇒ = ±R2. 
 
Esta propriedade pode ser aplicada a um número finito de funções deriváveis que se somam ou 
subtraem. Logo, 1 2 1 2 'n ny f f f y f f f′ ′ ′= ± ± ± ⇒ = ± ± ±" " 
 
 
Exemplos – Calcular a derivada de: 
 
a) 2 2,3 1y x x= + − b) 4 3 7xy x= − c) ( ) 3log 4sen( ) tf t t t e= + − 
 
 
Derivada do produto de funções (Regra do produto) 
 
 ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) '( )y f x g x y f x g x f x g x′= ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅R3. 
 
Exemplos – Calcular a derivada de: 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 13 
a) 6 ( 3 12)C p p= ⋅ − + b) lny x x= ⋅ c) 3 2(5 4 ) tz t t e= − ⋅ 
 
 
Derivada do quociente de funções (Regra do quociente) 
 
[ ]2
( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '
( ) ( )
f x f x g x f x g xy y
g x g x
′ ⋅ − ⋅= ⇒ =R4. 
 
Exemplos – Calcular a derivada de: 
 
a) 
2
1 5
xy
x
= − b) 3
log
4
qR
q
= + c) tgy θ= d) cotgy x= e) secy x= 
 
 
Derivada da composição de funções (Regra da cadeia). Seja h f g= D , se g é derivável em 0x e 
f é derivável em 0( )g x então h é derivável em 0x e, além disso, 0 0' '( ( )) ( )h f g x g x′= ⋅ . 
 
Demonstração. 
0 0
0 0 0
0
0 0 0
( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( )( ) lim lim
( ) ( )x x x x
f g x f g x f g x f g x g x g xh x
x x x x g x g x→ →
− − −′ = =− − − 
0 0
0 0
0 0
0 0
( ( )) ( ( )) ( ) ( )lim lim ( ( )) ( )
( ) ( )x x x x
f g x f g x g x g x f g x g x
g x g x x x→ →
− − ′ ′= = ⋅− − . , 
 
Podemos então simplificar esta regra, dizendo que 
 
( ) ( ) ( ( )) ' '( ( )) ( )y f g x f g x y f g x g x′= = ⇒ = ⋅R5. D 
 
Observação. Uma outra forma de escrevermos a regra da cadeia é a seguinte: Suponha ( )h f u= onde 
( )u u x= então dh df du
dx du dx
= ⋅ . 
 
 
Exercícios: 1 – Calcular a derivada de: 
a) 3 1y x= − b) 2( ) ln( 6)z u u= − c) 34( ) tF t e= d) ( )cos tg 3 1,6y x⎡ ⎤= −⎣ ⎦ 
e) 2sen( 2 )y x x= − f) 
34
4( )
t
tF t e += g) 3 7 cos( 15 )y x x= − − − h) ( )4 32sec log 2y x⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 
2 – Mostre que se ny x= com n∈\ então 1' ny n x −= ⋅ . 
 
3 – Determine (3)f ′ , sabendo que 2 2(1 2 ) (2 1) 4 4 2f x f x x x+ + + = + + , x∀ ∈\ . 
 
4 – Mostre que: a) Se f é uma função par, então ( ) ( )f x f x′ ′= − − . 
 
b) Se f é uma função ímpar, então ( ) ( )f x f x′ ′= − . 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 14 
DERIVADA DE FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
 
cosh
2
x xe ey x
−+= = , temos que senh
2 2
x x x xe e e ey x
− −′⎛ ⎞+ −′ = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 
senh
2
x xe ey x
−−= = , temos que cosh
2 2
x x x xe e e ey x
− −′⎛ ⎞− +′ = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
 
Exercício – Determine a derivada de: a) tghy x= b) cotghy x= c) sechy x= 
 
 
DERIVADAS SUCESSIVAS. Seja f ′ a derivada de uma função f num intervalo aberto I ⊆ \ . Se f ′ e 
derivável em I podemos considerar ''f a derivada de f ′ em I . Tal função recebe o nome de 
derivada segunda de f em I . De modo análogo podemos definir as derivadas terceira, quarta, etc., de f 
em I . Estas derivadas serão indicadas por uma das notações: 
 
 
df dyf y
dx dx
′ ′= = = - derivada de primeira (ou derivada de primeira ordem). 
 
2 2
(2)
2 2
d f d yf f y
dx dx
′′ ′′= = = = - derivada segunda (ou derivada de segunda ordem). 
 
3 3
(3)
3 3
d f d yf f y
dx dx
′′′ ′′′= = = = - derivada terceira (ou derivada de terceira ordem). 
 
Assim, temos a generalização dada por 
 
 ( ) ( )
n n
n n
n n
d f d yf y
dx dx
= = = - derivada de ordem n (ou n-ésima derivada) . 
 
 
Exercícios: 1 – Calcular , e y y y′ ′′ ′′′ para cada função dada: 
a) 7 1,5
3
y x−= − b) 6 32y p p= − c) ln(1 2 )y x= − 
d) 1 2
5
ny
n
−= − e) 
29 zy z e= − ⋅ f) cosh(2 )y t= 
 
2 – Seja cosxy xe= . Verifique que '' 2 ' 2 0y y y− + = . 
 
3 – Obtenha o polinômio do 2º. Grau ( )P x tal que (2) 5P = , '(2) 3P = e ''(2) 2P = . 
 
4 – Considere ( )y y x= , 22 0d y dy ydxdx + + = e (0) 1y = . Obtenha o valor de ( )
3
3 0
d y
dx
. 
 
5 – Seja ( ) ng x x= e 0 k n≤ ≤ ; mostre que ( ) !( )
( )!
k n kng x x
n k
−= − . 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 15 
FUNÇÃO INVERSA. Dizemos que uma função ( )y f x= é inversível se existe uma função g tal que 
f g g f Id= =D D , onde Dom( ) Im( )f g= e Dom( ) Im( )g f= . Temos o seguinte 
f g
g f
x y x
y x y
⎯⎯→ ⎯⎯→
⎯⎯→ ⎯⎯→
 
Assim, ( ) ( )( ) ( ) ( )f g y f g y f x y= = =D e ( ) ( )( ) ( ) ( )g f x g f x g y x= = =D . 
 
Notação: Indicamos a inversa de uma função f por 1f − . 
 
Exemplos: 
a) ( ) xf x e= e 1( ) lnf x x− = b) 2( )g x x= e 1( )g x x− = 
x
y
 0
 1
 1
 xy e=
 lny x=
 
x
y
 2y x=
 y x=
 
c) ( ) cosh x x= e 1( ) arccosh x x− = d) ( ) tgF x x= e 1( ) arctgF x x− = 
x
y
 cos
 
y x=
0
 arccosy x=
0
 π
 π
 1
 1
 0
 
x
y
 
2
π−
 
2
π
 
2
π− 
2
π
 tgy x=
 arctgy x=
 
 
 
TEOREMA (DERIVADA DA INVERSA). Sejam ( )y f x= uma função definida num intervalo ( , )a b e 
( )x g y= sua inversa nesse intervalo. Se existe '( ) 0f x ≠ , ( , )x a b∀ ∈ , então g é derivável e, além 
disso, sua derivada satisfaz à relação 1'( )
'( )
g y
f x
= , ou seja, ( )1 1( ) '( )f y f x− ′ = . 
 
Demonstração. Da propriedade que envolve uma função e sua inversa temos que ( ) ( )1 1( ) ( )f f x f f x x− −= =D 
Derivando esta igualdade em relação a x e aplicando a regra da cadeia; 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1( ) ( ) ' ( ) '( ) 1 '( )f f x x f f x f x f y f x− − −′ ′′⎡ ⎤ = ⇒ ⋅ = ⇒ =⎣ ⎦ . , 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 16 
Exercícios 
1 – Seja 3 2( ) 9 18 12 5f x x x x= − + − . Obtenha ( ) ( )1 5f − ′ − . 
 
2 – Calcular ( ) ( )1 0f y− ′ no ponto em que 0 0x = sabendo que ( ) 3 ln(1 2 )f x x= − + . 
 
3 – Determine 1( ) '( 2)f − − , sendo [ ,4 [ com , 41)( ∞+−∈+−−= xxxf . 
 
 
Derivada das funções trigonométricas inversas. Por exemplo, 
 
2
1arccos '
1
y x y
x
−= ⇒ =
−
. 
Basta ver que 1cos 1 ( sen ) 
sen
x y y y y
y
−′ ′= ⇒ = − ⋅ ⇒ = . 
Observe que 
2 2 2 2 2cos cos 1 sen sen 1x y x y x y y x= ⇒ = ⇒ = − ⇒ = ± − .
 
Note que, como 0 y π≤ ≤ temos que sen 0y ≥ , por isso 
2sen 1y x= − . Assim, 
2
1'
1
y
x
−=
−
. 
x
y
 cos
 
y x=
0
 arccosy x=
0
 π
 π
 
 
Do mesmo modo, podemos 
determinar que a derivada 
de arctg( )y x= é dada por 
2
1'
1
y
x
= + . 
 
x
y
 
2
π 
2
π−
 
x
y
 
2
π−
 
2
π
 
E assim, também, determinamos as derivadas: 
2
1 arcsen '
1
y x y
x
= ⇒ =
−
 2
1arccotg '
1
y x y
x
= ⇒ = − + 
2
1arcsec , 1 '
1
y x x y
x x
= ≥ ⇒ =
−
 
2
1arccos ec , 1 '
1
y x x y
x x
= ≥ ⇒ = −
−
 
 
 
Exercício – Determinar a derivada de cada uma das funções: 
 
a) 1arctgy
x
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ b) ( )2arccos 1y x= − c) ( )arccotg lny x= 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IERON 17 
EQUAÇÃO DE CURVAS (NA FORMA IMPLÍCITA) 
 
Equações na forma 
2 2
2 2 1
x y
a b
+ = representam curvas (ou lugares geométricos) que chamamos de 
elipse. Quando a b= temos 2 2 2x y a+ = um círculo de centro na origem (0,0) e raio a= . 
 
x
y
 a a−
 b
 b−
 0
 
x
y
 0 a− a
a
a−
 
Elipses: 
2 2
2 2 1
x y
a b
+ = Círculos: 
2 2 2x y a+ = 
 
 
Se tivermos 
2 2
2 2 1
x y
a b
− = (ou 
2 2
2 2 1
y x
a b
− = ) temos uma curva 
(com dois ramos) chamada Hipérbole. 
 
x
y
 0 a a−
 b
 b−
 
 
Observe que não é possível escrever a equação dessas curvas como uma (única) função do tipo 
( )y f x= que forneça a curva completa. 
 
Por exemplo, no círculo 2 2 2x y a+ = podemos “isolar” y fazendo 2 2y a x= ± − mas assim, temos a 
curva em duas partes 2 2y a x= − e 2 2y a x= − − . 
 
2 2y a x= − 2 2y a x= − − 
x
y
 0 a− a
 a
 
x
y
 0 a− a
 a−
 
 
Poderíamos, também, ter “isolado” x como uma função de y : ( )x f y= . Assim, 2 2x a y= ± − . Daí, 
 
2 2x a y= − 2 2x a y= − − 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 18 
x
y
 0
 a
 a−
 a
 
x
y
 0 a−
 a−
 a
 
 
Abaixo, temos alguns exemplos de curvas, consideradas famosas, que tem equações dadas na forma 
implícita: 
 
x
y 
3 3
Fólium de Descartes
 4x y xy+ =
 
x
y 
( )22 2 2 2
 Cardióide
x y x x y+ + = +
 
x
y
 
( )22 2 2 2
Lemniscata de Bernoulli
 x y x y+ = −
 
x
y
 
2 2
3 3
Astróide
1x y+ =
 
 
 
DERIVADA IMPLÍCITA. Uma função ( )y f x= está escrita na forma explícita, se escrevemos a mesma 
função como uma expressão ( , ) ( , ( )) 0F x y F x f x= = , dizemos que a função está na forma implícita. 
 
Exemplos: 
 
a) 22 xy += (forma explícita) ⇒ 02 2 =+− xy (forma implícita). 
 
b) 422 =+ yx (forma implícita) ⇒ 24 xy −±= (forma explícita). 
 
c) 0cos2 =−+ yxxy (forma implícita) não há como explicitar (isolar) y nem x . 
 
 
Admitindo que a função ( )y f x= definida implicitamente pela equação ( , ) ( , ( )) 0F x y F x f x= = seja 
derivável, podemos calcular a derivada ' dyy
dx
= sem ser necessário resolver primeiro a equação 
( , ) 0F x y = para y . O processo consiste em utilizar a regra da cadeia para derivar ambos os lados 
desta equação, considerando x como a variável independente e y , sempre que esta variável aparecer, 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 19 
como uma função de x. Resolvemos, então, a equação resultante em relação à derivada ' dyy
dx
= . Este 
processo é chamado de derivação implícita. 
 
 
Exercícios: 1) Determine o que se pede em cada caso: 
 
a) Considere 12 3 =− xy . Determinar a derivada 'y no ponto onde 0y = . 
 
b) 2 6y x ye + = − ⇒ ' 2 6 'y y x ye ⋅ + = − ⇒ 2'
6y
xy
e
= − . 
Observação: neste caso, para determinar um valor numérico de 'y precisamos de dois valores: x e y . 
c) 2 cos( ) 0 ; ( )uz u uz z z u+ − = = . d) 
2
33ln( ) arctg +1
vv t
t
− + = , onde ( )v v t= . 
 
2) Mostre que se 2 22 2 2 0ax bxy cy gx fy h+ + + + + = , onde , , , , , a b c f g h∈\ são constantes, tem-
se: 
 
a) dy ax by g
dx bx cy f
+ += + + 
 
b) ( )
2
2 2
d y A
dx bx cy f
= + + , onde A é uma constante que não depende de x e y . 
 
 
Derivadas de ordem superior na forma implícita. O método descrito para determinar a derivada de 
1ª. ordem de uma função na forma implícita também se aplica para o cálculo de derivadas de ordem 
superior de funções definidas implicitamente. Para ilustrar o procedimento adotado nestes casos, 
vamos calcular a derivada segunda da função ( )y f x= definida implicitamente. 
 
 
Exemplos – Determinar a derivada de 2ª. ordem em cada caso: 
 
a) 3 3 4x y xy+ = b) 2 6y x ye + = − 
 
 
EQUAÇÃO DE CURVAS NA FORMA PARAMÉTRICA. Consideremos o sistema de equações 
( )
: ; 
( )
x u t
S t I
y v t
=⎧ ∈ ⊆⎨ =⎩ \ . A variável t é chamado de parâmetro e cada valor de t está associado um 
único valor de x e um único valor de y , ou seja, a cada valor de t está associado um único ponto 
( ),x y do plano. Assim, quando t varia em I ⊆ \ os pontos obtidos descrevem uma curva do plano. 
O sistema 
( )
:
( )
x u t
S
y v t
=⎧⎨ =⎩ é então chamado de sistema de equações paramétricas da curva S quando 
t I∈ . Às vezes é possível obter uma relação ( )y f x= a partir das equações do sistema, mas nem 
sempre isto é fácil ou possível. 
 
Exemplos de curvas dadas na forma paramétrica: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 20 
 
Segmento de reta [ ]: ; 2,1
1 2
x t
S t
y t
=⎧ ∈ −⎨ = −⎩ . 
 
Observe que, do sistema de equações acima, temos: 
1 2y x= − com 2 1x− ≤ ≤ . 
x
y
 
 
Arco de parábola 2: ; ( 1, 2]1
x t
C t
y t
=⎧⎪ ∈ −⎨ = +⎪⎩
. 
 
Esse arco pode ser dado pela seguinte equação: 
2 1 ; 1 2y x x= + − < ≤ . 
x
y
 1− 0 2
 5
 2
 
 
As curvas “clássicas” da geometria analítica também podem ser postas em equações paramétricas: 
 
Círculo: 2 2 2
cos
 ; 0 2
sen
x a t
x y a t
y a t
π=⎧+ = ⇒ ≤ <⎨ =⎩ . 
 
Elipse: 
2 2
2 2
cos
1 ; 0 2
sen
x a tx y t
y b ta b
π=⎧+ = ⇒ ≤ <⎨ =⎩ . 
 
Hipérbole: [ )2 22 2 sec 31 ; 0, 2 ,tg 2 2
x a tx y t
y b ta b
π ππ=⎧ ⎧ ⎫− = ⇒ ∈ −⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩ . 
 
Outras, como por exemplo, a Astróide: [ ]33cos ( ) ; 0, 2sen ( )
x t
t
y t
π⎧ =⎪ ∈⎨ =⎪⎩
. 
 
E ainda, curvas “artísticas” como abaixo. Note que estas curvas dificilmente poderiam ter suas 
equações escritas na forma “cartesiana”. 
 
1
3131cos 7cos
7
: ; 0 14
3131sen 7sen
7
x t t
C t
x t t
π
⎧ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ≤ ≤⎨ ⎛ ⎞⎪ = − ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
 
( )
( )2
1 1cos cos 7 sen(17 )
2 3: ; 5 5
1 1sen sen 7 cos(17 )
2 3
x t t t
C t
x t t t
⎧ = + +⎪⎪ − ≤ ≤⎨⎪ = + +⎪⎩
 
x
y
 
x
y
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 21 
DERIVADA PARAMÉTRICA. Considere um sistema de equações paramétricas 
( )
: ; 
( )
x u t
S t I
y v t
=⎧ ∈ ⊆⎨ =⎩ \ . 
Queremos estabelecer uma regra para determinar dyy
dx
′ = utilizando S . 
 
Suponhamos que ( )x u t= seja uma função inversível em I . Então, 1( )t u x−= . Temos o seguinte: 
( )1 1( ) ( )y v u x v u x− −⎡ ⎤= =⎣ ⎦ D . Pela regra da cadeia e derivada da inversa, 
1 1 ( )( ) ( )
( )
v ty v u x u x
u t
− − ′′⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′= ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ′ . Assim, 
 dydt
dx
dt
dy
dx
= . 
 
Exemplos – Suponha que, para sistema de equações implícitas, exista uma relação ( )y f x= . 
Determine dyy
dx
′ = em cada caso: 
 
a) 
sen
 ; ,
sen(2 ) 2 2
x t
t
y t
π π=⎧ ⎡ ⎤∈ −⎨ ⎢ ⎥= ⎣ ⎦⎩ , no ponto 6t
π= . 
 
b) 
( )
( )
12
12 2
6 1
 ; 0 1
6 1
x t t
t
y t t
−
−
⎧ = +⎪ ≤ ≤⎨⎪ = +⎩
, no ponto de abscissa 12
5
. 
 
 
Derivada de ordem superior na forma paramétrica. Considere um sistema de equações 
paramétricas 
( )
: ; 
( )
x u t
S t I
y v t
=⎧ ∈ ⊆⎨ =⎩ \ . Queremos estabelecer uma regra para determinar 
2
2
d yy
dx
′′ = . 
Supomos, mais uma vez, que 1( )t u x−= . Já sabemos que '
dy
dt
dx
dt
dyy
dx
= = . Assim, 
2
2
 
''
dy dy
dt dt
dx dx
dt dt
d y d d dtydx dt dxdx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 (*) 
 ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
 dydt
dx
dt
d y d xd d dydy dy dxdx dx
dt dtdt dt dt dtd dt dt dt dt
dt dx dx
dt dt
⋅ − ⋅⎛ ⎞ ⋅ − ⋅⎜ ⎟ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
 e 1 dt dxdx
dt
= . 
 
Substituindo essas duas igualdades em (*), temos: 
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2 3
 1 '' ' '' '
'
d y d x dydx
dt dtd y v u u vdt dt
dxdx dx u
dt dt
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ = . , 
Da mesma forma, podemos obter as derivadas: 
3 4
3 4, , ...
d y d y
dx dx
. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 22 
Exemplos – Determinar a derivada paramétrica de segunda ordem em cada caso: 
 
a) 
sen
 ; 02
ln
x t t
t
y t t
π⎧ ⎛ ⎞= +⎪ ⎜ ⎟ >⎝ ⎠⎨⎪ = +⎩
, no ponto em que 8t = . 
 
b) ( )2
arctg
ln 1
x t
y t
=⎧⎪⎨ = +⎪⎩
 no ponto de ordenada 0 . 
 
 
Curvas de Lissajous. Em meados de 1850, o físico francês Jules Antoine Lissajous (1822-1880) ficou 
interessado em equações paramétricas da forma: 
cos( )
sen( )
x at
y at
=⎧⎨ =⎩ . Ao estudar vibrações que combinam 
dois movimentos senoidais perpendiculares. A primeira equação descreve uma oscilação senoidal na 
direção x com freqüência / 2a π , enquanto que a segunda na direção y, com freqüência / 2b π . Se 
/a b for um número racional, então o efeito combinado das oscilações é um movimento periódico 
chamado curva de Lissajous. 
cos( )
sen( )
x at
y at
=⎧⎨ =⎩ 
x
y
 1, 2a b= =
 
x
y 3, 4a b= =
 
 
 
Ciclóide. A ciclóide é de interesse por fornecer a solução de dois problemas famosos em matemática – 
o problema da braquistócrona (em grego significa o “menor tempo”) e o problema tautócrono (em 
grego significa “tempos iguais”). O problema da braquistócrona consiste em determinar a forma de um 
fio ao longo do qual uma conta pode deslizar de um ponto P a Q, não diretamente abaixo, no menor 
tempo. O problema tautócrono consiste em determinar a forma de um fio ligando P a Q de tal forma 
que uma conta chega a Q num mesmo intervalo de tempo, qualquer que seja o ponto de partida entre P 
e Q. A solução de ambos os problemas vem a ser uma ciclóide invertida. 
sen
cos
x a a
y a a
θ θ
θ
= +⎧⎨ = −⎩ 
x
y
 aπ 0
 a
 
Em junho de 1696, Johann Bernoulli propôs o problema da braquistócrona na forma de desafio para 
outros matemáticos. A princípio, alguém poderia conjecturar que a forma do fio deveria ser o de uma 
linha reta, uma vez que esta forma resulta na menor distância de P a Q. Porém, a ciclóide invertida 
permite que a conta caia mais rapidamente no começo, adquirindo velocidade inicial suficiente para 
atingir Q no menor tempo, mesmo que percorrendo uma distância maior. O problema foi resolvido por 
Newton, Leibniz, Johann e Jacob Bernoulli. Este problema foi formulado incorretamente anos antes 
por Galileu, que pensou a resposta ser um arco de círculo. 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 23 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – DERIVADAS 
 
 
1. Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em 0x e, em caso afirmativo, 
determine ( )0'f x : 
a) ( ) ( )3 5 2of x x x= + = b) ( ) ( )2 3 4of x x x= + = c) ( ) ( )3 0of x x x= = 
 
d) ( ) ( )32 2 2of x x x= + = e) ( ) ( )2 0of x x x x= = f) ( ) ( )03 , 2 28, 2
x x
f x x
x x
− ≤⎧= =⎨ − >⎩ 
 
2. Seja ( ) 2 , 0f x x x−= ≠ . Usando a definição, mostre ( )0 0 32f x x−′ = − , onde *0x ∈\ . 
 
3. Esboce o gráfico de 'f sabendo que f é dada pelo gráfico: 
 a) 
 
b) 
 
Obs: No intervalo [ ] 22,2 , ( )f x x− = . 
 
4. Determine a constante a de modo que ( )' 1 9f = − , sendo ( ) 2 1f x ax x= + + . 
 
5. Usando as regras operacionais, determine as derivadas das funções a seguir: 
a) 4 22 3 3y x x x= − + − b) ( )2 2 1
3
x
y
−= 
 
c) ( )3 23 324y x xx x= + + d) 57xy x += − 
 
e) 33
5 5
6 1
y x
x
−= +− 
f) ( )2 3 1 32 1y x x= − 
 
6. Considere 323 +−= xxy , determine todos os valores de x que anulam a derivada de y. 
 
7. Calcule a derivada das funções abaixo: 
a) ( ) ( )332 5 8f x x x= + − f) ( )23 6 7( ) 2 x xf x e + += k) ( ) ( ) ( )22sen cos 1f x x x= ⋅ + 
b) 
43 3( )
2 5
xf x
x
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠ 
g) ( ) ( )352 xf x −= l) ( ) 3senf x x= 
c) ( ) ( ) ( )3 23 25 2f x x x x x= + ⋅ − h) ( ) ( )3 5 xf x x x e= − m) ( ) ( ) ( )3tg 5 9 cotgf x x x= − 
d) ( ) 45 3 5 1f x x x= + + i) ( ) ( )sen3 xf x e= n) ( ) 2 2sen cosf x x x= + 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 24 
 
8. Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos indicados, isto é, calcule ( )0'f x : 
a) ( ) ( )sen , 1x of x e x= = b) ( ) ( )cos 3 , 0x of x x xe−= = c) ( ) ( )( ) 02sen 3 3 , 03 2cos 2xf x xx+= =+ 
d) ( ) 1 , 4of x x x= + = e) ( ) 22 3tan , 0oxx xf x xe
⎛ ⎞+= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 f) ( ) 3 33 32 2 , 02 2
x x
ox xf x x
−
−
−= =+ 
 
9. Determine a função g sabendo que ( ) ( ) ( ) ( )216 12, 2 2 e 2f g x x f x x g x′ ′= + = + =D . 
 
10. Determine ( )' 3f − , sabendo que f e g são deriváveis, e que ( ) ( )2 21f x x g x= − − e 
( ) 1
1
xg x
x
+= − . 
 
11. Para cada uma das funções seguintes, determine a derivada indicada: 
 
a) (0)f ′ sabendo que ( ) ( )tg 3 4 3 cosf x f x xπ− − − = . 
b) (0)f ′ , sendo 32 2(8 ) ( 9 8)x f x f x x x⋅ − = − + + e 8(0)
3
f = − . 
c) (1)f ′ , sendo [ ]( ) 2 cos , 1,1
2
xf x g xπ⎛ ⎞⎛ ⎞= − ∀ ∈ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ , com :g →\ \ uma função derivável e 
(2) 1g′ = . 
 
d) (0),w′ sendo ( )( ) ( ) , (0) 0, (0) 3u x v w x w v′= = = − e (0) 2.u′ = 
 
 
12. Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a) ( )52log xy = b) ( )4 2ln 3 2 1y x x= + + c) lnx xy e ⋅= 
d) ( )2sen 2ln
x
y
x
= e) ( )5tg 2
ln
x x
y
x
−= 
f) ( ) ( )2cos 5 ln 3y x x= ⋅ 
 
13. Determine ( )1 ( )f y− ′ nos pontos indicados, nos casos a seguir: 
a) ( ) [ [2 4 2, 2, ; 10f x x x x y= + − ∈ − +∞ = b) ( ) 3 2 ; 2
2
xf x y
x
−= =+ 
c) ( ) 3 cos(2 ) , 0 2 ; 3f x x x yπ= + ≤ ≤ = d) ( ) ( ) 2 2 2sen ln , ; 
2
f x x e x e yπ π−= ≤ ≤ = 
 
14. Determine o que se pede em cada caso: 
 
a) Encontre ( )1 ( )f y− ′ , sendo sen(2 )( ) , ,2 cos(2 ) 4 4xf x xx π π⎡ ⎤= ∈ −⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ . 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 25 
b) Calcule ( )(1)g f′ , sendo 2( ) 2xf x x= − e g a inversa de f . 
 
c) Determine a derivada da função 1−f no ponto de abscissa 5, sabendo que ( )Dom( ) , 1f = −∞ − e f 
está definida pela equação 3( ) 4 5f x x x= − + . 
 
d) Determine ( )1 (1)f − ′ , sendo 2( 2) /( ) x xf x e += . 
 
 
15. Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. 
 
a) 43 2 9, 4y x x n= − − = b) 3 2 , 3y ax bx cx d n= + + + = c) 1 , 3
1
y n
x
= =− 
d) ( )sen 5 , 5y x n= − = e) ( )2ln 1 , 2y x n= − = f) 2 1 3xy , ne += = 
 
 
16. Encontre a derivada de ordem 100 das funções: 
 
a) seny x= b) cosy x= 
 
17. Mostre que a derivada de ordem n da função 1y
x
= é dada por ( ) ( ) 11 !
n
n
n
n
y
x +
−= . 
Obs.: Suponha n∈` então o fatorial de n é definido por ! 1 2 3 4n n= ⋅ ⋅ ⋅ " , onde 0! 1= e 1! 1= . 
 
 
18. Mostre que a n-ézima derivada da função axy e= é ( )n n axy a e= , onde a é constante diferente 
de zero. 
 
 
19. Sejam ( ) e ( )f x g x funções deriváveis até 3a ordem.Mostre que: 
 
a) ( ) '' '' 2 ' ' ''f g g f f g f g⋅ = ⋅ + + ⋅ b) ( ) ''' ''' 3 '' ' 3 ' '' '''f g g f f g f g f g⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 
 
 
20. Mostre que ( )cosx A tω α= ⋅ + , onde A, ω e α são constantes, satisfaz a equação 2'' 0x xω+ = . 
 
21. Mostre que a função 22x xy e e= + satisfaz a equação diferencial 6 11 6y y y y′′′ ′′ ′− + = . 
 
 
22. Determine a derivada 'y das curvas dadas implicitamente por: 
 
a) 2 2 4x y+ = b) 2 32 2xy y x y+ = − c) 2 2 sen 0x y x y+ = 
d) 3xy x ye = + − e) 3 0x yy
x y
−− =+ 
f) tg 1y xy= − 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 26 
 
23. Para cada um dos seguintes itens, determine a derivada indicada: 
 
a) 
dx
dy , sendo )(xfy = dada implicitamente pela equação ln( 1) 3yx ye − + = . 
 
b) 
dy
dx , sendo )(yfx = dada implicitamente pela equação 3 3 3x xy y+ + = . 
 
c) 
dx
dy , sabendo que 2 2sen 1x y y+ − = . 
 
d) Py ′ , sendo (0,0)P e ( )y f x= uma função que satisfaz a equação: 
arccos(3 ) ln(1 2 ) tan sen( ) 0x x x y y x+ − + ⋅ + − = . 
 
24. Determine: 
 
a) dy
dx
 em função de t e 
2
2
d y
dx
 para t = 0, quando 
sen
cos
x t t
y t t
= +⎧⎨ = −⎩ , ,2 2t
π π⎤ ⎡∈ −⎥ ⎢⎦ ⎣ . 
 
b) 2
2
dx
yd , sendo 
3
t
t
x
y
e
e
−⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
. c) 2
2
dx
yd , dadas equações 
cos
sen
t
t
x t
y t
e
e
−
−
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
 , t∈\ . 
 
 
25. Verifique se as seguintes funções, dadas na forma paramétrica, satisfazem as equações 
diferenciais indicadas: 
a) )(xfy = , sendo sec
ln(cos )
x t
y t
=⎧⎨ =⎩ , ,2 2t
π π⎤ ⎡∈ −⎥ ⎢⎦ ⎣ ; 
2
2
2
1yd y dy x
dxdx
e⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
 
b) )(xfy = , sendo 
2
arcsen
1
x t
y t
=⎧⎪⎨ = −⎪⎩
, [ ]1,1t∈ − ; 2 2sen 0d y dyx y dxdx − = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 27 
Tabela de derivadas 
Nesta tabela, f e g são funções deriváveis de x. c, α e a são constantes reais. 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
1
1 ' 0
2 ' 1
3 . ' . '
4 ' ' '
5 . ' '. . '
'. . '6 '
7 , 0 ' . . '
8 , 0 e 1 ' .ln . '
9 ' . '
'10 log , 0 '
.ln
11 ln , 0 '
f f
f f
f
a
y c y
y x y
y c f y c f
y f g y f g
y f g y f g f g
f f g f gy y
g g
y f y f f
y a a a y a a f
y e y e f
fy f y
f a
y f f y
α αα α −
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= ± ⇒ = ±
= ⇒ = +
−= ⇒ =
= ≠ ⇒ =
= > ≠ ⇒ =
= ⇒ =
= > ⇒ =
= > ⇒ =
( ) ( ) (
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2
'
12 ' . . ' .ln . ',
13 sen ' cos . '
14 cos ' sen . '
15 tg ' sec . '
g g g
f
f
y f y g f f f f g f
y f y f f
y f y f f
y f y f f
−= ⇒ = +
= ⇒ =
= ⇒ = −
= ⇒ =
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
16 cotg ' cosec . '
17 sec ' sec .tg . '
18 cosec ' cosec .cotg . '
'19 arcsen '
1
'20 arccos '
1
'21 arctg '
1
'22 arccotg '
1
'23 arcsec , 1 ' ,
1
y f y f f
y f y f f f
y f y f f f
fy f y
f
fy f y
f
fy f y
f
fy f y
f
fy f f y f
f f
= ⇒ = −
= ⇒ =
= ⇒ = −
= ⇒ =
−
= ⇒ = −
−
= ⇒ = +
= ⇒ = − +
= ≥ ⇒ = >
−
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
'24 arccosec , 1 ' ,
1
25 senh ' cosh . '
26 cosh ' senh . '
27 tgh ' sech . '
28 cotgh ' sech . '
29 sech ' sech . . '
30 cosech ' sech . tgh
fy f f y
f f
y f y f f
y f y f f
y f y f f
y f y co f f
y f y f tgh f f
y f y co f co f
= ≥ ⇒ = −
−
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ = −
= ⇒ = −
= ⇒ = −
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 28 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1. a) 3 b) 8 c) não existe ( + ∞ ). d) 24 e) 0 f) não existe (derivadas laterais distintas) 
 
3. a) 
 
b) 
 
 
4. 5a −= 
 
5. a) 168 3 +−= xx'y b) 4'
3
y = c) ( )
3
3 2
2 2
3
3
10
4
3
x
x
x
'y −+−= 
 d) ( )27
12
−−= x'y e) ( )
2
2
23
90' 15
6 1
xy x
x
= +
−
 f) 3 3
22
x
'y −= 
6. 20,
3
x = 
7. a) ( ) ( ) ( )5x68x5x23x'f 223 +−+= b) ( ) ( )( )5
3
5x2
3x384x'f +
−= 
 c) ( ) ( ) ( )( )x10x14x55x65xxx2x5x'f 234223 +−+−−+= d) ( ) ( )
1x5x32
25x60x'f
4
3
++
+= 
 e) ( ) ( ) ( )( )3
2
x35
x6123x2x'f −
−−= f) ( ) ( ) ( )7x6x3 2e12x12x'f +++= 
 g) ( ) ( ) ( )( )2x5 x32ln2x'f 3 −= − h) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−= 5x3
x2
x5xex'f 2
3
x 
 i) ( ) ( ) ( )xsenexcos3x'f = j) ( ) ( )1esenex'f xx +−= 
 k) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1xsenxsen21xcosxcosx4x'f 22 +−+= l) ( ) ( ) ( )xcosxsen3x'f 2= 
 m) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32232 xeccos9x5tgx3x9x5sec5x'f −−−= cotg n) ( ) 0x'f = 
 
8. ( ) ( ) ( )2 f) e) d) 5 c) b) a) ln3338161ecose − 
 
9. ( )
2
3x2xg += . 10. ( )
24
3144 +− . 
 
11. a) 
14
3)0(' =f b) 
5
1 )0(' −=f c) 
2
)1('f π= d) 
3
2 )0(' −=w . 
 
12. a) ( )2lnx
1'y = b) 
1x2x3
x4x12'y 24
3
++
+= c) ( )( ) ( )xlnxexln1'y += 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 29 
 d) ( ) ( ) ( )( )22
2
xlnx
x2sen2xlnx2cosx2'y −= e) ( ) ( ) ( ) ( )( )xlnx x2xtgxlnx2xsecx2x5'y 2
5525 −−−−= 
 f) ( ) ( ) ( )
x
x5cos2x3lnx5sen10'y +−= g) ( ) 1e2e'f −= h) ( ) ( )
e16
423e'f +π−= 
 
13. ( ) 2 f) 3e7e.- e) .e2 d) 2 c) b) 8 a) -14 1181 +− π 
14. a) 
]1)2( cos 2[ 2
)]2( cos2[))(()'(
2
1
+
+=−
x
xxff . 
 b) 
3ln 2
1
)0('
1)1()'( 1 === −
f
fat ; 3)2(
2
1
823 3ln 2
41))(()'(
xx
xxff xarctg ++
+=− . 
 c) 
)2ln1( 2
1))1((' −=fg ; 2ln22
1))((' xx
xfg −= . 
 d) 
8
1
)2('
1)5()'( 1 =−=
−
f
f ; 
43
1))(()'( 2
1
−=
−
x
xff . 
15. a) ( )4 72y = b) ''' 6y a= c) ( ) 4''' 6 1y x −= − d) ( ) ( ) ( )55 5 cos 5y x= − − 
 e) ( )
2
22
2 2''
1
xy
x
− −=
−
 f) 
( )2 1''' 8 xy e += 
 
16. a) ( )
( )100
senxy x= b) ( )
( )100
cosxy x= 
17) 18) 19) 20) 21) 
22. a) 1xy'y −−= 
b) 
2y6xy2
y1'y 2
2
++
−= c) ( )( )ycosxyx2
ysenxy2'y 2
2
+
−−= 
 d) xy
xy
xe1
1ye'y −
−= e) ( ) x2yxy3
y2'y 22 ++= f) ( ) xysec
y'y 2 −= 
 
23. a) y
y
exy
ey
dx
dy
 )1(1
 )1(
+−
+= b) 2
2
3
3 
xy
yx
dy
dx
+
+−= c) 
yyy
yx
dx
dy
cos sen 4
sen 4
−= d) ' 5Py = 
 
24. a) 32
2
)0(
2
2
)cos1(
sencos1 ; 
cos1
sen1 ; 
4
1
t
tt
dx
yd
t
t
dx
dy
dx
yd
t +
++=+
+==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
 . 
 b) . 3 ; 12 452
2
tt e
dx
dye
dx
yd −== c) 32
2
)cos(sen
 2 
tt
e
dx
yd t
+−= ; tt
tt
dx
dy
cossen
cossen
+
−= . 
 
25. a) t
dx
dy cos−= ; t
dx
yd 2
2
2
cos= ; satisfaz. ( Lembre que )cos( ))ln(cos( tee ty == ). 
 b) t
dx
dy −= ; 1 22
2
t
dx
yd −−= ; satisfaz.CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE III 
 
DERIVADA: APLICAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas 
há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu 
problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar sua curiosidade e fizer 
funcionar sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então 
você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta.” 
 
George Polya 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 32 
 
SUMÁRIO 
 
 
Reta tangente ao gráfico de uma função 
 
Cinemática (velocidade e aceleração instantâneas) 
 
Taxa de variação (taxas relacionadas) 
 
Diferencial e aproximação linear 
 
Regra de L’Hospital 
 
Exercícios de Fixação 
 
Resposta dos exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 33 
PARTE III – DERIVADA: ALGUMAS APLICAÇÕES 
 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA. Se 
0 0( , )P x y é um ponto no gráfico de uma função f , 
então a reta tangente ao gráfico de f em P , 
também chamada reta tangente ao gráfico de f em 
0x , é definida como sendo a reta que passa por P e 
tem inclinação 
0 0
0tg 0
( ) ( )( ) lim
h
f x h f xm f x
h→
+ −′= = 
 
 quando este limite existe. 
 
A equação da reta tangente em um ponto 0 0( , )P x y 
do gráfico de uma função ( )f x é dada por 
 
0 0 0( ) ( )y y f x x x′− = ⋅ − onde )( 00 xfy = . 
 
 
 
 
 
 
Observação: Se ±∞=′ )( 0xf então a reta tangente é vertical, ou seja, tem equação dada por 0x x= . 
 
 
Exemplos: 
 
a) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de 2 1y x= − no ponto de abcissa 0 2x = . 
 
b) Em que ponto da curva 22 xy += a reta tangente tem inclinação 3π ? 
 
c) Determine a equação da reta tangente ao círculo de equação 2 2 4x y+ = no ponto ( )1, 3P . 
 
d) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de 2y x= que seja paralela à reta 4 2 0x y+ − = . 
 
e) Encontre a equação da reta normal ao gráfico de 2y x= , sabendo-se que ela é perpendicular à reta 
2 4 0y x− − = . 
 
 
Observação. A equação da reta tangente ao gráfico de f 
no ponto ( )0 0, ( )x f x é a reta vertical 0x x= , se 
( ) ( )0
0 0
lim
x x
f x f x
x x→
−
− for infinito. 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 34 
Definição. A reta normal a uma curva ( )y f x= no ponto 
( )( )0 0, x f x é a reta perpendicular a reta tangente à curva no mesmo 
ponto. Assim, 
 
a) Se ( )0 0f x′ ≠ temos que a equação da reta normal é 
( ) ( )0 00
1y y x x
f x
− = − −′ 
 
b) Se ( )0 0f x′ = temos que a equação da reta normal é a reta vertical 
0x x= . 
 
Obs: A reta tangente é horizontal de equação 0y y= . 
 
 
 
c) Se ( ) ( )
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x→
− = ±∞− , temos que a reta normal é a reta 
horizontal 0y y= . 
 
Obs: A reta tangente é vertical de equação 0x x= . 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de 2y x= que seja paralela à reta 4 2 0x y+ − = . 
 
2. Encontre a equação da reta normal ao gráfico de 2y x= , sabendo-se que ela é perpendicular à reta 
2 4 0y x− − = . 
 
3. No videogame da figura, os aviões voam da esquerda para a direita segundo a trajetória 11y
x
= + , e 
podem disparar seus mísseis na direção da tangente contra pessoas ao longo do eixo x, em 
1,2,3,4 e 5x = . Determine se alguém será atingido se o avião disparar um projétil quando estiver em: 
 
 
a) ( )1, 2P ; 
 
b) 3 5,
2 3
Q ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
 
Desafio – Em que ponto da curva 11y
x
= + deve o avião disparar seu projétil para atingir um alvo no 
ponto (2,0)P ? 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 35 
4 – Determine a equação das retas tangente e normal ao gráfico da curva dada implicitamente por 
π=+ 2)( sen2 yyx no ponto )2 ,1( πP . 
 
5 – Obtenha o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 1−f no ponto (1,0)P , sabendo que 
arctg(2 ) 2( ) 3 xf x x= + . 
 
6 – Determinar a equação das retas tangente e normal à curva de equação 
sen
cos
x t t
y t t
= +⎧⎨ = −⎩ , ,2 2t
π π⎤ ⎡∈ −⎥ ⎢⎦ ⎣ 
no ponto em que 0t = . 
 
 
Ângulo entre curvas. Define-se ângulo entre as curvas 1( )y f x= e 2 ( )y f x= no ponto de intersecção 
0 0( , )M x y , ao menor ângulo ϕ compreendido entre as tangentes respectivas no ponto M. Este ângulo 
é determinado pela fórmula seguinte: 2 1
2 1
( ) ( )tan
1 ( ) ( )
f x f x
f x f x
ϕ ′ ′−= ′ ′+ ⋅ . 
a) Determine o ângulo quem forma com o eixo das abcissas a tangente à curva 
3
52
3 9
xy x= − . 
b) Determine o ângulo compreendido entre as parábolas 28y x= − e 2y x= . 
 
 
Taxa média de variação. Considere duas grandezas x e y relacionadas por uma expressão 
( )y f x= , a taxa média de variação de y em relação a x quando a x b≤ ≤ é dada por: 
( ) ( )y f b f aTMV
x b a
Δ −= =Δ − . 
 
Taxa de variação instantânea. A taxa de variação instantânea em 0x (taxa em cada ponto do 
intervalo a x b≤ ≤ ) é dada pela derivada de y em relação a x em 0x , ou seja, 
0 0
00 0
( ) ( )lim lim ( )
x x
f x x f xyTVI f x
x xΔ → Δ →
+ Δ −Δ ′= = =Δ Δ 
 
INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA DA DERIVADA. Seja ( )s s t= a função posição de uma partícula 
movendo-se sobre o eixo s no intervalo de tempo [ ],t a b∈ então: 
 
A velocidade média (taxa de variação média de s em relação a t no intervalo [ ],a b ) é dada por 
( ) ( )
m
s s b s av
t b a
Δ −= =Δ − 
 
A velocidade instantânea (taxa de variação instantânea de s em relação a t num instante 0t ) é 
definida por: 00 0
0 0
( ) ( )( ) lim ( )
t t
s t s t dsv t t
t t dt→
−= =− 
A aceleração instantânea (taxa de variação instantânea de v em relação a t num instante 0t ) é dada 
por : 00 0
0 0
( ) ( )( ) lim ( )
t t
v t v t dva t t
t t dt→
−= =− , ou alternativamente, 
2
2( ) ( )
d sa t s t
dt
′′= = [já que )()( tstv ′= ]. 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 36 
Exercícios: 
 
1 – Considere uma partícula se deslocando sobre uma reta, tem sua posição s (em metros) 
determinada pela função 
3
2( ) 6 35 80
3
ts t t t= − + − + onde t significa o tempo (em segundos). 
Determine: 
 
a) A taxa de variação média da posição em relação ao tempo quando 1 3t≤ ≤ ; 
b) A velocidade inicial da partícula; 
c) Os momentos em que a partícula pára. 
d) A aceleração quando 3t s= . 
 
2 – Considere uma partícula movendo-se com equação horária 2( ) 2 1s t t t= − − , determine a 
velocidadeescalar e a aceleração escalar da partícula em qualquer instante t . 
 
3 – Um ponto P em movimento sobre uma reta coordenada l tem a posição s dada por 
( ) 2coss t t t= + . Determine quando sua velocidade é nula. 
 
 
PROBLEMAS ENVOLVENDO TAXAS RELACIONADAS. Nesta seção, procuramos resolver problemas que 
envolvem outras taxas de variação diferentes da velocidade e aceleração. Problemas que envolvem 
várias taxas de variação – taxas relacionadas. 
 
Uma estratégia para resolver problemas de taxas relacionadas 
 
Passo 1: Desenhe uma figura e classifique as quantidades que variam; 
Passo 2: Identifique as taxas de variação que são conhecidas e a taxa de variação que deve ser 
encontrada; 
Passo 3: Determine uma equação que relacione a quantidade, cuja a taxa de variação deve ser 
encontrada com as quantidades cujas taxas de variação são conhecidas; 
Passo 4: Diferencie ambos os lados da equação obtida no Passo 3 em relação à variável definida no 
problema; 
Passo 5: Calcule num ponto apropriado todas as grandezas e taxas envolvidas no problema. 
 
 
Exercícios 
 
1 – Admita nos itens a seguir que todas as variáveis são funções de t: 
a) Se 2 23 2 10x y y+ + = e 2=
dt
dx , quando 3x = e 1y = − , determine dy
dt
. 
b) Se 23 2ln 5cosx y x z+ = − , 4dy
dt
= − e 2dz
dt
= − quando 2x = , 3y = − e 0z = , determine dx
dt
. 
 
2 – Seja A a área de um quadrado cujos lados tem comprimento x e suponha que x varie com o tempo 
t. 
 
a) Faça uma figura ilustrativa desse problema; b) Escreva a equação que relaciona A e x; 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 37 
c) Use a equação da parte (b) para determinar uma equação que relaciona dA
dt
 e dx
dt
; 
 
d) Em certo instante, os lados medem 3,0 cm e crescem a uma taxa de 2,0 cm/min. Com que rapidez a 
área está crescendo naquele instante ? 
 
 
3 – Seja V o volume de um cilindro tendo altura h e raio r e suponha que h e r variam com o tempo. 
 
a) Como estão relacionadas dV
dt
, dh
dt
 e dr
dt
 ? 
 
b) Em certo instante, a altura é de 6,0 cm e está crescendo a 1,0 cm/s, enquanto que o raio é de 10 cm e 
está decrescendo a 1,0 cm/s. 
 
Com que rapidez o volume está variando naquele instante ? O volume está crescendo ou decrescendo ? 
 
 
4 – Seja θ (em radianos) um ângulo agudo de um triângulo retângulo, e sejam x e y, respectivamente, 
os comprimentos dos lados adjacente e oposto a θ. Suponha também que x e y variam com o tempo. 
 
a) Como se relacionam d
dt
θ , dx
dt
 e dy
dt
 ? 
 
b) Em um certo instante 2x = unid e está crescendo a 1 unid/seg, enquanto 2y = unid e está 
decrescendo em 14 unid/seg. 
 
c) Com que rapidez θ está variando naquele instante ? 
 
d) θ está crescendo ou decrescendo naquele instante ? 
 
 
5 – Areia cai de uma calha de escoamento formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao 
diâmetro. Suponha que a altura cresce a uma taxa constante de 1,5 m/min. Com que taxa a areia estará 
escoando quando a pilha for de 9 metros de altura ? 
 
 
6 – Um balão esférico está sendo inflado. Ache, usando a definição, a taxa instantânea de variação da 
área S da superfície do balão em relação ao raio r. 
 
a) Para um raio r arbitrário; b) Para 1r = metro. 
 
 
DIFERENCIAL E APROXIMAÇÃO LINEAR. Podemos observar, utilizando um computador por exemplo, 
que quanto mais ampliamos o gráfico de uma função próximo a um ponto onde a função é derivável, 
mais ‘reto’ o gráfico se torna e mais ele se assemelha à sua tangente. 
 
Queremos interpretar dy
dx
 como quociente de dois acréscimos (diferenciais) 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 38 
Se a partir de um determinado valor x somamos ou subtraímos um determinado valor 0xΔ > , 
estaremos fazendo um acréscimo ou decréscimo na variável x . 
 
Se ( )y f x= uma função derivável e 0xΔ > um acréscimo na variável x . O diferencial de x , 
denotado por dx , é o valor do acréscimo xΔ , isto é, dx x= Δ . 
 
Considere t a reta tangente ao gráfico de ( )y f x= no ponto x . O diferencial de y , denotado por dy , 
é o acréscimo na ordenada da reta tangente t , correspondente ao acréscimo dx em x . 
 
Observe que ( ) ( )y f x dx f xΔ = + − e que de acordo com a figura o quociente tg( ) ( )dy f x
dx
α ′= = . 
Daí, 
( )dy f x dx′= . 
 
 Assim, ( ) ( ) ( )f x dx f x f x dx′+ ≈ + (que chamamos de aproximação linear ou linearização de f .) 
 
Propriedades do diferencial. Seja ( )u f x= e ( )v g x= funções diferenciáveis e c∈\ uma 
constante, então: 
( ) 0d c = ( ) ( )d cu c d u= ⋅ ( ) ( ) ( )d u v d u d v+ = + 
( ) ( ) ( )d u v d u v u d v⋅ = ⋅ + ⋅ 2( ) ( )u d u v u d vd v v
⋅ − ⋅⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
Exercícios 
 
1 – Determine a diferencial de cada função: 
a) 3( ) 3 5 1f x x x= + − b) 3( ) 2 1g x x x= + − c) ( )3
5( )
1
ktf t
t
= + 
d) 2 1( )
1 3
tf x
t
+= − e) 2
4sgn( 1)( )
1
tS t
t
−=
−
 f) 3 2( ) cosz θ θ θ= ⋅ 
 
2 – Usando diferenciais determine o valor indicado: 
a) 4 2( ) 5 1f x x x= + − , ( 2,97)f − b) 5 2( )
1
xf x
x
+= + , (2,026)F 
c) 3 1( )
1
tf t
t
+= − , (0,01)f d) 
5 3( ) 5 3 1f x x x x= + + + , (0,997)f 
 
3 – Utilize diferencial (aproximação linear) para calcular: 
 
a) 2(19,9) b) 3(5,2) c) cos(31 )° d) 3 7,8 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 39 
 
 
Definição. Se existe erro na medida de um experimento que descreve uma função ( )y f x= , define-
se: 
erro na medidaErro relativo
valor médio ( )
dy
f a
= = 
 
O erro percentual é o erro relativo multiplicado por 100, isto é, 100 %
( )
dy
f a
⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
 
Por exemplo, se a medida de um comprimento é dada por 25 cm. Com possível erro de 0,1cm, então o 
erro relativo é 0,1 0,004
25
= . O significado deste número é que o erro é, em média, de 0,004 cm por 
centímetro. 
 
Exemplo: A altura do paralelepípedo de base quadrada é de 15 cm. Se o lado da base muda de 10 para 
10,02 cm, usando diferenciais calcular o aumento, aproximado, em seu volume. 
 
Solução. O volume do paralelepípedo de lado da base A e altura h é dado por 2V h= ⋅A , onde h=15 é 
constante e A é variável. Então, 215V = A e 30dV d= ⋅A A . Para este caso, 10=A e 0,02d = ±A . Logo, 
36 dV cm= ± . O volume cresce aproximadamente 36 cm . O erro relativo é de 2
30 0,004
15
dV d
V
⋅= =A AA 
e o erro percentual é de 0,4% . 
 
 
Exercícios 
 
1 – O diâmetro de uma esfera é 9 cm. Ao medi-lo, introduz-se um possível erro de 0,05 cm± . Qual é o 
erro percentual possível no cálculo do volume ? 
 
2 – Calcular um valor aproximado para as seguintes expressões: 
a) 4 23
3
1(8,01) (8,01)
8,01
+ − b) 4 82 82+ c) 3
13 63
2 63
+ 
 
 
REGRA DE L’HOSPITAL. Considere f e g funções deriváveis tais que ( ) ( ) 0f a g a= = e ( )lim
( )x a
f x
g x→
, 
então ( ) '( )lim lim
( ) '( )x a x a
f x f x
g x g x→ →
= . 
 
Demonstração. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x a x a x a
f x f x f a x a f x f a x a
g x g x g a x a x a g x g a→ → →
− − − −= =− − − − 
 
( ) ( ) ( ) ( )lim( ) '( )lim lim lim( ) ( ) ( ) ( )( ) '( )lim
x a
x a x a x a
x a
f x f a f x f a
f x f xx a x a
g x g a g x g ag x g x
x a x a
→
→ → →
→
− −
− −= = =− −
− −
. , 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IERON 40 
Observação. Se tivermos ( )lim
( )x a
f x
g x→
 for tipo ∞∞ também podemos aplicar a regra de L’Hospital, basta 
ver que 1/ 0
1/ 0
∞ ∞= =∞ ∞ . 
 
 
Exercícios: 1 – Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital: 
 
a) 
3 2
51
2lim
1x
x x x
x→−
+ −
+ 
b) 
2
1 senlim
cosx
x
xπ→
− c) 30
1lim
x
x x
e
→
− d) 
3
lim xx
x x
e→+∞
− 
e) ( )
0
lim ln
x
x x+→
 f) ( )2
0
lim 2
x
x
x x+→
+ g) ( )1
0
lim 1 x
x
x+→
+ h) 
0
2lim
sen
x x
x
x
x x
e e−
→
− −
− 
 
2 – Mostre que: 
 
a) (ln ) /(1 ln ) 0
0
lim 0a x
x
x a++→
⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ b) (ln ) /(1 ln ) 0lim a xx x a
+
+∞→
⎡ ⎤ = ∞ =⎣ ⎦ 
 
c) ( )(ln ) /
0
lim 1 1a x
x
x a∞→
⎡ ⎤+ = =⎣ ⎦ d) lim 1xx x+∞→ = . 
 
 
3 – A figura abaixo representa o esquema de um circuito elétrico, o qual consiste de uma força 
eletromotriz que produz uma voltagem E , um resistor com resistência R e um indutor com indutância 
L . A teoria dos circuitos elétricos mostra que se uma voltagem for aplicada no instante 0t = , então a 
corrente I que percorre o circuito no instante t é dada por 
( )1 Rt LEI R e−= − 
 
Considerando E e L constantes, qual é o efeito sobre a corrente num dado tempo t fixo, se a 
resistência tender a zero (isto é, 0R +→ )? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 41 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – APLICAÇÕES DA DERIVADA 
 
 
Problemas envolvendo reta tangente e reta normal 
 
 
1. Determine a área do triângulo retângulo ABC na figura abaixo, 
sabendo que a reta r é normal à curva 2( ) 1f x x= − no ponto de abscissa 
0 1x = . 
 
 
2. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa 0x : 
 
a) ( ) ( )032 3 1, 1f x x x x= + − = b) ( ) ( )( ) ( )02 1 1 , 2f x x x x= − + = c) ( ) ( )032 , 11x xf x xx += = −+ 
 
 
3. Determine as abscissas dos pontos do gráfico de y x x x= + −3 22 4 nos quais a reta tangente é: 
 
a) Horizontal. b) Paralela a reta 2 8 5 0y x+ − = . 
 
4. Em que ponto(s) da curva ( ) 123 −−= xxxf a reta tangente tem ângulo de inclinação 4π ? 
 
5. Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva 1( )f x
x
= , no qual a reta tangente é paralela à: 
a) 1a bissetriz, isto é, y x= . b) 2a bissetriz, isto é, y x= − . 
 
6. Seja 
4
( )
16
xf x B= − . Determine a constante B de modo que a reta que passa pelos pontos ( )0,5M e 
5 ,0
2
N ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ seja tangente ao gráfico de f . 
 
7. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ( ) 2 3f x x x= − e que seja perpendicular à reta 
2 3y x+ = . 
 
8. Determine a equação da reta que passa pelo ponto ( )P 0 2, e é tangente ao gráfico de 3y x= . Ilustre 
a interseção construindo o gráfico. (observe que o ponto P não pertence ao gráfico da função 3y x= ) 
 
9. Determine a equação da reta tangente comum aos gráficos de ( )f x x= − 2 e de ( ) ( )g x x= +2 1 2 . 
 
10. Determine uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos 
pontos indicados. 
 
( )2) arctana y x= , no ponto de abscissa 3x0 = . 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 42 
2 2) 6 13 19b x y+ = , (elipse), nos pontos onde a normal é paralela à reta 26 12 7 0x y− − = . (Ver no 
winplot) 
 
( ) 2) lnc y x y= + no ponto ( )1,1P − . 
 
 
 
11. Seja C a circunferência dada implicitamente por 1yx 22 =+ e t a 
reta tangente à C no ponto de abscissa 22xo = , como mostra a figura 
abaixo. Calcule o valor da área sombreada. 
 
 
12. Resolva cada problema: 
a) Uma equação da reta tangente ao gráfico de 1−f no ponto de abscissa (3)a f= , sendo 
3
1( )
2
f x
x
=
−
 com 2x > . 
 
b) Uma equação da reta normal à curva 332 22 =++ yxyx no ponto do 2º quadrante, onde a reta 
tangente é perpendicular à reta 1=+ yxr : . 
 
 
13. Determine uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos 
pontos indicados. 
a) 
sen
 , ,
sen(2 ) 2 2
x t
t
y t
π π=⎧ ⎡ ⎤∈ −⎨ ⎢ ⎥= ⎣ ⎦⎩ , no ponto 6t
π= . 
b) 
( )
( )
12
12 2
6 1
 , 0 1
6 1
x t t
t
y t t
−
−
⎧ = +⎪ ≤ ≤⎨⎪ = +⎩
, no ponto de abscissa 12
5
. 
 
c) Uma equação da reta tangente ao gráfico da curva C no ponto de abscissa 0 1/ 4x = − , sendo C 
definida parametricamente pelas equações 
3
3
2cos
2sen
x t
y t
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
 , [ ]0,t π∈ . 
 
 
14. Problemas de cinemática 
 
1 – Considere que num instante de tempo t (em segundos) um corpo tem equação de posição dada por 
2( ) 2 3 5s t t t= + − (em metros). 
a) Determine o instante em que o corpo atinge altura máxima; 
 
b) Quando o corpo se encontra na posição 4s = metros, qual aceleração ? 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 43 
2 – A equação do movimento de uma partícula é ( ) 3 2s t t= + , s em metros e t em segundos. 
Determine: 
a) O instante em que a velocidade é de 112 m/s; b) A distância percorrida até este instante; 
c) A aceleração da partícula quando 2t s= . 
 
 
3 – Uma partícula possui equação de posição ( ) 2cos 3
2
h t t π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ (em metros), onde [ [0,t π∈ (em 
segundos). Determine: 
 
a) o instante em que a partícula atinge altura máxima; 
b) a aceleração da partícula, decorridos 
2
π segundos. 
 
 
4 – Um automóvel que viaja à razão de 30 m/s, aproxima-se de um cruzamento. Quando o automóvel 
está a 120 m do cruzamento, um caminhão que viaja à razão de 40 m/s atravessa o cruzamento. O 
automóvel e o caminhão estão em rodovias que formam um ângulo reto uma com a outra. Com que 
velocidade afastam-se o automóvel e o caminhão 2 s depois do caminhão passar pelo cruzamento? 
 
 
15. Problemas de taxas relacionadas 
 
1 – Considere uma mancha de óleo que se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da 
área da superfície da mancha em relação ao raio r do círculo para r = 200m. 
 
2 – A Lei de Boyle afirma que se a temperatura permanece constante, o volume V e a pressão P de um 
gás confinado estão relacionados pela fórmula 
P
kV = , para alguma constante k . Se para certo 
gás, 200k = e V está aumentando, determine a taxa instantânea de variação de P em relação a V para: 
 a) V qualquer b) V = 10. 
 
 
3) Uma pessoa solta uma pipa segurando a corda a 1,5m do solo; a corda é liberada à razão de 0,6m/s 
à medida em que a pipa se move horizontalmente a uma altura constante de 33,5m. Supondo que a 
corda fique sempre esticada, determine a taxa segundo a qual a pipa está se movendo no instante em 
que já foram liberados 38m de corda. 
 
 
4) Uma escada com 13m de comprimento está apoiada numa parede vertical e alta. Num determinado 
instante a extremidade inferior, que se encontra a 5m da parede, está escorregando, afastando-se da 
parede a uma velocidade de 2 m/s. Com que velocidade o topo da escada está deslizando neste 
momento? 
 
 
5) Um balão está a 60 m acima do solo e se eleva verticalmente à razão de 5 m/s. Um automóvel passa 
por baixo do balão viajando à 12 m/s. Com que velocidade varia, um segundo depois, a distância entre 
o balão e o automóvel? 
 
6) Despeja-se água num recipiente de forma cônica, à razão de 8 cm3/min. O cone tem 20 cm de 
profundidade e 10 cm de diâmetro em sua parte superior. Se existe um furo na base, e o nível da água 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I