CG aula10 projecao

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UVA – Universidade Veiga de Almeida
Projeções Geométricas
• Conceituação da Geometria Descritiva - Gaspard Monge 
(Séc XIX).
• Projeções permitem a visualização bidimensional de 
objetos tridimensionais.
• Para gerar a imagem de um objeto 3D precisa-se 
converter suas coordenadas 3D em coordenadas 2D, 
correspondendo a uma visão do objeto em uma posição 
específica.
• Para implementar uma projeção são necessários três 
elementos básicos:
– Plano de Projeção
– Raio Projetante
– Centro de Projeção
Comp Graf II - Projeções 
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Projeções Planares Geométricas
Comp Graf II - Projeções 
Proj.
Planar
Proj.
Cilindrica
Proj.
Cônica
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Projeções Planares Geométricas - Conceitos
• Plano de Projeção é a superfície onde os pontos do 
objeto serão projetados.
• Raios de Projeção são as retas que passam pelos 
pontos do objeto e pelo centro de projeção.
• Centro de projeção é o ponto fixo de onde os raios de 
projeção partem.
Comp Graf II - Projeções 
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Projeções Planares Geométricas
Centro de
Projeção
Finito
A’
B’
A
B
A’
B’
A
B
Raios Projetores
Centro de Projeção
 no Infinito
Plano de Projeção
Objeto
Comp Graf II - Projeções 
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Projeções Planares Geométricas
Comp Graf II - Projeções 

N

N
r
r
Direção da normal ao plano e dos raios projetores
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Conceitos
• Linha de Visada – é a direção em que o observador olha, 
corresponde ao eixo-Z de um Sistema Ortonormado ligado ao 
observador (a câmera)
• Visor (View Port) – é o plano de projeção que está colocado entre 
o observador e o objeto. Está perpendicular à linha de visada, e 
encontra-se à uma distância “d” do observador.
• Projeção – é o nome de uma transformação que leva pontos de 
uma dimensão “m” (no nosso caso 3D) para pontos de uma 
dimensão “n” (no nosso caso 2D) onde n < m
Comp Graf II - Projeções
Visor
Câmera
Objeto
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 Tipos de Projeções
• Considere as transformações f e g, que levam pontos de 
coordenadas (x, y, z) em pontos de coordenadas (u, v), tal 
que:
u = f(x, y, z)
v = g(x, y, z)
• Essas transformações apresentam 2 variáveis dependentes 
(u e v) e 3 variáveis independentes (x, y e z). 
• Assim, o sistema admite diversas soluções, ou seja, 
diversos tipos de projeções.
Comp Graf II - Projeções 
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 Classificação das Projeções Geométricas
Comp Graf II - Projeções
Proj. Planares
Paralelas Perspectivas
Ortográficas Oblíquas
V. Lateral
V. Frontal
Planta
Axonométricas
Isométricas
Dimétricas
Trimétricas
Cabinet
Cavalier
Um-Ponto
Dois-Pontos
Três-Pontos
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 Classificação das Projeções Geométricas
Dependem das relações entre o centro de projeção, plano 
de projeção e as direções dos raios de projeção.
• Projeções Paralelas (projeções cilíndricas)
– Mantém o alinhamento dos pontos, pois a imagem de uma reta 
(sua projeção) é também uma reta. 
– O paralelismo também é conservado (duas retas paralelas 
resultam em retas paralelas após a projeção)
• Projeções Perspectivas (projeções cônicas) 
– Produzem imagens mais realistas pois representam medidas 
menores quanto mais distantes do observador. 
– Mantém o alinhamento dos pontos, pois a imagem de uma reta 
(sua projeção) é também uma reta. 
– O paralelismo não é conservado (duas retas paralelas podem 
não ficar paralelas após a projeção). 
Comp Graf II - Projeções
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Projeções Paralelas (Projeções Cilíndricas)
• Centro de projeção localizado no infinito e todas as linhas 
de projeção paralelas entre si. 
– Paralelas ortográficas - linhas de projeção paralelas 
entre si e perpendiculares ao plano de projeção
• Múltiplas Vistas Ortográficas
• Axonométrica 
– Paralelas oblíquas - linhas de projeção inclinadas em 
relação ao plano de projeção
• Cavaleira 
• Cabinet
Comp Graf II - Projeções
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Projeções Paralelas Ortográficas
• Projeções paralelas ortográficas - linhas de projeção 
paralelas entre si e perpendiculares ao plano de projeção
– Múltiplas Vistas Ortográficas – plano de projeção 
paralelo aos planos do objeto (faces): planta baixa, 
frente e elevação
– Axonométrica – plano de projeção posicionado 
inclinado em relação aos planos do objeto
• Isométrica – Os 3 eixos do objeto parecem ter a 
mesma mudança nas métricas: Ângulos de projeção 
entre os eixos principais são iguais entre si (120º)
• Dimétrica 
• Trimétrica
Comp Graf II - Projeções
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Múltiplas Vistas Ortográficas
Comp Graf II - Projeções
Vista
Lateral
Vista
Frontal
Planta
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Comp Graf II - Projeções
Projeções Paralelas Ortográficas
• Múltiplas vistas ortográficas: Matriz de transformação 
que representa a projeção ortográfica em relação ao 
plano xy ( z = 0)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
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Projeções Paralelas Ortográficas Axonométricas
Comp Graf II - Projeções
x
y
z
x’
y’
x’
y’
Dimétrica Isométrica
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Projeções Paralelas Ortográficas Axonométrica
• Projeção Isométrica - Ângulos de projeção entre os eixos 
principais são iguais entre si (120º):
Comp Graf II - Projeções
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Projeções Paralelas Ortográficas
• Projeção Isométrica pode ser definida como uma rotação em 
torno do eixo y de ângulo α e depois rotação em torno do eixo x 
de ângulo β, seguida de projeção no plano xy (z=0): 
Comp Graf II - Projeções
cosα 0 senα 0
 0 1 0 0
-senα 0 cosα 0
 0 0 0 1
1 0 0 0
0 cosβ -senβ 0
0 senβ cosβ 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
α = 45° e β = 35,26°
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Projeções Paralelas Oblíquas
• Projeções paralelas oblíquas - linhas de projeção 
inclinadas em relação ao plano de projeção
– Cavaleira - quando o ângulo das linhas é de 
45º em relação ao plano, os pontos projetados 
preservam sua medida original nas direções 
não paralelas ao plano.
– Cabinet – reproduz objetos com uma dimensão 
de metade do tamanho original.
Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11 
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Projeções Paralelas Oblíquas
Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11 
1
1/2
1
Cabinet 45º
1
1
1
Cavaleira 45º
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Projeções Paralelas Oblíquas
Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11 
Cavalier
Cabinet
Cavalier
Cabinet
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Projeções Perspectivas (projeções cônicas)
– Os raios de projeção são divergentes: partem do centro de 
projeção com diferentes ângulos. 
– São baseadas nos pontos de fuga da imagem projetada (pontos 
onde as retas paralelas da imagem projetada parecem 
convergir. 
Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11 
Plano de projeção está 
paralelo à face  um só 
ponto de fuga
Plano de projeção está paralelo à 
uma família de arestas  2 
pontos de fuga Plano de projeção não está paralelo à 
faces e arestas  3 pontos de fuga
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Projeções Perspectivas (projeções cônicas)
• Projeção de um ponto no plano a partir de um centro de projeção
Comp Graf II - Transformaçõesde Coordenadas - Cap. 11 
Z
X
Y
x'
y'
x
y
z
CP
k
P
P’
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Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11 
Deformação por perspectiva
• Linhas convergindo para o observador (câmera)
X’
Z’
Y’
XZ
Y
u
v
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Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11 
Aproximação 
• Linhas paralelas à linha de centro do observador (câmera)
• A coordenada X não se altera na projeção
X’
Z’
Y’
XZ
Y
u
v
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Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11
Determinação das Coordenadas de Projeção
Dados:
• H = Objeto(0).yObj = altura da câmera
• D = Objeto(0).zObj = distância da câmera até a origem
•  = Objeto(0). pitchObj = ângulo pitch da câmera 


H
C
b s
z
D
V1,2
V0,3

Viewport
Origem da 
Viewport
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Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11
Determinação das Coordenadas de Projeção
Tang() = H / C logo: C = H / Tang()
Mas D = C + s, assim : s = D – C 
Também: z = b + s logo: b = z - s
Portanto: 
V1,2 = b*sin()  V12 = (z–s)*sin()  
V12 = z*sin() - s*sin()  
V12 = z*sin() – (D-C)*sin ()
V0,3 = -s*sin()  V0,3 = -(D-C)*sin()
Dados do Plano:
P0 = (x0, y0, z0, 1) = (0, 0, 0, 1)
P1 = (x1, y1, z1, 1) = (0, 0, z, 1)
P2 = (x2, y2, z2, 1) = (x, 0, z, 1)
P3 = (x3, y3, z3, 1) = (x, 0, 0, 1)
+1
+1
+2
+2
0
Y
Z
X
Q1=P1
P0
Q2=P2
P3
Q0
Q1


H
C
b s
z
D
V1,2
V0,3

Viewport
Origem da 
Viewport
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Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11
Determinação das Coordenadas de Projeção
Os pontos na View Port (Q0, Q1, Q2, Q3) são transformados a partir dos 
pontos do plano (P0, P1, P2, P3):
Q0 = T . P0
Q1 = T . P1
Q2 = T . P2
Q3 = T . P3
Para o ponto Q0 = (U0, V0, Z0): 
U0 = 0
V0 = -(D-C)*sin()  V0 = 0 + 0 + 0. sin()+ - (D-C)*sin(). 1
Z0 = 0
     
1
0
0
0
*
1000
0100
*00
0001
1
0
0
0
 sinCDsin
Z
V
U


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Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11
Determinação das Coordenadas de Projeção
• Para o ponto Q1 = (U1, V1, Z1):
U1 = 0
V1 = 1*sin() – (D-C)*sin () V1 = 0 + 0 + 1. sin()+ -(D-C)*sin(). 1
Z1 = 1
     
1
1
0
0
*
1000
0100
*00
0001
1
1
1
1
 sinCDsin
Z
V
U


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Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11
Determinação das Coordenadas de Projeção
De uma maneira geral, para um ponto P qualquer do Plano, colocando-se sob 
a forma matricial, tem-se:
     
1
*
1000
0100
*00
0001
1
Z
Y
X
sinCDsin
Z
V
U
 

Chamando a matriz de projeção de World, tem-se:
World(0, 0) = 1
World(1, 2) = sin()
World(1, 3) = -(D-C)*sin()
World(2, 2) = 1
World(3, 3) = 1
As definições da matriz World devem ser incluídas no Global.bas.
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Comp Graf II - Sistemas de Coordenadas 
Sistema de Coordenadas
• Sistemas de Coordenadas Cartesiano: as coordenadas 
são descritas por distâncias medidas ao longo de 2 ou 3 
eixos de referência. Normalmente os eixos são 
perpendiculares entre si e as medidas são com escalas 
uniformes.
• Sistema de Coordenadas Polares (2D) : as coordenadas 
são descritas por um raio e um ângulo,
• Sistema de Coordenadas Esféricas (3D) : as 
coordenadas são descritas por um raio e dois ângulos,
• Sistemas de Coordenadas Cilíndricas (3D): as 
coordenadas são descritas por um raio, um ângulo e 
uma distância.
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Comp Graf II - Sistemas de Coordenadas 
Sistema de Coordenadas de Referência
• Um sistema de coordenadas é chamado de "Sistema de 
Referência" quando é utilizado para alguma finalidade 
específica.
• Nos Sistemas de Referência devem ser especificados 
dois elementos básicos: 
– unidade de referência básica;
– limites extremos dos valores aceitos para descrever os objetos;
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Comp Graf II - Sistemas de Coordenadas 
Sistema de Coordenadas de Referência
• Sistema de Referência do Universo (SRU)
• Sistema de Referência do Objeto (SRO)
• Sistema de Referência Normalizado (SRN)
• Sistema de Referência do Dispositivo (SRD)
SRU
SRO SRN SRD
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Comp Graf II - Sistemas de Coordenadas 
• Sistema de Referência do Universo (SRU)
– Utilizado para descrever os objetos em termos das 
coordenadas utilizadas pelo usuário em uma 
determinada aplicação.
– Cada tipo de aplicação especifica seu universo de 
trabalho próprio e limites de coordenadas extremos 
(valores máximos e mínimos)
– Exs: Sistema Radar – coordenadas polares (ângulos 
geográficos) , sistema CAD de mecânica de precisão: 
coordenadas cartesianas (milímetros)
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Comp Graf II - Sistemas de Coordenadas 
• Sistema de Referência do Objeto (SRO)
– Neste caso, cada objeto tem suas particularidades 
descritas em função do seu próprio sistema. Cada 
objeto representa um mini-universo individual
– Muitas vezes o centro do sistema de coordenadas 
coincide com o centro de gravidade do objeto 
(modelagem de sólidos é denominado pivô ou pivot)
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Comp Graf II - Sistemas de Coordenadas 
• Sistema de Referência Normalizado (SRN)
– Trabalha com coordendas normalizadas entre 0 e 1 
(0  x  1 e 0  y  1), sendo x e y as coordenadas 
horizontais e verticais possíveis respectivamente.
– O SRN é um sistema de referência intermediário 
entre o SRU eo SRD;
– Sua principal aplicação é tornar a geração das 
imagens independente do dispositivo pois as 
coordenadas do universo são convertidas para um 
sistema de coordenadas padrão normalizado;
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Comp Graf II - Sistemas de Coordenadas 
• Sistema de Referência do Dispositivo (SRD)
– Utiliza coordenadas que podem ser fornecidas 
diretamente para um dispositivo de saída especifico.
– O sistema de coordenadas depende geralmente da 
resolução e da configuração definida pelo usuário 
entre um conjunto de opções possíveis
Ex: Para dispositivo de vídeo, o sistema de referência 
podem indicar a resolução pelo número máximo de 
pixels (640x480 pixels) ou indicar a resolução 
especificada pela configuração do sistema 
operacional (padrão true color com resolução de 
800x600 pixels e profundidade de 24 bits).
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Volume de Visão de Perspectiva 3D
• É uma pirâmide reta truncada, cujo vertice está localizado na 
lente da câmera.
• Quaisquer entidades 3D localizadas fora do volume de visão 
não podem ser vistas pela câmera
• O volume de visão é normalizado quando for escalonado 
para se encaixar dentro do intervalo de –1 até +1, para 
simplificação dos cálculos.
Comp Graf II - Wireframe 
Ponto de Visão
Plano de Recorte 
Próximo
Plano de Visão
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Planos de Recorte 
• São definidos opcionalmente para descartar as 
entidades 3D localizadas muito distantes ou muito 
próximas à câmera.
– Plano de Recorte Próximo – antes do qual nada pode 
ser visto
– Plano de Recorte Distante – após o qual nada pode 
ser visto 
• Assegura que as fórmulas 3D não desperdiçarão tempo 
reproduzindo entidades tão distantes que não ocuparão 
mais do que um único pixel.
• Garante que as entidades localizadas muito perto da 
câmera serão descartadas.
Comp Graf II - Wireframe 
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Volume de Visão de Paralelepípedo Retangular
• O Volume de Visão de pirâmide reta truncada leva muitotempo para ser calculado pelo computador e reproduz 
uma perspectiva convencional. 
• Para simplificar os cálculos, o volume de pirâmide é 
distorcido para a forma de um paralelepípedo. 
• As funções de recorte e, por conseqüência, o código 
necessário para operar um sistema de ordenação de 
profundidade z-buffer ficam facilitados.
Comp Graf II - Wireframe 
UVA – Universidade Veiga de Almeida
Volume de Visão de Paralelepípedo Retangular
• O plano de recorte próximo é deformado para que seja 
criada uma caixa retangular:
Comp Graf II - Wireframe 
Plano de Recorte 
Próximo
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	Comp Graf II - Projeções
	Comp Graf II - Projeções
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	Comp Graf II - Projeções
	Comp Graf II - Projeções
	Comp Graf II - Projeções
	Comp Graf II - Projeções
	Comp Graf II - Projeções
	Comp Graf II - Projeções
	Comp Graf II - Projeções
	Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11
	Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11
	Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11
	Comp Graf II - Transformações de Coordenadas - Cap. 11
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	Comp Graf II - Wireframe - Cap. 6
	Comp Graf II - Wireframe - Cap. 6
	Comp Graf II - Wireframe - Cap. 6
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