Física IV Aula 2 Circuitos CC

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Exemplos 
• Considere um cabo coaxial, como 
mostrado na Fig ao lado, formado 
por um o condutor cilíndrico de 
raio a, envolvido por capa cilíndrica 
condutora de raio b. A corrente 
passa em um sentido no condutor 
interno, retornando no outro 
sentido pela capa externa. 
Determine a indutância do cabo 
coaxial. 
Exemplos 
• Determine a auto indutância (indutância) de um de um toróide, 
composto por N espiras e dimensões apresentadas na figura ao 
lado, considerando que o campo magnético no seu interior é 
dado por: 
Física IV (CET106): 
Circuitos de Corrente Contínua: 
RC, LR, LC e RLC 
Prof. Leandro Cerqueira Santos 
CETEC-UFRB 
Lei de Kirchhoff 
a) Lei (Regra) dos nós: 
 A corrente que entra em um nó 
deve ser a mesma que sai, isto 
é, a soma das correntes deve 
ser igual a zero em um nó. 
 
 
 
b) Lei ( Regra) das malhas: 
 A soma das tensões (ddp) em 
uma malha, isto é, em um 
circuito fechado, é igual a zero. 
Lei de Kirchhoff 
• Para aplicar a segunda regra deve-se percorrer todo o circuito 
analisando as mudanças no potencial elétrico. 
 
• As cargas se movem nas extremidades do resistor do 
potencial mais alto para o mais baixo. 
 
 
 
 
 
• Se o elemento possui polaridade: Ex. Fonte ou capacitor: 
R 
i 
caminho 
-V iR 
R 
i 
caminho 
V iR  
caminho 
+ - 
caminho 
+ - 
 Perde energia Ganha energia 
VV
Circuito RC 
• Processo de carga do capacitor → Chave S 
fechada em “a”. 
 
 
 
• Resolvendo a Eq diferencial: 
00 
dt
dq
RC
q
R
iR
C
q 
RC
t
RC
t
e
R
tieCtq










 )(1)(
Circuito RC 
• Potencial no Resistor: 
 
 
• Potencial no Capacitor: 
RC
t
R eRiV

 
)1( RC
t
R e
C
q
V

 
• Constante de Tempo Capacitiva (τC=RC): 
 
 
 
 
• Tempo necessário para se atingir 63,2% 
da carga total (ou corrente, ou tensão,...) 
   t
t
Q
Q
V
Q
i
V
RC 
















 *
VC x t 
VR x t 
Circuito RC 
• Processo de Descarga do capacitor: 
Chave S fechada em “b”. 
 
 
 
• Resolvendo a Eq diferencial: 
00 
dt
dq
RC
q
iR
C
q
RC
t
RC
t
e
R
tieCtq


 )()(
q x t 
i x t 
Circuito RL 
• Caso I: ao fechar a chave S em t=0 irá surgir uma corrente no circuito; 
• A passagem da corrente faz com que uma fem seja induzida no 
indutor 
 
 
• Usando Kirchhoff: 
dt
di
Lind 
• A indutância em um circuito impede 
que a corrente aumente ou diminua 
instantaneamente; 
• O indutor é um elemento que armazena 
campo magnético em seu interior. 
00 
dt
di
LiRiR ind 
• Resolvendo a equação diferencial 
para a corrente, teremos: 
 
 
 
• L não permite que a corrente 
cresça abruptamente; 
 
 
• A tensão no resistor: 
 
 
• A tensão no indutor: 
 
Circuito RL 









 t
L
R
e
R
ti 1)(

R
iL  0









 t
L
R
R eV 1
t
L
R
L eV

 
i x t 
VR x t 
VL x t 
Circuito RL 
• Caso II 
• Após a corrente atingir o valor máximo (i=ε/R) tira-se a bateria 
do circuito: 
 
 
 
• Resolvendo a equação diferencial: 
 
 
 
• Se não houvesse indutor (L=0) no circuito, a corrente cairia 
imediatamente para 0; 
• O indutor se opõe a variação da corrente e faz com que ela caia 
exponencialmente; 
• O termo τL=L/R é a constante de tempo indutiva, e análoga a τC 
0
dt
di
LiR
t
L
R
e
R
i



i x t 
Circuito LC 
• Considere circuito ao lado, onde 
inicialmente carrega-se o capacitor 
fechando a chave em “A”; 
• ao fechar a chave em “B” o capacitor 
estará em série com o indutor; 
• Em t=0 a chave é fechada em “B” e uma corrente i começa a fluir no 
circuito descarregando o capacitor; 
• Esta corrente ao passar pelo indutor irá induzir uma tensão/corrente 
(lei de Faraday) 
• Usando Kirchhoff: 
 
 
• Essa é uma equação do tipo OHS, cuja solução é do tipo: 
00 202
2

C
q
dt
qd
dt
di
L
C
q 
LC
tAtq
1
)cos()( 00  
Circuito LC 
• A corrente em função do tempo pode ser obtida, fazendo: 
 
 
 
• As constantes A e φ são determinadas pelas condições iniciais do 
problema. Por ex.: para t=0, temos q(t)=Q0 (carga máxima) e i(t)=0, 
então: 
 
 
 
• E podemos escrever as soluções como: 
 
 
 





00
0
)cos()0(
,...2,,00)sin()0(
QAQAtq
Ati


)(
)(
)( 00   tAsen
dt
tdq
ti





)cos()(
)sin()(
00
000
tQtq
tQti


Oscilações em Circuito LC 
• Considere o circuito RL conectado a uma 
bateria ε. Utilizando Kirchhoff: 
 
 
• Multiplicando pela corrente i, teremos: 
Energia no Campo Magnético: 
0
dt
di
LRi
0
2
0
2
22 






Li
dt
d
Rii
dt
di
LiRii 
• Essa equação apresenta a soma das potencias: fornecida pela bateria; 
dissipada pelo resistor e armazenada no indutor: 
 
• A energia armazenada no indutor pode, então. ser obtido como: 
22
22 Li
U
Li
dt
d
dt
dU
B
B 






• Por simplicidade, vamos considerar um 
solenoide de comprimento l e área da seção 
transversal A: 
 
• A densidade de energia é dada por: 
Energia no Campo Magnético: 
• Para o solenoide, temos: 
 
 
• Logo a densidade de energia armazenada no campo magnético do 
indutor é: 
N
Bl
i
l
Ni
B
l
AN
L
0
0
2
0



l 
A 
)(2
2
Al
Li
Vol
U
u BB 
0
2
2
B
uB 
• A energia armazenada no capacitor é: 
 
 
• A energia armazenada no indutor é 
Energia no Circuito LC: 
22
2
0
2 Li
U
B
u BB  
C
Q
U
E
u EE
22
22
0 

UE 
UB 
0t 
1 
2 
/8t T
3 
/ 4t T
4 
3 /8t T
5 
5
/ 2t T
4
3
2
1
6
6 
5 /8t T
3 / 4t T
7 /8t T
7
8
7 
8 
Circuito RLC: 
• Considere o circuito ao lado: 
• Ao fechar a chave S1 carregar-se-á o 
capacitor; 
• Em t=0 abre-se a chave S1 e fecha-se a 
chave S2 
• Utilizando Kirchhoff: 
00
2
2

dt
qd
L
dt
dq
R
C
q
dt
di
LRi
C
q
00 202
2
2
2
 q
dt
dq
dt
qd
LC
q
dt
dq
L
R
dt
qd 
 
• arrumando: 
 
 
 
• que é uma equação de um Oscilador Amortecido 
Circuito RLC: 
• A solução dessa equação tem a forma 
 
 
• em que: 
)cos()( 20 teQtq d
t 















Oscilação de Freq 
Natural Freq 
ento Amortecimde Fator 
4
1
2
2
0
2
2
0




d
LC
L
R
• Casos 









SubcríticoCLR
CríticoCLR
oupercríticCLR
 
 
S 
4
4
4
22
0
22
0
22
0



• Quando o amortecimento é fraco 
CLR 4220  
d 0
Exercícios 
• Serway – Física para cientistas e 
engenheiros, vol 3 
– Cap. 10: 1, 2, 4, 7, 13, 16, 21, 22, 27, 33, 35, 39, 
42, 43, 46, 51, 54