AD1 EME 2018 1 gabarito

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Elementos de Matemática e Estatística - 1ª Avaliação a Distância – 2018/1 
Orientações: 
i) A resolução da AD deve ser enviada pela plataforma em arquivo com formato PDF 
até o dia 04/03 (23:55h). Não serão aceitos, para fins de computação de nota, 
arquivos em outros formatos! 
ii) O aluno poderá enviar até 4 arquivos, pois há limite de tamanho para cada arquivo 
(2Mb). 
iii) Sugere-se, para fins de facilitar a identificação do aluno, que o nome do arquivo seja 
AD1 – EME – nome do aluno. Exemplo: AD1 – EME – Núbia Almeida 
Questões: 
Sejam duas funções f: 

 e g: 

, definidas por 𝑓(x) = 2𝑥2 + 3𝑥 − 5 e 𝑔(x) =
4𝑥 − 2 . Responda as questões 1 e 2. 
Questão 1) (1,0 ponto) Calcule 𝑓𝑜𝑔(2) 
Solução: 
𝑔(2) = 4 × 2 − 2 = 8 − 2 = 6 
𝑓(6) = 2 × 62 + 3 × 6 − 5 = 2 × 36 + 18 − 5 = 72 + 18 − 5 = 85 
Portanto, 𝑓𝑜𝑔(2) = 85 
 
Questão 2) (1,0 ponto) Calcule 𝑔𝑜𝑓(3) 
Solução: 
𝑓(3) = 2 × 32 + 3 × 3 − 5 = 2 × 9 + 9 − 5 = 18 + 9 − 5 = 22 
 
𝑔(22) = 4 × 22 − 2 = 8 − 2 = 86 
Portanto, 𝑔𝑜𝑓(3) = 86 
 
Observe os pontos no plano cartesiano abaixo e responda as questões 3, 4 e 5. 
 
Questão 3) (0,5 ponto) Forneça as coordenadas dos pontos A, B, C, D e E. 
Solução: 
Coordenadas dos pontos: 
A (-3, 2) B (-1, -2) C (0, -4) D (3, -10) E (5, -14) 
 
Questão 4) (1,0 ponto) Obtenha a expressão da função adequada que descreve o comportamento 
dos pontos. 
Solução: 
Por se tratar de uma reta a função será do tipo 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 
Como a reta intercepta o eixo y em -4, isso significa que 𝑛 = −4 
Escolhendo os pontos A e E (poderiam ser quaisquer dois dos cincos pontos), temos que: 
𝑚 = 
∆y
∆x
 = 
-14 - 2
5 − (−3)
=
-16
8
= −2 
Portanto, a equação será 𝑦 = −2𝑥 − 4 
Questão 5) (0,5 ponto) No domínio apresentado no gráfico, a função que você obteve no item 
anterior é crescente ou decrescente? Justifique-se! 
Solução: 
Claramente trata-se de uma função decrescente, pois a medida que x aumenta y diminui. 
A
B
C
D
E
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y
x
Observe os pontos no plano cartesiano abaixo e responda as questões 6, 7 e 8. 
 
Questão 6) (1,0 ponto) Obtenha a expressão da função apresentada no gráfico. 
Solução: 
Por se tratar de uma parábola a função será do tipo 𝑦 = 𝑎x2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Observando o gráfico verificamos que a parábola intercepta o eixo y no valor – 10. Isso significa 
que 𝑐 = −10 . 
Escolhendo dois pontos quaisquer por onde passa a parábola: (-1, 0) e (4, 30) 
Agora vamos substituir os valores das coordenadas (-1, 0) na expressão da função, temos: 
 𝑦 = 𝑎x2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 → 0 = 𝑎 × (−1)2 + 𝑏 × (−1) − 10 → 0 = 𝑎 − 𝑏 − 10 → 𝑎 = 𝑏 + 10 * 
Substituindo agora os valores das coordenadas (4, 30) na expressão da função, temos: 
𝑦 = 𝑎x2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 → 30 = 𝑎 × (4)2 + 𝑏 × 4 − 10 → 30 = 16𝑎 + 4𝑏 − 10 → 
16𝑎 + 4𝑏 = 40 → 4𝑎 + 𝑏 = 10 → 𝑏 = 10 − 4𝑎 ** 
 
Mas, já tínhamos obtido em * que 𝑎 = 𝑏 + 10. Então vamos substituir em ** esta informação. 
𝑏 = 10 − 4𝑎 → 𝑏 = 10 − 4 × (𝑏 + 10) → 𝑏 = 10 − 4𝑏 − 40 → 5𝑏 = −30 → 𝑏 = −6 
Portanto, 
𝑎 = 𝑏 + 10 → 𝑎 = −6 + 10 = 4 
Assim, 𝑦 = 4x2 − 6𝑥 − 10 
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y
x
Questão 7) (1,0 ponto) Obtenha as raízes da equação 𝑓(x) = 0, onde 𝑓(x) é função apresentada 
no gráfico. 
Solução: 
Observando o gráfico onde a parábola intercepta o eixo x, vemos que uma das raízes é -1 e a 
outra é um valor entre 2 e 3. Vamos fazer as contas para verificar. 
∆= b2 − (4 × 𝑎 × 𝑐) = (−6)2 − ሾ4 × 4 × (−10)ሿ = 36 + 160 = 196 
𝑥 =
-b ± ξ∆
2a
→ 𝑥 =
6 ± ξ196
2 × 4
→ 𝑥 =
6 ± 14
8
→ x1 = −1 𝑒 x2 =
20
8
= 2,5 
 
Questão 8) (0,5 ponto) Obtenha as coordenadas do vértice da função. 
Solução: 
As coordenadas são 
൬
-b
2a
; 
-∆
4a
൰ → ൬
6
8
; 
-196
16
൰ → (0,75; -12,25) 
 
Em um haras há 30 cavalos, sendo 8 com pelagem clara, 12 com pelagem escura e 10 com 
pelagem mesclada. Seis cavalos serão selecionados aleatoriamente para fazer exames 
complexos para avaliar por completo o estado de saúde do animal. Responda as questões 9 e 
10. 
Questão 9) (0,5 ponto) Quantas grupos distintos de cavalos podem ser formados para realização 
de exames? 
Solução: 
𝐶(30,6) = 593.775 grupos 
 
Questão 10) (1,0 ponto) Quantas grupos distintos de cavalos podem ser formados para 
realização de exames, considerando que o grupo deve ser formado por 1 cavalo de pelagem 
clara, 3 de pelagem escura e os demais de pelagem mesclada? 
Solução: 
𝐶(8,1) × 𝐶(12,3) × 𝐶(10,2) = 8 × 220 × 45 = 79.200 grupos 
 
Uma avaliação em 50 cidades brasileiras sobre problemas ambientais urbanos identificou que 
em: 
i) 35 delas havia poluição sonora e visual. 
ii) 8 delas havia poluição sonora, mas não visual. 
iii) 3 delas não havia poluição sonora e nem visual. 
Uma destas cidades será sorteada aleatoriamente para se pesquisar a qualidade de vida da 
população. De acordo com todas as informações fornecidas, responda as questões 11, 12 e 13. 
(Observação: expressar a probabilidade solicitada em termos de eventos ou operação de 
eventos.) 
Solução: 
Façamos um diagrama, chamando de S a poluição sonora e V a poluição visual. 
 
 
 
 
 
Como eram 50 cidades ao todos, então 50 − 35 − 8 − 3 = 4 tinham poluição visual, mas não 
sonora. 
 
Questão 11) (0,5 ponto) Qual a probabilidade de ser sorteada uma cidade onde não haja poluição 
sonora e nem visual? 
Solução: 
P(V̅ ∩ S̅) =
3
50
= 0,06 
 
Questão 12) (1,0 ponto) Qual a probabilidade de ser sorteada uma cidade onde exista somente 
poluição visual? 
Solução: 
P(V ∩ S̅) =
4
50
= 0,08 
 
8
5 
S
5 
V
5 
3
5 
4
5 
Questão 13) (0,5 ponto) Qual a probabilidade de ser sorteada uma cidade onde haja poluição 
sonora? 
Solução: 
P(S) =
8 + 35
50
=
43
50
= 0,86