Integ Superf Integ Linha no Espaco

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N o s e x e r c í c i o s 0 1 → 1 0 , c a l c u l e a á r e a d a s u p e r f í c i e 
S
. 
01. 
S
 é a super f íc ie de uma esfera de raio a . 
02. 
S
 é a super f íc ie do cone 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 inte rna ao ci l indro ci rcular 𝑥2 + 𝑦2 = 4. 
03. 
S
 é a super f íc ie do parabolo ide 
22 yxz 
, s i tuada aba ixo do plano 
1z
. 
04. 
S
 é a par te da super f íc ie descr i ta por 
   vuvuvu  5,,,
, s i tuada acima da região 
circular 
922  vu
. 
05. 
S
 é a porção do p lano 
422  zyx
 que está no pr imeiro octante. 
06. 
S
 é a super f íc ie do ci l indro 
22 xz 
, cor tada pelos p lanos 
xyxy 2,2 
 e 
22x
. 
07. 
S
 é a par te da esfera 
1222  zyx
, interna ao cone 
22 yxz 
. 
08. 
S
 é a super f íc ie p lana de frontei ra tr iangular com vért ices em (2, 0, 0), (0, 3, 0) e (0, 0, 2). 
09. 
S
 é descr i ta pela equação 𝜎(𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝑣, 𝑢2 + 𝑣2) e se encontra sobre a região 
91 22  vu
. 
10. 
S
 é a super f íc ie correspondente à porção do c i l indro circular 𝑥2 + 𝑦2 = 1 com al tura 4 . 
Nos exercíc ios 11 → 20 , calcule 
S
f ( x , y , z )d s
. 
11. 
f ( x , y , z ) x y 
, 
S
 a porção do p lano 
632  zyx
 s i tuada no pr imeiro oc tante. 
12. 
f ( x , y , z ) xyz
, 
S
 a par te do plano 
1x y z  
 s i tuada no pr imeiro octante 
13. 
2 2 2f ( x , y , z ) x y z  
, 
S
 a porção do p lano 
4 yz
 inter ior ao ci l indro 
422  yx
. 
14. 
2f ( x , y , z ) x
, 
S
 o hemisfér io superior de 
2222 azyx 
. 
15. 
2 2f ( x , y , z ) z x y 
, 
S
 a par te da esfera 
9222  zyx
 s i tuada entre os p lanos 
1z
 e 
2z
. 
16. 
2f ( x , y , z ) z
, 
S
 a porção do ci l indro 
422  yx
, para 𝑦 ≥ 0, compreendida entre os 
planos 
0z
 e 
3 xz
. 
17. 
2 2f ( x , y , z ) x y 
, 
S
 a par te do paraboloide 
2 21z x y  
 s i tuada acima do plano
0z
. 
18. 
2 2 2f ( x , y , z ) x y z  
, 
S
 a par te do plano 
2x z  
 contida no ci l indro 
2 2 1x y 
. 
19. 
3f ( x , y , z ) x z 
, 
S
 o cí rculo para le lo ao plano 𝑥𝑦, com centro (0, 0, 2) e ra io 2 . 
20. 
f ( x , y , z ) x y z  
, 
S
 a super fície do cubo do pr imeiro octante, del imi tado pe los 
planos coordenados e pe los p lanos 𝑥 = 1, 𝑦 = 1 e 𝑧 = 1. 
Observação 
Na resolução do exerc íc io 20. deve-se notar que, sendo 
1 2 nS S S ... S
, en tão 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
CEN TR O DE C IÊNC IAS EX ATAS E D A NATURE ZA 
DEP AR TAME N TO DE MATEM ÁT IC A 
CÁLC U LO D IFERENC IA L E IN TE GR A L I I I 
EXERC ÍC IO S DE IN TE GR AIS DE SUPER F ÍC IE 
EXERC ÍC IO S DE ÁRE A DE SU PER FÍC IE 
EXERC ÍC IO S DE IN TE GR AIS DE L IN H A N O ES P AÇ O 
PROF . ED SO N F IGU E IRE D O L IM A JR . 
1 2
1 2
n
n
S S S S
f ( x , y , z )d s f ( x, y, z )dS f ( x, y, z )dS ... f ( x, y, z )dS      
. 
Nos exercíc ios 21 → 35 , calcule as integrais de l inha ind icadas . 
Observação – A reta no espaço 
Se 
),,(
1111
zyxP 
 e 
),,(
2222
zyxP 
 são pontos dist intos, 








)(
)(
)(
121
121
121
zztzz
yytyy
xxtxx
 
são as equações paramétr icas da re ta que passa por esses do is pontos 
21. 
 
C
zdyzxydyxdx )(
, onde o caminho a ser percorr ido tem início em 
)0,0,0(
 e 
término em 
)4,2,1(
, correspondendo ao segmento da re ta que esses pontos definem. 
22. 
 
C
zdxxdz 22
, C o caminho l igando o ponto 
)1,0,1(
 ao ponto 
)4,0,2(
 a través de do is 
segmentos re t i l íneos: o pr imeiro parale lo ao eixo OX e o segundo para le lo ao e ixo OZ. 
23. 
 
C
zdxydzxdy
, onde o caminho C corresponde à interseção das super f íc ies de equações 
yxz 
 e 
122  yx
, percorr ido uma vez no sentido posit ivo, quando observado de um 
ponto ac ima do plano 
0z
. 
24. 
 
C
zdzyydxxdzx )(
, se C , de acordo com a 
f igura ao lado, é o caminho que inicia em 
)1,0,1(
 e termina em 
)1,0,0(
, sendo 
composto de do is segmentos re t i l íneos e um 
quar to de circunferência . 
25. 
2
C
yd x z d y xd z 
, se C é a pol igonal que une 
 os pontos (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1) e (1, 1, 1). 
26. 
 

C
xd
zy
y
x
22
21
, sendo C a par te da curva do pr imeiro oc tante, gerada pe la interseção do 
plano 
yx 
 com o ci l indro 
12 22  zy
, percorr ida do ponto 
)1,0,0(
 ao ponto 
)0,
2
2
,
2
2
(
. 
27. 

C
xe(
sen
xeydyzxxdzyz ()22()2 
cos
zdzyxz )32 2
, C correspondendo ao trajeto 
ret i l íneo que l iga o ponto 
)0,1,1(
 ao ponto 
)
2
,0,0(

, nesta ordem. 
28. 
 
C
zdyydxxdz
, sendo C o traço do hemisfér io 
222 yxaz 
 no plano 
0z
. 
29. 
 
C
z3(
 sen
 32 ()() yydexxdx y
 cos
zdz )
, onde C é a curva d efinida pelas 
equações 
x
 cos
y,
sen
1, z
, para 
 20
. 
30. 
 
C
zdxydzxdy 222
, onde C é o tr iângulo de vér t ices em 
)0,1,0(,)0,0,1(
 e (0, 0, 1). 
31. 

C
rdF

, considerando 
C
 como o traço do parabolo ide 
222 yxz 
 no p lano 
2Z
 e 
kzyjzxiyzyxF

23),,( 
. 
32. 

C
rdF

, onde 
C
 é a curva gerada pela interseção do parabol o ide 
224 yxz 
 com o 
ci l indro 
122  yx
, sendo 
kjziyzyxF

32),,( 
. 
33. 
 
C
zdzydyxdx 222
, sendo C o traço do cone 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 no p lano 
1z 
. 
34. 

C
rdF

, considerando -se C o caminho re to com início em (0, 0, 1) e término em (1, 1, 1), e 
�⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (4𝑦2 + 
3𝑥2𝑦
𝑧2
) �⃗� + (8𝑥𝑦 +
𝑥3
𝑧2
) �⃗� + (11 −
2𝑥3𝑦
𝑧3
) 𝑘. 
35. Calcule 
 2
C
xyd x z d y y z d z  
, considerando C 
a) como a trajetór ia parabólica 𝑧 = 𝑥2, cont ida no p lano 𝑥 = 𝑦, sendo percorr ida do ponto 
(2, 2, 4) à or igem; 
b) como o caminho fechado consti tuído da traje tór ia anter ior , complementado pelo 
segmento ret i l íneo que va i da or igem ao ponto (2, 2, 4) ( faça o cálculo sem e com a 
aplicação do Teorema de Stokes) . 
 
 
R E S P O S T A S 
01. 4𝜋𝑎2 02. 4𝜋√2 03. 
 155
6


 04. 
39
 05. 6 06. 
13
 07. 
)22( 
 
08. 
22
 09. 
)537(
6
2/32/3 

 10 . 8𝜋 11. 
145
 12 . √3/120 13 .
276
 14 . 
4
3
2
a
 
15 . 
)55216(2 
 16 . 
30
 17 . 
25√5 + 1
60
 𝜋 18 . 
19√2 
4
 𝜋 19. 8𝜋 20. 9 
21 . 
6/23
 22 . 13 23 . − 𝜋 24 . 
2
1
4


 25 . 3 26 . 
4/1
 27 . 
8/3
 28 . 𝜋𝑎2 
29. 
0
 30 . 
1
 31 . 
20
 32 . 
2
 33 . 
0
 34 . 5 
35 . a) − 64/3 b) 4/3 
