Cap 1_Parte 1_nunes

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NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Capítulo 1 - Parte 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Luiz Fernando Nunes 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear ii 
Índice 
1 Matrizes e Determinantes ......................................................................................... 1 
1.1 Matrizes ............................................................................................................ 1 
1.1.1 Tipos Especiais de Matrizes ........................................................................ 2 
1.1.2 Operações com matrizes ............................................................................. 4 
1.1.3 Alguns exercícios sobre matrizes: ............................................................... 9 
1.1.4 Matrizes Elementares ................................................................................ 10 
1.1.5 Definição de Matriz como Função ............................................................ 12 
1.2 Determinantes e Matriz Inversa ...................................................................... 12 
1.2.1 Determinantes ........................................................................................... 12 
1.2.2 Matriz Inversa ........................................................................................... 14 
1.2.3 Alguns exercícios sobre determinantes e matriz inversa .......................... 17 
Referências Bibliográficas ............................................................................................ 18 
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 1 
1 Matrizes e Determinantes 
1.1 Matrizes 
Noção de matriz: 
Uma matriz é uma tabela retangular de elementos dispostos em linhas e colunas. 
Representação 
Uma matriz com m linhas e n colunas será indicada por: 
  
nmji
mnmm
n
n
nm a
aaa
aaa
aaa
A



















21
22221
11211
, onde 1 i  m, 1 j  n. 
Se não existirem dúvidas quanto à quantidade de linhas e colunas de uma matriz, 
podemos indicá-la apenas por letras latinas maiúsculas A, B, C, D, ... , omitindo os índices m e 
n. 
O símbolo 
 nmM
 indicará o conjunto de todas as matrizes de ordem 
nm
 de 
elementos reais. 
Exemplos 
1. Se 













305
212
011
A
, então temos que: 
111 a
, 
112 a
, 
013 a
, 
221 a
, 
122 a
,
223 a
, 
531 a
, 
032 a
,
333 a
. 
2. Se 









270
5293
B
, então temos que: 
311 b
, 
912 b
,
213 b
, 
514 b
, 
021 b
,
722 b
, 
223 b
, 
24b
. 
3. Se 














187
34
2/13/2
C
, então temos que: 
3
2
11 c
, 
2
1
12 c
,
421 c
, 
322 b
, 
021 b
,
731 c
, 
1832 c
. 
4. Suponha que temos alguns dados como peso, altura e idade referentes a um grupo de 
quatro pessoas, como na tabela seguinte: 
 
 Altura (m) Peso (Kg) Idade (anos) 
Pessoa 1 1,75 62 40 
Pessoa 2 1,64 53 27 
Pessoa 3 1,83 75 31 
Pessoa 4 1,50 50 18 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2 
Podemos representar estas informações na matriz seguinte: 













185050,1
317583,1
275364,1
406275,1
D , onde cada linha representa um indivíduo e as colunas 
representam, as grandezas altura, peso e idade, respectivamente. 
Definição 
Duas matrizes 
nmijnm
aA

 ][
 e 
srijsr
bB

 ][
 são iguais, se e somente se: 








jiba
sn
rm
ijij ,
 
1.1.1 Tipos Especiais de Matrizes 
Matriz Quadrada 
É aquela onde o número de linhas é igual ao número de colunas, isto é, m = n. 
Exemplos 
5. 











302
715
010
A
 , 
 8B
 e 





 

73
49
C
. 
Matriz Nula 
É aquela em que todos os elementos são iguais a zero, isto é, 
0ija
 para todo i e j. 
Exemplos 
6. 











000
000
000
A
 e 







00
00
B
 
Matriz Linha 
É aquela onde m = 1. 
Exemplos 
7. 
 2309 A
 e 
 31B
 
Matriz Coluna 
É aquela onde n = 1. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3 
Exemplos 
8. 














1
2
9
7
A e 








2
3
B
 
Matriz Diagonal 
É uma matriz quadrada (m = n) onde 
0ija
, para 
ji 
. 
Exemplos 
9. 












200
040
001
A
 e 














3000
0100
0040
0009
B 
Matriz Identidade 
É uma matriz diagonal onde 






jiparaa
ejiparaa
ij
ij
1
0 
Muitas vezes a matriz identidade de ordem n é indicada por 
nnI 
 ou apenas 
nI
. 
Exemplos 
10. 











100
010
001
A
, 







10
01
B
 e 













1000
0100
0010
0001
C 
Matriz Triangular Superior 
É uma matriz quadrada onde 
0ija
 para i > j. 
Exemplos 
11. 











100
270
091
A
, 





 

10
91
B
, 















1000
2100
0600
3031
C 
Matriz Triangular Inferior 
É uma matriz quadrada onde 
0ija
 para i < j. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 4 
Exemplos 
12. 












17
029
004
A
, 







13
01
B
 e 














1002
0934
0056
0001
C 
1.1.2 Operações com matrizes 
Adição 
Dadas duas matrizes 
nmijnm
aA

 ][
 e 
nmijnm
bB

 ][
, então: 
nmnmnm ijijijij
babaBA

 ][][][
 
Exemplos 
13. Se 












171
229
104
A
 e 













126
031
812
B
, então 









 

095
2510
716
BA
 
14. Suponha que as tabelas que seguem trazem as produções de soja, feijão e milho (em 
milhares de toneladas) de dois anos consecutivos de três regiões de um país: 
 
 Produção agrícola do primeiro ano 
 Soja Feijão Milho 
Região 1 2000 150 700 
Região 2 1000 450 120 
Região 3 500 300 900 
 
Produção agrícola do segundo ano 
 Soja Feijão Milho 
Região 1 2500 200 400 
Região 2 500 250 300 
Região 3 1500 200 100 
 
Se representarmos estas produções pelas matrizes: 











900300500
1204501000
7001502000
A
 e 











1002001500
300250500
4002002500
B
, respectivamente, então a matriz 











10005002000
4207001500
11003504500
BA
 representa a produção total nestes dois anos 
consecutivos. 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 5 
Propriedades da Adição de Matrizes 
i) Associatividade: 
    ,CBACBA 
 
  nmMCBA ,,
 
ii) Comutatividade: 
ABBA 
, 
  nmMBA,
 
iii) Elemento Neutro: 
A0A 
, onde 0 denota a matriz nula 
nm
, 
  nmMA
 
iv) Oposto: Dada 
  nmMA
, existe a matriz 
 A   nmM
, tal que 
  0AA 
 
Multiplicação de matriz por escalar 
Dada uma matriz 
nmijnm aA   ][
 e um escalar 

, então: 
nmnm ijij
aaA

 ][][
 
Exemplos 
15. Se 













471
269
103
A
 e 
2
, então 













8142
41218
206
2 AA
 
16. Se 









252
143
B
 e 
3
, então 









6156
3129
3 BB
 
17. Suponha que a tabela que segue traz a produção de arroz e milho (em milhares de 
toneladas) de dois Estados de um país em um determinado ano: 
 Arroz Milho 
Estado X 400 600 
Estado Y 700 800 
Se representarmos estas produções pela matriz: 







800700
600400
A
 e no ano seguinte 
estes Estados dobraram suas produções, então a matriz 







16001400
1200800
2 A
 representa esta 
nova safra. 
 
Propriedades da Multiplicação de Matriz por escalar 
i) 
   AA 
, 
    ,,nmMA
 
ii) 
  AAA 
,
    ,,nmMA
 
iii) 
  BABA 
,
    ,, nmMBA
 
iv) 
AA1
, 
  nmMA
 
v) 
0A0
, 
  nmMA
 obs.: 
0
e 
  nmM0Geometria Analítica e Álgebra Linear 6 
Multiplicação de matrizes 
Dadas duas matrizes 
nmijnm
aA

 ][
 e 
pnjkpn
bB

 ][
, então: 
pmik
cCBA

 ][
, onde 



n
j
jkijnkinkikikiik bababababac
1
332211 .....
 
Exemplos 
18. Se 







2221
1211
aa
aa
A
 e 







232221
131211
bbb
bbb
B
, então 







232221
131211
ccc
ccc
C
, onde: 



2
1
2211
j
jkijkikiik bababac
, isto é: 
2112111111 babac 
 
2212121112 babac 
 
2312131113 babac 
 
2122112121 babac 
 
2222122122 babac 
 
2322132123 babac 
 
19. Se 









112
131
A
 e 














6021
1125
1304
B
, então 







24232221
14131211
cccc
cccc
C
, 
onde: 
        1211534111 c
 
        821230112 c
 
        001133113 c
 
        461131114 c
 
            211514221 c
 
            421210222 c
 
            501113223 c
 
            761111224 c
 
Logo 









7542
40812
C
 
20. Imagine que uma empresa possui duas confeitarias chamadas de A e B, que fabricam 
três tipos de bolos chamados de 1, 2 e 3. 
As vendas de bolos destas confeitarias, por semana, estão apresentadas na tabela que 
segue: 
 
Confeitaria Bolo tipo 1 Bolo tipo 2 Bolo tipo 3 
A 50 unidades 30 unidades 25 unidades 
B 20 unidades 20 unidades 40 unidades 
 
Para a fabricação destes bolos, são necessários materiais conforme a seguinte tabela: 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 7 
 
Bolo Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos 
Tipo 1 500 g 200 g 500 ml 150 g 4 
Tipo 2 400 g 100 g 300 ml 250 g 5 
Tipo 3 450 g 150 g 600 ml 0 g 6 
 
Que quantidade destes materiais cada confeitaria deverá receber semanalmente para 
atender às demandas? 
Se a primeira tabela for representada pela matriz 







402020
253050
X
 e a segunda 
tabela pela matriz 











60600150450
5250300100400
4150500200500
Y
, a resposta será dada pela matriz 
YXZ 
: 
Confeitaria Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos 
A 
11c
 
12c
 
13c
 
14c
 
15c
 
B 
21c
 
22c
 
23c
 
24c
 
25c
 
 
4825045025400305005011 c
 
1675015025100302005012 c
 
4900060025300305005013 c
 
15000025250301505014 c
 
50062553045015 c
 
3600045040400205002021 c
 
1200015040100202002022 c
 
4000060040300205002023 c
 
8000040250201502024 c
 
42064052042025 c
 
Logo a resposta é: 
 
Confeitaria Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos 
A 48250 16750 49000 15000 500 
B 36000 12000 40000 8000 420 
Propriedades da Multiplicação de Matrizes 
(Desde que sejam possíveis as operações) 
i) 
,AAIIA 
 sendo I a matriz identidade 
ii) 
  CABACBA 
 e 
  CBCACBA 
 
iii) 
    CBACBA 
 
iv) 
0A0 
 e 
00A 
 
Observe que em geral 
ABBA 
, podendo inclusive um dos membros estar definido 
e o outro não. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 8 
Transposição de matrizes 
Dada uma matriz 
   nmnmijnm MaA ][
 , denomina-se transposta de A, a matriz: 
mnij
T bA  ][
, cujas linhas são as colunas de A, isto é: 
jiij ab 
. 
Exemplos 
21. Se 













471
269
103
A
, então 












421
760
193
TA
 
22. Se 












52
40
13
B
, então 





 

541
203TB
 
Propriedades da Transposição de Matrizes 
i) 
  TTT BABA 
 
ii) 
  TT AA 
 , onde 

 
iii) 
  AA TT 
 
iv) 
  TTT ABBA 
 
Definições 
Seja A uma matriz quadrada, então: 
a) A é dita simétrica, se e somente se, 
AAT 
. 
Exemplo 
23. 














571
720
103
A  AAT 














571
720
103
 
b) A é dita anti-simétrica, se e somente se, 
AAT 
. 
Exemplo 
24. 














053
501
310
A  AAT 














053
501
310
 
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 9 
1.1.3 Alguns exercícios sobre matrizes: 
25. Para cada 

, considere a matriz 









cossen
sencos
T
 
a) Mostre que 
  TTT
 
 
















 
cossen
sencos
cossen
sencos
TT
 
 =








coscossensencossencossen
cossencossensensencoscos
 
    
    








 T
cossen
sencos
 
b) Ache 
T
 
    
   
TTT  
















cossen
sencos
cossen
sencos 
26. Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica. 
 
Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo 
AAT 
 e 
BBT 
. 
  BABABA TTT 
. 
27. Mostre que a soma de duas matrizes anti-simétricas é uma matriz anti-simétrica. 
 
Sejam duas matrizes anti-simétricas A e B. Logo 
AAT 
 e 
BBT 
. 
     .BABABABA TTT 
 
28. Mostre que se A é uma matriz quadrada, então TAA é uma matriz simétrica. 
 
    TTTTTTT AAAAAAAA 
 
29. Verifique que o produto de duas matrizes simétricas nem sempre é uma matriz 
simétrica. 
 
Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo 
AAT 
 e 
BBT 
. 
  ABABBA TTT 
. 
30. Se 
0BA 
, então podemos afirmar que
0A
 ou 
0B 
? 
 
Não! Encontre alguns contra-exemplos. 
31. Suponha que 
0A
 e 
CABA 
, então podemos afirmar que B=C ? 
 
Não! 
CABA 

0CABA 

  0CBA 
. Sabemos que 
0A
, e que podemos 
ter 
  0CBA 
 sem que 
0CB 
, Logo B não é necessariamente igual a C. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 10 
32. Considerando o exercício anterior, se existir uma matriz Y tal que 
IAY 
, podemos 
afirmar que B=C ? 
 
Sim ! 
CABA 

   CAYBAY 

    CAYBAY 

    CIBI 
B=C 
33. Podemos dizer que a seguinte igualdade 
  222 2 BBAABA 
é verdadeira? 
 
Não! 
    22 BABBAABBABBAAABABA 
 
34. Podemos dizer que a seguinte igualdade 
  222 2 BBAABA 
é verdadeira? 
 
Não! 
    22 BABBAABBABBAAABABA 
 
1.1.4 Matrizes Elementares 
Definição 
Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes 
operações: 
i) a troca da ordem de duas linhas da matriz; 
ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero; 
iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma 
constante diferente de zero. 
Definição 
Uma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas 
linhas de uma matriz identidade. 
Exemplos 
35. Considere a matriz identidade 













1000
0100
0010
0001
I . Então as matrizes 













1000
0100
0050
0001
1E , 













1000
0001
0010
0100
2E , 














1020
0100
0010
0001
3E , são matrizes 
elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar em suas linhas. Se 
iL
 representa a i-ésima linha de I, então, estas matrizes foram obtidas da seguinte maneira: 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 11 












1000
0100
0010
0001

 22 5 LL 1
1000
0100
0050
0001
E












 












1000
0100
0010
0001

 31 LL 2
1000
0001
0010
0100
E












 












1000
0100
0010
0001

 244 2LLL
3
1020
0100
0010
0001
E













 
Teorema 
Seja E a matriz elementar obtida fazendo-se uma operação elementar nas linhas de 
nI
. 
Sea mesma operação elementar for feita em uma linha de uma matriz A de ordem 
rn
, então 
o resultado será igual a 
AE 
. 
Exemplo 
36. Considere as matrizes elementares 
1E
, 
2E
e
3E
, obtidas conforme segue: 










100
010
001

 11 3 LL
 
1
100
010
003
E










 










100
010
001

 32 LL
 
2
010
100
001
E










 










100
010
001

 233 4LLL
 
3
140
010
001
E











 
Considere agora a matriz 











1532
0241
3021
A
. Verifique que: 











1532
0241
3021

 11 3 LL
 











1532
0241
9063
=











100
010
003











1532
0241
3021
 











1532
0241
3021

 32 LL
 










 0241
1532
3021
=











010
100
001











1532
0241
3021
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 12 











1532
0241
3021

 233 4LLL












13136
0241
3021
=











 140
010
001











1532
0241
3021
 
1.1.5 Definição de Matriz como Função 
Uma matriz do tipo m  n sobre um corpo F é uma aplicação do conjunto X={ (i, j)  
N  N: 1 i  m, 1 j  n } em F. (N é o conjunto dos números naturais). 
Se m = n a matriz é dita matriz quadrada. 
Exemplo 
37. A aplicação A: X  onde X= { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3) }, definida por: 
 A(1,1) = 1, A(1,2) = 1, A (1,3 ) = 3, 
A (2,1) = 3, A (2,2) = 4, A (2,3) = 0 
é uma matriz do tipo 2  3, isto é: A =








043
311
 
1.2 Determinantes e Matriz Inversa 
1.2.1 Determinantes 
Definições 
Se 







2221
1211
aa
aa
A

21122211det aaaaA 
 
Se 











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
312213322113312312
332112322311332211det
aaaaaaaaa
aaaaaaaaaA

 
Definição 
Dada uma permutação dos inteiros 
n,.....,2,1
, existe uma inversão quando um inteiro 
precede outro menor que ele. 
 
Permutação Número de inversões 
( 1 2 3 ) 0 
( 1 3 2 ) 1 
( 2 1 3 ) 1 
( 2 3 1 ) 2 
( 3 1 2 ) 2 
( 3 2 1 ) 3 
Definição 
Seja A uma matriz quadrada 
nn
. 
Então 
 
nnjjjj
J
aaaaA ......1det
321 321


 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 13 
Onde 
),....,,,,( 321 njjjjJJ 
 é o número de inversões da 
permutação
),....,,,,( 321 njjjj
 e 

 indica que a soma e estendida para todas as n! 
permutações. 
Observações 
i) o coeficiente 
 J1
dá o sinal de cada parcela da somatória. 
ii) em cada termo existe um e só um elemento de cada linha e um e só um elemento de cada 
coluna. 
iii) Através de reordenações, mostra-se também que: 
  njjjj
J
n
aaaaA ......1det 321 321 

 
Propriedades dos determinantes 
i) TAA detdet  
ii) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por 
k
, o determinante fica multiplicado 
por k. 
iii) Uma vez permutadas duas linhas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal. 
iv) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é igual a zero. 
v) O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha, os elementos 
correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante. 
vi) 
  BABA detdetdet 
 
Definição 
Seja A uma matriz quadrada 
nn
. Uma submatriz 
ijA
de A é uma matriz obtida de A 
eliminando a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. 
Exemplo 
38. Se 













432
304
121
A
 então 








32
21
23A
, 





 

30
12
31A
, etc. 
Definição 
Seja A uma matriz quadrada 
nn
. O cofator ou complemento algébrico de um 
elemento 
ija
de A é o número: 
  ij
ji
ij Adet1


. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 14 
Exemplo 
39. Se 













432
304
121
A
 então: 
    9
43
30
det1det1
2
11
11
11 








A
, 
    7
32
21
det1det1
5
23
32
23 








A
, etc. 
Desenvolvimento de Laplace 
Generalizando: 
  ij
n
j
ijnnij
aa 


1
det
 para qualquer linha i. 
Observação: O desenvolvimento pode também ser feito na variável j: 
  ij
n
i
ijnnij
aa 


1
det
 para qualquer coluna j. 
Exemplo 
40. Se 













432
304
121
A
 então calcule 
.det A
 
Escolhendo, por exemplo a segunda linha (i=2) 


2323222221212
3
1
2det aaaaA j
j
j
 
  









43
12
det14
12
+
  









42
11
det10
22   








32
21
det13
32
 
    1736054 
 
1.2.2 Matriz Inversa 
Seja A é uma matriz quadrada n  n. Chamamos de matriz inversa de A à uma matriz 
B, também n  n, que satisfaz a seguinte propriedade: 
IABBA 
, em que 
nII 
 é a 
matriz identidade n  n. Se esta matriz B existir, A será chamada de matriz invertível. 
Normalmente a matriz inversa de A é indicada por 1A , logo: IAAAA   11 
Exemplo 
41. Ache a inversa da matriz 







41
32
A
 


















10
01
41
32
dc
ba














10
01
44
3232
dbca
dbca 





04
132
ca
ca 
5
4
a
 e 
5
1
c
 e 





14
032
db
db 
5
3
b
 e 
5
2
d
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 15 
Logo 













5
2
5
1
5
3
5
4
1A 
Obs: O mesmo resultado seria obtido fazendo: 


















10
01
41
32
dc
ba
 
Teorema 
Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única. 
Demonstração 
Vamos supor que a matriz A possui duas inversas 
1
1
A
 e 
1
2
A
. Logo temos que 
AAIAA   11
1
1
 e 
AAIAA   12
1
2
. 
Assim 
    1212121112111111   AAIAAAAAAIAA
. 
Portanto 
1
2
1
1
  AA
 e a inversa é única. 
Observações 
i) Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, então 
BA
 é também invertível e 
  111   ABBA
. 
ii) Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se 
0det A
. 
iii) Se A é uma matriz quadrada e 
0det A
, então 
A
A
det
1
det 1 
. 
Demonstração de (iii) 
Sabemos que 
  BABA detdetdet 
. Se 
IAA 1
, então temos que 
  IAAAA detdetdetdet 11   
A
A
det
1
det 1 
. 
iv) 
  AA  11
. 
v) 
    11   TT AA
. 
Teorema 
Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas 
linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em 1A . 
Demonstração 
Se A for linha equivalente a I, podemos conseguir essa redução multiplicando A à 
esquerda por uma seqüência 
kEEEE ,.....,,, 321
 de matrizes elementares. Portanto, temos 
IAEEEEE kk   1231....
. Denotando 
1231.... EEEEEB kk  
, temos 
IAB 
. 
Assim, temos que A é invertível e 1 AB . Agora, aplicar a mesma sequência de operações 
elementares em I é equivalente a multiplicar I, à esquerda por 
1231.... EEEEE kk  
. O 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 16 
resultado é 
11
1231....

  AIAIBIEEEEE kk
. Desta forma, I é transformada 
em 1A pela mesma seqüência de operações elementares de linhas. 
Logo, a partir deste teorema, podemos usar o seguinte algoritmo para encontrar a 
matriz inversa de A: 
][ IA  
.. elemop
][ 1AI 
 
Exemplo 
42. Ache a inversa da matriz 













321
121
121
A
 
 












100321
010121
001121




 21 LL












100321
001121
010121



133
122
LLL
LLL



 










110440
011240
010121



 22
4
1
LL










110440
0
4
1
4
1
2
1
10
010121



233
211
4
2
LLL
LLL





















101200
0
4
1
4
1
2
1
10
0
2
1
2
1
001




 33
2
1
LL


















2
1
0
2
1
100
0
4
1
4
1
2
1
10
0
2
1
2
1
001




 322
2
1
LLL



















2
1
0
2
1
100
4
1
4
1
2
1
010
0
2
1
2
1
001



. Assim, 




















2
1
0
2
1
4
1
4
1
2
1
0
2
1
2
1
1A
. 
Definição 
Seja A uma matriz quadrada 
nn
. Então a matriz dos cofatores de A é a matriz 
 
nnij
A


. 
Exemplo 
43. Se 








13
12
A
 então 
















21
31
2221
1211
A
 
Pois 
  111 1111 

, 
    331 2112 

, 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 17 
  111 2121 

, 
  221 2222 

 
Definição 
Seja A uma matriz quadrada 
nn
. Chama-se matriz adjunta de A, a matriz 
 TAadjA 
. 
Exemplo 
44. Se 








13
12
A
 então 





 








23
11
21
31
T
adjA
 
Teorema 
Seja A uma matriz quadrada 
nn
, tal que 
0det A
. Então: 
  nIAadjAA  det
. 
Deste teorema podemos concluir que: 
  nIAadjAA  det

nI
A
adjA
A 
det

A
adjA
A
det
1 
 
1.2.3 Alguns exercícios sobre determinantes e matriz inversa 
45. Uma maneira de codificar uma mensagem é através da multiplicação matricial. 
Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo: 
 
A B C D E F G H I J K L M 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 
 
Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma 
matriz 33 assim: 











ADI
VA
XUP
 , que usando a correspondência numérica fica: M = 










149
2201
242116
 
Agora seja C uma matriz qualquer 33 inversível, por exemplo: 
 
C = 













102
212
011
 
 
Multiplicando nossa matriz da mensagem M por C, obtemos 
CM 
: 
 














7133
22145
183722
CM
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 18 
Transmitimos esta nova matriz 
CM 
. Quem recebe a mensagem, decodifica-a através 
da multiplicação pela inversa de C, isto é, fazendo 
  1 CCM
 e posterior transcrição dos 
números para letras. C é chamada de matriz chave para o código. 
Questão 
Com base nessas informações, supondo que você tenha recebido a matriz 














17172
303510
333411
CM
, traduza a mensagem. 
46. Sendo A uma matriz quadrada 
nn
 e, verifique que 
  AA n detdet 
. 
 
47. Seja A uma matriz triangular superior. Calcule o determinante de A. 
 

















nn
n
n
n
a
aa
aaa
aaaa
A





000
00
0
333
22322
1131211

Aplicando Laplace sucessivamente

1111det  aA
 
=  














nn
n
n
a
a
aa
a
00
0
det1
3
222
11
11 


=  














nn
n
n
a
a
aa
aa
00
0
det1
4
333
11
2211 


=
 














nn
n
n
a
a
aa
aaa
00
0
det1
5
444
11
332211 


=...........
nnaaaa ...........332211 
 
Referências Bibliográficas 
 
1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do 
Brasil, 1980. 
2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual, 
1990. 
3. LIMA, Elon L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 3.a Edição. Rio de Janeiro: 
Coleção do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. 
4. POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson Learning, 2006.