Matemática para Negócios A4

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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
Aula 4: REGRAS DE DERIVAÇÃO 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
Conteúdo desta Aula 
AULA 4: REGRAS DE DERIVAÇÃO 
1. Derivada de uma Soma (ou Subtração) de Funções; 
2. Derivada do Produto de Duas Funções: a Regra do Produto; 
3. Derivada da Divisão de Duas Funções: a Regra do Quociente; 
4. Aplicação de Derivada para Determinação de Máximos e Mínimos. 
Derivada de Função 
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Algumas derivadas básicas 
 
Nas fórmulas a seguir, u e v são funções da variável x. 
a, b, c e n são constantes. 
 
Derivada de uma constante: 
Derivada da potência: 
 
, portanto: 
 
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Soma / Subtração: 
Produto por uma constante: 
 
Derivada do produto: 
Derivada de Função 
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Derivada da divisão: 
Potência de uma função: 
Derivada de uma função composta: 
Derivada de Função 
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Função Derivada Função Derivada 
0 0 1 0 
ax+b a xn n xn-1 
exp(x) exp(x) log(x) 1/x 
sen(x) cos(x) cos(x) -sen(x) 
arcsen(x) R[1/(1-x2)] arccos(x) -R[1/(1-x²)] 
tg(x) sec²(x) cot(x) -csc²(x) 
sec(x) sec(x) tg(x) csc(x) -csc(x) cot(x) 
arctg(x) 1/(1+x²) arccot(x) --- 
onde R[z] representa a raiz quadrada de z>0. 
Derivada de Função 
Determinação Pontos Mínimos e Máximos 
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Para obter pontos de máximo ou de mínimo de uma 
função, basta construir o gráfico da função e identificar 
tais pontos. O difícil é construir os gráficos de muitas 
funções, razão pela qual, utilizamos as derivadas das 
funções para facilitar a nossa vida. 
 
Ponto crítico de uma função derivável 
Ponto crítico de uma função derivável f é um ponto x=c 
do domínio de f no qual f '(c)=0. 
 
Exemplo: f(x)=x², definida sobre [-1,2], possui x=0 como 
ponto crítico, pois f '(0)=0. 
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Observações: 
 
1. Se x=c é um ponto de extremo 
local para f, a derivada de f se 
anula e passa uma reta tangente 
horizontal à curva y=f(x) no ponto 
(c, f(c)). 
 
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2. Existem funções com um ponto crítico em x=c, que não é ponto de máximo nem de mínimo local 
para f, como a função f(x)=x³ definida sobre a reta, x=0 é ponto crítico mas este não é um ponto de 
extremo para f. 
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3. Se os pontos de extremos locais para f estiverem nas extremidades do domínio de f, as derivadas 
laterais de f poderão existir e ser não nulas. A função f(x)=1-x², definida sobre S=[-1,2] possui três 
extremos. x=-1 e x=2 são pontos de mínimo local e x=0 é um ponto de máximo local, mas f '(-1)=2 
e f '(2)=-4. 
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Existe um critério que faz uso da primeira derivada para identificar se um ponto localizado no 
interior do domínio da função, é ponto de extremo (máximo ou mínimo) local para f. 
 
Esse critério se baseia nas seguintes ideias: 
 
1. Se a função é crescente, as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem 
coeficientes angulares positivos. 
 
2. Se a função é decrescente, as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem 
coeficientes angulares negativos. 
 
3. Se existe algum ponto de extremo local, a reta tangente ao gráfico neste ponto tem 
coeficiente angular zero. 
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Critério da primeira derivada 
 
Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico x=c no interior 
de S, isto é, f '(c)=0. 
 
Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um 
ponto de máximo para f. 
 
Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um 
ponto de mínimo para f. 
 
Exemplos 
(1) Seja a função f(x)=1-x² definida sobre S=[-1,2]. f '(x)=-2x, assim o único ponto crítico ocorre 
em x=0. f '(x)>0 se x<0 e f '(x)<0 se x>0, assim, x=0 é um ponto de máximo local para f. 
(2) Seja a função f(x)=x² definida sobre S=[-1,2]. g '(x)=2x, assim o único ponto crítico ocorre em x=0. 
g'(x)>0 se x<0 e g '(x)<0 se x>0, assim, x=0 é um ponto de mínimo local para f. 
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Por Meio da Segunda Derivada: 
 
Intuitivamente, podemos notar que quando um ponto 
c, interior ao domínio, é de máximo ou de mínimo, a 
tangente ao gráfico da função f(x) correspondente é 
horizontal, e consequentemente f’(c) = 0 (desde que a 
função seja derivável no ponto). 
 
Surge, porém, um problema: se soubermos que f’(c) = 
0, como saber se c é ponto de máximo, de mínimo ou 
nem de máximo nem de mínimo? 
Suponhamos que c0 e c1 sejam pontos de máximo e de 
mínimo, respectivamente. 
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Sendo c0 um ponto de máximo, então nas 
vizinhanças de c0 a função é côncava para baixo 
e portanto, f’’ (c) < 0. 
 
Analogamente, sendo c1 um ponto de mínimo, 
então nas vizinhanças de c1 a função é côncava 
para cima e portanto, f’’ (c1) > 0. 
 
Dessa forma, um ponto c tal que f’ (c) = 0 pode 
ser classificado como ponto de máximo ou de 
mínimo, de acordo com f’’ (c) < 0 ou f’’ (c) > 0. 
VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Custo Marginal; 
 
Receita Marginal; 
 
Lucro Marginal.