Lista de Exercícios – Integrais de Funções Trigonométricas

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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
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Lista de Exercícios – Integrais de Funções Trigonométricas 
 
 
1) Calcule a integral. 
 
a) ( )2sen 3cosx x dx+∫ 
 
( )2sen 3cos 2sen 3cosx x dx x dx x dx+ = +∫ ∫ ∫ 
( )2sen 3cos 2 sen 3 cosx x dx x dx x dx+ = +∫ ∫ ∫ 
( )2sen 3cos 2cos 3senx x dx x x C+ = − + +∫ 
 
b) ( )1 cossec cotgt t dt−∫ 
 
( ) ( )1 cossec cotg cossec cotgt t dt dt t t dt− = −∫ ∫ ∫ 
( ) ( )1 cossec cotg cossect t dt t t C− = − +∫ 
( )1 cossec cotg cossect t dt t t C− = + +∫ 
 
c) ( )2cossec cos d−∫ θ θ θ 
 
( )2 2cossec cos cossec cosd d d− = −∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ 
( )2cossec cos cotg send C− = − − +∫ θ θ θ θ θ 
 
d) sen2x dx∫ 
 
1
sen2 2 sen2
2
x dx x dx= ⋅∫ ∫ 
 
2 2u x du dx= ⇒ = 
 
1
sen2 sen
2
x dx u du=∫ ∫ 
( )1sen2 cos2x dx u C= − +∫ 
1
sen2 cos2
2
x dx x C= − +∫ 
 
 
 
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e) 2xcosx dx∫ 
 
2 21xcos 2xcos
2
x dx x dx=∫ ∫ 
 
2 2u x du xdx= ⇒ = 
 
2 1xcos cos
2
x dx udu=∫ ∫ 
2 1xcos sen
2
x dx u C= +∫ 
2 21xcos sen
2
x dx x C= +∫ 
 
f) 2sec
2
x dx∫ 
 
2 21sec 2 sec
2 2 2
x xdx dx=∫ ∫ 
 
1
2 2
x
u du dx= ⇒ = 
 
2 2sec 2 sec
2
x dx u du=∫ ∫ 
2sec 2tg
2
x dx u C= +∫ 
2sec 2tg
2 2
x xdx C = + 
 
∫ 
 
g) tg3x dx∫ 
 
1tg3 3tg3
3
x dx x dx=∫ ∫ 
 
3 3u x du dx= ⇒ = 
 
1tg3 tg
3
x dx u du=∫ ∫ 
1tg3 ln cos
3
x dx u C= − +∫ 
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1tg3 ln cos3
3
x dx x C= − +∫ 
 
h) 3 2tg secx x dx∫ 
 
2tg secu x du x dx= ⇒ = 
 
3 2 3tg sec ux x dx du=∫ ∫ 
4
3 2 utg sec
4
x x dx C= +∫ 
4
3 2 tgtg sec
4
x
x x dx C= +∫ 
 
i) cotg x dx∫ pi 
 
( ) ( )1cotg cotgx dx x dx=∫ ∫pi pi pipi 
 
u x du dx= ⇒ =pi pi 
 
( ) 1cotg cotgx dx u du=∫ ∫pi pi 
( ) 1cotg ln senx dx u C= +∫ pi pi 
( ) ( )1cotg ln senx dx x C= +∫ pi pipi 
 
j) cossec 2x dx∫ 
 
1
cossec 2 2cossec 2
2
x dx x dx=∫ ∫ 
 
2 2u x du dx= ⇒ = 
 
1
cossec 2 cossec
2
x dx u du=∫ ∫ 
1
cossec 2 ln cossec cotg
2
x dx u u C= − +∫ 
1
cossec 2 ln cossec 2 cotg2
2
x dx x x C= − +∫ 
 
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k) 
2sec 2
tg 2
x dx
x∫
 
 
2 2sec 2 1 2sec 2
tg 2 2 tg 2
x xdx dx
x x
=∫ ∫ 
 
2tg 2 2sec 2u x du x dx= ⇒ = 
 
2sec 2 1
tg 2 2
x dudx
x u
=∫ ∫ 
2sec 2 1 ln
tg 2 2
x dx u C
x
= +∫ 
2sec 2 1 ln tg 2
tg 2 2
x dx x C
x
= +∫ 
 
l) sec tg
sec 1
x x dx
x −∫
 
 
sec 1 sec tgu x du x x dx= − ⇒ = 
 
sec tg
sec 1
x x dudx
x u
=
−
∫ ∫ 
sec tg ln
sec 1
x x dx u C
x
= +
−
∫ 
sec tg ln sec 1
sec 1
x x dx x C
x
= − +
−
∫ 
 
m) sen
1 cos
x dx
x+∫
 
 
sen sen
1 cos 1 cos
x xdx dx
x x
−
= −
+ +∫ ∫
 
 
1 cos senu x du x dx= + ⇒ = − 
 
sen
1 cos
x dudx
x u
= −
+∫ ∫
 
sen ln
1 cos
x dx u C
x
= − +
+∫
 
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sen ln 1 cos
1 cos
x dx x C
x
= − + +
+∫
 
 
n) 
2
3
cossec
cotg
x dx
x∫
 
 
Resolução 1: 
2 2
33
3
1
cossec sen
coscotg
sen
x xdx dx
xx
x
=∫ ∫ 
2 3
3 2 3
cossec 1 sen
cotg sen cos
x xdx dx
x x x
= ⋅∫ ∫ 
2
3 3
cossec sen
cotg cos
x xdx dx
x x
=∫ ∫ 
2
3 3
cossec sen
cotg cos
x xdx dx
x x
−
= −∫ ∫ 
 
cos senu x du x dx= ⇒ = − 
 
2
3 3
cossec
cotg u
x dudx
x
= −∫ ∫ 
2
3
3
cossec
cotg
x dx u du
x
−
= −∫ ∫ 
2 2
3
cossec
cotg 2
x udx C
x
−
= − +
−
∫ 
2
3 2
cossec 1
cotg 2
x dx C
x u
= +∫ 
2
3 2
cossec 1
cotg 2cos
x dx C
x x
= +∫ 
 
Resolução 2: 
 
2 2
33
3
1
cossec sen
coscotg
sen
x xdx dx
xx
x
=∫ ∫ 
2 3
3 2 3
cossec 1 sen
cotg sen cos
x xdx dx
x x x
= ⋅∫ ∫ 
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2
3 3
cossec sen
cotg cos
x xdx dx
x x
=∫ ∫ 
2
3 2
cossec sen 1
cotg cos cos
x xdx dx
x x x
= ⋅∫ ∫ 
2
2
3
cossec tg sec
cotg
x dx x x dx
x
= ⋅∫ ∫ 
 
2tg secu x du x dx= ⇒ = 
 
2
3
cossec
cotg
x dx u du
x
=∫ ∫ 
2 2
3
cossec
cotg 2
x udx C
x
= +∫ 
2 2
3
cossec tg
cotg 2
x xdx C
x
= +∫ 
 
o) ( )sen ex xe dx∫ 
 
x xu e du e dx= ⇒ = 
 
( )sen e senx xe dx u du=∫ ∫ 
( )sen e cosx xe dx u C= − +∫ 
( ) ( )sen e cos ex x xe dx C= − +∫ 
 
p) ( )tg ex xe dx− −∫ 
 
( ) ( )tg e tg ex x x xe dx e dx− − − −= − −∫ ∫ 
 
x xu e du e dx− −= ⇒ = − 
 
( )tg e tgx xe dx u du− − = −∫ ∫ 
( )tg e ln cosx xe dx u C− − = +∫ 
( ) ( )tg e ln cos ex x xe dx C− − −= +∫ 
 
q) ( )2sen2 cos2x x dx+∫ 
 
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( ) ( )2 2 2sen2 cos2 sen 2 2sen2 cos2 cos 2x x dx x x x x dx+ = + +∫ ∫ 
( ) ( )2sen2 cos2 1 sen4x x dx x dx+ = +∫ ∫ 
( )2sen2 cos2 sen4x x dx dx x dx+ = +∫ ∫ ∫ 
( )2 1sen2 cos2 4sen44x x dx dx x dx+ = +∫ ∫ ∫ 
 
4 4u x du dx= ⇒ = 
 
( )2 1sen2 cos2 sen4x x dx dx u du+ = +∫ ∫ ∫ 
( )2 1sen2 cos2 cos4x x dx x u C+ = − +∫ 
( )2 1sen2 cos2 cos44x x dx x x C+ = − +∫ 
 
r) cosxx dx∫ 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
 
cos sendv xdx v x= ⇒ = 
u x du dx= ⇒ = 
 
cosx sen senxx dx x x dx= −∫ ∫ 
cosx sen cosx dx x x x C= + +∫ 
 
s) 2sec xx dx∫ 
 
u dv uv v du= −∫ ∫ 
 
2sec tgdv xdx v x= ⇒ = 
u x du dx= ⇒ = 
 
2sec x tg tgx dx x x x dx= −∫ ∫ 
2sec x tg ln cosx dx x x x C= + +∫ 
 
 
 
 
 
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2) Calcule a integral definida 
 
a) 
4
0
4x
cos
3
dx∫
pi
 
 
4x 3 4 4x
cos cos
3 4 3 3
dx dx=∫ ∫ 
 
4x 4
3 3
u du dx= ⇒ = 
 
4x 3
cos cos
3 4
dx u du=∫ ∫ 
4x 3
cos sen
3 4
dxu C= +∫ 
4x 3 4
cos sen
3 4 3
xdx C= +∫ 
 
4 4
0 0
4x 3 4
cos sen
3 4 3
xdx   =   
  
∫
pi pi
 
4
0
4x 3 4 4
cos sen sen 0
3 4 3 4 3
dx     = ⋅ − ⋅    
    
∫
pi
pi
 
4
0
4x 3
cos sen sen0
3 4 3
dx  = − 
 
∫
pi
pi
 
4
0
4x 3 3
cos
3 4 2
dx = ⋅∫
pi
 
4
0
4x 3 3
cos
3 8
dx =∫
pi
 
 
b) 
2
3
2
2
x
sec
2
dx∫
pi
pi
 
 
2 2x 1 xsec 2 sec
2 2 2
dx dx=∫ ∫ 
 
x 1
2 2
u du dx= ⇒ = 
 
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2 2xsec 2 sec
2
dx u du=∫ ∫ 
2 xsec 2tg
2
dx u C= +∫ 
2 xsec 2tg
2 2
xdx C = + 
 
∫ 
 
2 23 3
2
22
x
sec 2 tg
2 2
xdx   =   
  
∫
pi pi
pipi
 
2
3
2
2
x 1 2 1
sec 2 tg tg
2 2 3 2 2
dx     = ⋅ − ⋅    
    
∫
pi
pi
pi pi
 
2
3
2
2
x
sec 2 tg tg
2 3 4
dx  = − 
 
∫
pi
pi
pi pi
 
( )
2
3
2
2
x
sec 2 3 1
2
dx = −∫
pi
pi
 
 
c) ( )
1
0
tg 1 x dx−∫ 
 
( ) ( )tg 1 tg 1x dx x dx− = − − −∫ ∫ 
 
1u x du dx= − ⇒ = − 
 
( )tg 1 tgx dx u du− = −∫ ∫ 
( )tg 1 ln cosx dx u C− = +∫ 
( ) ( )tg 1 ln cos 1x dx x C− = − +∫ 
 
( ) ( )
1 1
0
0
tg 1 ln cos 1x dx x − = − ∫ 
( ) ( ) ( )
1
0
tg 1 ln cos 1 1 ln cos 1 0x dx  − = − − − ∫ 
( )
1
0
tg 1 ln cos0 ln cos1x dx  − = − ∫ 
( )
1
0
tg 1 ln1 ln cos1x dx  − = − ∫ 
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( )
1
0
tg 1 ln cos1x dx− = −∫ 
 
3) Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do 
eixo x , da região delimitada pelos gráficos das equações dadas. 
 
sec , 0, 0, 
4
y x y x x= = = = pi 
 
 
 
1
sec
cos
y x y
x
= ⇒ = 
 
[ ]2Volume ( )
b
a
f x dx= ∫pi 
4
2
0
Volume sec x dx= ∫
pi
pi 
[ ] 40Volume tgx=
pi
pi 
Volume tg tg0
4
 
= −  
pi
pi 
[ ]Volume 1 0= −pi 
Volume = pi 
 
4) Aproxime a integral definida 
 
2
0
sen
, 0f(x) , ( ) 
1, 0
x
xdx f x x
x

>
= 
 =
∫
pi
 
 
tomando 4n = e aplicando (a) a Regra do Trapézio e (b) a Regra de 
Simpson. 
 
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a) Regra do Trapézio 
 
02
4 8
b a
x
n
−
−∆ = = =
pi pi
 
 
0 1 2 3 4
30, , , , 
8 4 8 2
x x x x x= = = = =
pi pi pi pi
 
 
( ) ( ) ( ) ( )0 1 1( ) 2 22
b
n n
a
b af x dx f x f x f x f x
n −
−
 ≈ + + + + ∫ … 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2 3 4
0
sen 2 2 2
16
x dx f x f x f x f x f x
x
 ≈ + + + + ∫
pi
pi
 
[ ]2
0
sen 1,0000 1,9490 1,8006 1,5684 0,6366
16
x dx
x
≈ + + + +∫
pi
pi
 
2
0
sen 1,3655x dx
x
≈∫
pi
 
 
b) Regra de Simpson 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 1( ) 4 2 4 43
b
n n
a
b af x dx f x f x f x f x f x f x
n −
−
 ≈ + + + + + + ∫ …
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2 3 4
0
sen 4 2 4
24
x dx f x f x f x f x f x
x
 ≈ + + + + ∫
pi
pi
 
[ ]2
0
sen 1,0000 3,8980 1,8006 3,1369 0,6366
24
x dx
x
≈ + + + +∫
pi
pi
 
2
0
sen 1,3708x dx
x
≈∫
pi
 
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5) Calcule a integral. 
 
a) 3 2sen cosx x dx∫ 
 
3 2 2 2sen cos sen sen cosx x dx x x x dx=∫ ∫ 
( )3 2 2 2sen cos 1 cos sen cosx x dx x x x dx= −∫ ∫ 
( )3 2 2 2sen cos 1 cos sen cosx x dx x x x dx= − − −∫ ∫ 
 
cos senu x du xdx= ⇒ = − 
 
( )3 2 2 2sen cos 1 u ux x dx du= − −∫ ∫ 
( )3 2 2 4sen cos u ux x dx du= − −∫ ∫ 
3 5
3 2 u usen cos
3 5
x x dx C= − + +∫ 
5 3
3 2 u usen cos
5 3
x x dx C= − +∫ 
3 2 5 31 1sen cos cos cos
5 3
x x dx x x C= − +∫ 
 
b) 
3
4
5 3
2
sen cosx x dx∫
pi
pi
 
 
5 3 5 2sen cos sen cos cosx x dx x x x dx=∫ ∫ 
( )5 3 5 2sen cos sen 1 sen cosx x dx x x x dx= −∫ ∫ 
 
sen cosu x du xdx= ⇒ = 
 
( )5 3 5 2sen cos u 1 ux x dx du= −∫ ∫ 
( )5 3 5 7sen cos u ux x dx du= −∫ ∫ 
5 3 6 81 1sen cos u u
6 8
x x dx C= − +∫ 
5 3 6 81 1sen cos sen x sen x
6 8
x x dx C= − +∫ 
 
3 34 4
5 3 6 8
22
1 1
sen cos sen x sen x
6 8
x x dx  = −  ∫
pi pi
pipi
 
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3
4
5 3 6 8 6 8
2
1 3 1 3 1 1
sen cos sen sen sen sen
6 4 8 4 6 2 8 2
x xdx
           
= − − −           
           
∫
pi
pi
pi pi pi pi
3 6 84
5 3 6 8
2
1 2 1 2 1 1
sen cos 1 1
6 2 8 2 6 8
x x dx
        = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅                 
∫
pi
pi
 
3
4
5 3
2
1 1 1 1 1 1
sen cos
6 8 8 16 6 8
x x dx     = ⋅ − ⋅ − −    
    
∫
pi
pi
 
3
4
5 3
2
1 1 1 1
sen cos
48 128 6 8
x x dx = − − +∫
pi
pi
 
3
4
5 3
2
8 3 64 48
sen cos
384
x x dx − − +=∫
pi
pi
 
3
4
5 3
2
11
sen cos
384
x x dx = −∫
pi
pi
 
 
c) 2cos d∫ θ θ 
 
( )2 1cos cos2 12= +θ θ 
 
( )2 1cos cos2 12d d= +∫ ∫θ θ θ θ 
( )2 1cos cos2 12d d= +∫ ∫θ θ θ θ 
2 1 1cos cos2
2 2
d d d= +∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ 
2 1 1cos 2cos2
4 2
d d d= +∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ 
2 1cos sen2
4
d C= + +∫ θ θ θ θ 
 
d) ( )4
0
sen 3t dt∫
pi
 
 
( ) ( ) 24 2sen 3 sen 3t dt t dt =  ∫ ∫ 
 
 
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( )2 1sen 1 cos 22t t = −  
( ) ( )2 1sen 3 1 cos 62t t = −  
 
( ) ( )
2
4 1sen 3 1 cos 6
2
t dt t dt  = −   ∫ ∫
 
( ) ( ) 24 1sen 3 1 cos 64t dt t dt = − ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )4 21sen 3 1 2cos 6 cos 64t dt t t dt = − + ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )4 21 1 1sen 3 2cos 6 cos 64 4 4t dt dt t dt t dt= − +∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )4 1 1 1 1sen 3 6cos 6 cos12 14 12 4 2t dt dt t dt t dt
 
= − + +  
∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )4 1 1 1sen 3 6cos 6 cos12 14 12 8t dt dt t dt t dt= − + +∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )4 1 1 1 1sen 3 6cos 6 cos 124 12 8 8t dt dt t dt t dt dt = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )4 1 1 1 1sen 3 6cos 6 12cos 124 12 96 8t dt dt t dt t dt dt = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )4 1 1 1 1sen 3 sen 6 sen 124 12 96 8t dt t t t t C= − + + +∫ 
( ) ( ) ( )4 3 1 1sen 3 sen 6 sen 128 1296t dt t t t C= − + +∫ 
 
( ) ( ) ( )4
00
3 1 1
sen 3 sen 6 sen 12
8 12 96
t dt t t t = − + 
 
∫
pipi
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4
0
3 1 1 3 1 1
sen 3 sen 6 sen 12 0 sen 6 0 sen 12 0
8 12 96 8 12 96
t dt    = − + − ⋅ − ⋅ + ⋅   
   
∫
pi
pi pi pi
( ) [ ]4
0
3
sen 3 0 0 0 0 0
8
t dt  = − + − − + 
 
∫
pi
pi 
( )4
0
3
sen 3
8
t dt =∫
pi
pi 
 
e) ( )21 cos d+∫ θ θ 
 
( ) ( )2 21 cos 1 2cos cosd d+ = + +∫ ∫θ θ θ θ θ 
( )2 21 cos 2cos cosd d d d+ = + +∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ 
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
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( ) ( )2 11 cos 2 cos 1 cos22d d d d+ = + + +∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ 
( ) ( )2 11 cos 2 cos 1 cos22d d d d+ = + + +∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ 
( )2 1 11 cos 2 cos cos22 2d d d d d+ = + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ θ 
( )2 1 11 cos 2 cos 2cos22 4d d d d d+ = + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ θ 
( )2 1 11 cos 2sen sen22 4d C+ = + + + +∫ θ θ θ θ θ θ 
( )2 3 11 cos 2sen sen22 4d C+ = + + +∫ θ θ θ θ θ 
 
f) 
4
4 2
0
sen cosx x dx∫
pi
 
 
4 2 2 2 2sen cos sen sen cosx x dx x x x dx=∫ ∫ 
( )24 2 2sen cos sen sen cosx x dx x x x dx=∫ ∫ 
( )
2
4 2 1 1sen cos 1 cos2 sen2
2 2
x x dx x x dx = −  
 
∫ ∫ 
( )4 2 21sen cos 1 cos2 sen 28x x dx x x dx= −∫ ∫ 
4 2 2 21 1sen cos sen 2 sen 2 cos2
8 8
x x dx x dx x x dx= −∫ ∫ ∫ 
 
 ( )2 1sen 1 cos 22x x = −  sen2u x= 
 ( )2 1sen 2 1 cos 42x x = −  2cos2du x dx= 
 
( )4 2 21 1 1sen cos 1 cos4 2sen 2 cos28 2 16x x dx x dx x x dx= − −∫ ∫ ∫ 
( )4 2 21 1sen cos 1 cos416 16x x dx x dx u du= − −∫ ∫ ∫ 
3
4 2 1 1 1sen cos cos4
16 16 16 3
u
x x dx dx x dx= − − ⋅∫ ∫ ∫ 
3
4 2 1 1sen cos 4cos4
16 64 48
u
x x dx dx x dx= − −∫ ∫ ∫ 
3
4 2 sen4 sen 2sen cos
16 64 48
x x x
x x dx C= − − +∫ 
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3
4 2 1 sen4 sen 2sen cos
16 4 3
x x
x x dx x C = − − + 
 
∫ 
 
3 44
4 2
0 0
1 sen4 sen 2
sen cos
16 4 3
x x
x x dx x = − − 
 
∫
pipi
 
4
4 2 3 3
0
1 1 1 1 1
sen cos sen sen 0 sen0 sen 0
16 4 4 3 2 4 3
x xdx     = − − − − −    
    
∫
pi
pi pi
pi
( )4 4 2
0
1 1
sen cos 0 0 0 0
16 4 3
x x dx   = − − − − −  
  
∫
pi
pi
 
4
4 2
0
1 1
sen cos
16 4 3
x x dx  = − 
 
∫
pi
pi
 
4
4 2
0
1 3 4
sen cos
16 12
x x dx −= ⋅∫
pi
pi
 
( )4 4 2
0
1
sen cos 3 4
192
x x dx = −∫
pi
pi 
 
g) 3sen cosx x dx∫ 
 
3 2sen cos sen sen cosx x dx x x x dx=∫ ∫ 
( )3 2sen cos 1 cos sen cosx x dx x x x dx= −∫ ∫ 
 
cosx senu du xdx= ⇒ = − 
 
( )( )3 2sen cos 1 cos sen cosx x dx x x x dx= − − −∫ ∫ 
( )3 2sen cos 1 ux x dx u du= − −∫ ∫ 
( ) 13 2 2sen cos u 1x x dx u du= −∫ ∫ 
( )5 13 2 2sen cos ux x dx u du= −∫ ∫ 
37
2 2
3 u usen cos 7 3
2 2
x x dx C= − +∫ 
373 2 22 2sen cos u u
7 3
x x dx C= − +∫ 
13 32 2 2sen cos u u
7 3
x x dx u C = − + 
 
∫ 
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3 32 2sen cos cos cosx cos
7 3
x x dx x x C = − + 
 
∫ 
 
h) 2 3cos tgx x dx∫ 
 
3
2 3 2
3
sen
cos tg cos
cos
x
x x dx x dx
x
=∫ ∫ 
3
2 3 sencos tg
cos
x
x x dx dx
x
=∫ ∫ 
2
2 3 sen sencos tg
cos
x x
x x dx dx
x
⋅
=∫ ∫ 
( )22 3 1 cos sencos tg
cos
x x
x x dx dx
x
− ⋅
=∫ ∫ 
 
cosx senu du xdx= ⇒ = − 
 
( ) ( )22 3 1 cos sencos tg
cos
x x
x x dx dx
x
− ⋅ −
= −∫ ∫ 
( ) ( )22 3 cos 1 sencos tg
cos
x x
x x dx dx
x
− ⋅ −
=∫ ∫ 
2
2 3 u 1cos tgx x dx du
u
−
=∫ ∫ 
2 3 1cos tgx x dx u du
u
 
= − 
 
∫ ∫ 
2 3 1cos tgx x dx u du du
u
= −∫ ∫ ∫ 
2 3 21cos tg ln
2
x x dx u u C= − +∫ 
2 3 21cos tg cos ln cos
2
x x dx x x C= − +∫ 
 
i) 1 sen
cos
x dx
x
−
∫ 
 
1 sen 1 sen 1 sen
cos cos 1 sen
x x xdx dx
x x x
− − +
= ⋅
+∫ ∫
 
( )
21 sen 1 sen
cos cos 1 sen
x xdx dx
x x x
− −
=
+∫ ∫ 
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( )
21 sen cos
cos cos 1 sen
x xdx dx
x x x
−
=
+∫ ∫ 
1 sen cos
cos 1 sen
x xdx dx
x x
−
=
+∫ ∫
 
 
1 senx cosu du xdx= + ⇒ = 
 
1 sen
cos
x dudx
x u
−
=∫ ∫ 
1 sen ln
cos
x dx u C
x
−
= +∫ 
1 sen ln 1 senx
cos
x dx C
x
−
= + +∫ 
 
j) 2sec tgx x dx∫ 
 
Resolução 1: 
 
2tg secu x du xdx= ⇒ = 
 
2sec tgx x dx udu=∫ ∫ 
2 21sec tg
2
x x dx u C= +∫ 
2 21sec tg tg
2
x x dx x C= +∫ 
 
Resolução 2: 
 
2sec tg sec sec tgx x dx x x xdx=∫ ∫ 
 
sec sec tgu x du x x dx= ⇒ = 
 
2sec tgx x dx udu=∫ ∫ 
2 21sec tg
2
x x dx u C= +∫ 
2 21sec tg sec
2
x x dx x C= +∫ 
 
 
 
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k) 6sec t dt∫ 
 
6 4 2sec sec sect dt t t dt=∫ ∫ 
( )26 4 2sec sec tg 1t dt t t dt= +∫ ∫ 
 
2tg secu t du t dt= ⇒ = 
 
( )26 2sec u 1t dt du= +∫ ∫ 
( )6 4 2sec u 2u 1t dt du= + +∫ ∫ 
6 5 31 1sec u 2 u
5 3
t dt u C= + + +∫ 
6 5 31 2sec tg tg tg
5 3
t dt t t t C= + + +∫ 
 
l) 
3
5 4
0
tg secx x dx∫
pi
 
 
5 4 5 2 2tg sec tg sec secx x dx x x x dx=∫ ∫ 
( )5 4 5 2 2tg sec tg 1 tg secx x dx x x x dx= +∫ ∫ 
 
2tg secu x du xdx= ⇒ = 
 
( )5 4 5 2tg sec u 1 ux x dx du= +∫ ∫ 
( )5 4 5 7tg sec u ux x dx du= +∫ ∫ 
5 4 6 81 1tg sec u u
6 8
x x dx C= + +∫ 
5 4 6 81 1tg sec tg tg
6 8
x x dx x x C= + +∫ 
 
3 3
5 4 6 8
00
1 1tg sec tg tg
6 8
x x dx x x = + 
 
∫
pi pi
 
3
5 4 6 8 6 8
0
1 1 1 1tg sec tg tg tg 0 tg 0
6 3 8 3 6 8
x x dx     = + − +    
    
∫
pi
pi pi
 
( ) ( )3 6 85 4
0
1 1 1 1tg sec 3 3 0 0
6 8 6 8
x x dx     = ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅    
    
∫
pi
 
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( )3 5 4
0
1 1tg sec 27 81 0 0
6 8
x x dx   = ⋅ + ⋅ − +  
  
∫
pi
 
3
5 4
0
9 81tg sec
2 8
x x dx = +∫
pi
 
3
5 4
0
36 81tg sec
8 8
x x dx = +∫
pi
 
3
5 4
0
117tg sec
8
x x dx =∫
pi
 
 
m) 3tg secx x dx∫ 
 
3 2tg sec tg tg secx x dx x x x dx=∫ ∫ 
( )3 2tg sec sec 1 tg secx x dx x x x dx= −∫ ∫ 
 
secsec tgu x du x xdx= ⇒ = 
 
( )3 2tg sec u 1x x dx du= −∫ ∫ 
3 31tg sec u
3
x x dx u C= − +∫ 
3 31tg sec sec sec
3
x x dx x x C= − +∫ 
 
n) 5tg x dx∫ 
 
( )25 2tg tg tgx dx x x dx=∫ ∫ 
( )25 2tg sec 1 tgx dx x x dx= −∫ ∫ 
( )5 4 2tg sec 2sec 1 tgx dx x x x dx= − +∫ ∫ 
5 4 2tg sec tg 2sec tg tgx dx x x dx x x dx x dx= − +∫ ∫ ∫ ∫ 
5 3tg sec sec tg 2 sec sec tg tgx dx x x x dx x x x dx x dx= − +∫ ∫ ∫ ∫ 
 
sec sec tgu x du x x dx= ⇒ = 
 
5 3tg u 2 tgx dx du u du x dx= − +∫ ∫ ∫ ∫ 
5 4 21 1tg u 2 u ln sec
4 2
x dx x C= − ⋅ + +∫ 
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5 4 21tg sec sec ln sec
4
x dx x x x C= − + +∫ 
 
o) 
3
4
tg
cos
d∫
θ θ
θ
 
 
3
3 4
4
tg tg sec
cos
d d=∫ ∫
θ θ θ θ θ
θ
 
3
3 2 2
4
tg tg sec sec
cos
d d=∫ ∫
θ θ θ θ θ θ
θ
 
( )3 3 2 24tg tg 1 tg seccos d d= +∫ ∫θ θ θ θ θ θθ 
 
2tg secu du d= ⇒ =θ θ θ 
 
( )3 3 24tg u 1 ucos d du= +∫ ∫θ θθ 
( )3 3 54tg u ucos d du= +∫ ∫θ θθ 
3
4 6
4
tg 1 1
u u
cos 4 6
d C= + +∫
θ θ
θ
 
3
4 6
4
tg 1 1tg tg
cos 4 6
d C= + +∫
θ θ θ θ
θ
 
 
p) 3 3cotg cossec d∫ α α α 
 
3 3 2 2cotg cossec cotg cossec cotg cossecd d=∫ ∫α α α α α α α α 
( )3 3 2 2cotg cossec cossec 1 cossec cotg cossecd d= −∫ ∫α α α α α α α α 
 
cossec cossec cotgu du d= ⇒ = −α α α α 
 
( ) ( )3 3 2 2cotg cossec 1d u u du= − −∫ ∫α α α 
( )3 3 2 2cotg cossec 1d u u du= −∫ ∫α α α 
( )3 3 2 4cotg cossec d u u du= −∫ ∫α α α 
3 3 3 51 1cotg cossec
3 5
d u u C= − +∫ α α α 
3 3 3 51 1cotg cossec cossec cossec
3 5
d C= − +∫ α α α α α 
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q) cossec x dx∫ 
 
cossec cotg
cossec cossec
cossec cotg
x x
x dx x dx
x x
−
= ⋅
−
∫ ∫ 
 
cossec cotgu x x= − 
( )2cossec cotg cossecdu x x x dx= − + 
 
2cossec cossec cotg
cossec
cossec cotg
x x x
x dx dx
x x
−
=
−
∫ ∫ 
cossec
du
x dx
u
=∫ ∫ 
cossec lnx dx u C= +∫ 
cossec ln cossec cotgx dx x x C= − +∫ 
 
r) sen 5 sen 2x x dx∫ 
 
( ) ( )1sen 5 sen 2 cos 5 2 cos 5 22x x dx x x x x dx = − − + ∫ ∫ 
( ) ( )1sen 5 sen 2 cos 3 cos 72x x dx x x dx = − ∫ ∫ 
( ) ( )1 1sen 5 sen 2 cos 3 cos 72 2x x dx x dx x dx= −∫ ∫ ∫ 
( ) ( )1 1sen 5 sen 2 3cos 3 7cos 76 14x x dx x dx x dx= −∫ ∫ ∫ 
1 1
sen 5 sen 2 sen3 sen7
6 14
x x dx x x C= − +∫ 
 
s) cos 7 cos 5 d∫ θ θ θ 
 
( ) ( )1cos 7 cos 5 cos 7 5 cos 7 52d d = − + + ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ θ 
( ) ( )1cos 7 cos 5 cos 2 cos 122d d = + ∫ ∫θ θ θ θ θ θ 
( ) ( )1 1cos 7 cos 5 cos 2 cos 122 2d d d= +∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ 
( ) ( )1 1cos 7 cos 5 2cos 2 12cos 124 24d d d= +∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ 
1 1
cos 7 cos 5 sen2 sen12
4 24
d C= + +∫ θ θ θ θ θ 
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6) Calcule sen cosx x dx∫ por quatro métodos: (a) a substituição 
cosu x= , (b) a substituição senu x= , (c) a identidade 
sen2 2sen cosx x x= e (d) integração por partes. 
 
a) sen cosx x dx∫ 
 
sen cos sen cosx x dx x x dx= − −∫ ∫ 
 
cos senu x du x dx= ⇒ = − 
 
sen cosx x dx u du= −∫ ∫ 
2
1
1
sen cos
2
x x dx u C= − +∫ 
2
1
1
sen cos cos
2
x x dx x C= − +∫ 
 
b) sen cosx x dx∫ 
 
sen cosu x du x dx= ⇒ = 
 
sen cosx x dx u du=∫ ∫ 
2
2
1
sen cos
2
x x dx u C= +∫ 
2
2
1
sen cos sen
2
x x dx x C= +∫ 
 
c) sen cosx x dx∫ 
 
1
sen cos 2sen cos
2
x x dx x x dx=∫ ∫ 
1
sen cos sen2
2
x x dx x dx=∫ ∫ 
1
sen cos 2sen2
4
x x dx x dx=∫ ∫ 
 
2 2u x du dx= ⇒ = 
 
1
sen cos sen
4
x x dx u du=∫ ∫ 
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3
1
sen cos cos
4
x x dx u C= − +∫ 
3
1
sen cos cos2
4
x x dx x C= − +∫ 
 
d) sen cosx x dx∫ 
 
sen cosu x du x dx= ⇒ = 
cos sendv xdx v x= ⇒ = 
 
sen cos sen sen sen cosx x dx x x x x dx= ⋅ −∫ ∫ 
2sen cos sen cos senx x dx x x dx x+ =∫ ∫ 
22 sen cos senx x dx x=∫ 
2
4
1
sen cos sen
2
x x dx x C= +∫ 
 
7) Determine a área da região limitada pelas curvas dadas. 
 
3sen , sen , 0, 2y x y x x x= = = =
pi
 
 
 
 
[ ]Área ( ) ( )
b
a
f x g x dx= −∫ 
( )2 3
0
Área sen senx x dx= −∫
pi
 
( )2 2
0
Área sen 1 senx x dx= −∫
pi
 
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2
2
0
Área sen cosx x dx= ∫
pi
 
2
2
0
Área sen cosx x dx= − −∫
pi
 
 
cos senu x du x dx= ⇒ = − 
 
cos 0 1 e cos 0
2
a b= = = =pi 
 
0
2
1
Área u du= −∫ 
03
1
1Área
3
u = −   
3 31Área 0 1
3
 = − −  
1Área
3
= 
 
8) Determine o volume obtido pela rotação da região limitada pelas 
curvas dadas ao redor dos eixos especificados. 
 
a) sen , , , 02y x x x y= = = =pi pi ; ao redor do eixo x . 
 
 
 
[ ]2Volume ( )
b
a
f x dx= ∫pi 
( )2
2
Volume sen x dx= ∫
pi
pi
pi 
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2
2
Volume sen x dx= ∫
pi
pi
pi 
( )
2
1Volume 1 cos2
2
x dx= −∫
pi
pi
pi 
2
1Volume sen2
2 2
x x
 
= − 
 
pi
pi
pi
 
1 1Volume sen2 sen
2 2 2 2
    
= − − −    
    
pi pi
pi pi pi 
( )Volume 0 02 2
  
= − − −  
  
pi pi
pi 
Volume
2 2
 
= − 
 
pi pi
pi 
Volume
2 2
= ⋅
pi pi
 
2
Volume
4
=
pi
 
 
b) cos , 0, 0, 2y x y x x= = = = pi , ao redor do eixo 1y = − . 
 
 
 
 
[ ] [ ]( )2 2Volume ( ) ( )b
a
f x g x dx= −∫pi 
( )2 2 2
0
Volume 1 cos 1x dx = + −
 ∫
pi
pi 
( )2 2
0
Volume 1 2cos cos 1x x dx= + + −∫
pi
pi 
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
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( )2 2
0
Volume 2cos cosx x dx= +∫
pi
pi 
2 2
2
0 0
Volume 2cos cosx dx x dx= +∫ ∫
pi pi
pi pi 
( )2 2
0 0
1Volume 2 cos 1 cos2
2
x dx x dx= + +∫ ∫
pi pi
pi pi 
( )2 2
0 0
Volume 2 cos 1 cos2
2
x dx x dx= + +∫ ∫
pi pi
pi
pi 
2 2 2
0 0 0
Volume 2 cos cos2
2 2
x dx dx x dx= + +∫ ∫ ∫
pi pi pi
pi pi
pi 
[ ] [ ] []2 2 20 0 0Volume 2 sen sen22 4x x x= + +
pi pi pipi pi
pi 
[ ]Volume 2 sen sen0 0 sen sen02 2 2 4
   
= − + − + −      
pi pi pi pi
pi pi 
2
Volume 2
4
= +
pi
pi 
 
9) Uma partícula se move em uma linha reta com a função velocidade 
2( ) sen cosv t t t= ω ω . Determine sua função de posição ( )s f t= se 
(0) 0f = . 
 
2( ) sen cosv t t t= ω ω 
2( ) sen coss t t t dt= ∫ ω ω 
 
( )cos sen senu t du t dt t dt= ⇒ = − = −ω ω ω ω ω 
 
2( ) sen coss t t t dt= ∫ ω ω 
21( ) sen coss t t t dt= − −∫ ω ω ωω 
21( )s t u du= − ∫ω 
31 1( )
3
s t u C= − ⋅ +
ω
 
31( ) cos
3
s t t C= − +ω
ω
 
 
 
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(0) 0s = 
 
( )31(0) cos 0 03s C= − × + =ωω 
1 0
3
C− + =
ω
 
1
3
C =
ω
 
 
Portanto: 
 
31 1( ) cos
3 3
s t t= − +ω
ω ω
 
( )31( ) 1 cos3s t t= − ωω