Técnicas de integração

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IV. Técnicas de integração 
 
Quando o integral (definido ou indefinido) não é imediato ou quase imediato, recorremos a 
outras técnicas de integração. 
 
Integração por substituição (mudança de variável) 
  Seja ܨ uma primitiva da função ݂ e ݃ uma função derivável tal que ݃ሺݔሻ א ܦி, ׊ ݔ א ሾܽ, ܾሿ. 
Podemos então considerar a função composta ܨሺ݃ሺݔሻሻ, ׊ ݔ א ሾܽ, ܾሿ. 
  Aplicando a Regra da Cadeia 
 
 
ሺܨሺ݃ሺݔሻሻሻԢ ൌ ܨᇱ൫݃ሺݔሻ൯݃ᇱሺݔሻ ൌ ݂൫݃ሺݔሻ൯݃ᇱሺݔሻ 
 
logo, 
 
නቀܨ൫݃ሺݔሻ൯ቁ Ԣ ݀ݔ ൌ න݂൫݃ሺݔሻ൯݃ᇱሺݔሻ ݀ݔ 
฻ ܨ൫݃ሺݔሻ൯ ൅ ܿ ൌ න݂൫݃ሺݔሻ൯݃ᇱሺݔሻ݀ݔ ,    ܿ א Թ. 
Para  simplificar  esta  expressão  podemos  considerar  ݑ ൌ ݃ሺݔሻ  e  portanto  ݀ݑ ൌ ݃ᇱሺݔሻ݀ݔ 
(consultar guião M@t b_Complementos de Derivação).  
Substituindo na igualdade anterior 
න݂ሺݑሻ݀ݑ ൌ ܨሺݑሻ ൅ ܿ ,    ܿ א Թ. 
 
De seguida vamos resolver o exemplo da página 15 do Guião  integrais  ‐ Parte  I, utilizando, 
agora, o método de integração por substituição. 
 
Exemplo 
Calcule o integral ׬3ݔሺ1 ൅ 5ݔଶሻି
భ
ఱ ݀ݔ. 
 
 
න3ݔሺ1 ൅ 5ݔଶሻି
ଵ
ହ ݀ݔ ൌ 3නݔሺ1 ൅ 5ݔଶሻି
ଵ
ହ ݀ݔ 
Fazendo 
ݑ ൌ 1 ൅ 5ݔଶ     ሺܫሻ 
então 
Integrais 
Parte II 
ࡲᇱ ൌ ࢌ 
Recorde que: 
Se ܨ é uma primitiva de ݂ temos 
Passos auxiliares: 
ܫ.  Considera‐se  a  mudança  de  variável: 
ݑ ൌ ݃ሺݔሻ ൌ 1 ൅ 5ݔଶ 
ܫܫ. ݑ ൌ 1 ൅ 5ݔଶ ՜ ݀ݑ ൌ 10ݔ݀ݔ  
ܫܫܫ. Calcular o integral em ordem a ݑ 
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݀ݑ ൌ ݃ᇱሺݔሻ݀ݔ ൌ 10ݔ݀ݔ.      ሺܫܫሻ 
 
 
Para  aplicar  a  fórmula  é  necessário  introduzir  o  factor  10  no  integrando,  pelo  que  se 
multiplicará o integral por 
ଵ
ଵ଴
, 
 
׬3ݔሺ1 ൅ 5ݔଶሻି
భ
ఱ ݀ݔ ൌ ଷ
ଵ଴
׬ 10ݔሺ1 ൅ 5ݔଶሻି
భ
ఱ ݀ݔ ൌ ଷ
ଵ଴
׬ሺ1 ൅ 5ݔଶሻି
భ
ఱ 10ݔ݀ݔ 
ൌ
3
10
න  ݑି
ଵ
ହ ݀ݑ ൌ
3
10
ቌ
ݑି
ଵ
ହାଵ
െ15 ൅ 1
ቍ ൌ
3
10
ቌ
ݑ
ସ
ହ
4
5
ቍ ൌ
3
8
ݑ
ସ
ହ ൅ ܿ.          ሺܫܫܫሻ 
Repare que após a mudança de variável e a resolução do  integral obtemos uma  função na 
variável ݑ, que não é a variável inicial da função que estamos a integrar. É por isso necessário voltar a 
efectuar uma mudança de variável. 
 
Como  ݑ ൌ 1 ൅ 5ݔଶ, 
න3ݔሺ1 ൅ 5ݔଶሻି
ଵ
ହ ݀ݔ ൌ
3
8
ሺ1 ൅ 5ݔଶሻ
ସ
ହ ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
O  Método  de  Integração  por  Substituição  ou  também  designado  por  Mudança  de 
Variável é dado por  
 
 
 
 
 
 
  Para aplicarmos este método é necessário efectuarmos os seguintes passos: 
 
 
 
 
 
 
I. Substitui‐se a variável dada por outra variável (função de substituição) ݑ ൌ ݃ሺݔሻ; 
II. Substitui‐se ݃ᇱሺݔሻ݀ݔ por ݀ݑ  dado que ݀ݑ ൌ ݃ᇱሺݔሻ݀ݔ; 
III. Integra‐se a função obtida em ordem à nova variável ݑ; 
IV. Volta‐se à variável original substituindo ݑ por ݃ሺݔሻ. 
ݑ
݀ݑ 
නࢌ൫ࢍሺ࢞ሻ൯ࢍᇱሺ࢞ሻࢊ࢞ ൌ නࢌሺ࢛ሻࢊ࢛ ൌࡲሺ࢛ሻ ൅ ࢉ ൌ ࡲ൫ࢍሺ࢞ሻ൯ ൅ ࢉ,    ࢉ א Թ. 
Fazendo ݑ ൌ ݃ሺݔሻ e substituindo ݃ᇱሺݔሻ݀ݔ por ݀ݑ, obtemos 
Sendo ܨ uma primitiva de ݂. 
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Exemplo 1: 
Calcule ׬
୪୬௫
௫
 ݀ݔ . 
න
lnሺݔሻ
ݔ
 ݀ݔ ൌ න lnሺݔሻ
1
ݔ
 ݀ݔ 
Fazendo 
ݑ ൌ ln ሺݔሻ         ሺܫሻ 
então 
 
݀ݑ ൌ ݃ᇱሺݔሻ݀ݔ ൌ
1
ݔ
݀ݔ.           ሺܫܫሻ 
 
න lnሺݔሻ
1
ݔ
 ݀ݔ ൌ නݑ ݀ݑ 
ൌ
ݑଶ
2
൅ ܿ     ሺܫܫܫሻ 
Como ݑ ൌ ln ሺݔሻ, 
න
݈݊ ሺݔሻ
ݔ
 ݀ݔ ൌ
݈݊ଶሺݔሻ
2
൅ ܿ,    ܿ א Թ.    ሺܫܸሻ 
 
Exemplo 2: 
Calcule, por mudança de variável, o integral definido 
න ݏ݁݊଺ݔ. ܿ݋ݏݔ ݀ݔ.
గ/ଶ
଴
 
 
Calculemos o integral indefinido ׬ ݏ݁݊଺ݔ. ܿ݋ݏݔ ݀ݔ, utilizando a mudança de variável: 
ݑ ൌ ݏ݁݊ݔ. 
Então 
 
݀ݑ ൌ ܿ݋ݏݔ ݀ݔ . 
Substituindo vem: 
׬ ݏ݁݊଺ݔ. ܿ݋ݏݔ ݀ݔ ൌ ׬ݑ଺ ݀ݑ ൌ
௨ళ
଻
൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
න ݂ሺݔሻ ݀ݔ
௕
௔
ൌ ൤න݂ሺݔሻ ݀ݔ ൨
௔
௕
. 
Sendo  ݂  uma  função  contínua  no  intervalo  ሾܽ, ܾሿ,  o  cálculo  do  integral  definido  de  ݂  em 
ሾܽ, ܾሿ efectua‐se, calculando o integral indefinido e no final aplicando o 1º Teorema Fundamental do Cálculo. 
Cálculos auxiliares: 
ܫ.  Considera‐se  a  mudança  de  variável: 
ݑ ൌ ݃ሺݔሻ ൌ ln ሺݔሻ 
ܫܫ. ݑ ൌ ln ሺݔሻ ՜ ݀ݑ ൌ ଵ
௫
݀ݔ  
ܫܫܫ. Calcular o integral em ordem a ݑ 
ܫܸ. Depois de calculado o integral, substitui‐se 
novamente, desta vez ݑ por ݈݊ ݔ 
݀ݑ ݑ 
 ݑ଺        
݀ݑ
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Substituindo novamente, desta vez ݑ por ݏ݁݊ݔ: 
නݏ݁݊଺ݔ. ܿ݋ݏݔ ݀ݔ ൌ
ݏ݁݊଻ݔ
7
൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
Assim, dado que o domínio da expressão integranda é Թ, 
 
න ݏ݁݊଺ݔ. ܿ݋ݏݔ ݀ݔ
గ
ଶ
଴
 
ൌ ൤නݏ݁݊଺ݔ. ܿ݋ݏݔ ݀ݔ൨
଴
గ
ଶ
 
ൌ ቈ
ݏ݁݊଻ݔ
7
቉
଴
గ
ଶ
 
ൌ ௦௘௡
ళሺగ/ଶሻ
଻
െ ௦௘௡
ళሺ଴ሻ
଻
ൌ ଵ
଻
.  
 
Como alternativa à resolução apresentada, poderíamos ter utilizado o Teorema da Mudança 
de Variável. 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos aplicar este teorema para resolver o exemplo anterior. 
 
Utilizando a mudança de variável ݑ ൌ ݃ሺݔሻ ൌ ݏ݁݊ݔ, e substituindo 
 0 ื ݃ሺ0ሻ ൌ ݏ݁݊ሺ0ሻ ൌ 0  e   గ
ଶ
ื ݃ሺ గ
ଶ
ሻ ൌ ݏ݁݊ ቀగ
ଶ
ቁ ൌ 1 
 
න ݏ݁݊଺ݔ. ܿ݋ݏݔ ݀ݔ ൌ න ݑ଺݀ݑ ൌ
ଵ
଴
గ
ଶ
଴
ቈ
ݑ଻
7
቉
଴
ଵ
ൌ
1
7
 
 
 
න ݂൫݃ሺݔሻ൯݃ᇱሺݔሻ݀ݔ
௕
௔
ൌ න ݂ሺݑሻ݀ݑ
௚ሺ௕ሻ
௚ሺ௔ሻ
,  
Teorema da Mudança de Variável 
Sejam ݂ e ݃ funções reais de variável real, e ݃ uma função derivável, contínua e invertível em ሾܽ, ܾሿ, com 
derivada contínua em ሾܽ, ܾሿ, 
onde ݑ ൌ ݃ሺݔሻ. 
Com a aplicação deste teorema não é necessário 
voltar  à  variável  original  ݔ  após  integração,  no 
entanto,  é  necessário  alterar  os  extremos  de 
integração. 
ܽ ื ݃ሺܽሻ  e  ܾ ื ݃ሺܾሻ 
Atenção: 
Quando  usamos  o  método  de  substituição 
no  cálculo  de  um  integral  definido 
׬ ݂ሺݔሻ݀ݔ
௕
௔ ,  temos  que  ter  o  cuidado  de 
efectuar  a  substituição  dos  extremos  de 
integração  na  primitiva  da  função,  depois 
desta estar na variável inicial. 
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Exercícios 
 
1. Calcule: 
 
1.1.׬
௖௢௦௫
√ଵା௦௘௡௫
݀ݔ; 
 
1.2. ׬ ݔ݁ି௫
మ
݀ݔ
ଶ
ଵ ; 
 
1.3. ׬
ௗ௫
√ଽିସ௫మ
. 
 
1.4. ׬ඥݏ݁݊ݔݐ݃ݔ݀ݔ 
 
1.5. ׬ ݔଶ√3ݔଷ ൅ 7
య ݀ݔ 
 
1.6. ׬
௦௘௡√௫
√௫
݀ݔ 
 
1.7. ׬
௫
ሺ௫మାହሻయ
݀ݔ 
 
 
   
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Tal como não é verdade que 
não é verdade que 
ሺݑݒሻᇱ ൌ ݑᇱݒᇱ, 
නݑݒ ݀ݔ ൌ නݑ ݀ݔනݒ ݀ݔ. 
Vamos trocar o papel das funções. 
Façamos: 
 ࢛Ԣ ൌ ࢋ࢞  e   ࢜ ൌ ࢞   
Temos que 
Aplicando  a  fórmula  de  integração 
por partes vem: 
               =݁௫ݔ െ ݁௫ ൅ ܿ 
Como  podemos  observar,  neste  caso  é 
imediato resolver o integral. 
࢛Ԣ ൌ ࢋ࢞ ՜ ࢛ ൌ ࢋ࢞ 
࢜ ൌ ࢞ ՜ ࢜ᇱ ൌ ࢞ᇱ ൌ ૚ 
නݔ݁௫݀ݔ ൌ ݁௫ݔ െ න݁௫݀ݔ 
Repare que: 
Nestes casos apenas precisamos de uma primitiva e não 
da  família  de  primitivas.  Por  uma  questão  de 
simplificação consideramos sempre ܿ ൌ 0. 
 ݑ ൌ නݔ ݀ݔ ൌ
ݔଶ
2
൅ ࢉ , 
 ݑ ൌ නࢋ࢞ ݀ݔ ൌ ࢋ࢞ ൅ ࢉ 
2.Integração por partes 
Este método é baseado na regra da derivada do produto. 
Dadas duas funções reais de variável real ݑ e ݒ, deriváveis, temos que: 
           ሺݑݒሻᇱ ൌ ݑᇱݒ ൅ ݑݒԢ 
logo, 
නሺݑݒሻᇱ ݀ݔ ൌ නሺݑᇱݒ ൅ ݑݒᇱሻ݀ݔ 
฻ ݑݒ ൌ නݑᇱݒ ݀ݔ ൅ නݑݒᇱ݀ݔ 
฻නݑᇱݒ ݀ݔ ൌ ݑݒ െ නݑݒᇱ݀ݔ. 
 
 
 
 
 
 
 
Este método é aplicável sempre que estamos perante um produto de funções e se conhece 
uma primitiva de pelo menos um dos factores. 
 
Exemplo: 
 
Calcule o integral indefinido ׬ ݔ݁௫݀ݔ. 
A função a primitivar é um produto de dois factores (método de integração por partes). 
Como sabemos integrar qualquer das funções, aparentemente, a escolha é indiferente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
න࢞ࢋ࢞ࢊ࢞ ൌ
࢞૛
૛
ࢋ࢞ െ න
࢞૛
૛
ࢋ࢞ࢊ࢞ 
Façamos 
    ࢛Ԣ ൌ ࢞  ࢋ  ࢜ ൌ ࢋ࢞ 
࢛Ԣ ൌ ࢞ ՜ ࢛ ൌ ࢞
૛
૛
   e  ࢜ ൌ ࢋ࢞ ՜ ࢜ᇱ ൌ ሺࢋ࢞ሻᇱ ൌ ࢋ࢞ 
 
Aplicando  a  fórmula  de  integração  por 
partes vem: 
 
නݑԢݒ ݀ݔ ൌ ݑݒ െනݑݒᇱ݀ݔ. 
Integração por partes 
              Sejam ݑ  e ݒ duas funções reais de variável real, deriváveis, então 
Nota: 
ݑ  pode  ser  uma  qualquer 
primitiva de ݑ′. 
O problema complicou‐se, 
obtendo‐seuma nova primitiva produto da 
exponencial por um polinómio do 2º grau.
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Exemplo: 
Calcule o integral definido ׬ ݔ݁௫ ݀ݔ
ଷ
ିଵ . 
 
Note que  ݂ሺݔሻ ൌ ݔ݁௫, ܦ௙ ൌ Թ e ݂ é continua em Թ. Vimos no exemplo anterior que 
 ׬ ݔ݁௫݀ݔ ൌ ݁௫ݔ െ ݁௫ ൅ ܿ. 
Logo, 
න ݔ݁௫ ݀ݔ
ଷ
ିଵ
ൌ ሾ݁௫ݔ െ ݁௫ሿିଵ
ଷ  
ൌ ሺ3݁ଷ െ ݁ଷሻ െ ሺሺെ1ሻ݁ିଵ െ ݁ିଵሻ 
ൌ 2݁ଷ ൅
2
݁
. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Calcule o integral indefinido ׬ ݔ݈݊ሺݔሻ ݀ݔ. 
 
Cálculos auxiliares: 
࢛Ԣ ൌ ࢞ ՜ ࢛ ൌ ࢞
૛
૛
 
࢜ ൌ ܔܖ ሺ࢞ሻ   ՜ ࢜ᇱ ൌ ૚
࢞
 
ൌ ݔ
2
2
݈݊ሺݔሻ െ ׬
௫మ
ଶ
 ଵ
௫
݀ݔ 
 
ൌ
ݔ2
2
݈݊ሺݔሻ െ
1
2
නݔ ݀ݔ 
ൌ
ݔ2
2
݈݊ሺݔሻ െ
1
2
ݔଶ
2
൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
ൌ
ݔ2
2
݈݊ሺݔሻ െ
ݔଶ
4
൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
Se  conhecermos  a  primitiva  de  ambos  os  factores,  devemos  escolher  para  derivar  aquele  que mais 
simplifica por derivação. 
න ݑԢݒ ݀ݔ
௕
௔
ൌ ൤නݑԢݒ ݀ݔ൨
௔
௕
ൌ ൤ݑݒ െ නݑݒԢ ݀ݔ൨
௔
௕
ൌ ሾݑݒሿ௔௕ െ න ݑݒᇱ݀ݔ.
௕
௔
 
 O integral definido da função ݑԢݒ no intervalo ሾܽ, ܾሿ, sendo esta contínua nesse intervalo, é 
dado por: 
 
Em geral, como escolher ࢛Ԣ e ࢜?     
ݑ
ݒ ݒԢ
ݑ
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Exemplo: 
Calcule o integral indefinido ׬ ݈݊ݔ ݀ݔ. 
 
න ݈ ݊ሺݔሻ ݀ݔ ൌ න1  ݈ ݊ሺݔሻ ݀ݔ 
 
 
Cálculos auxiliares: 
࢛Ԣ ൌ ૚ ՜ ࢛ ൌ ࢞ 
࢜ ൌ ܔܖ ሺ࢞ሻ   ՜ ࢜ᇱ ൌ ૚
࢞
 
ൌ ݔ ݈݊ሺݔሻ െ ׬ݔ 
ଵ
௫
݀ݔ 
ൌ ݔ݈݊ሺݔሻ െ න1݀ݔ 
ൌ ݔ݈݊ሺݔሻ െ ݔ ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
 
Exemplo: 
 
Calcule o integral ׬ ݏ݁݊ଶݔ݀ݔ. 
Na primeira parte do guião resolvemos este integral recorrendo às fórmulas trigonométricas. 
No entanto, este integral também pode ser resolvido utilizando o método de integração por partes. 
  Repare que: 
 
නݏ݁݊ଶݔ݀ݔ ൌ නݏ݁݊ݔݏ݁݊ݔ ݀ݔ. 
 
Aplicando o método de integração por partes vem: 
 
Cálculos auxiliares: 
ݑԢ ൌ ݏ݁݊ݔ ՜ ݑ ൌ െܿ݋ݏݔ 
࢜ ൌ ࢙ࢋ࢔࢞ ՜ ࢜Ԣ ൌ ࢉ࢕࢙࢞ 
׬ ݏ݁݊ݔݏ݁݊ݔ ݀ݔ ൌ  െܿ݋ݏݔ ݏ݁݊ݔ  െ ׬െܿ݋ݏݔ ܿ݋ݏݔ ݀ݔ 
Se o integrante for uma única função, que não sabemos integrar mas que se simplifica por derivação (como 
o caso do logaritmo e das funções trigonométricas inversas), escreve‐se ׬ ݂ ሺݔሻ݀ݔ  ൌ ׬1  ݂ ሺݔሻ  ݀ݔ e 
escolhe‐se obviamente a função ݂ para derivar e a função constante, 1, para integrar. 
Se só um dos dois factores admite uma primitiva imediata, escolhemos esse para primitivar e o outro 
para derivar. Por exemplo, as funções trigonométricas inversas (arcsen, arcos, arctg) e as logarítmicas 
não admitem uma primitiva imediata logo, devem ser escolhidas para derivar. 
Os polinómios devem ser escolhidos para derivar quando não é imediata a integração do outro factor. 
ݑԢ  ݑ
ݒ ݒԢ
ݑ
ݒ 
ݑԢ 
ݑ
ݒ ݒԢ
ݑ
ݒ
࢒࢔ሺ࢞ሻ ൌ ૚࢒࢔ሺ࢞ሻ 
Neste caso temos apenas uma função 
que não sabemos integrar, contudo esta 
primitiva calcula‐se usando o método de 
integração por partes uma vez que podemos 
considerar  
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֞ නݏ݁݊ଶݔ݀ݔ ൌ  െݏ݁݊ݔ ܿ݋ݏݔ ൅ නܿ݋ݏଶݔ ݀ݔ 
֞ නݏ݁݊ଶݔ݀ݔ ൌ  െݏ݁݊ݔ ܿ݋ݏݔ ൅ නሺ1 െ ݏ݁݊ଶݔሻ ݀ݔ 
֞ නݏ݁݊ଶݔ݀ݔ ൌ  െݏ݁݊ݔ ܿ݋ݏݔ ൅ න1݀ݔ െ නݏ݁݊ଶݔ ݀ݔ 
֞ 2නݏ݁݊ଶݔ݀ݔ ൌ  െݏ݁݊ݔ ܿ݋ݏݔ ൅ ݔ 
฻නݏ݁݊ଶݔ݀ݔ  ൌ
െݏ݁݊ݔ ܿ݋ݏݔ ൅ ݔ
2
൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
 
Exercícios 
 
1. Calcule: 
a. ׬ ݈݋݃ݔ ݀ݔଷଶ ; 
 
b. ׬ ݔ ݏ݁݊ݔ ݀ݔ ; 
 
c. ׬ ܽݎݐ݃ݔ ݀ݔగଵ ; 
 
d. ׬√ݔ ݈݊ݔ ݀ݔ; 
 
e. ׬ ݔଷ݁௫
మ
݀ݔ;
ଶ
ଵ  
 
f. ׬ ݁ଷ௫ ݏ݁݊ݔ  ݀ݔ. 
 
 
 
 
 
 
 
Pela aplicação sucessiva da regra de integração por partes, pode aparecer no segundo membro um integral 
igual ao que se pretende calcular. Isola‐se então esse integral e resolve‐se a equação. 
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3. Integração de funções racionais 
 
Chama‐se  função  racional  a  qualquer  função  da  forma 
௙ሺ௫ሻ
௚ሺ௫ሻ
  ,  onde  ݂ሺݔሻ  e  ݃ሺݔሻ  são 
polinómios em ݔ e ݃ሺݔሻ ് 0. 
 
 O cálculo da primitiva de algumas  funções  racionais é  imediato ou quase  imediato. Nestes 
casos  incluem‐se as  funções cujas primitivas  são  funções  logarítmicas ou  trigonométricas  inversas. 
Vejamos alguns exemplos. 
 
න
3ݔଶ ൅ 1
ݔଷ ൅ ݔ
݀ݔ ൌ ݈݊|ݔଷ ൅ ݔ| ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
 
න
ݔ
ݔଶ ൅ 1
݀ݔ ൌ
1
2
න
2ݔ
ݔଶ ൅ 1
݀ݔ ൌ
1
2
݈݊|ݔଶ ൅ 1| ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
   
න
1
ݔଶ ൅ 1
݀ݔ ൌܽݎܿݐ݃ݔ ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
 
Podemos ainda ter outra situação, como por exemplo: 
 
න
1
ݔଶ
݀ݔ ൌ නݔିଶ݀ݔ ൌ
ݔିଵ
െ1
ൌ െ
1
ݔ
൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
 
 
Existem no entanto outras funções racionais em que estas regras não se aplicam. 
Neste caso, duas situações podem acontecer: 
 
 
 
Exemplo: 
 
න
5ݔ ൅ 7
ݔଶ ൅ 2ݔ െ 3
݀ݔ 
 
          Exemplos: 
න
ݔସ
1 ൅ ݔଶ
݀ݔ                          න
ݔଷ ൅ 3ݔଶ ൅ 4ݔ ൅ 4
ݔଶ ൅ 2ݔ െ 3
݀ݔ 
 
 
 
 
 
I. o grau do polinómio do numerador é menor do que o grau do polinómio do denominador; 
II. o  grau  do  polinómio  do  numerador  é maior  ou  igual  do  que  o  grau  do  polinómio  do 
denominador. 
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Quando  nos  encontramos  na  situação  II,  vamos  simplificar  a  fracção  racional  aplicando  o 
algoritmo da divisão aos polinómios. 
 
 
 
 
 
  
  A aplicação do algoritmo a divisão à nossa função racional (quando o grau do numerador é 
maior ou igual ao grau do denominador) permite‐nos escrevê‐la como a soma de um polinómio com 
uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador. 
  Por vezes esta decomposição basta para resolver o integral. 
 
Exemplo: 
 
Calcule  
න
ݔସ
1 ൅ ݔଶ
݀ݔ. 
 
A função  integranda é uma função racional cujo grau do numerador é maior que o grau do 
denominador. Vamos por isso aplicar o algoritmo da divisão.  
Algoritmo da divisão 
     ࢞૝  ൅  ૙࢞૜   ൅  ૙࢞૛ ൅  ૙࢞   ൅ ૙   | ࢞૛ ൅ ૚ 
െ ࢞૝  ൅ ૙࢞૜    െ ࢞૛                              ࢞૛ െ ૚ 
                              െ࢞૛  
                               ࢞૛ ൅ ૚   
                                          ૚ 
 
 
 
 
Assim, 
න
ݔସ
1 ൅ ݔଶ
݀ݔ ൌ න൬ݔଶ െ 1 ൅
1 
 ݔଶ ൅ 1
൰݀ݔ 
ൌ නݔଶ ݀ݔ െ න1݀ݔ ൅ න
1 
 ݔଶ ൅ 1
݀ݔ 
ൌ
ݔଷ
3
െ ݔ ൅ ܽݎܿݐ݃ሺݔሻ ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
ݔ4
࢞૛ ൅ ૚
ൌ ࢞૛ െ ૚ ൅
1 
 ࢞૛ ൅ ૚
 
Então
Algoritmo da divisão 
 
݂ሺݔሻ     ݃ሺݔሻ         ݂ሺݔሻ ൌ ݃ሺݔሻܳሺݔሻ ൅ ܴሺݔሻ 
 
ܴሺݔሻ    ܳሺݔሻ              ݂ሺݔሻ
݃ሺݔሻ
ൌ ܳሺݔሻ ൅
ܴሺݔሻ
݃ሺݔሻ
. 
ࡽሺ࢞ሻ
ࢍሺ࢞ሻ
ࡾሺ࢞ሻ
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Vamos decompor o polinómio ݔଶ ൅ 2ݔ െ 3. Calculemos os 
zeros do polinómio. 
Aplicando a fórmula resolvente: 
 
 
     Logo     ݔଶ ൅ 2ݔ െ 3 ൌ ሺݔ െ 1ሻሺݔ ൅ 3ሻ 
ݔଶ ൅ 2ݔ െ 3 ൌ 0 
฻ ݔ ൌ
െ2 േ ඥ2ଶ െ 4 ൈ 1 ൈ ሺെ3ሻ
2 ൈ 1
 
฻ ݔ ൌ
െ2 േ √4 ൅ 12
2
 
฻ ݔ ൌ 1 ڀ ݔ ൌ െ3. 
 
ோሺ௫ሻ
௚ሺ௫ሻ
  encontra‐se  na  situação  I,  visto  que  ao  efectuar  o  algoritmo  da  divisão  o  grau  do 
polinómio ܴሺݔሻ é sempre menor do que o grau do polinómio ݃ሺݔሻ. 
 
Exemplo: 
Calcule 
න
ݔଷ ൅ 3ݔଶ ൅ 4ݔ ൅ 4
ݔଶ ൅ 2ݔ െ 3
݀ݔ. 
Algoritmo da divisão 
     ࢞૜ ൅  ૜࢞૛ ൅  ૝࢞  ൅   ૝   | ࢞૛ ൅ ૛࢞ െ ૜ 
 െ࢞૜    െ ૛࢞૛  ൅  ૜࢞              ࢞ ൅ ૚ 
                   ࢞૛  ൅  ૠ࢞  ൅ ૝   
               െ࢞૛   െ ૛࢞   ൅  ૜   
                             ૞࢞ ൅ ૠ 
 
 
 
 
න
ݔଷ ൅ 3ݔଶ ൅ 4ݔ ൅ 4
ݔଶ ൅ 2ݔ െ 3
 ݀ݔ 
 
                                                                    ൌ නሺݔ ൅ 1ሻ݀ݔ ൅න
5ݔ ൅ 7
ݔଶ ൅ 2ݔ െ 3
݀ݔ                            
 
ൌ
ݔଶ
2
൅ ݔ ൅ 
 
 
Decomposição em Fracções Parciais 
 
A resolução do integral de uma fracção racional quando o grau do numerador é menor que o 
grau do denominador é efectuada usando o método das fracções parciais. 
Este  processo  consiste  em  separar  uma  dada  fracção  numa  soma  de  fracções  com 
denominadores mais simples. 
  Para tal, temos que factorizar o denominador. 
 
ହ௫ା଻
௫మାଶ௫ିଷ
ൌ ହ௫ା଻
ሺ௫ିଵሻሺ௫ାଷሻ
 
 
 
 
 
 
  ݔ3 ൅  3ݔ2  ൅ 4ݔ ൅ 4 
ݔ2 ൅ 2ݔ െ 3
ൌ ݔ ൅ 1 ൅5ݔ ൅ 7 
ݔ2 ൅ 2ݔ െ 3
 
Então
Factorizar o denominador 
 
Factorizar  um  polinómio  é  decompô‐lo  num 
produto de polinómios de grau inferior. 
    Ver mais Guião 2 do M@tb. 
Não é um integral imediato/quase imediato. 
න
5ݔ ൅ 7
ݔଶ ൅ 2ݔ െ 3
݀ݔ
ࡽሺ࢞ሻ 
ࢍሺ࢞ሻ
ࡾሺ࢞ሻ
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  Para obter a decomposição em fracções parciais seguimos os seguintes passos. 
 
 
 
Exprimir o denominador ݃ሺݔሻ  como produto de  factores ݌ݔ ൅ ݍ e/ou  factores  irredutíveis  
do tipo ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ. 
 
Caso  existam  factores  repetidos,  agrupamo‐los  de  modo  que  ݃ሺݔሻ  se  expresse  como  o 
produto de factores diferentes da forma ሺ݌ݔ ൅ ݍሻ௠ e/ou ሺܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿሻ௡, onde ݉, ݊ א Գ.   
 
 
 
   
Aplicam‐se as seguintes regras: 
 
 
 
 
Regra 1: 
A cada factor da forma ሺ݌ݔ ൅ ݍሻ௠, ݉ ൒ 1, corresponde na decomposição  ௙ሺ௫ሻ
௚ሺ௫ሻ
ൌ ܨଵ ൅ ܨଶ ൅ ڮ൅ ܨ௞  
às seguintes de ݉ fracções parciais:  
 
 
onde cada ܣ௜ é um número real. 
࡭૚
࢖࢞ ൅ ࢗ
൅
࡭૛
ሺ࢖࢞ ൅ ࢗሻ૛
൅ ڮ൅
࡭࢓
ሺ࢖࢞ ൅ ࢗሻ࢓
 
݂ሺݔሻ
݃ሺݔሻ
ൌ ܨଵ ൅ ܨଶ ൅ڮ൅ ܨ௞, 
ܨ௜ ൌ
ܣ
ሺ݌ݔ ൅ ݍሻ௠
                   ݋ݑ                       ܨ௜ ൌ
ܤݔ ൅ ܥ
ሺܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿሻ௡
 
Qualquer  expressão  racional 
௙ሺ௫ሻ
௚ሺ௫ሻ
  (tal  que o  grau  de ݂ሺݔሻ  é  inferior  ao  grau de ݃ሺݔሻ) pode 
escrever‐se  como  soma  de  expressões  racionais  cujos  denominadores  envolvam  potências  de 
polinómios de grau 1 ou de grau 2 sem raízes reais, então 
 
onde 
 
 
 
onde ݉, ݊ א Գ  e  ܣ, ܤ, ܥ א Թ onde ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ é irredutível (polinómio de grau dois que não admite 
raízes reais). 
A soma ܨଵ ൅ ܨଶ ൅ ڮ൅ ܨ௞ designa‐se por decomposição em fracções parciais de 
௙ሺ௫ሻ
௚ሺ௫ሻ
 e cada ܨ௜ 
é uma fracção parcial. 
Passo 1 
Passo 2 
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Voltando ao último exemplo, pretendemos calcular ׬
ହ௫ା଻
௫మାଶ௫ିଷ
݀ݔ, para isso vamos escrever a 
fracção 
ହ௫ା଻
௫మାଶ௫ିଷ
  como  soma de  fracções mais  simples, utilizando o método de decomposição  em 
fracções parciais. 
Temos que 
5ݔ ൅ 7
ሺݔ െ 1ሻሺݔ ൅ 3ሻ
ൌ
ܣ
ݔ െ 1
                 ൈ ሺݔ ൅ 3ሻ
൅
ܤ
ݔ ൅ 3
                ൈ ሺݔ െ 1ሻ
 
 
֞
5ݔ ൅ 7
ሺݔ െ 1ሻሺݔ ൅ 3ሻ
ൌ
ܣሺݔ ൅ 3ሻ ൅ ܤሺݔ െ 1ሻ
ሺݔ െ 1ሻሺݔ ൅ 3ሻ
. 
Logo 
5ݔ ൅ 7 ൌ ܤሺݔ െ 1ሻ ൅ ܣሺݔ ൅ 3ሻ 
 
฻ ૞ݔ ൅ 7 ൌ ሺ࡭ ൅ ࡮ሻݔ ൅ ૜࡭ െ ࡮ 
 
 
฻ ቄ 5 ൌ ܣ ൅ ܤ
7 ൌ 3ܣ െ ܤ
฻ ቄܣ ൌ 3
ܤ ൌ 2
. 
 
A este método chama‐se Método dos Coeficientes Indeteteminados. 
Por este ser um sistema de equações lineares, pode ser resolvido pelo Método de Eliminação 
de Gauss‐Jordan ou regra de Cramer.  
O cálculo das constantes ܣ e ܤ  pode ainda ser feito tomando‐se valores de ݔ que anulem os 
respectivos coeficientes, que neste caso são ݔ െ 1 e ݔ ൅ 3. 
 
1. Fazendo ݔ ൌ 1 na igualdade 5ݔ ൅ 7 ൌ ܤሺݔ െ 1ሻ ൅ ܣሺݔ ൅ 3ሻ, temos  
 
5 ൈ 1 ൅ 7 ൌ ܤሺ1 െ 1ሻ ൅ ܣሺ1 ൅ 3ሻ 
฻ 12 ൌ 4ܣ ฻ ܣ ൌ
12
4
฻ ܣ ൌ 3. 
 
2. Fazendo ݔ ൌ െ3 na igualdade 5ݔ ൅ 7 ൌ ܤሺݔ െ 1ሻ ൅ ܣሺݔ ൅ 3ሻ, temos  
 
5 ൈ ሺെ3ሻ ൅ 7 ൌ ܤሺെ3 െ 1ሻ ൅ ܣሺെ3 ൅ 3ሻ 
฻െ8 ൌ െ4ܤ ฻ ܤ ൌ 2. 
Regra 2: 
A cada factor da forma ሺܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿሻ௡, onde n൒ 1   e ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ é  irredutível, corresponde na 
decomposição 
 ௙ሺ௫ሻ
௚ሺ௫ሻ
ൌ ܨଵ ൅ ܨଶ ൅ڮ൅ ܨ௞, às seguintes ݊ fracções parciais, 
 
 
onde, para cada ݅,  ܣ௜  e ܤ௜ são números reais. 
࡭૚࢞ ൅ ࡮૚
ࢇ࢞૛ ൅ ࢈࢞ ൅ ࢉ
൅
࡭૛࢞ ൅ ࡮૛
ሺࢇ࢞૛ ൅ ࢈࢞ ൅ ࢉሻ૛
൅ ڮ൅
࡭࢔࢞ ൅ ࡮࢔
ሺࢇ࢞૛ ൅ ࢈࢞ ൅ ࢉሻ࢔
 
      
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Esta  regra  é  compensatória  quando  os  valores  de  ݔ que  anulem  os  coeficientes  não  são 
repetidos. 
Determinados A e B tem‐se 
5ݔ ൅ 7
ሺݔ െ 1ሻሺݔ ൅ 3ሻ
ൌ
3
ݔ െ 1
൅
2
ݔ ൅ 3
. 
 Logo  
න
5ݔ ൅ 7
ݔଶ ൅ 2ݔ െ 3
݀ݔ ൌ න
3
ݔ െ 1
݀ݔ ൅ න
2
ݔ ൅ 3
݀ݔ 
 
ൌ 3න
1
ݔ െ 1
݀ݔ ൅ 2න
1
ݔ ൅ 3
݀ݔ ൌ 3 ln|ݔ ൅ 1| ൅ 2 ln|ݔ ൅ 3| ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
 
Assim, voltando ao cálculo do integral ׬
௫యାଷ௫మାସ௫ାସ
௫మାଶ௫ିଷ
 ݀ݔ da página 12, temos 
 
න
ݔଷ ൅ 3ݔଶ ൅ 4ݔ ൅ 4
ݔଶ ൅ 2ݔ െ 3
 ݀ݔ ൌ නሺݔ ൅ 1ሻ݀ݔ ൅න
5ݔ ൅ 7
ݔଶ ൅ 2ݔ െ 3
݀ݔ 
ൌ
ݔଶ
2
൅ ݔ ൅ 3 ln|ݔ ൅ 1| ൅ 2 ln|ݔ ൅ 3| ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
 
 
Exemplo: 
 
Calcule׬
ଶ௫మାଵ 
௫యା௫మ
݀ݔ. 
 
A função integranda é uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do 
denominador. Então vamos exprimir o denominador como um produto de  factores de grau 1 e/ou 
grau 2 sem raízes reais. 
 
 
 
 
Factorizando o denominador escrevemos  
 
ݔଷ ൅ ݔଶ ൌ ݔݔሺݔ ൅ 1ሻ. 
   
Como o factor ݔ aparece repetido, 
 
 
ݔଷ ൅ ݔଶ ൌ ݔଶሺݔ ൅ 1ሻ. 
 
 
Neste caso, como os factores são todos da forma ሺ݌ݔ ൅ ݍሻ௠, aplicamos a regra 1. 
ݔଷ ൅ ݔଶ ൌ 0. 
ݔଷ ൅ ݔଶ ൌ 0 
฻ ݔଶሺݔ ൅ 1ሻ ൌ 0 
ݔଶሺݔ ൅ 1ሻ ൌ 0 
฻ ݔଶ ൌ 0 ڀ ݔ ൅ 1 ൌ 0 
฻ ݔ ൌ 0 ڀ ݔ ൌ 0 ڀݔ ൌ െ1 
ݔଷ ൅ ݔଶ ൌ ݔݔሺݔ ൅ 1ሻ ൌ ݔଶሺݔ ൅ 1ሻ 
Vamos decompor o polinómio ݔଷ ൅ ݔଶ. 
Calculemos os zeros do polinómio. 
Colocando em evidência o termo em ݔଶ, 
Aplicando a lei do anulamento do produto: 
Logo 
Passo 2 
Passo 1 
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Página 16 de 36 
 
 
Portanto, temos uma decomposição da forma 
 
2ݔଶ ൅ 1
ݔଷ ൅ ݔଶ
ൌ
2ݔଶ ൅ 1
ݔଶሺݔ ൅ 1ሻ
ൌ
ܣ
ݔ
൅
ܤ
ݔଶ
൅
ܥ
ݔ ൅ 1
, 
 
onde ܣ, ܤ e ܥ são constantes a determinar. 
  
 
Para determinar essas constantes utilizamos o Método dos Coeficientes Indeterminados: 
 
2ݔଶ ൅ 1
ݔଶሺݔ ൅ 1ሻ
ൌ
ܣ
ݔ
൅
ܤ
ݔଶ
൅
ܥ
ݔ ൅ 1
 
֞
2ݔଶ ൅ 1
ݔଶሺݔ ൅ 1ሻ
ൌ
ܣݔሺݔ ൅ 1ሻ ൅ ܤሺݔ ൅ 1ሻ ൅ ܥݔଶ
ݔଶሺݔ ൅ 1ሻ
 
logo 
2ݔଶ ൅ 1 ൌ  ܣݔሺݔ ൅ 1ሻ ൅ ܤሺݔ ൅ 1ሻ ൅ ܥݔଶ 
֞ 2ݔଶ ൅ 1 ൌ  ܣݔଶ ൅ ܣݔ ൅ ܤݔ ൅ ܤ ൅ ܥݔଶ 
֞  ૛ݔଶ ൅ ૚ ൌ ሺ࡭ ൅ ࡯ሻݔଶ ൅ ሺܣ ൅ ܤሻݔ ൅ ࡮ 
൝
2 ൌ ܣ ൅ ܥ
0 ൌ ܣ ൅ ܤ
1 ൌ ܤ
֞ ൝
ܣ ൌ െ1
ܤ ൌ 1
ܥ ൌ 3
. 
 
Assim 
2ݔଶ ൅ 1
ݔଶሺݔ ൅ 1ሻ
ൌ
െ1
ݔ
൅
1
ݔଶ
൅
3
ݔ ൅ 1
. 
 
Temos portanto 
න
2ݔଶ ൅ 1
ݔଶሺݔ ൅ 1ሻ
݀ݔ ൌ න
െ1
ݔ
݀ݔ ൅ න
1
ݔଶ
݀ݔ ൅ න
3
ݔ ൅ 1
݀ݔ 
ൌ െ݈݊|ݔ| െ
1
ݔ
൅ 3݈݊|ݔ ൅ 1| ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
 
 
Já estudamos os casos em que a factorização de ݃ሺݔሻ resulta num produto de polinómios de 
grau 1. Vamos agora analisar situações em que na factorização de ݃ሺݔሻ estão presentes polinómios 
irredutíveis de grau 2. 
 
 
 
 
 
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Página 17 de 36 
 
 
Exemplo: 
Calcule ׬
ଷ௫ାଵ
௫యା௫
݀ݔ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ଷ௫ାଵ
௫యା௫
   é uma função racional, em que o grau do 
polinómio numerador é menor que o grau do polinómio 
denominador. 
Passo 1 
9 Decompor o polinómio ݔଷ ൅ ݔ num produto de 
polinómios  de  grau  1  e/ou  em  polinómios  de 
grau dois  irredutíveis  (polinómio de  grau dois 
sem raízes reais) 
Agrupar os factores repetidos, se existirem. 
 
Passo 2 
 
9 Escrever  a  função  como  soma  de  fracções 
parciais (neste caso, são duas). 
 
9 Determinar as incógnitas 
 
9 Calcular cada uma das primitivas 
ݔଷ ൅ ݔ ൌ ݔሺݔଶ ൅ 1ሻ 
3ݔ ൅ 1
ݔሺݔଶ ൅ 1ሻ
ൌ
ܣ
ݔ
          ൈ ሺݔଶ ൅ 1ሻ
൅
ܤݔ ൅ ܥ
ݔଶ ൅ 1
         ൈ ሺݔሻ
 
฻
3ݔ ൅ 1
ݔሺݔଶ ൅ 1ሻ
ൌ
ܣሺݔଶ ൅ 1ሻ ൅ ሺܤݔ ൅ ܥሻݔ
ݔሺݔଶ ൅ 1ሻ
 
฻
3ݔ ൅ 1
ݔሺݔଶ ൅ 1ሻ
ൌ
ݔଶሺܣ ൅ ܤሻ ൅ ܥݔ ൅ ܣ
ݔሺݔଶ ൅ 1ሻ
 
3ݔ ൅ 1 ൌ ݔଶሺܣ ൅ ܤሻ ൅ ܥݔ ൅ ܣ ฻ ൝
ܣ ൅ ܤ ൌ 0
ܥ ൌ 3
ܣ ൌ 1
฻ ൝
ܤ ൌ െ1
ܥ ൌ 3
ܣ ൌ 1
 
3ݔ ൅ 1
ݔሺݔଶ ൅ 1ሻ
ൌ
1
ݔ
൅
െ1ݔ ൅ 3
ݔଶ ൅ 1
 
Método dos Coeficientes Indeterminados. 
 
 
Assim 
න
3ݔ ൅ 1
ݔሺݔଶ ൅ 1ሻ
݀ݔ ൌන
1
ݔ
݀ݔ ൅ න
െݔ ൅ 3
ݔଶ ൅ 1
݀ݔ ൌ ݈݊|ݔ| െ න
ݔ
ݔଶ ൅ 1
݀ݔ ൅ 3න
1
ݔଶ ൅ 1
݀ݔ 
ൌ ݈݊|ݔ| െ
1
2
න
2ݔ
ݔଶ ൅ 1
݀ݔ ൅ 3ܽݎܿݐ݃ሺݔሻ ൌ ݈݊|ݔ| െ
1
2
ln|ݔଶ ൅ 1| ൅ 3ܽݎܿݐ݃ሺݔሻ ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
 
3ݔ ൅ 1
ݔଷ ൅ ݔ
ൌ
3ݔ ൅ 1
ݔሺݔ2 ൅ 1ሻ
ൌ
ܣ
ݔ
൅
ܤݔ ൅ ܥ
ݔ2 ൅ 1
 
Regra 1 Regra 2
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Página 18 de 36 
 
Regra 1 Regra 2 
Exemplo 
Calcule ׬
௫ାଷ
ሺ௫యାଶ௫మା௫ሻሺ௫మାଶ௫ାଶሻమ
݀ݔ. 
A  função  integranda é uma  função  racional cujo grau do numerador é menor que graudo 
denominador. 
 
 
 
 
Factorizando o denominador escrevemos 
 
ሺݔଷ ൅ 2ݔଶ ൅ ݔሻሺݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 2ሻଶ ൌ ݔሺݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 1ሻሺݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 2ሻଶ 
ൌ ݔሺݔ ൅ 1ሻሺݔ ൅ 1ሻሺݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 2ሻሺݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 2ሻ, 
logo 
            
ݔ ൅ 3
ሺݔଷ ൅ 2ݔଶ ൅ ݔሻሺݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 2ሻଶ
ൌ
ݔ ൅ 3
ݔሺݔ ൅ 1ሻሺݔ ൅ 1ሻሺݔ2 ൅ 2ݔ ൅ 2ሻሺݔ2 ൅ 2ݔ ൅ 2ሻ
. 
Analisando  os  factores  repetidos,  agrupam‐se  de  modo  a  que  ݃ሺݔሻ  se  expresse  como  o 
produto de factores diferentes da forma ሺ݌ݔ ൅ ݍሻ௠ e/ou ሺܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿሻ௡, onde ݉,  ݊ א Գ   logo, 
 
ݔ ൅ 3
ሺݔଷ ൅ 2ݔଶ ൅ ݔሻሺݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 2ሻଶ
ൌ
ݔ ൅ 3
ݔሺݔ ൅ 1ሻଶሺݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 2ሻଶ
 
 
 
 
Neste caso, temos a decomposição da forma 
ݔ ൅ 3
ሺݔଷ ൅ 2ݔଶ ൅ ݔሻሺݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 2ሻଶ
ൌ
ܣ
ݔ
൅
ܤଵ
ݔ ൅ 1
൅
ܤଶ
ሺݔ ൅ 1ሻଶ
൅
ܥଵ ൅ ܦଵݔ
ݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 2
൅
ܥଶ ൅ ܦଶݔ
ሺݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 2ሻଶ
 
 
 
onde ܣ, ܤ1, ܤ2, ܥ1, ܥ2, ܦ1e ܦଶ são constantes a determinar. Após determinar as  incógnitas, temos 
que integrar cada uma das parcelas. 
 
 
Polinómio  Parcelas
ݔ 
ܣ
ݔ
 
ሺݔ ൅ 1ሻଶ 
ܤଵ
ݔ ൅ 1
൅
ܤଶ
ሺݔ ൅ 1ሻଶ
 
ሺݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 2ሻଶ 
ܥଵ ൅ ܦଵݔ
ݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 2
൅
ܥଶ ൅ ܦଶݔ
ሺݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 2ሻଶ
 
Passo 2 
Passo 1 
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No cálculo de integrais de funções racionais aplicamos normalmente as seguintes regras: 
 ׬࢛ᇱ࢛ࢻࢊ࢞ ൌ ࢛
ࢻశ૚
ࢻା૚
൅ ࢉ,    ࢉ א Թ, ࢻ ് െ૚. 
 ׬ ࢛ᇱ
࢛
ࢊ࢞ ൌ ࢒࢔|࢛| ൅ ࢉ,     ࢉ א Թ. 
 ׬ ࢛ᇱ
ࢇ૛ା࢛૛
ࢊ࢞ ൌ ૚
ࢇ
ࢇ࢘ࢉ࢚ࢍ ቀ࢛
ࢇ
ቁ ൅ ࢉ, ࢉ א Թ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
1. Calcule: 
a. ׬ ௫
య
௫మିସ௫ାଷ
 ݀ݔ; 
 
b. ׬
௫ାଵ
௫యିସ௫
ସ
ଷ ݀ݔ; 
 
c. ׬
ଵ
௫ሺ௫ାଵሻమ
଺
ଶ ݀ݔ; 
 
d. ׬
௫ሺଷ௫ିଶሻ
௫యାଶ௫మିଷ
 ݀ݔ; 
 
e. ׬
ଷ௫ାଵ
௫మାଶ௫ାଶ
ଵ
଴ ݀ݔ. 
 
݂ሺݔሻ
݃ሺݔሻ
ൌ ܳሺݔሻ ൅
ܴሺݔሻ
݃ሺݔሻ
 
Resumo: 
Considere a função racional  
௙ሺ௫ሻ
௚ሺ௫ሻ
, com ݃ሺݔሻ ് 0. 
9 Se o grau de ݂ሺݔሻ for maior ou  igual ao grau de ݃ሺݔሻ efectua‐se a divisão dos polinómios, 
aplicando‐se  posteriormente,  se  necessário,  o  processo  de  decomposição  de  fracções 
parciais. 
 
 
 
9 Se  o  grau  de  ݂ሺݔሻ  for  menor  ao  grau  de  ݃ሺݔሻ  utiliza‐se,  se  necessário,  o  processo  de 
decomposição em fracções parciais. 
 
Processo de decomposição em fracções parciais 
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4. Outras mudanças de variável 
 
Uma das principais dificuldades na integração por substituição reside na escolha da mudança 
de variável. 
Quando  as  funções  a  integrar  têm  determinadas  características,  podem  ser  utilizadas 
mudanças  de  variável  aconselhadas,  como  apresentamos  a  seguir.  Muitas  destas  mudanças  de 
variável produzem o integral de uma função racional. 
 
 
 
 
Exemplo 
Calcule ׬ √
௫ାଵ
√௫ర ାଶ
 ݀ݔ. 
න
√ݔ ൅ 1
√ݔర ൅ 2
 ݀ݔ ൌ න
ݔଵ/ଶ ൅ 1
ݔଵ/ସ ൅ 2
 ݀ݔ 
Como o menor múltiplo comum dos índices das raízes, ݉݉ܿ ሺ2,4ሻ ൌ 4, efectuamos a 
substituição: 
ݔ ൌ ݐସ ՜ ݀ݔ ൌ 4ݐଷ݀ݐ. 
Assim temos 
න
√ݔ ൅ 1
√ݔర ൅ 2
 ݀ݔ ൌ න
ሺݐସሻଵ/ଶ ൅ 1
ሺݐସሻଵ/ସ ൅ 2
 ൈ 4ݐଷ݀ݐ ൌ න
ݐଶ ൅ 1
ݐ ൅ 2
 ൈ 4ݐଷ݀ݐ ൌ 4න
ݐହ ൅ ݐଷ
ݐ ൅ 2
 ݀ݐ. 
 
 
ݔ௠/௡, ݔ௥/௦, … 
Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais 
 de expressões do tipo 
deve‐se calcular o mínimo múltiplo comum entre ݊, ݏ…. 
݇ ൌ ݉.݉. ܿሺ݊, ݏ, … ሻ. 
Então a mudança de variável aconselhada é 
ݔ ൌ ݐ௞ ՜  ݀ݔ ൌ ݇ݐ௞ିଵ݀ݐ. 
Após esta mudança de variável temos o integral de uma função racional. 
 
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Algoritmo da divisão 
    ࢚૞  ൅  ૙࢚૝  ൅  ࢚૜   ൅  ૙࢚૛ ൅  ૙࢚   ൅ ૙   | ࢚ ൅ ૛ 
െ ࢚૞    െ ૛࢚૝  ൅ ૙࢚૜  ൅  ૙࢚૛  ൅  ૙࢚  ൅  ૙      ࢚૝ െ ૛࢚૜ ൅ ૞࢚૛ െ ૚૙࢚ ൅ ૛૙ 
            െ૛࢚૝   ൅  ࢚૜    ൅  ૙࢚૛  ൅  ૙࢚  ൅  ૙   
               ૛࢚૝    ൅  ૝࢚૜  ൅ ૙࢚૛  ൅  ૙࢚  ൅  ૙  
                              ૞ ࢚૜   ൅  ૙࢚૛ ൅  ૙࢚  ൅  ૙   
                           െ૞࢚૜ െ ૚૙࢚૛ ൅  ૙࢚  ൅   ૙ 
                                      െ૚૙࢚૛  ൅  ૙࢚   ൅  ૙   
                                        ൅૚૙࢚૛ ൅  ૛૙࢚ ൅ ૙ 
                                                           ૛૙࢚ ൅ ૙ 
                                                         െ૛૙࢚ െ ૝૙ 
                                                                      െ૝૙ 
 
 
 
 
 
 
 
4න
ݐହ ൅ ݐଷ
ݐ ൅ 2
 ݀ݐ ൌ 4න ݐସ െ 2ݐଷ ൅ 5ݐଶ െ 10ݐ ൅ 20 െ
40 
ݐ ൅ 2
݀ݐ 
ൌ 4൬න ݐସ ݀ݐ െ 2න ݐଷ݀ݐ ൅ 5න ݐଶ݀ݐ െ 10න ݐ݀ݐ ൅ න20݀ݐ െ 40න
1
ݐ ൅ 2
݀ݐ൰ 
ൌ 4ቆ
ݐହ
5
െ
2ݐସ
4
൅
5ݐଷ
3
െ
10ݐଶ
2
൅ 20ݐ െ 40ln|ݐ ൅ 2|ቇ 
ൌ
4ݐହ
5
െ 2ݐସ ൅
20ݐଷ
3
െ 20ݐଶ ൅ 80ݐ െ 160ln|ݐ ൅ 2| ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
Para voltamos à variável original, neste caso ݔ, temos que: 
ݔ ൌ ݐସ ՜ ݐ ൌ √ݔర  
න
√ݔ ൅ 1
√ݔయ ൅ 1
 ݀ݔ ൌ
4൫√ݔర ൯
ହ
5
െ 2൫√ݔర ൯
ସ
൅
20൫√ݔర ൯
ଷ
3
െ 20൫√ݔర ൯
ଶ
൅ 80√ݔర െ 160lnห√ݔర ൅ 2ห 
ൌ
4ݔ√ݔర
5
െ 2ݔ ൅
20൫√ݔర ൯
ଷ
3
െ 20√ݔ ൅ 80√ݔర െ 160lnห√ݔర ൅ 2ห ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
ݐ5 ൅ ݐ3
ݐ ൅ 2
ൌ ࢚૝ െ ૛࢚૜ ൅ ૞࢚૛ െ ૚૙࢚ ൅ ૛૙ ൅
െ40 
࢚ ൅ ૛
 
Então
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Exemplo 
Calcule׬
ଵ
ඥሺଵା௫ሻమయ ା√ଵା௫
݀ݔ.
ହ
ଷ  
Calculemos o integral indefinido 
න
1
ඥሺ1 ൅ ݔሻଶయ ൅ √1 ൅ ݔ
 ݀ݔ ൌ න
1
ሺ1 ൅ ݔሻଶ/ଷ ൅ ሺ1 ൅ ݔሻଵ/ଶ
݀ݔ. 
 
Como o menor múltiplo comum dos índices das raízes é ݉݉ܿ ሺ2,3ሻ ൌ 6, efectuamos a 
substituição: 
1 ൅ ݔ ൌ ݐ଺. 
Assim temos 
1 ൅ ݔ ൌ ݐ଺ ՜ ݀ݔ ൌ 6ݐହ݀ݐ. 
 
න
1
ሺ1 ൅ ݔሻ
ଶ
ଷ ൅ ሺ1 ൅ ݔሻ
ଵ
ଶ
݀ݔ ൌ න
1
ሺݐ଺ሻ
ଶ
ଷ ൅ ሺݐ଺ሻ
ଵ
ଶ
6ݐହ݀ݐ ൌ න
6ݐହ
ݐସ ൅ ݐଷ
݀ݐ ൌ න
6ݐଶ
ݐ ൅ 1
݀ݐ. 
 
 
 
 
 
൬
ܽݔ ൅ ܾ
ܿݔ ൅ ݀
൰
௠/௡
, ൬
ܽݔ ൅ ܾ
ܿݔ ൅ ݀
൰
௥/௦
, … 
Para  calcular o  integral de  funções que  resultam de operações  racionais de 
expressões do tipo 
 
deve‐se calcular o mínimo múltiplo comum entre ݊, ݏ…. 
݇ ൌ ݉.݉. ܿሺ݊, ݏ, … ሻ. 
Então a mudança de variável aconselhada é 
௔௫ା௕
௖௫ାௗ
ൌ ݐ௞. 
Após esta mudança de variável temos o integral de uma função racional. 
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Algoritmo da divisão 
    ૟࢚૛  ൅ ૙࢚  ൅  ૙       | ࢚ ൅ ૚ 
െ ૟࢚૛ െ ૟࢚   ൅  ૙          ૟࢚ െ ૟ 
               െ૟࢚  ൅ ૙   
                   ૟࢚ ൅ ૟   
                             ૟ 
 
 
 
Voltando ao cálculo do integral: 
 
න
6ݐଶ
ݐ ൅ 1
݀ݐ  ൌ න6 ൬ݐ െ 1 ൅
1
ݐ ൅ 1
൰݀ݐ 
 
ൌ 6නݐ െ 1 ൅
1
ݐ ൅ 1
݀ݐ ൌ 6ቆ
ݐଶ
2
െ ݐ ൅ ln|ݐ ൅ 1|ቇ ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
Para voltarmos à variável original, neste caso ݔ, temos que: 
ݐ ൌ √1 ൅ ݔల  
න
1
ඥሺ1 ൅ ݔሻଶయ ൅ √1 ൅ ݔ
 ݀ݔ ൌ 6൭ቆ
√1 ൅ ݔల
2
ቇ
ଶ
െ √1 ൅ ݔల ൅ lnห√1 ൅ ݔల ൅ 1ห൱ ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
E assim, como a função ׬
ଵ
ඥሺଵା௫ሻమయ ା√ଵା௫
݀ݔ
ହ
ଷ  é contínua no intervalo ሾ3,5ሿ, 
න
1
ඥሺ1 ൅ ݔሻଶయ ൅ √1 ൅ ݔ
݀ݔ
ହ
ଷ
ൌ   ൥6 ൭ቆ
√1 ൅ ݔల
2
ቇ
ଶ
െ √1 ൅ ݔల ൅ lnห√1 ൅ ݔల ൅ 1ห൱൩
ଷ
ହ
 
ൌ 6ቆ
√6య
2
െ √6ల ൅ lnห√6ల ൅ 1หቇ െ 6ቆ
√4య
2
െ √4ల ൅ lnห√4ల ൅ 1หቇ. 
 
 
Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais 
 de expressões do tipo 
                           ݁௠௫, ݁௡௫, …                       ሺ݉, ݊, … א Գሻ 
deve‐se calcular o máximo divisor comum entre ݊, ݉….  
݇ ൌ ݉. ݀. ܿሺ݉, ݊, … ሻ. 
Então a mudança de variável aconselhada é 
݁௞௫ ൌ ݐ. 
6ݐଶ
ݐ ൅ 1
ൌ 6ݐ െ 6 ൅
6 
ݐ ൅ 1
ൌ 6 ൬ݐ െ 1 ൅
1
ݐ ൅ 1
൰. 
Então
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Exemplo 
Calcule׬
௘మೣାଵ
௘ೣା௘మೣ
݀ݔ. 
Como o ݉݀ܿ ሺ1,2ሻ ൌ 1 , efectuamos a substituição:  
݁௫ ൌ ݐ. 
Assim temos 
݁௫ ൌ ݐ ื ݁௫݀ݔ ൌ ݀ݐ. 
 
Logo,  
ݔ ൌ ln ሺݐሻ ื ݀ݔ ൌ
1
ݐ
݀ݐ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
න
݁ଶ௫ ൅ 1
݁௫ ൅ ݁ଶ௫
݀ݔ 
ൌ න
ݐଶ ൅ 1
ݐ ൅ ݐଶ
.
1
ݐ
݀ݐ 
ൌ න
ݐଶ ൅ 1
ݐଷ ൅ ݐଶ
 ݀ݐ 
ൌ න
ݐଶ
ݐଷ ൅ ݐଶ
 ݀ݐ ൅ න
1
ݐଷ ൅ ݐଶ
 ݀ݐ 
ൌ න
1
ݐ ൅ 1
 ݀ݐ ൅න
1
ݐଷ ൅ ݐଶ
 ݀ݐ  
ൌ ݈݊|ݐ ൅ 1| െ ݈݊|ݐ| െ ଵ
௧
൅ ݈݊|ݐ ൅ 1|+c 
ൌ െ݈݊|ݐ| െ
1
ݐ
൅ 2݈݊|ݐ ൅ 1| ൅ ܿ, ܿ א Թ. 
Para voltamos à variável original, neste caso ݔ, 
temos que: 
݁௫ ൌ ݐන
݁ଶ௫ ൅ 1
݁௫ ൅ ݁ଶ௫
݀ݔ ൌ െ݈݊|݁௫| െ
1
݁௫
൅ 2݈݊|݁௫ ൅ 1| 
ൌ െݔ െ
1
݁௫
൅ 2݈݊|݁௫ ൅ 1| ൅ ܿ, ܿ א Թ. 
 
Recorde:  
ܽ௕ ൈ ܽ௖ ൌ ܽ௕ା௖      ܽ௖ ൈ ܾ௖ ൌ ሺܽ ൈ ܾሻ௖     
    
௔್
௔೎
ൌ ܽ௕ି௖           ௔
೎
௕೎
ൌ ቀ௔
௕
ቁ
௖
   ሺܽ௕ሻ௖ ൌ ܽ௕ൈ௖ 
݁௫ ൌ ݐ ฻ ݔ ൌ ln ሺݐሻ,    ׊  ݐ א Թା 
݀ݔ ൌ
1
ݐ
݀ݐ. 
 
Repare que no integral ׬
௘మೣାଵ
௘ೣା௘మೣ
݀ݔ  não é possível 
colocar em evidencia o factor ݁௫  e portanto não 
podemos substituir o ݁௫݀ݔ por ݀ݐ. 
 
Nesta situação resolvemos ݁௫ ൌ ݐ em ordem a ݔ, 
ou seja, 
e assim, 
Deste modo já é possível substituir no integral     
݁௫  por ݐ e ݀ݔ por ଵ
௧
݀ݐ. 
න
1
ݐଷ ൅ ݐଶ
 ݀ݐ 
ݐଷ ൅ ݐଶ ൌ ݐݐሺݐ ൅ 1ሻ ฻ ݐଷ ൅ ݐଶ ൌ ݐଶሺݐ ൅ 1ሻ. 
1
ݐଶሺݐ ൅ 1ሻ
ൌ
ܣ
ݐ
൅
ܤ
ݐଶ
൅
ܥ
ݐ ൅ 1
֞
1
ݐଶሺݐ ൅ 1ሻ
ൌ
ܣݐሺݐ ൅ 1ሻ ൅ ܤሺݐ ൅ 1ሻ ൅ ܥݐଶ
ݐଶሺݐ ൅ 1ሻ
 
1 ൌ  ܣݐሺݐ ൅ 1ሻ ൅ ܤሺݐ ൅ 1ሻ ൅ ܥݐଶ ֞  ૚ ൌ ሺ࡭ ൅ ࡯ሻݐଶ ൅ ሺܣ ൅ ܤሻݐ ൅ ࡮ 
൝
0 ൌ ܣ ൅ ܥ
0 ൌ ܣ ൅ ܤ
1 ൌ ܤ
֞ ൝
ܣ ൌ െ1
ܤ ൌ 1
ܥ ൌ 1
. 
1
ݐଶሺݐ ൅ 1ሻ
ൌ
െ1
ݐ
൅
1
ݐଶ
൅
1
ݐ ൅ 1
. 
න
1
ݐଶሺݐ ൅ 1ሻ
݀ݐ ൌ න
െ1
ݐ
݀ݐ ൅ න
1
ݐଶ
݀ݐ ൅ න
1
ݐ ൅ 1
݀ݐ 
ൌ െ݈݊|ݐ| െ
1
ݐ
൅ ݈݊|ݐ ൅ 1| ൅ ܿ, ܿ א Թ. 
Calculo auxiliar 
 
A  função  integranda  é  uma  função  racional  cujo  grau  do 
numerador é menor que o grau do denominador.  
 
 
 
  Neste caso, como os factores são todos da forma 
ሺ݌ݐ ൅ ݍሻ௠, aplicamos a regra 1. 
Portanto, temos uma decomposição da forma 
 
ଵ
௧యା௧మ
ൌ ଵ
௧మሺ௧ାଵሻ
ൌ ஺
௧
൅ ஻
௧మ
൅ ஼
௧ାଵ
, 
 onde ܣ, ܤ e ܥ são constantes a determinar. 
   Para determinar essas constantes utilizamos o Método dos 
Coeficientes Indeterminados: 
logo 
Assim 
Temos portanto 
Passo 1
Passo 2
M@tplus    Integrais 
   
Página 25 de 36 
 
 
Exemplo 
Calcule ׬
௟௡ ሺଶ௫ሻ
௫௟௡ ሺସ௫ሻ
. 
 
Como o ݉݀ܿ ሺ2,4ሻ ൌ 2, efectuamos a substituição:  
݈݊ሺ2ݔሻ ൌ ݐ ื
2
ݔ
݀ݔ ൌ ݀ݐ. 
  Estamos na mesma situação que no exemplo anterior, uma vez que não podemos substituir 
no integral   ଶ
௫
݀ݔ. 
Assim,  
݈݊ሺ2ݔሻ ൌ ݐ ฻ 2ݔ ൌ ݁௧ ฻ ݔ ൌ
݁௧
2
, 
logo, 
݀ݔ ൌ
݁௧
2
݀ݐ. 
 
න
݈݊ ሺ2ݔሻ
ݔ݈݊ ሺ4ݔሻ
݀ݔ ൌ න
݈݊ ሺ2ݔሻ
ݔሺ݈݊ 2 ൅ ݈݊ሺ2ݔሻሻ
݀ݔ ൌ න
ݐ
݁௧
2 ሺ݈݊ 2 ൅ ݐሻ
݁௧
2
݀ݐ 
 
ൌ න
ݐ
݈݊ 2 ൅ ݐ
݀ݐ. 
Algoritmo da divisão 
         ࢚  ൅   ૙       | ࢚ ൅ ࢒࢔૛ 
      െ࢚ െ ࢒࢔૛          ૚ 
              െ࢒࢔૛      
       
 
 
 
 
 
Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais 
 de expressões do tipo 
                           ln ሺ݉ݔሻ, ln ሺ݊ݔሻ, …                       ሺ݉, ݊, … א Գሻ 
deve‐se calcular o máximo divisor comum entre ݊, ݉….  
݇ ൌ ݉. ݀. ܿሺ݉, ݊, … ሻ. 
Então a mudança de variável aconselhada é 
݈݊ ሺ݇ݔሻ ൌ ݐ. 
݈݊ሺܽ ൈ ܾሻ ൌ ݈݊ሺܽሻ ൅ ݈݊ ሺܾሻ 
݈݊ ቀ
ܽ
ܾ
ቁ ൌ ݈݊ሺܽሻ െ ݈݊ ሺܾሻ 
Recorde:  
ݐ
݈݊ 2 ൅ ݐ
ൌ 1 ൅
െ݈݊2 
ݐ ൅ ݈݊2
 
Então
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න
ݐ
݈݊ 2 ൅ ݐ
݀ݐ 
 
ൌ න൬1 െ
݈݊ 2
݈݊ 2 ൅ ݐ
൰ ݀ݐ 
 
ൌ න1݀ݐ െ න
݈݊ 2
݈݊ 2 ൅ ݐ
݀ݐ 
 
ൌ ݐ െ ݈݊ 2න
1
݈݊ 2 ൅ ݐ
݀ݐ 
 
ൌ ݐ െ ݈݊ 2  ݈݊|݈݊ 2 ൅ ݐ| ൅ ܿ,   ܿ א Թ. 
 
Para voltarmos à variável original, neste caso ݔ, temos que: 
ݐ ൌ ݈݊ ሺ2ݔሻ. 
 
න
݈݊ሺ2ݔሻ
ݔ݈݊ሺ4ݔሻ
݀ݔ ൌ ݈݊ሺ2ݔሻ െ ݈݊ 2 ݈݊|݈݊ 2 ൅ ݈݊ሺ2ݔሻ| ൅ ܿ,   ܿ א Թ. 
 
 
   
ݔ௠ሺܽ ൅ ܾݔ௡ሻ௣ 
[PISK] Chama‐se binómio diferencial à expressão 
em que  ,  ݉, ݊, ݌, ܽ, ܾ  são constantes. 
O integral do binómio diferencial ׬ ݔ௠ሺܽ ൅ ܾݔ௡ሻ௣ ݀ݔ pode ser reduzido, 
se ݉, ݊, ݌ forem números racionais, ao integral duma função racional nos 
seguintes três casos: 
1) ݌ é um número inteiro, isto é, ݌ א Ժ;   
2) ௠ାଵ
௡
 é um número inteiro; 
3) ௠ାଵ
௡
൅ ݌ é um número inteiro. 
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Em  qualquer  um  dos  casos  referidos,  devemos  proceder,  inicialmente,  à mudança  de 
variável seguinte:  
dzz
n
dxzx nn 1
11 1 , −== . 
Desta resulta o seguinte: 
                           ( ) ( ) dzbzaz
n
dxbxax pq
pnm +=+ ∫∫ 1  onde  11 −+= nmq . 
A  segunda mudança  de  variável  aconselhada  depende  do  caso  em  nos  encontramos, 
assim, 
1) se  p  é um número inteiro, e sendo  q o número racional 
s
rq = , devemos efectuar a 
substituição 
stz = ; 
2) se 
n
m 1+
  é  um  número  inteiro  e  sendo  p o  número  racional  μ
λ=p ,  devemos 
efectuar a substituição 
μtbza =+ ; 
3) se  p
n
m ++1   é  um  número  inteiro,  isto  é,  pq + é  inteiro,  façamos  primeiro  a 
seguinte modificação 
( ) dz
z
bzazdzbzaz
p
pqpq ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=+ ∫∫ + , 
e, de seguida, consideremos a substituição 
μt
z
bza =+      ( μ
λ=p ). 
Exemplo 1 
Calcule ׬
ඥሺଵା௫యሻయ
௫
݀ݔ. 
 
න
ඥሺ1 ൅ ݔଷሻଷ
ݔ
݀ݔ ൌ නݔିଵሺ1 ൅ ݔଷሻ
య
మ ݀ݔ 
 
  
 
ݔଷ ൌ ݖ 
݌ ൌ ଷ
ଶ
;  ݉ ൌ െ1; ݊ ൌ 3
 
1ª mudança de variável 
ݔ ൌ ݖ
భ
య, logo ݀ݔ ൌ ଵ
ଷ
ݖష
మ
య݀ݖ 
 
Como  ݌  ב  Ժ , mas ௠ାଵ
௡
ൌ 0 א  Ժ, 
encontramo‐nos no 2º caso. 
 
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( )
( )
( )
( ) ( )
( ) C
x
xxx
C
t
ttt
Ctttt
dt
tt
t
dt
tt
t
dt
t
t
tdttt
dzzz
dzzzz
dxxx
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++
−+++++=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−++=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−++=
+
−+−++=
+−++=
−=
−=
+=
+=
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
−
−−
−
11
11ln
2
11
3
1
3
2
1
1ln
2
1
33
2
1ln
2
11ln
2
1
33
2
1
21
1
211
3
2
)1)(1(
11
3
2
13
2
21
3
1
1
3
1
3
11
1
3
3
3
3
3
3
2
2
2
4
212
 v.m. ª2
2
3
1
3
2 v.m. ª1
31
2
3
2
3
2
3
3
1
2
3
 
 
 
Exemplo 2 
Calcule ׬
√ଵା௫మ
௫మ
݀ݔ. 
 
න
√1 ൅ ݔଶ
ݔଶ
݀ݔ ൌ නݔିଶሺ1 ൅ ݔଶሻ
భ
మ ݀ݔ 
 
  
Note que 
12
4
−t
t
é uma função racional à variável 
Algoritmo da divisão 
1
1 
 
1 
1 
2
2
224
24
+−
++−
−
t
t
ttt
t|t
Decompondo em fracções 
simples…. 
 
2
1 e 
2
1
)1()1(1
11)1)(1(
1
−==⇒
−++=⇒
++−=+−
BA
tBtA
t
B
t
A
tt
Para voltar à variável ݔ: 
311 xzt +=+=
 
ݔଶ ൌ ݖ 
݌ ൌ ଵ
ଶ
;  ݉ ൌ െ2; ݊ ൌ 2 
 
1ª mudança de variável 
ݔ ൌ ݖ
భ
మ, logo ݀ݔ ൌ ଵ
ଶ
ݖష
భ
మ݀ݖ 
 
 
 
Como  ݌  ב  Ժ ,  ௠ାଵ
௡
ൌ െ ଵ
ଶ
ב  Ժ,  mas 
௠ାଵ
௡
൅ ݌ ൌ 0 א Ժ , encontramo‐nos no 3º 
caso. 
1 ൅ ݖ ൌ ݐଶ 
2ª mudança de variável 
ݖ ൌ ݐଶ‐1, logo ݀ݖ ൌ 2ݐ݀ݐ 
 
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( )
( )
( )
( )
( ) ( )
C
x
x
x
x
x
x
C
t
tt
Cttt
dt
tt
dt
tt
dt
t
t
dt
t
ttt
dz
z
zz
dz
z
zzz
dzzz
dzzzz
dxxx
+
++
−+
−+−=
++
−−−=
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−+−=
+
−+−+−=
+−+−=
−−=
−
−−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
+=
+=
+=
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−−
−−
11
11
ln
2
11
1
1ln
2
1
1ln
2
11ln
2
1
1
21
1
211
)1)(1(
11
1
1
21
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
11
1
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
 v.m. ª2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
1
 v.m. ª1
2
1
22
 
 
 
݉൅ 1
݊
 
 
 
 
Note que 
12
2
−t
t
é uma função racional à variável 
Algoritmo da divisão 
1 
1 1
1 
2
22
+−
−
t
t|t
Decompondo em fracções 
simples…. 
 
2
1 e 
2
1
)1()1(1
11)1)(1(
1
−==⇒
−++=⇒
++−=+−
BA
tBtA
t
B
t
A
tt
Para voltar à variável ݔ: 
2
211
x
x
z
zt +=+=
1 ൅ ݖ
ݖ
ൌ ݐଶ 
1 ൅ ݖ ൌ ݖݐଶ 
ݖሺݐଶ െ 1ሻ ൌ 1 
ݖ ൌ ሺݐଶ െ 1ሻିଵ 
݀ݖ ൌ െሺݐଶ െ 1ሻିଶ2ݐ݀ݐ 
2ª mudança de variável  
(após a modificação efectuada) 
Logo, 
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Na tabela seguinte temos um resumo de cada uma das mudanças de variável anteriores. 
Expressão  Substituição a efectuar  Cálculo do integral  Para voltar à 
variável inicial 
ඥ࢞૛ ൅ ࢑૛  ݔ ൌ ݇ ݐ݃ ሺݐሻ ՜ ݀ݔ ൌ ݇ݏ݁ܿ
ଶሺݐሻ ݀ݐ 
 
නට൫݇ ݐ݃ ሺݐሻ൯
ଶ
൅ ݇ଶ · ݇ ݏ݁ܿଶሺݐሻ݀ݐ 
ൌ න|݇|ඥݐ݃ ଶݐ ൅ 1 · ݇ ݏ݁ܿଶሺݐሻ݀ݐ 
 
Simplificar usando a relação trigonométrica 
1 ൅ ݐ݃ଶሺݐሻ ൌ ݏ݁ܿଶሺݐሻ  
 
ݐ ൌ ܽݎܿݐ݃ ቀ
ݔ
݇
ቁ 
ඥ࢞૛ െ ࢑૛  ݔ ൌ ݇ ݏ݁ܿ ሺݐሻ ՜ ݀ݔ ൌ ݇ ݏ݁ܿሺ ݐሻ ݐ݃ሺݐሻ ݀ݐ
 
නඥሺ݇ ݏ݁ܿሺݐሻሻଶ െ ݇ଶ · ݇ ݏ݁ܿሺ ݐሻ ݐ݃ሺݐሻ ݀ݐ 
ൌ න|݇|ඥݏ݁ܿ ଶݐ െ 1 · ݇ ݏ݁ܿሺ ݐሻ ݐ݃ሺݐሻ ݀ݐ 
 
Simplificar usando a relação trigonométrica 
1 ൅ ݐ݃ଶሺݐሻ ൌ ݏ݁ܿଶሺݐሻ  
 
ݐ ൌ ܽݎܿܿ݋ݏ ൬
݇
ݔ
൰ 
ඥ࢑૛ െ ࢞૛  ݔ ൌ ݇ ݏ݁݊ሺݐሻ ՜  ݀ݔ ൌ ݇  ܿ݋ݏሺݐሻ  ݀ݐ
 
නට݇ଶ െ ൫݇ ݏ݁݊ሺݐሻ൯
ଶ
· ݇ ܿ݋ݏሺ ݐሻ݀ݐ 
ൌ න|݇|ඥ1 െ ݏ݁݊ ଶݐ · ݇ ܿ݋ݏሺ ݐሻ݀ݐ 
 
Simplificar usando  a relação trigonométrica 
ݏ݁݊ଶሺݐሻ ൅ ܿ݋ݏଶሺݐሻ ൌ 1  
 
ݐ ൌ ܽݎݏ݁݊ ቀ
ݔ
݇
ቁ 
ඥݔଶ ൅ ݇ଶ 
ඥݔଶ െ ݇ଶ 
ඥ݇ଶ െ ݔଶ 
ݔ ൌ ݇ ݐ݃ ሺݐሻ 
ݔ ൌ ݇ ݏ݁ܿ ሺݐሻ 
ݔ ൌ ݇ ݏ݁݊ሺݐሻ 
Para calcular o integral de funções que envolvem expressões radicais do 
tipo  
 
Efectuamos respectivamente a mudança de variável (substituição 
trigonométrica) 
݄ሺݔሻ ൌ ݔ ൅ ݀,  ݀ א Թ. 
Estas mudanças de variável também se 
aplicam se no lugar de ݔ estiver uma 
função linear  
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Exemplo  
Calcule ׬√9 െ ݔଶ  ݀ݔ.  
1. Função irracional quadrática incompleta da forma √ܽଶ െ ݔଶ. 
Substituição:    ݔ ൌ 3 ݏ݁݊ݐ   ֜ ݀ݔ ൌ 3 cos ݐ ݀ݐ. 
      
2. Substituindo, integra‐se a função obtida em ordem à nova variável ݐ. 
නඥ9 െ ݔଶ  ݀ݔ ൌ නඥ9 െ ሺ3ݏ݁݊ݐሻଶ   · 3 cos ݐ  ݀ݐ ൌ නඥ9 െ 9ݏ݁݊ଶݐ   · 3 cos ݐ  ݀ݐ 
                                        ൌ ׬ඥ9ሺ1 െ ݏ݁݊ଶݐሻ   · 3 cos ݐ  ݀ݐ ൌ 3 ൈ 3׬√ܿ݋ݏଶݐ   · cos ݐ  ݀ݐ 
                                         ൌ 9׬ ܿ݋ݏݐ  · cos ݐ  ݀ݐ ൌ 9׬ ܿ݋ݏଶݐ ݀ݐ ൌ 9׬
ଵା௖௢௦ሺଶ௧ሻ
ଶ
݀ݐ 
 
 
 
                                                           ൌ
9
2
න1݀ݐ ൅
9
4
න2ܿ݋ݏሺ2ݐሻ݀ݐ ൌ
9
2
ݐ ൅
9
4
ݏ݁݊ ሺ2ݐሻ
ൌ
9
2
ݐ ൅
9
4
2 ܿ݋ݏ ݐ ݏ݁݊ ݐ 
ൌ
9
2
ݐ ൅
9
2
ܿ݋ݏ ݐ ݏ݁݊ ݐ ൅ ܿ,     ܿ א Թ. 
 
3. Como ݔ ൌ ݃ሺݐሻ  ՜ ݐ  ൌ ݃ିଵሺݔሻ.  
 
No nosso caso 
• ݔ ൌ 3 ݏ݁݊ݐ  ฺ ௫
ଷ
ൌ ݏ݁݊ݐ, ݐ א ቂെ గ
ଶ
, గ
ଶ
ቃ 
ฺ ܽݎܿݏ݁݊ ቀ
ݔ
3
ቁ ൌ ݐ, ݐ א ቂെ
ߨ
2
,
ߨ
2
ቃ 
• Para calcular cos ሺݐሻ usamos a relação trigonométrica 
  
ݏ݁݊ଶሺݐሻ ൅ ܿ݋ݏଶሺݐሻ ൌ 1  
 
ݏ݁݊ଶݐ ൅ ܿ݋ݏଶݐ ൌ 1 ֞ ܿ݋ݏଶݐ ൌ 1 െ ݏ݁݊ଶݐ 
ฺ ܿ݋ݏଶݐ ൌ 1 െ ௫
మ
ଽ
 
֞ ܿ݋ݏݐ ൌ േට1 െ ௫
మ
ଽ
,  ݐ א ቂെ గ
ଶ
, గ
ଶ
ቃ 
 
ฺ ܿ݋ݏݐ ൌ ට1 െ ௫
మ
ଽ
ൌ
√ଽି௫మ
ଷ
 
 
ܿ݋ݏଶݐ ൌ
1 ൅ ܿ݋ݏሺ2ݐሻ
2
 
ݏ݁݊ଶݐ ൌ
ݔଶ
9
 
Substituindo 
Como ݐ א ቂെగ
ଶ
, గ
ଶ
ቃ, estamos no 1º ou 4º 
quadrante onde o cosseno é positivo. 
ݏ݁݊ሺݐሻ ൌ
ܿܽݐ݁ݐ݋ ݋݌݋ݏݐ݋
݄݅݌݋ݐ݁݊ݑݏܽ
ൌ
ݔ
3
 
ܿ݋ݏሺݐሻ ൌ
ܿܽݐ݁ݐ݋ ݆ܽ݀ܽܿ݁݊ݐ݁
݄݅݌݋ݐ݁݊ݑݏܽ
ൌ
√9 െ ݔଶ
3
 
Em alternativa, repare que: 
se  tivermos  o  triângulo  rectângulo,  em  que  um 
dos  ângulos  tem  amplitude  ݐ, o  cateto oposto  a 
esse ângulo mede ݔ e a hipotenusa do  triângulo 
mede 3, temos, pelo Teorema de Pitágoras, que o 
cateto adjacente ao ângulo ݐ é igual a √9 െ ݔଶ. 
 
 
 
 
 
 
Temos então que 
 
e que 
ݐ
ඥ9 െ ݔଶ 
ݔ 
3 
Cateto adjacente 
Cateto oposto
Hipotenusa 
M@tplus    Integrais 
   
Página 32 de 36 
 
Assim 
නඥ9 െ ݔଶ  ݀ݔ ൌ
9
2
ܽݎݏ݁݊ ቀ
ݔ
3
ቁ ൅
9
2
ݔ
3
√9 െ ݔଶ
3
 
ൌ
9
2
ቆܽݎݏ݁݊ ቀ
ݔ
3
ቁ ൅
ݔ√9 െ ݔଶ
9
ቇ ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
 
Exemplo  
Calcule ׬
௫ାଶ
√ଷାଶ௫ି௫మ
 ݀ݔ.  
Comecemos por transformar 3 ൅ 2ݔ െ ݔଶ numa diferença de quadrados. Como o coeficiente 
de  ݔଶ  é negativo,  teremos que  colocá‐lo  em  evidência  e  seguir  o processo descrito  ao  lado para 
transformar  3 ൅ 2ݔ െ ݔଶ na diferença ݇ଶ െ ݑଶ, em que ݑ é uma função linear de ݔ. 
 
3 ൅ 2ݔ െ ݔଶ ൌ 3 െ ሺݔଶ െ 2ݔሻ 
ൌ 3 െ ቂቀݔଶ െ 2ݔ ൅ ସ
ସ
ቁ െ ସ
ସ
ቃ 
ൌ 3 െ ൤ቀݔ െ ଶ
ଶ
ቁ
ଶ
െ ସ
ସ
൨ 
 
ൌ 4 െ ሺݔ െ 1ሻଶ 
ൌ 2ଶ െ ሺݔ െ 1ሻଶ 
 
 
Seja  ݑ ൌ  ݔ െ 1 e ݇ ൌ 2. Como ݔ ൌ  ݑ ൅ 1, temos  ݀ݔ ൌ ݀ݑ  
e  ݔ ൅ 2 ൌ ݑ ൅ 3 e portanto, 
 
න
ݔ ൅ 2
√3 ൅ 2ݔ െ ݔଶ
݀ݔ ൌ න
ݑ ൅ 1 ൅ 2
ඥ4 െ ሺݔ െ 1ሻଶ
݀ݑ ൌ න
ݑ ൅ 3
√2ଶ െ ݑଶ
݀ݑ 
ൌ න
ݑ
√2ଶ െ ݑଶ
݀ݑ ൅ 3න
1
√2ଶ െ ݑଶ
݀ݑ 
ൌ െ
1
2
නെ2ݑሺ4 െ ݑଶሻି
ଵ
ଶ݀ݑ ൅ 3න
1
√2ଶ െ ݑଶ
݀ݑ 
ൌ െ
1
2
 
ሺ4 െ ݑଶሻି
ଵ
ଶାଵ
െ12 ൅ 1
൅ 3 ܽݎܿݏ݁݊ ቀ
ݑ
2
ቁ 
ൌ ඥ4 െ ݑଶ ൅ 3 ܽݎܿݏ݁݊ ቀ
ݑ
2
ቁ ൅ ܿ,   ܿ א Թ. 
ݔଶ േ ܾݔ ൅ ܿ 
 ൬ݔ േ
ܾ
2
൰
ଶ
െ
ܾଶ
4
. 
Passos:    
 
1. Identificar ܾ. 
2.  Considerar ௕
మ
ସ
. 
3. Somar  e  subtrair  a  ݔଶ േ ܾݔ 
o  valor  obtido  no  passo 
anterior, ou seja,  
௕మ
ସ
. 
4. Escrever na forma 
ܾ
݇ଶ ݑଶ 
M@tplus    Integrais 
   
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Para voltamos à variável original, neste caso ݔ, temos que: 
න
ݔ ൅ 2
√3 ൅ 2ݔ െ ݔଶ
݀ݔ ൌ െඥ4 െ ሺݔ െ 1ሻଶ ൅ 3ܽݎܿݏ݁݊ ൬
ݔ െ 1
2
൰ 
ൌ െඥ3 ൅ 2ݔ െ ݔଶ ൅ 3ܽݎܿݏ݁݊ ൬
ݔ െ 1
2
൰ ൅ ܿ,   ܿ א Թ. 
 
                  
  
Na tabela seguinte temos um resumo da mudança de variável anterior. 
 
Expressão  Substituição a efectuar  Utilizar  Para voltar à 
variável 
inicial 
࢙ࢋ࢔ሺ࢞ሻ  ݔ
2
ൌ ܽݎܿݐ݃ ݐ  ֞ ݔ ൌ 2ܽݎܿݐ݃ݐ ฺ  ݀ݔ ൌ
2
1 ൅ ݐଶ
݀ݐ 
 
ݏ݁݊ሺݔሻ ൌ
2ݐ݃ ቀݔ2ቁ
1 ൅ ݐ݃ଶ ቀݔ2ቁ
ൌ
2ݐ
1 ൅ ݐଶ
 
ݐ ൌ ݐ݃ ቀ
ݔ
2
ቁ 
ࢉ࢕࢙ሺ࢞ሻ  ݔ
2
ൌ ܽݎܿݐ݃ ݐ  ֞ ݔ ൌ 2ܽݎܿݐ݃ݐ ฺ  ݀ݔ ൌ
2
1 ൅ ݐଶ
݀ݐ 
 
ܿ݋ݏሺݔሻ ൌ
1 െ ݐ݃ଶ ቀݔ2ቁ
1 ൅ ݐ݃ଶ ቀݔ2ቁ
ൌ
1 െ ݐଶ
1 ൅ ݐଶ
 
 
ݐ ൌ ݐ݃ ቀ
ݔ
2
ቁ 
 
Exemplo: 
Calcule o integral ׬
ଵା௦௘௡௫
ଵା௖௢௦௫
݀ݔ. 
 
1. É uma função que envolve funções trigonométricas. 
 
2. Comecemos por fazer a mudança de variável. 
Tal como referido anteriormente: 
ݐ ൌ ݐ݃ ቀ
ݔ
2
ቁ ฺ ݏ݁݊ݔ ൌ
2ݐ
1 ൅ ݐଶ
,       cosሺݔሻ ൌ
1 െ ݐଶ
1 ൅ ݐଶ
   e       ݀ݔ ൌ
2
1 ൅ ݐଶ
dt.              
Qualquer função trigonométrica ሺݐ݃, ܿ݋ݐ݃, ݏ݁ܿ, ܿ݋ݏ݁ܿ … ሻ pode exprimir‐se à custa 
das funções ݏ݁݊݋ e ܿ݋ݏݏ݁݊݋. 
 Para calcular o integral de funções que envolvam a funções ࢙ࢋ࢔࢕ e ࢉ࢕࢙࢙ࢋ࢔࢕, 
efectuamos a mudança de variável 
ݐ ൌ ݐ݃ ቀ௫
ଶ
ቁ. 
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Calculando o integral por mudança de variável: 
න
1 ൅ ݏ݁݊ݔ
1 ൅ ܿ݋ݏݔ
݀ݔ ൌ න
1 ൅ 2ݐ1 ൅ ݐଶ
1 ൅ 1 െ ݐ
ଶ
1 ൅ ݐଶ
 
2
1 ൅ ݐଶ
 ݀ݐ 
 
ൌ න
1 ൅ ݐଶ ൅ 2ݐ
1 ൅ ݐଶ
1 ൅ ݐଶ ൅ 1 െ ݐଶ
1 ൅ ݐଶ
 
2
1 ൅ ݐଶ
݀ݐ  ൌ න
ݐଶ ൅ 2ݐ ൅ 1
ݐଶ ൅ 1
݀ݐ 
 
ൌ න
ݐଶ ൅ 1
ݐଶ ൅ 1
൅
2ݐ
ݐଶ ൅ 1
݀ݐ 
ൌ න1 ൅
2ݐ
ݐଶ ൅ 1
݀ݐ 
ൌ න1݀ݐ  ൅ න
2ݐ
ݐଶ ൅ 1
݀ݐ 
ൌ ݐ ൅ ݈݊|ݐଶ ൅ 1| ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
 
Para voltamos à variável original, neste caso ݔ, temos que: 
ݐ ൌ ܽݎݐ݃ ቀ
ݔ
2
ቁ 
 
න
1 ൅ ݏ݁݊ݔ
1 ൅ ܿ݋ݏݔ
݀ݔ ൌ ݐ݃ ቀ
ݔ
2
ቁ ൅ ݈݊ ቚݐ݃ଶ ቀ
ݔ
2
ቁ ൅ 1ቚ 
 
ൌ ݐ݃ ቀ
ݔ
2
ቁ ൅ ݈݊ ቚݏ݁ܿଶ ቀ
ݔ
2
ቁቚ ൅ ܿ,    ܿ א Թ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1. Calcule: 
a.   ׬
√௫యି √௫య
଺ √௫ర
ଶ
ଵ  ݀ݔ; 
 
b. ׬
ଵ
√௫మାସ
  ݀ݔ; 
 
c. ׬
ହ
ଶା√௫ିଷ
ସ
ଷ  ݀ݔ; 
 
d. ׬
√௫మିଽ
௫
 ݀ݔ; 
 
e. ׬
ଵ
ଵା௦௘௡ ௫ିୡ୭ୱ௫
  ݀ݔ; 
 
f. ׬√7 െ 5ݔଶ  ݀ݔ; 
 
g. ׬
ሺ௘ೣିଶሻ௘ೣ
௘ೣାଵ
  ݀ݔ;       (Sugestão: Faça ݑ ൌ ݁௫ ൅ 1.) 
 
h.  ׬
௟௡య௫
௫ሺହ௟௡௫ା௟௡మ௫ሻ
  ݀ݔ; 
 
 
i. ( ) dxxx∫ +3 235 1 ; 
j. ( )∫ + 2322 1 xx
dx
; 
k. ∫
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +14143 xx
dx
; 
l. dx
x
x∫ +3 41 . 
 
 
2. Num  certo  subúrbio de uma metrópole,  a  concentração de Ozono no  ar, ܮሺݐሻ, é de 0, 25 
partes por milhão (݌݌݉) às 7݄.  
De acordo com o serviço de meteorologia, a concentração de Ozono t horas mais tarde varia 
à razão de 
ܮᇱሺݐሻ ൌ
0,24 െ 0,03ݐ
√36 ൅ 16ݐ െ ݐଶ
    ݌݌݉/݄  
 
Determine a função que devolve a concentração de Ozono ݐ horas após as sete da manhã. 
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Bibliografia 
 
[LH] Larson, R., Hostetler, R. e Edwards, B., Cálculo, Mc Graw Hill, 2006. 
 
 [ELL] Lima,L. E.; Curso de Análise, Vol.2, Projecto Euclides, Nona Edição, 1999. 
[CUV] Malta I., Pesco, S., Lopes,H.; Cálculo a uma variável, Vol. II, Derivada e Integral; 
Editora PUC Rio, 2002. 
 
[CGA] Swokowski; Cálculo com Geometria Analítica, Vol.1 , Makron Books, 1991. 
 
[MA] Harshbarger, R. J. , Reynolds, J. J. , Matemática Aplicada – Administração, 
Economia e Ciencias Sociais e Biológicas, Mc Graw Hill, 2006. 
[PISK] Piskounov, N. ; Cálculo Diferencial e Integral, Vol. I e Vol. II, Ed. Lopes da Silva, 
18ª edição.