Exercício Estado Plano - Resolvido

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RESISTÊNCIA
 DOS
 MATERIAIS
Estado Plano
EXEMPLO: Um elemento está sujeito as tensões planas como mostra a
figura: 
Calcular :
a) As tensões e os planos principais
b) As tensões que atuam no elemento a 40o
c) As tensões máximas de cisalhamento
σ =15000MPa
 x
σ =5000MPa
 y
τ =4000MPaxy
A
B
P
θ=40o
Resolução:
 
σx 15000MPa:=
σy 5000MPa:=
τxy 4000MPa:=
a) As tensões e os planos principais
σ1
σx σy+
2
σx σy−
2






2
τxy
2
++:= σ1 16403.12MPa=
σ2
σx σy+
2
σx σy−
2






2
τxy
2
+−:=
σ2 3596.88MPa=
Profa. Dra. Rosilene F Vieira 1
RESISTÊNCIA
 DOS
 MATERIAIS
Estado Plano
Tensão média •
σméd
σx σy+
2
:= σméd 10000 MPa=
Raio •
Raio
σx σy−
2






2
τxy
2
+:= Raio 6403.12MPa=
Círculo de Mohr •
θ2 τmáx
σ
τxy
C
θ2 1σ =3596.882
B(θ=90 )o
+
-
σ
 x
σ =5000
 y
 x
τ =4000xy
σ =16403.121
A(θ=0 )o
σ =15000
 x
σ
 y+
2
-τ = - 4000xy
θ > 0 +
R
θ=802
D(θ=40 )o
D'
σ
 x40
τ40
σ
 y40
=10000
R
K
β
sen 2θ
1
 =
τxy
R
 2θ1=38.6598 θ1=19.3299
ο
Profa. Dra. Rosilene F Vieira 2
RESISTÊNCIA
 DOS
 MATERIAIS
Estado Plano
Plano Principal θ1=19.3299
ο
x
y σ 
=
359
6.88
MP
a
 
2
 x
θ =19.32991
A
B
P
 y
σ 1
σ 2
σ 
=
164
03.1
2MP
a
 
1
o
b) As tensões que atuam no elemento a 40o
 
β = 80 - 38.6598 = 41.3402
sin β = τ40
R
 
τ40 = - 4229.45MPa
cos β = CK
R
CK = 4807.47
 
σx40 = σméd + CK = 10000 + 4807.47 = 14807.47MPa
 
σy40 = σméd - CK = 10000 - 4807.47 = 5192.53MPa
Profa. Dra. Rosilene F Vieira 3
RESISTÊNCIA
 DOS
 MATERIAIS
Estado Plano
σ 
 
 
 
=
148
07.4
7MP
a
x 40
τ 
=
 
-
 
422
9.45
MP
a
40
x
y
θ =40
D
D'
P
 y
σ 
 
 
 
=
 
519
2.53
MP
a
 
y 40
 x
o
c) As tensões máximas de cisalhamento
2θτmáx= 90 - 2θ1= 90 - 38.6598 = 51.3402
o
 
θτmáx= - 25.6701
o
 horário é negativo
Profa. Dra. Rosilene F Vieira 4
RESISTÊNCIA
 DOS
 MATERIAIS
Estado Plano
σ
 
 
 
 
=10000MPa
méd
τ
 
 
 
 
 
=
 6403
.12MPa
máx
x
y
θ = - 25.6701
D
D
'
P
 y
 x
o
σ
 
 
 
 
=10000MPa
méd
Profa. Dra. Rosilene F Vieira 5