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Campus Swift – Campinas, SP 
Curso: Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira 
 
 
Campinas 
2013 
 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 1 
Figuras planas 
• Centro de gravidade ou baricentro 
∑
∑ ⋅
=
n
1
i
n
1
ii
CG
A
xA
x
 
∑
∑ ⋅
=
n
1
i
n
1
ii
CG
A
yA
y
 
 
• Translação de eixos Raio de Giração 
( )
( )
)yxAJ(J
xACGJJ
yACGJJ
11
n
1
xyCGxy
n
1
2
1yy
n
1
2
1xx
⋅+=
⋅+=
⋅+=
∑
∑
∑
 
 
rx=�JxA 
 
ry=�JyA 
 
• Momentos principais de inércia 
2
xy
2
yxyx
mín
máx J2
JJ
2
JJ
J +





 −
±
+
=
 
2/)JJ(
J
2tg
yx
xy
p
−
−
=α
 
 
 
• Círculo de Mohr 
 
 
• 
2
xy
2
yx J
2
JJ
R +





 −
=
 é o raio do círculo ou seja segmento AC. 
• O centro C localiza-se no ponto de coordenadas => 





 +
0;
2
JJ yx
 
• O ponto de referência A localiza-se nas coordenadas => ( )xyx J;J 
J
Jxy
A
C
α2 p1
Jmax
Jmin0 x
y
Eixo principal do
momento de inércia J
αp1
max
Eixo principal do
momento de inércia Jmin
αp2
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 2 
Tabela – Momento de inércia em relação ao CG 
 
Superfície A CGxJ CGyJ CGxyJ 
xCG
yCG
CGh
b
h/2
b/2
 
hb ⋅ 
12
hb 3⋅
 
12
bh 3⋅
 
0 
xCG
CG
CG
b
b/3
h
h/3
 
2
hb ⋅
 
36
hb 3⋅
 
36
bh 3⋅
 
72
hb 22 ⋅
− 
 
pi·r2 
 pi·r 4
4 
 pi·r 4
4 
0 
 
 pi·r2
2 
�pi8 - 89pi� ·r 4 pi·r 
4
8 
0 
xCG
yCG
CGD
D/2
D
D/2
r
xCG
yCG
CG4r/3pi
D
D/2
r
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 3 
Estado duplo ou plano ou biaxial de tensões 
 
• Círculo de Mohr 
1) Sistema de referência: σ como abscissa (+ para direita) 
τ como ordenada (+ para baixo) 
 
2) Localize o ponto C (centro do círculo) por coordenadas: 
 
 
3) Localize o ponto A por coordenadas: 
 
O ponto A corresponde a θ = 0o 
 
4) Localize o ponto B por coordenadas: 
 
 O ponto B corresponde a θ = 90o 
 
5) Usando estes três pontos construa o círculo. 
 
6) Tensões principais σσσσ1 e σσσσ2 
2
xy
2
yxyx
mín
máx 22
τ+






 σ−σ
±
σ+σ
=σ σmáx = σ1 σmín = σ2 
 
7) Raio do círculo, ou seja, segmento AC: 
2
xy
2
yx
2
R τ+





 σ−σ
= 
 
σ
 x
σ
 x σ y+
2
τxy= =0;( )
σ
 x σ x τxy τxy= =e
σ
 x σ y τxy −τxy= =e
0 x
y
σ
 x
σ
 y
τxy
A
B
P
θ=0o
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 4 
 
 
 
 
 
 
σ
τxy
C
θ2 1σ2
B(θ=90 )o
+
-
σ
 x
σ
 y
 x
τxy
σ1
A(θ=0 )o
σ
 x
σ
 y+
2
-τxy
θ > 0 +
R
σ
 x σ y-
2
θ2 D(θ=θ )o
D'
σ
 x
τxy
σ
 y
 y y
σ 1
σ 2
σ y
 x
x
y
σ x
τ x y
σ 1
σ 2
 x
θ1
x
y
θ > 0
A
B
D
D'
P
P
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 5 
 
Tensões 
 
 
• TENSÃO NORMAL, DEFORMAÇÃO LINEAR E LEI DE HOOKE 
 
σ=
P
A ε= ∆LL σ=E·ε 
 
 
 
• TENSÃO NORMAL DEVIDO A FLEXÃO E TENSÃO DE CISALHAMENTO 
 
xx
x
It
SVy
I
M
⋅
⋅
=τ⋅=σ 
 
Onde: 
σ é a tensão normal; 
τ é a tensão de cisalhamento no ponto localizado a uma distância y da linha 
neutra; 
V é o esforço cortante; 
Ix é o momento de inércia de toda seção transversal calculado em torno da linha 
neutra; 
t é a largura da área da seção transversal do elemento medida no ponto em que 
τ deve ser determinado; 
S é o momento estático S= ∑ ·A' 
 A’ é a parte superior ou inferior da área da seção transversal do elemento, 
definida pela seção onde t é medido; 
 é a distância até o centróide de A’ medido a partir da LN. 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 6 
 
 
 
Esforços solicitantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carregamento V M
Concentrado Constante Reta
Distribuído Reta Parábola
Triangular Parábola Eq. de 3º. grau
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 7 
 
Linha elástica 
 
 
 
 
Flexão Simples, Composta,Oblíqua 
 
σ = ± NA ± MZIZ ∙ y ± 
MyIy ∙ z 
 
 
 
Instabilidade de Barras-Flambagem 
 
Pcr=
pi
2
·E·I
(K·L)2 → σcr= PcrA = π
2
·E
(λ)2 → λ = K·Lr 
Onde: 
Pcr → Carga crítica ou carga de Euler; E → Módulo de elasticidade; 
I → Momento de inércia; L → Comprimento da coluna; 
K → Comprimento de flambagem; λ → Índice de esbeltez; 
σcr → Tensão crítica; r → Raio de giração. 
 
 
Ponto de
inflexão
K=1,0
K=2,0
K=2,0
l
K=0,5
K=0,7
K=1
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 8 
Torção de barras circulares 
 
Seção circular ττττ Jt ou It ϕ 
Maciça 
 
Mt·D
Jt·2
 ou 
Mt·r
Jt
 
π·D4
32 ou 
π·r4
2 
Mt·L
G·Jt
 
Parede espessa 
 
Mt·D
Jt·2
 ou 
Mt·r
Jt
 
π·(D4- d4)
32 ou 
π·(R4- r4)
2 
Mt·L
G·Jt
 
Parede fina 
 
Mt·Dm
Jt·2
 ou 
Mt·rm
Jt
 
 
π·Dm3 ·e
4 ou 2·π·Rm
3
·e 
Mt·L
G·Jt
 
Onde: τ → Tensão de cisalhamento ou tangenciais; 
 Jt ou It → Momento de inércia polar ou momento de inércia à torção; 
 ϕ → Ângulo de torção; 
 Jt.G → Rigidez a torção; 
OBS: 
Pés=12pol; 1ksi=1kip/pol2=1000lbf/pol2=1000 psi 1psi≡ lb/pol2≈6894,757Pa 
Unidade de tensão Unidade de força Unidade de comprimento 
ksi=kip/pol2 1Kip=4,448222kN 1Pol ou ‘ (polegada)=2,54cm 
Pa=N/m2 (Pascal) N m 
MPa=N/mm2(MegaPascal) N mm 
1ksi=0,6894757kN/cm2 
Pascal é a unidade padrão de pressão e tensão no Sistema Internacional (SI) 
1 Pa 100 Pa 100 N/m2 Pascal 
1 kPa 103 Pa 103 N/m2 Quilopascal 
1 MPa 106 Pa 106 N/m2 Megapascal 
1 GPa 109 Pa 109 N/m2 Gigapascal 
 
D
D d
e
Dm

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