Cinemática - Movimento de uma particula

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CCCuuurrrsssooo PPPrrráááttt iiicccooo &&& OOObbbjjjeeettt iiivvvooo 
MMMooovvviiimmmeeennntttooo dddeee uuummmaaa PPPaaarrr ttt ííícccuuulllaaa 
 
 
 
 Matemática – Física – Química 
Curso Prático & Objetivo 
1 
 
CCCiiinnneeemmmááátttiiicccaaa 
 
É a parte da Física que estuda os movimentos independentes de suas causas. 
 
1. Introdução 
 
1.1. Movimento: é a mudança de posição de um móvel com o passar do tempo em 
relação a um certo referencial. 
Um corpo está em repouso quando sua posição , em relação a certo referencial, 
não varia no decurso do tempo. 
 
1.2. Posição ( S ): é o local em que o móvel se encontra. A posição poderá está 
associada à abcissa de um ponto ou então ao marco quilométrico de uma rodovia. 
 
1.3. Espaço Percorrido ( EP ): é a distância real percorrida pelo móvel. 
 
1.4. Deslocamento (S ): é distância em linha reta entre a posição final e a inicial. 
 
Atenção: o espaço percorrido somente é igual ao deslocamento quando a 
trajetória for retilínea sem mudança de sentido do móvel. 
 
1.5. Ponto Material: é um corpo em que as dimensões podem ser desprezíveis e 
reduzidas a um ponto. 
 
1.6. Trajetória: é a linha que um corpo descreve durante o seu movimento. As 
trajetórias podem ser circulares ou retilíneas. 
 
Observação: as noções de trajetória e movimento são relativas e portanto 
dependem do referencial adotado. 
 
2. Velocidade Média 
 
É a razão entre o deslocamento realizado por um móvel e o tempo gasto para realizar 
esse deslocamento. 
 
 
12
12
TT
SS
T
SVm
−
−
=
∆
∆
= Unidades: Km/h, m/s, cm/s, ... 
 
 
 onde: T1: instante em que o móvel passa por S1. 
 T2: instante em que o móvel passa por S2. 
 
 
 Transformação Importante: De Km/h 6,3÷ m/s 
 De m/s 6,3× Km/h 
 
 
 
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Atenção: é comum alguns vestibulares diferenciar Velocidade Média Vetorial de 
Velocidade Média Escalar, logo: 
 
 Velocidade Média Velocidade Média 
 Vetorial Escalar 
 
T
SVm ∆
∆
= 
T
PEVm ∆
=
..
 
 
 
3. Velocidade Instantânea 
 
 É a velocidade que um móvel possui em determinado instante. 
 
4. Movimento Progressivo e Movimento Retrógrado ( Regressivo ) 
 
 4.1. Movimento Progressivo 
 
É o movimento em que as posições do móvel aumentam com o passar do tempo. 
A velocidade é adotada com valor positivo ( 0>V ). 
 
 
 
 
 10 20 30 40 50 S (m) 
 
4.2. Movimento Retrógrado ou Regressivo 
 
É o movimento em que as posições do móvel diminuem com o passar do tempo. 
A velocidade é adotada com valor negativo ( 0<V ). 
 
 
 
 
 10 20 30 40 50 S (m) 
 
5. Movimento Retilíneo Uniforme ( M.R.U.) 
 
É o movimento adotado pelo móvel quando a sua velocidade com o decorrer do tempo 
premanece inalterável, ou seja, a velocidade permanece constante. 
A trajetória é retilínea e mesmo que o móvel venha a mudar de sentido durante o 
movimento essa mudança é realizada sobre a mesma trajetória. 
Devido ao fato da velocidade ser constante o móvel percorre distâncias iguais em 
tempos iguais, ou seja, se a velocidade do for de 30m/s implica dizer que a cada 1s a 
distância percorrida será sempre de 30m. 
 
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5.1. Características 
 
� trajetória retilínea; 
� velocidade constante; 
� velocidade instantânea igual a velocidade média, logo poderemos dizer que a 
velocidade do móvel é determinada por 
T
SVm ∆
∆
= ; 
� o móvel percorre distâncias iguais em tempos iguais. 
 
5.2. Equação Horária ou Função Horária 
 
 É a equação que relaciona a posição do móvel em função do tempo. Através dessa 
equação poderemos determinar a posição do móvel em determinado tempo ou ainda 
em qual tempo o móvel passará por determinada posição. 
 
 
 VTSS += 0 
 
 Posição Final 
 Posição Inicial 
 Velocidade 
 Tempo 
 
 
5.3. Velocidade Relativa 
 
 É a velocidade de um móvel em relação a outro móvel em movimento. 
 
� mesmo sentido: BAr VVV −= 
� sentidos contrários: BAr VVV += 
 
 Observação: Nos cálculos acima supõe-se que BA VV > 
 
Exemplo 1: Se dois móveis A e B se movem no mesmo sentido com velocidades de 
30m/s e 10m/s respectivamente implica dizer que a velocidade relativa entre 
ambos é de 20m/s, ou seja, a velocidade de afastamento ou aproximação dos 
móveis é de 20m a cada 1s. 
 
Exemplo 2: Se dois móveis A e B se movem em sentido opostos com velocidades 
de 30m/s e 10m/s respectivamente implica dizer que a velocidade relativa entre 
ambos é de 40m/s, ou seja, a velocidade de afastamento ou aproximação dos 
móveis é de 40m a cada 1s. 
 
Atenção: A velocidade relativa somente é aplicada no M.R.U. 
 
 
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6. Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ( M.R.U.V.) 
 
6.1. Características 
 
� trajetória retilínea; 
� velocidade varia uniformemente com o tempo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a velocidade varia uniformemente, aumentando 10m/s a cada 1s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o movimento é variado, mas não uniformemente variado, pois a 
velocidade não varia de maneira uniforme. Esse movimento não será estudado, 
apenas o movimento em que a velocidade varia de maneira uniforme. 
 
� aceleração constante e diferente de zero. 
 
6.2. Aceleração (
→
a ) 
 
 É a grandeza responsável pela variação de velocidade de um móvel. 
 
 
0
0
TT
VV
T
V
a
f
f
−
−
=
∆
∆
= Unidades: m/s2, Km/h2, cm/s2, ... 
 
Exemplo: Se a aceleração de um móvel é 10m/s2 implica dizer que a cada 1s a 
velocidade do móvel varia ( aumenta ou diminui ) 10m/s. 
 
 Observação Importante: 
 
 M.R.U. M.R.U.V. 
 
 iaV var= nteuniformeme 
 teconsa tan= e 0≠a 
 
 
s/m40vs4t
s/m30vs3t
s/m20vs2t
s/m10vs1t
=⇒=
=⇒=
=⇒=
=⇒=
s/m25vs4t
s/m18vs3t
s/m15vs2t
s/m10vs1t
=⇒=
=⇒=
=⇒=
=⇒=
)nula(0a
tetanconsV
=
=
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6.3. Equação da Velocidade 
 
 É uma equação que relaciona a velocidade de um móvel em função do tempo. 
 
 aTVV += 0 
 
 Velocidade Final 
 Velocidade Inicial 
 Aceleração 
 Tempo 
6.4. Movimento Acelerado e Movimento Retardado 
 
6.4.1. Movimento Acelerado: aumentaV = ⇒ Velocidade e aceleração 
possuem o mesmo sinal. 
 6.4.2. Movimento Retardado: inuidimV = ⇒ Velocidade e aceleração 
possuem sinais opostos. 
 
6.5. Equação de Torricelli 
 
 É uma equação que relaciona a posição do móvel em função do tempo. 
 
 SaVV ∆+= 220
2 
 
 Velocidade Final 
 Velocidade inicial 
 Aceleração 
 Deslocamento 
 
6.6. Equação Horária ou Função Horária da Posição 
 
 É uma equação que relaciona a posição do móvel em função do tempo. 
 
 200 2
1
aTTVSS ++= 
 
 Posição Final 
 Posição Inicial 
 Velocidade Inicial 
 Tempo 
 Aceleração 
 Tempo 
Atenção: 
 
� Na mudança de sentido a velocidade do corpo é nula ( 0=V ). 
� Quando o corpo passa pela origem das posicões a sua posição é nula, indicando a sua 
representação por ( 0=S ). 
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7. Queda Livre e Lançamento Horizontal 
 
7.1. Queda Livre 
 
 É o movimento em que abandona-se um corpo de determinada altura e o mesmo 
começa a cair com velocidade inicial nula ( 00 =V ) em M.R.U.V. 
 
 7.1.1. Características 
 
� a queda livre é um M.R.U.V. na vertical; 
� no vácuo todos os corpos ( independente da massa ) caem com a mesma 
aceleração denominada aceleração da gravidade ( 2/8,9 smg = ), podendo ser, 
quando não se exige tanto rigor, arredondado para 2/10 smg = ; 
� ga += ( orientação da trajetória para baixo ) 
 ga −= ( orientação da trajetória para cima ) 
 
 7.1.2. Funções Horárias ou Equações Horárias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2. Lançamento Vertical 
 
 Se ao invés de um corpo ser abandonado tivesse sido lançado verticalmente para 
cima ou para baixo com 00 ≠V o mesmo estaria realizando um Lançamento 
Vertical em M.R.U.V. 
 
7.2.1. Características 
 
� o Lançamento Vertical é um M.R.U.V. na vertical; 
� a velocidade no ponto mais alto da trajetória ( mudança de sentido ) é nula 
( 0=V ). A aceleração ( g ) não; 
� o tempo de subida é igual ao tempo de descida ( válido para quando a posição de 
lançamento for igual à posição de retorno ou chegada do móvel ); 
� o tempo total do movimento é dado pela soma do tempo de subida com o tempo 
de descida do móvel; 
� as velocidades numa mesma altura durante a subida e descida são iguais em 
módulo tendo apenas sinais contrários; 
� durante a subida o movimneto é progressivo )0V( > e durante a descida o 
movimento é retrogrado ou regressivo )0V( < ; 
2
0
2
00
2
0
2
0
gT
2
1TVh
gT
2
1TVhh
hg2VV
gTVV
+=∆
++=
∆+=
+=
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� durante a subida do móvel o movimento é retardado e durante a descida o 
movimento é acelerado; 
� a altura máxima e o tempo para atingir essa altura podem ser obtidos pelas 
fórmulas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
7.2.2. Funções Horárias ou Equações Horárias 
 
 As equações são as mesmas utilizdas na Queda Livre ou M.R.U.V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Gráficos 
 
 8.1. Gráficos do M.R.U. 
 
 8.1.1. Posição × Tempo 
 
 
 S ( m ) S ( m ) 
 
 S0 
 Retrógrado ( 0<V ) 
 ou 
 
 T ( s ) T ( s ) 
 S0 Progressivo ( 0>V ) 
 
 
Atenção: 
 
� No ponto em que o gráfico corta o eixo do tempo o móvel passa pela origem das 
posições ( S = 0 ); 
� Como o movimento é uniforme determinamos a velocidade do móvel através da 
 
equação da velocidade média: 
T
SVm ∆
∆
= 
 
� A equação dos gráficos é dada por: VTSS 0 += 
 
g
V
T 0máximaaltura =
g2
V
H
2
0
máxima =
hg2VV
gTVV
2
0
2
0
∆+=
+=
2
0
2
00
gT
2
1TVh
gT
2
1TVhh
+=∆
++=
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8.1.2. Velocidade × Tempo 
 
 V ( m/s ) V ( m/s ) 
 
 Progressivo ( 0>V ) Retrógrado ( 0<V ) 
 +V 
 ou t1 t2 T ( s ) 
 
 t1 t2 T ( s ) -V 
 
 
Atenção: No gráfico Velocidade ×Tempo calculando-se a área entre os instantes 
t1 e t2 determinamos o deslocamento ( S∆ ) sofrido pelo móvel. Observamos 
também que a velocidade é determinada por uma reta paralela ao eixo do tempo, 
pois a velocidade com o passar do tempo permanece constante. 
 
Lembrete: Cálculo de Áreas 
 Trapézio 
 Retângulo Triângulo b1 
 
 L1 h h 
 
 L2 b b2 
 
 A = L1×L2 2
hbA ×= 
( )
2
hbb
A 21
×+
= 
 
8.1.3. Aceleração × Tempo 
 
No M.R.U. não há aceleração, pois a velocidade é constante, logo o gráfico é 
representado por um reta sobre o eixo do tempo. 
 
 a ( m/s2 ) 
 
 
 
 
 T ( s ) 
 
 
Observação: 
 
1) A trajetória NÃO É DETERMINADA PELOS GRÁFICOS. Estes 
apenas representam as funções do movimento. 
2) Não confunda repouso com movimento uniforme. Um ponto material em 
repouso possui ESPAÇO CONSTANTE com o tempo e velocidade NULA 
( ver gráficos pag. 10 - 2ª observação ). 
 
 
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aTVV 0 +=
 
8.2. Gráficos do M.R.U.V. 
 
8.2.1. Velocidade × Tempo 
 
 V ( m/s ) 
 
 
 0 t1 T ( s ) 
 
 V0 
 
 
 Leitura do gráfico: 
 
� De 0 a t1 o movimento é retrógrado ( 0<V ) e retardado, pois o módulo da 
velocidade diminui; 
� No instante t1 a velocidade é nula ( V = 0 ) e o móvel muda de sentido; 
� De t1 em diante o movimento é progressivo ( 0>V ) e acelerado, pois o módulo 
 da velocidade aumenta. 
 
ou ainda 
 
 V ( m/s ) 
 
 V0 
 
 
 0 T1 T ( s ) 
 
 
 Leitura do gráfico: 
 
� De 0 a t1 o movimento é progressivo ( 0>V ) e retardado, pois o módulo da 
velocidade diminui; 
� No instante t1 a velocidade é nula ( V = 0 ) e o móvel muda de sentido; 
� De t1 em diante o movimento é retrógrado ( 0<V ) e acelerado, pois o módulo 
da velocidade aumenta. 
 
Atenção: 
 
� No gráfico Velocidade × Tempo calculando-se a área entre dois instantes 
quaisquer determinamos o deslocamento do móvel ( S∆ ). 
 
� A equação dos gráficos acima é dada por: 
 
� A aceleração é obtida através da fórmula da aceleração: 
T
Va
∆
∆
= 
 
 
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8.2.2. Aceleração × Tempo 
 
 a ( m/s2 ) a ( m/s2 ) 
 
 ou 
 t1 t2 T ( s ) 
 
 t1 t2 T ( s ) 
 
Atenção: No gráfico Aceleração × Tempo a área compreendida entre t1 e t2 
determina a variação de velocidade sofrida pelo móvel entre esses dois instantes. 
 
8.2.3. Posição × Tempo 
 
 S ( m ) S ( m ) 
 
 S0 0>a 
 
 ou 
 S0 
 retardado acelerado retardado acelerado 
 t1 T ( s ) t1 T ( s ) 
 retrógrado progressivo progressivo retrógrado 
 
 
 Atenção: 
 
� No instante t1 ( vértice da parábola ) a velocidade do móvel é nula e o móvel 
muda de sentido. 
 
� A equação dos gráficos acima é dado por: 200 2
1
aTTVSS ++= 
 
 Observações: 
 
1) A trajetória NÃO É DETERMINADA PELOS GRÁFICOS. Estes apenas 
representam as funções do movimento. 
2) Não confunda repouso com movimento uniforme. Um ponto material em repouso 
possui ESPAÇO CONSTANTE com o tempo e velocidade NULA. 
 
 
 S V 
 
 Repouso 
 
 
 T T 
 
 
0a > 0a <
0a <
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9. Vetores 
 
9.1. Grandeza Vetotial e Grandeza Escalar 
 
9.1.1. Grandeza Vetorial : é toda grandeza que somente fica perfeitamente 
definida através de um vetor, pois devemos determinar além do seu módulo ( valor 
da grandeza ) a sua direção e o seu sentido. Exemplos: velocidade, aceleração, 
impulso, força, etc. 
 
9.1.2. Grandeza Escalar: é toda grandeza que fica perfeitamente definida 
quando mencionamos apenas o seu módulo ( valor da grandeza ), pois a mesma não 
possui direção nem sentido. Exemplos: temperatura, massa, volume, etc. 
 
9.2 Características do Vetor 
 
 9.2.1. Módulo: indica o valor numérico da grandeza. 
 
 9.2.2. Direção: indica a reta em que o vetor se apoia ( horizontal, vertical, 
inclinada ou oblíqua ). 
 
9.2.3 Sentido: indica a orientação tomada sobre a direção. ( norte, sul , leste, 
para cima, para direita, ... ). 
 
9.3. Igualdade de Vetores 
 
 Dois ou mais vetores são iguais entre si quando ambos possuem as mesmas 
caracterísitcas ( módulo, direção e sentido ). 
 
 
→
A 
 
→
A 
→
B 
 
→
B 
 
→→
= BA 
 
→→
= BA 
 
9.4. Operações Vetoriais ou Resultantes Vetoriais 
 
9.4.1. Soma ou Adição Vetorial 
 
Existem dois processos de adição ou soma de vetores, onde ambos podem ser 
utilizados em todos os casos dando sempre os mesmos resultados. 
 
9.4.2. Regra do Polígono 
 
Regra que consiste em colocar a extremidade de um vetor na origem do outro, 
sendo que o vetor resultante ( soma ) terá a extremidade coincidindo com 
extremidade e a origem coincidindo com a origem do outro. 
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9.4.3. Regra do Paralelogramo 
 
Regra que consiste em colocar a origem de um vetor com a origem do outro, 
traça-se então um paralelogramo no qual o vetor resultante ( soma ) terá a origem 
coincidindo com as origens dos vetores e a extremidade coincidindo com as 
extremidades do prolongamento dos lados do paralelogramo formado. 
 
Exemplo: Determinar o módulo e a representação gráfica do vetor resultante da 
adição vetorial entre os vetores 
→→
+ BA determinados abaixo. 
 
 
 
 
→
A 
→
B Dados: u3A =
→
 e u4B =
→
 
 
 
Resolução: 
 
1) Processo do Polígono 
 
→
B 
 
 
 
→
R 
→
A ou 
→
A 
→
R 
 
 
→
B 
 
 
2) Processo do Paralelogramo 
 
 
 
 
 
→
A 
→
R 
 
 
→
BO módulo do vetor resultante ( soma ), tanto no processo do Polígono quanto no 
Paralelogramo, devem ser determinados através do teorema de Pitágoras, pois os 
vetores são perpendiculares entre si. 
 
 
 
 
 
 5R25R
43R
BAR
22
2
222
=⇒=
+=
+=
→→
→
→→→
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9.4.4. Subtração Vetorial 
Observação: Vetor Oposto ( 
→
− A ) é aquele que possui o mesmo módulo, direção, 
mas sentido oposto ao vetor original. 
 
 
 
→
A 
→
− A 
 
Determinamos a subtração vetorial invertendo-se o sentido do segundo vetor 
( vetor oposto ) e aplicando-se a regra do Polígono ou Paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
 9.4.5. Multiplicação de um número real por um Vetor 
 
 
 
 
→
A 
→
A2 
 
 
 
 
→
B 
→
− B2 
 
 9.4.6. Casos particulares 
 
9.4.6.1. Os vetores possuem a mesma direção e sentido: a resultante é 
obtida somando-se os valores dos vetores e conservando-se a direção e o 
sentido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Envie críticas e sugestões!!! 
 






−+=⇔−=
→→→→→→
BAVBAV DD
N10F 1 =
→
N20F 2 =
→
N30F R =
→
21R FFF
→→→
+=
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9.4.6.2. Os vetores possuem a mesma direção e sentidos opostos: a 
resultante é obtida subtraindo os valores dos vetores, conservando-se a 
direção e mantendo-se o sentido do vetor de maior módulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.4.6.3. Os vetores são perpendiculares entre si: a resultante gráfica é 
obtida através da regra do Polígono ou Paralelogramo, enquanto o módulo do 
vetor resultante através do Teorema de Pitágoras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.4.6.4. Processo Analítico: o processo analítico é empregado quando os 
vetores não possuem a mesma direção e não são perpendiculares entre si, 
formando um ângulo α entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consulte regularmente...seu dentista...seu oftalmologista...seu médico...e viva melhor!!! 
21R FFF
→→→
−=
N10F2 =
→
N20F 1 =
→
N10F R =
→
1F
→
2F
→
RF
→
2
2
2
1
2
R FFF
→→→
+=
α++=
→→→→→
cosFF2FFF 21
2
2
2
1r
RF
→
2F
→
1F
→
2F
→
α
1F
→
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Observação: quando aplicamos a regra do Polígono e obtemos um polígono fechado 
a resultante vetorial é nula. 
 
 
 
 
 
Atenção: 
 
� A resultante entre dois vetores terá resultante máxima quando ambos tiverem 
a mesma direção e sentido. 
 
 
 
 
 
� A resultante entre dois vetores terá resultante mínima quando ambos tiverem 
a mesma direção e sentidos opostos. 
 
 
 
 
 
 
Dica 1: Se os vetores forem iguais em módulo e formarem entre si um ângulo de 
1200 a resultante será dada por: 
 
 21 FF
→→
= , então a resultante é equivalente a: 
 
 
 
 
Dica 2: Se os vetores forem iguais em módulo e formarem entre si um ângulo de 
600 a resultante será dada por: 
 
 21
→→
= FF , então a resultante é equivalente a: 
 
 
 31
→→
= FR ou 32
→→
= FR 
 
 
 Respeite as leis de trânsito 
0R =
→
21.máx FFR
→→→
+=
21.mín FFR
→→→
−=
21 FFR
→→→
==
CCCuuurrrsssooo PPPrrráááttt iiicccooo &&& OOObbbjjjeeettt iiivvvooo 
MMMooovvviiimmmeeennntttooo dddeee uuummmaaa PPPaaarrr ttt ííícccuuulllaaa 
 
 
 
 Matemática – Física – Química 
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16 
 
 
9.5. Decomposição Vetorial 
 
A decomposição vetorial consiste em decompor um vetor nas suas componentes 
horizontal ( xF
→
) e vertical ( yF
→
), obtendo-se assim dois outros vetores que 
somando-os daria o vetor no qual os originou. 
 
 y y 
 
 
→
F 
 yF
→
 
 
 x xF
→
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Composição de Movimentos 
 
Toda vez que um corpo estiver sujeito, ao mesmo tempo, a dois ou mais movimentos, a 
velocidade resultante é dada pela soma vetorial das velocidades dos componentes do 
movimento. 
 
Princípio de Galileu 
 
Quando um corpo está sujeito a movimentos simultâneos em relação a um sistema de 
referência, ele executa cada um desses movimentos independentes entre si. 
 
Raciocínio Geral 
 
Seja R um referencial absoluto e R1 um referencial que se move com velocidade de 
transporte tV
→
 em relação a R1. P é um ponto material que se desloca em relação a R1 
com velocidade relativa 
→
V . 
 
 
 
 
 
 Viaje até os lugares mais fantásticos!!! 
α
⇒
α=
=α
→→
→
→
Sen.FF
F
F
Sen
y
y
α=
=α
→→
→
→
Cos.FxF
F
FCos x
.Arr.lRe.sRe VVV
→→→
+=
CCCuuurrrsssooo PPPrrráááttt iiicccooo &&& OOObbbjjjeeettt iiivvvooo 
MMMooovvviiimmmeeennntttooo dddeee uuummmaaa PPPaaarrr ttt ííícccuuulllaaaMatemática – Física – Química 
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17 
 
11. Movimento Circular Uniforme ( M.C.U. ) 
 
 11.1. Características 
 
� trajetória circular; 
� velocidade vetorial varia ( tangente à trajetória ), mas a velocidade escalar é 
constante. 
 
11.2. Período ( T ) 
 
É o tempo gasto pelo móvel para efetuar uma volta. 
 
 Unidades: s, min., h, dias, ... 
 
 11.3. Frequência ( f ) 
 
 É o número de voltas que o corpo executa por uma unidade de medida de tempo. 
 
 Unidades: rps = voltas/s = Hertz ( Hz ) 
 rpm = voltas/min. 
 
 RPM 60÷ RPS 
 RPS 60× RPM 
 
 11.4. Relação entre Período × Frequência 
 
 
 1. =FT ⇒ 
F
T 1= ou 
T
F 1= 
 
 
11.5. Velocidade Angular (ω ) 
 
É a razão entre o ângulo percorrido pelo móvel e o tempo gasto para percorrer esse 
ângulo. 
 
 
 α∆ f
TT
pi
piα
ω 22 ==
∆
∆
= Unidade: rad/s 
 
 
 
Exemplo: Se o móvel possui velocidade angular de srad /
2
pi
 isso implica dizer que a 
cada segundo o móvel percorre um ângulo rad
2
pi
 ou 900. 
 
 
CCCuuurrrsssooo PPPrrráááttt iiicccooo &&& OOObbbjjjeeettt iiivvvooo 
MMMooovvviiimmmeeennntttooo dddeee uuummmaaa PPPaaarrr ttt ííícccuuulllaaa 
 
 
 
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11.6. Velocidade Linear ou Velocidade Escalar ( V ) 
 
 
 
11.7. Aceleração Centrípeta ( cpa
→
 ) 
 
Aceleração responsável pela variação da direção da velocidade em cada ponto da 
trajetória. A aceleração centrípeta varia somente na direção e sentido, onde os 
mesmos são sempre orientados para o centro da trajetória enquanto que o módulo 
permanece constante. 
 
 
R
Va
2
cp =
→
 ou 
 
 
 Unidades: m/s2, cm/s2, ... 
 
11.8. Transmissão de Movimentos 
 
É o movimento de um corpo que provoca o movimento de outro através de uma correia, 
contato direto ou eixo móvel. 
 
 Transmissão por Cinta ou Correia 
 
 ( A ) ( B ) 
 
 RB 
 RA 
 
 
 
Por Contato ( engrenagens ) 
 
 
 ( B ) 
 
 
 
 
 
 ( A ) 
 
 
 
Observação: Na transmissão por cinta ou correia os corpos giram no mesmo sentido, 
enquanto na transmissão por contato os corpos giram em sentidos opostos. 
 
RV ω=
 
Ra 2cp ω=
→
CCCuuurrrsssooo PPPrrráááttt iiicccooo &&& OOObbbjjjeeettt iiivvvooo 
MMMooovvviiimmmeeennntttooo dddeee uuummmaaa PPPaaarrr ttt ííícccuuulllaaa 
 
 
 
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19 
 
Fórmulas: Válidas para transmissão por correia e contato ( engrenagens ) 
 
 
 
 
 
como: RV ω= , teremos BBAA RR ω=ϖ 
 
como: fpiω 2= , teremos ou 
B
B
A
A
T
R
T
R
= 
 
 
Por Eixo Móvel 
 
 ( B ) 
 ( A ) 
 
 RA RB 
 
 
 
 
 
Fórmulas: BA ωω = ou 
B
B
A
A
R
V
R
V
= ou BA ff = ou BA TT = 
 
 
12. Movimento Circular Uniformemente Variado ( M.C.U.V. ) 
 
O Movimento Circular Uniformemente Variado não é um movimento periódico, pois 
varia o módulo de sua velocidade e, portanto, o tempo de cada volta na circunferência é 
variável. 
 
12.1. Função Horária da Velocidade Angular 
 
 Tγωω += 0 
 
12.2. Função Horária do Espaço Angular 
 
 200 2
1 TT γωαα ++= 
 
 
12.3. Equação de Torricelli 
 
 
 αγωω ∆+= 2202 
aintcBA VVV ==
BBAA RfRf =
CCCuuurrrsssooo PPPrrráááttt iiicccooo &&& OOObbbjjjeeettt iiivvvooo 
MMMooovvviiimmmeeennntttooo dddeee uuummmaaa PPPaaarrr ttt ííícccuuulllaaa 
 
 
 
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12.4. Relação entre Aceleração Angular ( γ ) e Aceleração Linear ( a ) 
 
 
R
a
=γ 
 
 
 Legendas: 
 
 R = raio da trajetória 
 =ω velocidade angular final 
 =0ω velocidade angular inicial 
 =γ aceleração angular 
 T = tempo 
 =α posição angular final 
 =0α posição angular inicial 
 =∆α variação do espaço angular 
 
13. Velocidade Vetorial e Aceleração Vetorial 
 
13.1. Velocidade Vetorial ( 
→
V ) 
 
� Módulo: igual ao da velocidade escalar, VV =
→
; 
� Direção: tangente à trajetória no ponto considerado; 
� Sentido: do movimento. 
 
13.2. Aceleração Vetorial ( 
→
a ) 
 
 A Aceleração Vetorial é dada pela soma ( resultante ) vetorial da Aceleração 
Tangencial ( ta
→
 ) com a Aceleração Centrípeta ( cpa
→
 ). 
 
 
 
 
13.2.1. Aceleração Tangencial ( ta
→
 ) 
 
� Módulo: igual ao da aceleração escalar, aat =
→
; 
� Direção: tangente à trajetória no ponto considerado; 
� Sentido: o mesmo de 
→
V se o movimento for acelerado e oposto ao 
de 
→
V se o movimento for retardado ( veja figura a seguir ). 
 
 
cpt aaa
→→→
+=
CCCuuurrrsssooo PPPrrráááttt iiicccooo &&& OOObbbjjjeeettt iiivvvooo 
MMMooovvviiimmmeeennntttooo dddeee uuummmaaa PPPaaarrr ttt ííícccuuulllaaa 
 
 
 
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 P ta
→
 
→
V ta
→
 P 
→
V 
 
 
 
 
 
 
 Acelerado Retardado 
 
13.2.2. Aceleração Centrípeta ( cpa
→
 ) 
 
� Módulo: 
R
Va
2
cp =
→
; 
� Direção:perpendicular à velocidade vetorial no ponto considerado; 
� Sentido: orientado para o centro da trajetória, logo a aceleração 
centrípeta somente é definida para trajetórias circulares. 
 
 
 P ta
→
 
→
V ta
→
 P 
→
V 
 
 
 
 
 
 
 Acelerado Retardado 
 
 
13.3. Casos Particulares 
 
 13.3.1. Movimento retilíneo uniforme ( M.R.U. ) 
 
� Velocidade vetorial constante, pois não varia módulo, direção e sentido; 
� Aceleração vetorial é nula, pois a aceleração tangencial não existe ( não há 
aceleração escalar ) assim como a aceleração centrípeta ( a trajetória é 
retilínea ). 
 
 13.3.2. Movimento circular uniforme ( M.C.U. ) 
 
� Velocidade vetorial varia, pois embora não mudeo módulo, altera em cada 
ponto da trajetória a direção e o sentido do vetor velocidade; 
� Aceleração tangencial é nula, pois o módulo da velocidade é constante; 
� Aceleração centrípeta é constante em módulo, pois o módulo da velocidade 
é constante, mas muda a direção e o sentido em cada ponto da trajetória ; 
 
Evite o stres! Pratique exercícios de Física, Química e Matemática. 
 
cpa
→ →
a cpa
→→
a
CCCuuurrrsssooo PPPrrráááttt iiicccooo &&& OOObbbjjjeeettt iiivvvooo 
MMMooovvviiimmmeeennntttooo dddeee uuummmaaa PPPaaarrr ttt ííícccuuulllaaa 
 
 
 
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22 
Logo, a aceleração vetorial varia, sendo igual à aceleração centrípeta. 
 
 
 
13.3.3. Movimento retilíneo uniformemente variado ( M.R.U.V. ) 
 
� Velocidade vetorial varia, pois embora a direção e o sentido sejam 
constantes o módulo muda com o passar do tempo; 
� Aceleração tangencial é constante, pois não muda o módulo, a direção e o 
sentido; 
� Aceleração centrípeta é nula, pois a trajetória é retilínea; 
 
 Logo, a aceleração vetorial é constante e igual a aceleração tangencial. 
 
 taa
→→
= 
 
 
 13.3.4. Movimento circular uniformemente variado ( M.C.U.V. ) 
 
� Velocidade vetorial varia, pois varia o módulo, direção e o sentido em cada 
ponto da trajetória; 
� Aceleração tangencial é constante em módulo, mas varia a direção e o 
sentido em cada ponto da trajetória, logo a aceleração tangencial varia; 
� Aceleração centrípeta varia o módulo, pois varia a velocidade assim como a 
direção e o sentido em cada ponto da trajetória. 
 
Logo, a aceleração vetorial varia em todos os pontos da trajetória. A sua 
resultante é dada pela soma vetorial da aceleração tangencial com a 
aceleração centrípeta em cada ponto da trajetória. 
 
 
 cpt aaa
→→→
+= 
 
 
( UFS – 2002 ) Uma partícula apresenta, em sua trajetória, diversos tipos de movimento. 
 
Analise as afirmações acerca desse movimento. 
 
0 0 - Num trecho reto, ela pode estar submetida a uma aceleração centrípeta. 
1 1 - Num trecho reto, ela pode estar submetida a uma aceleração tangencial. 
2 2 - Num trecho curvo, ela é submetida a uma aceleração tangencial. 
3 3 - Num trecho curvo, ela é submetida a uma aceleração centrípeta. 
4 4 - Num trecho curvo, a aceleração resultante sobre a partícula pode ser nula. 
 
Gabarito: F V F V F 
 
Ficou com dúvidas? cursopraticoobjetivo@bol.com.br 
 
cpaa
→→
=
CCCuuurrrsssooo PPPrrráááttt iiicccooo &&& OOObbbjjjeeettt iiivvvooo 
MMMooovvviiimmmeeennntttooo dddeee uuummmaaa PPPaaarrr ttt ííícccuuulllaaa 
 
 
 
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14. Lançamento Horizontal e Lançamento Oblíquo 
 
14.1. Lançamento Horizontal 
 
O lançamento horizontal é a composição de dois movimentos independentes entre si 
( Princípio de Galileu ), um movimento vertical e o outro horizontal. 
 
→
V 
 
 
 
 
 
 
 
 Solo 
 
 
Características: 
 
� Na horizontal o movimento é uniforme e responsável pelo alcance ( distância 
horizontal percorrida pelo móvel ); 
� Na vertical o móvel realiza uma queda livre com velocidade inicial vertical nula, esse 
movimento é o responsável pelo tempo de queda do móvel e componente vertical da 
velocidade do corpo. 
 
Atenção: 
 
� Na resolução das questões, decomponha a velocidade de lançamento na componente 
horizontal ( xV
→
 ) e vertical ( yV
→
 ), pois os dois movimentos são independentes 
entre si; 
� A velocidade horizontal é igual à velocidade de lançamento do corpo; 
� A velocidade vertical inicial é sempre nula; 
� A velocidade em cada ponto da trajetória é dada pela resultante vetorial definida 
por: 
 
 
 
Fórmulas: 
 
� Na horizontal, podemos calcular o alcance através da fórmula abaixo: 
 
 T.VA x
→
= , onde T corresponde ao tempo de queda do móvel. 
 
 
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→→
= VV x
0Vy =
→
→→
= VV x
yV
→
→
V →→
= VV x
yV
→ →
V
yx VVV
→→→
+=
CCCuuurrrsssooo PPPrrráááttt iiicccooo &&& OOObbbjjjeeettt iiivvvooo 
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� Na vertical podemos calcular o tempo de queda através da fórmula abaixo: 
 
 
 
 
 
O tempo de queda do móvel depende apenas da altura de lançamento, ou seja, se 
dois corpos em lançamento horizontal forem lançados da mesma altura com 
velocidades iniciais diferentes, ambos chegarão ao solo no mesmo tempo, sendo 
diferente somente o alcance atingido pelos corpos, no qual terá maior alcance o 
corpo que for lançado com maior velocidade. 
 
� As fórmulas utilizadas no movimento vertical são as mesmas da queda livre 
relacionadas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: A questão a seguir é referente ao Lançamento Oblíquo que será estudado 
detalhadamente no próximo tópico. 
 
( Unicap – 2001 ) 
 
 Vx ( m/s ) Vy ( m/s ) 
 
 30 
 40 
 
 
 0 6 T ( s ) 0 3 6 T ( s ) 
 
 -30 
 
Os gráficos das figuras 01 e 02 representam as componentes horizontal e vertical da 
velocidade de um projétil. Com base nos referidos gráficos, podemos afirmar: 
 
0 0 - O projétil foi lançado com uma velocidade de módulo igual a 50 m/s. 
1 1 - O projétil atingiu a altura máxima em 3s 
2 2 - Sabendo que o projétil foi lançado da origem, seu alcance é 180 m. 
3 3 - A velocidade do projétil, ao atingir a altura máxima, é de 40 m/s. 
4 4 - No instante de 4 s, o projétil possui um movimento acelerado. 
 
Gabarito: V V F V V 
2
gT
h
hg2VV
gTVV
2
2
0
2
0
=∆
∆+=
+=
2
tg
h
2
=∆
CCCuuurrrsssooo PPPrrráááttt iiicccooo &&& OOObbbjjjeeettt iiivvvooo 
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14.2. Lançamento Oblíquo 
 
O lançamento oblíquo é a composição de dois movimentos independentes entre si 
( Princípio de Galileu ), um na vertical e o outro na horizontal. 
 
 y 
 
 
 
 
 
 Hmáx. 
 
 α 
 x 
 A 
 
 
 
 
Legendas: 
 
A = alcance atingido pelo móvel 
α = ângulo de inclinação de lançamento do móvel 
Hmáx.= altura máxima atingida pelo móvel 
0V
→
 = velocidade de lançamento 
xV
→
 = componente horizontal da velocidade ( constante ) 
yV
→
 = componente vertical da velocidade 
 
Características: 
 
� Na horizontal o movimento é uniformee responsável pelo alcance ( distância 
horizontal percorrida pelo móvel ); 
� Na vertical o móvel realiza um lançamento vertical com velocidade inicial não nula. 
O movimento vertical é o responsável pelo tempo de subida e descida do móvel; 
� O tempo de permanência do corpo no ar é dado pelo tempo de subida acrescido do 
tempo de descida do móvel; 
� O tempo de subida será igual ao de descida se a posição de retorno for igual à 
posição de lançamento do móvel; 
� Na composição vertical ( yV
→
 ) o movimento de subida é retardado enquanto que o de 
descida é acelerado; 
� Não existe ponto da trajetória em que a velocidade seja nula. A velocidade é mínima 
no ponto culminante ( altura máxima ), pois a velocidade vertical é nula prevalecendo 
somente a velocidade horizontal que é constante em todos os pontos da trajetória; 
� Ângulos complementares dão o mesmo alcance para as mesmas velocidades de 
lançamento; 
0V
→
y0V
→
mínimax VV
→→
=
xV
→0V
→
yV
→ →
V
x0V
→
x0V
→
y0V
→
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� O alcance máximo ocorre quando a inclinação da velocidade de lançamento com a 
horizontal for igual a 450; 
� A altura máxima atingida pelo corpo quando o ângulo de inclinação for 450 pode ser 
dado pela fórmula abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Atenção: 
 
� Na resolução das questões, decomponha a velocidade de lançamento nas 
componentes vertical ( xV
→
 ) e horizontal ( yV
→
 ). 
 
� A velocidade em cada ponto da trajetória é dada pela resultante vetorial definida 
por: 
 
 
 
 
� O alcance é calculado pela fórmula abaixo: 
 
 
 , onde T corresponde ao tempo do movimento do móvel. 
 
 
� O tempo de subida é dado pela fórmula abaixo: 
 
 →
→
=
g
V
T y
0
subida 
 
� A altura máxima é dado pela fórmula abaixo: 
 
 
→
→
=
g2
V
h y
2
o
máxima 
 
� A velocidade vertical em qualquer ponto da trajetória pode ser obtida pela fórmula 
abaixo: 
 
 tgVV y0y
→→→
+= 
 
 
→
→
=
g
VA
2
0
.máx
yxr VVV
→→→
+=
T.VA x
→
=