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1 TRABALHO DE ALGEBRA LINEAR 1. Calcule x, y e z nos casos abaixo, para que sejam verdadeiras as igualdades: a) (5x, y-2) = (10, 7) b) (x + y, 2x – y) = (5, 1) c) (2y+5, z-x, x+z) = (3, 1, 7) d) (x+y, 3y-1, 2z+4) = (4, 5, 10) 2. Dados os vetores u = (2, 5,1), v = (-1, 4,3) e w = (-2, 2, -3), calcule a) u + w b) v + u – w c) 2w – 5 v d) -3u + 4 v – 2w 3. Sendo A= (3,1,4), B = (-1,5,2) e C = (-4,0,1), calcule os vetores abaixo: 4. Determine o vetor 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, nos casos abaixo: a) A = (-2,3) e B = ( 4,1) b) A = (-1, -4) e B = (2, 3) c) A = ( 3, 5) e B = (-2, -6) d) A = ( 2, -5) e B = (4, -7) 5. Sendo os vetores u, v e w do exercício 2, calcule: a) u.v b) w.v c) v.(w + u) d) w.w e) (u – v).w 6. Calcular os módulos dos vetores abaixo: a) v = (3,5) b) u = (-2, 3) c) w = (-1, 4) d) z = (2, 4, -3) e) t = (-3, 1, 4) 7. Em cada caso abaixo, verifique quais são vetores unitários: 8. Em cada caso abaixo, calcule a distância entre os pontos dados: a) A = (-2,4) e B = (3,1) b) A = (-5, -3) e B = (2, -1) c) A = ( 4, 3,-1) e B= (2, -3, 7) d) A = (-2, 2, 1) e B = (1, -1,4) 9. Nos casos abaixo, encontre o valor de k para que u seja ortogonal a v. a) u = (2k, 5) e v = (3, -1) b) u = (3, 4k) e v = (2k+1, 7) c) u = (k-1, 3k, 4) e v = (3, -4, 2k) 10. Obtenha versor de cada vetor dado a) u = (3,5) b) u = (-2, 1) c) u = (-4,3,2) d) u = (2,-5, 4) 11.Determinar o vetor v para que seja paralelo ao vetor u. a) u = (2c,5) e v = (6, 15) b) u = (c-4, 3c, 2) e v = (4, -12, -2c) c) u = (5c, 3c-1, -2c+1) = (-10, -5, 3) 12. Determine o ângulo entre os vetores u e v em cada caso abaixo: a) u = ( -1, -2) e v = (-5, -10) b) u = (1 3 ) e v = (3,0) c) u = (2, 3 ,0) e v = (1, 1, 1) d) u = (2, -1, 2) e v = (4, 1, 1) 13. Calcule a distância entre os vetores dados: a) u= (1,7) e v = (6, -5) b) u = (5, -2) e v = (1, 3) c) u = (-1, 2, -3) e v = (6, 2, -1) d) u= (4, -2, -1) e v = ( 5, 6, -2) 2 14) Dados os vetores u = (0,-2,2) e v = (1,3,-1), verifique quais dos vetores w abaixo, podem ser escritos como uma combinação linear de u e v. a) w = (-9, -7, -15) b) w = (6, 11, 6) c) w = (7, 8, 9) 15) Expresse os vetores w abaixo como combinações lineares de u = (2, 1, 4), v = (1, -1, 3) e t = (3, 2, 5), ou seja, determine a, b, e c tais que w = a.u +b.v + c.t a) w = (-9, -7, -15) b) w = (6, 11, 6) c) w = (7, 8, 9) 16) Determine nas alternativas abaixo, se o vetor v é uma combinação linear dos vetores u e t. a) v = (1, 2) ; u = (1, -1) ; t = (2, -1) b) v = (2, 1) ; u = (4, -2) ; t = (-2, 1) 17) O conjunto { (1, 3); (1, 0); (2, 1)} gera o R²? 18) Determine se os vetores definidos em S = {(-1, 2, 0); (0, 1, 2); (-2, 5, 2)} geram o R³. 19) Verifique que S = { (1, 2, 3); (-1, -1, 0); (2, 1, -1)} gera o R³. 20) Sejam v = (0,5; 0,6; 0,25) e w = (0,5; 0,4; 0,75) dois vetores de cor RGB e 2 1 a e 2 1 b escalares. Obtenha o vetor t como combinação linear de v e w. Determine a e b de forma que a cor t = (0,225; 0,23; 0,2125) seja combinação das cores v e w. 21) Verifique se os conjuntos de vetores dados abaixo são L.D ou L.I. a) v = (-1, 2, 4) e w = (5, -10, -20) b) v = (3, -1) ; w = (4, 5) ; t = (-4, 7) c) v = (4, -1, 2) e w = (-4, 10, 2) d) v = (5,-1) e w = (1, 3) e) v = (8, -1, 3) e w = (4, 0, 1) f) v = (2, -2, 1); w = (1, -3, 2) e t = (-7, 5, 4) 22) Mostre que o conjunto S = { (0, 3,1,-1); (6, 0, 5, 1) e (4, -7, 1, 3)} L.D. Expresse cada um dos vetores como combinação linear dos outros dois. 23) Qual a condição que deve ser observada para que v =(a, b) e u = (c, d) sejam L.I? Após a verificação de tal condição, dê um exemplo numérico. 24) Verifique se cada um dos conjuntos de vetores abaixo definem uma base: a) v = (1, 2) ; w = (0, 3) ; u = (2, 7) V = R² b) v = (2, 1) ; w = (3, 0) V = R² 25) Encontre o vetor de coordenadas de w em relação à base B = { v, u} de R². a) v = (1, 0) ; u = (0, 1) e w = (3, -7) b) v = (2, -4) ; u = (3, 8) e w = (1, 1) 26) Verifique se as transformações a seguir são lineares. a) T(x) = 8x b) T(x) = 2x+1 c) T(x) = |x+2| d) T(x, y) = 4xy e) T(x,y) = x² + y² 27) Se T(u) = -1; T(v) = 4 ; T(w) = 7 e T define uma transformação linear, calcule os valores das seguintes transformações: a) T(3u+v) b) T(7u-2v) c) T(-9w) d) T(u+v+4w) e) T(v-w) f) T(u+2w) 28) Esboçar o retângulo de vértices v1 = (0, 0); v2 = (2, 0); v3 = (2, 1) e v4 = (0, 1) e o retângulo transformado, considerando uma expansão representada por T(x,y) = (2x, 2y) 29) Esboçar a imagem do retângulo de vértices v1 = (0, 0); v2 = (2, 0); v3 = (2, 1) e v4 = (0, 1) , considerando uma rotação representada por yxyxyxT 2 3 2 1 ,,,, 2 1 2 3 ),(
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