Aula 1 Potencia em CA

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ELE02 – CIRCUITOS ELÉTRICOS
PROFESSOR: RODOLFO RUBACK
1Circuitos Elétricos – Professor: Rodolfo Ruback (CEFET-MG/Leopoldina)
Potência Instantânea 
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• Potência instantânea: é o produto da tensão instantânea 𝑣 𝑡 no elemento e a corrente instantânea
𝑖(𝑡) que passa através dele.
𝑝 𝑡 = 𝑣 𝑡 . 𝑖(𝑡)
• É a potência em (WATTS) a qualquer instante de análise do circuito.
• Ela é também a taxa que na qual um elemento absorve energia.
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Potência Instantânea 
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• Consideremos o caso da potência instantânea absorvida por uma associação de elementos de circuito
sob excitação senoidal.
• A tensão e a corrente nos terminais do circuito são senoidais, do tipo:
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚. cos 𝑤𝑡 + 𝜃𝑣
𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚. cos(𝑤𝑡 + 𝜃𝑖)
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Potência Instantânea 
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• A potência instantânea absorvida pelo sistema é então:
• Utilizando-se a identidade trigonométrica:
cos 𝐴 . cos 𝐵 =
1
2
[cos 𝐴 − 𝐵 + cos(𝐴 + 𝐵)
• Temos:
𝑝 𝑡 =
1
2
. [𝑉𝑚. 𝐼𝑚 cos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 +𝑉𝑚. 𝐼𝑚. cos 2𝑤𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖 ]
𝑝 𝑡 = 𝑣 𝑡 . 𝑖(𝑡) = 𝑉𝑚. 𝐼𝑚 cos 𝑤𝑡 + 𝜃𝑣 . cos 𝑤𝑡 + 𝜃𝑖
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Potência Instantânea 
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• Desta forma, temos que a potência instantânea é formada por duas partes:
parte constante parte variante no tempo (senóide)
• A senóide apresenta frequência angular 2 vezes maior que a da tensão ou corrente (2w), logo possui a
metade do período da corrente e da tensão.
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Potência Instantânea 
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• Senóide da potência instantânea
fornecida a um circuito;
• Nota-se que essa potência é periódica,
com período T/2.
• p(t) é positiva em parte de cada ciclo e
negativa em outra parte;
• Quando p(t) é positiva = a potência é absorvida pelo circuito;
• Quando p(t) é negativa = a potência é transferida do circuito para a fonte;
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Potência Média
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• Uma vez que a potência instantânea varia com o tempo, torna-se difícil de se medir, dessa forma a
potência média, se torna mais conveniente;
• O Wattímetro, instrumento usado para medição de potência, mede a potência média.
• Potência média = média da potência instantânea ao longo de um período.
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Potência Média
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• Aplicando-se a equação de potência encontrada anteriormente na integral, obtemos:
• Onde o primeiro integrando é constante, e a média de uma constante é a própria constante;
• Já o segundo integrando é uma senóide, e a média de uma senóide em um período é zero;
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Potência Média 
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• Desta forma, a potência média é:
• Importante notar que a p(t) varia com o tempo, porém a potência média não. Sendo função apenas das
magnitudes dos sinais de corrente e tensão e da defasagem angular entre eles.
• Para usar fasores, temos que Vm∟θv e Im∟θi, logo:
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Potência Média
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Ou• seja:
Pergunta• :
Qual• a potência média para um resistor?
Qual• a potência média para um capacitor ou um indutor?
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Transferência de Potência Média Máxima
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• Para circuitos CC vimos que a potência máxima em um dado resistor (R), era encontrada quando
fazíamos R = Rth.
• Para descobrirmos quando temos a máxima transferência de potência em CA, consideramos um
circuito CA ligado a uma carga ZL, através de seu equivalente de Thevenin:
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Transferência de Potência Média Máxima
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Temos• na forma retangular:
𝑍𝑇ℎ = 𝑅𝑡ℎ + 𝑋𝑡ℎ e 𝑍𝐿 = 𝑅𝐿 + 𝑋𝐿
• A corrente na carga é :
Pela• equação de potência:
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Transferência de Potência Média Máxima
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• Queremos ajustar os valores de RL e XL de modo que a potência seja máxima, por isso fazemos a
derivações parciais das equação anteriores e igualamos a zero.
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Transferência de Potência Média Máxima*
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Combinando• as 2 equações anteriores, chegamos que 𝑍𝐿 deve ser escolhido de tal forma que 𝑅𝐿 =
𝑅𝑇ℎ e 𝑍𝐿 = −𝑍𝑡ℎ, ou seja:
• Esse resultado é conhecido como teorema da máxima transferência de potência média.
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Transferência de Potência Média Máxima*
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• Se usarmos esse resultado na equação:
• Encontramos:
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Transferência de Potência Média Máxima
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Caso• 𝑍𝐿 seja puramente resistiva, encontramos 𝑅𝐿, como:
Ou• seja, para a máxima transferência de potência para uma carga resistiva, temos que 𝑅𝐿 é igual a
magnitude da impedância de Thevenin.
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Transferência de Potência Média Máxima
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• Determine a impedância ZL da carga que maximiza a potência média absorvida do circuito abaixo. Qual
é a potência média máxima?
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Transferência de Potência Média Máxima
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Valor RMS ou Eficaz
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• O conceito de valor eficaz provém da necessidade de medir a eficácia de uma fonte de tensão ou de
corrente na liberação de potência para uma carga resistiva.
• Objetivo é determinar I eficaz, que
transferirá a mesma potência que a
senóide i(t) para R.
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Valor RMS ou Eficaz
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• A potência média absorvida pelo Resistor no circuito CA é:
• A potência em CC é:
• Igualando-se as expressões:
• A tensão pode ser encontrada similarmente, obtendo-se
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Valor RMS ou Eficaz
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Assim• sendo, o valor eficaz é a raiz quadrada da média do quadrado do sinal periódico.
Valor• eficaz, pode ser chamado raiz do valor médio quadrático (root main square) ou RMS;
Para• qualquer função periódica x(t) em geral, o valor RMS é dado por:
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Valor RMS ou Eficaz
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• Para uma senóide i(t) = Im.cos(wt)
• Para uma tensão v(t) = Vm. cos(wt):
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Valor RMS ou Eficaz
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• A potência média (ou potência ativa P), pode ser calculada usando-se RMS:
𝑃 =
1
2
𝑉𝑚. 𝐼𝑚. cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) = 
𝑉𝑚
2
. 
𝐼𝑚
2
. cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖)
𝑃 = Vrms. Irms. cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) 
• A potência absorvida por um resistor pode ser calculada por:
𝑃 = 𝑅. 𝐼𝑅𝑚𝑠
2 =
𝑉𝑟𝑚𝑠
2
𝑅
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Valor RMS ou Eficaz
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• Quando especificamos um valor de tensão em CA, geralmente usamos o valor de pico ou seu valor
RMS, uma vez que o valor médio de uma senóide é 0;
• As concessionárias de energia, utilizam o valor RMS e não o de pico.
• 127V e 220V são valores RMS de tensão.
• Os voltímetros e amperímetros são definidos para trabalhar com o valor RMS da tensão e corrente.
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PotenciaAparente e Fator de Potencia
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• Vimos que para uma tensão senoidal v(t) e corrente senoidais i(t) do tipo:
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚 cos 𝑤𝑡 + 𝜃𝑣 ou ሶ𝑉 = 𝑉𝑚∟𝜃𝑣
i 𝑡 = 𝐼𝑚 cos 𝑤𝑡 + 𝜃𝑖 ou ሶ𝐼 = 𝐼𝑚∟𝜃𝑖
• A potência média entregue para a carga é dada por:
𝑃 =
1
2
𝑉𝑚. 𝐼𝑚. cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) ou 𝑃 = Vrms. Irms. cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) 
S fp
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Potencia Aparente e Fator de Potencia
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• S é a potência aparente, dada pelo produto da tensão RMS e a corrente RMS:
𝑺 = 𝑽𝒓𝒎𝒔. 𝑰𝒓𝒎𝒔 𝑉𝐴(𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠)
• Chamada aparente, porque ao analisarmos em CC, definimos a potência era como o produto da tensão
e pela corrente, logo S é a potência que “se assemelha”, ou “aparenta” essa característica.
• Já o termo cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) é chamado de fator de potência, dado pelo cosseno da diferença angular
entre a tensão e a corrente, ou ainda a razão entre a potência ativa (ou média) pela potência aparente:
𝑓𝑝 = cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) =
𝑃
𝑆
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Potencia Aparente e Fator de Potencia
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• (𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) é denominado ângulo do fator de potência, uma vez que é o ângulo cujo o
cosseno é o fp;
• O ângulo do fp é igual ao ângulo da impedância da carga.
• Seja V a tensão sobre a carga e I a corrente da carga, temos:
𝑍 =
𝑉
𝐼
=
𝑉𝑚∟θ𝑣
𝐼𝑚∟θ𝑖
=
𝑉𝑚
𝐼𝑚
∟ θ𝑣- θ𝑖
Ou em RMS:
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Potencia Aparente e Fator de Potencia
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• Fator de Potência = É o cosseno da diferença de fase entre a tensão e a corrente.
Também é o cosseno do ângulo da impedância da carga;
• Visto como o fator pelo qual a potência aparente deve ser multiplicada para se obter a
potencia média ou real (ou ativa) P.
• O Valor do fp varia entre 0 e 1;
• Se a carga é puramente resistiva, não temos defasagem angular entre a corrente e a
tensão, logo fp = cos(0) = 1;
• Se a carga é puramente reativa (indutor ou capacitor), temos cos ±90° = 0. Lembrando
que P ativa para um capacitor ou indutor = 0;
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Potencia Aparente e Fator de Potencia
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• Entre os dois casos anteriores (carga com parte resistiva e parte reativa, ou seja uma
impedância), o fp vale entre 0 a 1.
• Neste caso, podemos ter o fp adiantado ou atrasado;
• Fp adiantado = corrente é adiantada em relação a tensão, logo temos uma carga
capacitiva;
• Fp atrasado = corrente é atrasada em relação a tensão, logo temos uma carga indutiva;
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Potencia Aparente e Fator de Potencia
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• Uma carga drena i(t) = 4 cos(100∏t+10°), com uma tensão v(t) = 120cos(100∏t-20°).
• A) Determine a potência aparente e o fp da carga;
• B) Estabeleça os elementos que formam a carga;
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Potencia Aparente e Fator de Potencia
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• Obtenha o fp e a potência aparente de uma carga Z = 60+i40, para v(t) =
150cos(377t+10°)
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Potencia Aparente e Fator de Potencia
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• Calcule o fp visto da fonte para todo o circuito. Calcule também as potências aparente e
ativa fornecidas pela fonte.
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Potência Complexa
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• Ao longo dos anos, aplicou-se um esforço considerável para expressar as relações de
potência de forma mais simples possível;
• Os engenheiros de sistemas de potência criaram o termo de potência complexa;
• Essa potência complexa é essencial para análise de potência, pois ela contém todas as
informações pertinentes a potência absorvida por uma determinada carga.
• Seja a carga CA da figura abaixo, com tensão e corrente dadas por:
• V = Vm∟θv e I = Im ∟θi
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Potência Complexa
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• A potência complexa absorvida pela carga é o produto entre a tensão e do conjugado
complexo da corrente:
ሶ𝑆 =
1
2
𝑉𝐼∗
• Em RMS:
ሶ𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑟𝑚𝑠
∗
𝑉𝑟𝑚𝑠 =
𝑉
2
= 𝑉𝑟𝑚𝑠∟θ𝑣
𝐼𝑟𝑚𝑠 =
𝑉
2
= 𝐼𝑟𝑚𝑠∟θ𝑖
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Potência Complexa
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• Reescrevendo:
ሶ𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑟𝑚𝑠∟θ𝑣 − θ𝑖
ሶ𝑆 =𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑟𝑚𝑠. cos θ𝑣 − θ𝑖 + 𝑗. 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑟𝑚𝑠. 𝑠𝑒𝑛(θ𝑣 − θ𝑖)
• Notamos da equação anterior, que a magnitude da potência complexa é a potência 
aparente, logo sua medida também é Volt-Amperes (VA).
• Além disso, percebemos que o ângulo da potência complexa é o ângulo do fp;
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Potência Complexa
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• Podemos reescrever a potência complexa em função da impedância, onde temos:
𝑍 =
𝑉
𝐼
=
𝑉𝑟𝑚𝑠
𝐼𝑟𝑚𝑠
=
𝑉𝑟𝑚𝑠
𝐼𝑟𝑚𝑠
∟θ𝑣 − θ𝑖
• Temos então que 𝑉𝑟𝑚𝑠 = 𝑍. 𝐼𝑟𝑚𝑠, substituindo-se em ሶ𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑟𝑚𝑠
∗ :
ሶ𝑆 = 𝐼𝑟𝑚𝑠
2 . 𝑍 =
𝑉𝑟𝑚𝑠
2
𝑍∗
= 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑅𝑚𝑠
∗
Como Z = R+jX, temos:
ሶ𝑆 = 𝐼𝑟𝑚𝑠
2 𝑅 + 𝑗𝑋 = 𝑃 + 𝑗𝑄
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Potência Complexa
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• Onde P e Q são as partes real e imaginária da potência complexa.
• P é a potência média ou real ou ativa (WATTS), e depende da resistência R da carga (é a
potência real dissipada por essa carga);
• Q é a potência reativa e depende da reatância da carga. Elementos armazenadores de
energia não dissipam energia nem absorvem energia, apenas trocam energia;
• Q é a medida de troca de energia entre a fonte e a parte reativa do sistema, medida em
(VAR ou Volt Ampere Reativo). Comparando-se as equações anteriores, ainda chegamos a:
𝑃 = 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑟𝑚𝑠. cos(θ𝑣 − θ𝑖)
𝑄 = 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑟𝑚𝑠. 𝑠𝑒𝑛(θ𝑣 − θ𝑖)
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Potência Complexa
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• Q = 0 para cargas resistivas;
• Q<0 para cargas capacitivas (fp adiantado);
• Q>0 para cargas indutivas (fp atrasado);
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Potência Complexa
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Potência Complexa
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• É prática comum representar as potências em CA na forma de um triângulo de potência,
semelhante ao triângulo de impedâncias.
• Quando S cai no quarto
quadrante, temos uma carga
capacitiva (Q<0);
• Quando S cai no primeiro
quadrante, temos uma carga
indutiva (Q>0)
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Potência Complexa
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• A tensão em uma carga é v(t) = 60 cos(wt-10°) V e a corrente através do elemento é i(t) =
1,5cos(wt+50°)A. Determine:
A)• As potências complexa e aparente;
B)• As potências real e reativa;
C)• O fator de potência e o valor da carga.
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Potência Complexa
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• Uma carga Z absorve de uma fonte senoidal 120V rms, para S = 12kVa com fp = 0,856
atrasado. Determine:
• A) P média (ou ativa) e P reativa liberados pela carga;
• B) A corrente de pico
• C) Impedância da carga
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Correção do Fator de potência
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• A maioria das cargas domésticas (máquinas de lavar, ar, refrigeradores) e as cargas
industriais são indutivas e operam com fp atrasado;
Embora• a natureza das cargas não possam ser alteradas, podemos mudar seu fator de
potência;
• “ O processo de aumentar o fator de potência de uma carga, semalterar sua tensão ou
potência ativa, é conhecido como correção do fator de potência”
Como• as cargas são indutivas, aumentamos o fp instalando-se capacitores em paralelo com
a carga;
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Correção do Fator de potência
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• Θ1 ângulo do fp anterior;
• Θ2 ângulo do fp que queremos;
• Como o ângulo reduz o fp
aumenta;
• Cos(0) = 1;
• Cos(90) = 0;
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Correção do Fator de potência
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Além• do ângulo diminuir, vemos que para uma mesma tensão, a corrente drenada IL é
maior que a corrente fornecida pela fonte I com a associação em paralelo com o capacitor;
As• concessionárias de energia cobram mais por correntes maiores, pois elas representam
maiores perdas (𝑃 = 𝑅𝐼2), logo é interessante tanto para a concessionária quanto para o
consumidor a aproximação do fp de 1.
Escolhendo• -se um valor adequado para o capacitor em paralelo, a corrente pode ser
colocada em fase com a tensão, significando em um fp unitário;
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Correção do Fator de potência
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• Do ponto de vista matemático, considerando o triangulo de potencia ao
lado:
• Se a carga original tem potência aparente S1:
• P = S1. cos θ1 e Q1 = S1. sen θ1 = P. tg θ1
• Sabemos que alocando um capacitor, P não muda, já que elementos
reativos não possuem potencia ativa, só reativa, logo:
• Q2 = P.tg θ2
• A redução na potência reativa é provocada pelo capacitor shunt, logo:
• Qc = Q1 – Q2 = P(tg θ1-tg θ2)
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Correção do Fator de potência
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Vimos• anteriormente que:
ሶ𝑆 = 𝐼𝑟𝑚𝑠
2 . 𝑍 =
𝑉𝑟𝑚𝑠
2
𝑍∗
= 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑅𝑚𝑠
∗
Como• queremos achar o valor de C, sabemos que P = R = 0, já que temos um capacitor
puro, logo temos:
𝑄𝑐 =
𝑉𝑟𝑚𝑠2
𝑋𝐶
= 𝑤. 𝐶. 𝑉𝑟𝑚𝑠2
Logo• o valor da capacitância shunt é:
𝐶 =
𝑄𝐶
𝑤. 𝑉𝑟𝑚𝑠2
=
P(tg θ1−tg θ2)
𝑤. 𝑉𝑟𝑚𝑠2
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Correção do Fator de potência
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• Apesar de mais comumente na prática termos cargas indutivas, também é possível que
tenhamos cargas capacitivas que necessitem da instalação de indutores em paralelo para
correção do fp. A indutância shunt necessária para essa correção é dada por:
𝑄𝐿 =
𝑉𝑟𝑚𝑠2
𝑋𝐿
=
𝑉𝑟𝑚𝑠2
𝑤𝐿
𝐿 =
𝑉𝑟𝑚𝑠2
𝑤𝑄𝐿
Onde QL = Q1 – Q2, é a diferença entra a nova e a antiga potência reativa.
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Correção do fator de potência
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Quando• ligada a uma linha de energia elétrica de 120V (rms), 60Hz, uma carga absorve
4kW com fp = 0,8 atrasado. Determine o valor da capacitância necessária para elevar o fp
para 0,95.
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Correção do fator de potência
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• Determine o valor da capacitância em paralelo necessária para corrigir uma carga de
140kVar com fp de 0,85 (atrasado) para um fp unitário. Suponha que a carga seja
alimentada por uma linha de 110V (rms) a 60Hz.