Respostas P3-PROBEST_2012-1

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P3 - Probabilidade e Estatística – 2012.1 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Souza & Roxana C. Contreras 
 
Problema 1 (2.0 pts) 
1.1- (0.4 pt) O que vem a ser um “estimador” e uma “estimativa” de um parâmetro. 
1.2- (0.4 pt) e a = (X1, X2,... Xn), n observações de uma v.a. X. Qual a condição que estas 
observações devem satisfazer para que ela seja considerada uma amostra aleatória. 
1.3- (0.4 pt) Existe diferença entre Probabilidade e verossimilhança? Explique? 
1.4- (0,8 pt) Mostre que se e são v.a. estatisticamente independentes, então 
 . 
 
 
Problema 2 (3.0 pts) 
Sejam e v.a.'s contínuas com densidade conjunta: 
 
 
 
a) (0.6 pt) Encontre a constante c que faz desta expressão uma densidade. 
b) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . 
c) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . 
d) (0.6 pt) Encontre a densidade condicional de dado . 
e) (0.6 pt) e são independentes? Por que? Justifique. 
 
RESPOSTA 
 
a) (0.6 pt) Encontre a constante c que faz desta expressão uma densidade. 
1.).,(),(
0 0
  
 
dydxyxfyxf
 
c=16 
 
 
 
 
b) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
2
..2)( xexxf 
 
 
 
 c) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
2
..2)( yeyyf 
 
 
 
 
  0 ,0 para ,....
4
1
,
22
  yxeyxcyxf yx
  0 ,0 para ,...4,
22
  yxeyxyxf yx
 
 
d) (0.6 pt) Encontre a densidade condicional de dado . 
 
 
2
..2)( yeyyYXf 
 
 
 
e) (0.6 pt) e são independentes? Por que? Justifique. 
 
Conclusão: 
)().(),( yfxfyxf 
 , então, X e Y são independentes. 
 
Problema 3 ( 2.0 pts ) 
Você é contratado pra auditar a pesquisa sobre as intenções de voto do segundo turno da 
eleição presidencial de 2010. 
a) (1.0 pt) determine qual a melhor maneira de estimar a proporção de eleitores que 
votam em um determinado candidato “A” entre os dois candidatos eleitos “A” e “B” para 
o 2º turno. . Nesse sentido, você deve mostrar a dedução do estimador de máxima 
verossimilhança para tal parâmetro (proporção), mostrar todos os passos da solução. 
 
 ~ binomial (n,Ɵ), n conhecido 
F(x) = p( |n,Ɵ) = 
  xnx
x
n 






 1..
 
RESPOSTA 
 
n
X
MV ˆ
 
 
 
b) (1.0 pts) A pesquisa da Datafolha divulgou uma semana antes da eleição o seguinte 
resultado: a proporção dos eleitores que votam no candidato “A” é de 53% com uma 
margem de erro de ±3 (pontos percentuais), isso significa que o intervalo de confiança é 
IC=[50% , 56%]. Também foi divulgado que o número de pessoas ouvidas foi de 1200 
pessoas. 
Deduza o grau de confiança (1-α) empregado nesta pesquisa, utilizando o Teorema 
Central do Limite. 
RESPOSTA 
 
[1-α] = 1 – 0,0372 = 0,9628 = 96,28% 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 4 ( 3.0 pts) 
a) (1.0 pts) Estuda-se um certo processo químico com o objetivo de tentar aumentar a 
produção de um certo composto. Atualmente usa-se na produção um certo tipo de 
catalisador “A”, mas um outro tipo de catalisador “B” é aceitável. 
Faz-se uma experiência com n = 16 tentativas para o catalisador “A” e n = 18 tentativas para o 
catalisador “B”. 
 
As médias e os desvios padrões amostrais são: 
 
Catalisador “A”: A = 88,52 SA= 1,96 
Catalisador “B” B = 92,38 SB = 2,01 
 
Pede-se: 
Encontre o Intervalo de confiança para a diferença das médias dos dois catalisadores (μA – μB) 
ao nível de significância de 93%. Pelo resultado pode-se afirmar que a média do catalisador “A” 
é estatisticamente menor do que a média do catalisador “B”? 
 
RESPOSTA 
 
 
 = 0,6826 
 
 
 [ -5,096 ; -2,624 ] 
 
 Note que este intervalo não inclue o zero, isso indica que existe diferença real na 
produção média usando os catalisadores A e B. Ao nível de significancia de 93%, a média 
do catalizador A é estatisticamente menor do que a média do catalizador B. 
 
b) e a uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média “μ” e 
Variância “σ2”, ambas desconhecidas. 
 e a = (3, 7, 2, 4, 4, 9, 6, 5), uma amostra aleatória de tamanho 8 desta população: 
 Pede-se: 
 (1.0 pt) O intervalo de confiança ao nível de significância de 98%, para “S2”. 
 
RESPOSTA 
 
S
2
 = 5,14 
n=8 
 
 [ 1,947 ; 29,04 ] 
 
BOA SORTE!!! 
     
  















2
S.1S.1
.
11
2
B
2
A
mn
mn
mn
R
IC
IC
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = p 
VAR(X) = p.q = p.(1-p) 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = n.p 
VAR(X) = n.p.q = n.p.( 1-p) 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = 1/p 
VAR(X) = q/p2 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = r/p 
VAR(X) = r.q/p2 
 
Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = μ 
 
Distribuição Exponencial - X ~ Exp(λ) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = 1/λ 
VAR(X) = 1/λ2 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .pp)-(1 .)Pr()( 1-x1   pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) 
Função de probabilidade: 
 
 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = σ2 
 
Se X ~ N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
 
Intervalos de Confiança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- onde a e b são tirados da tabela qui- 
quadrado com (n-1) graus de liberdade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ;






 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ; 







 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;   















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
  1]/)1(/)1Pr[( 222 aSnbSn
 





 
1
..
a
u
a
e
dueu
au
au
 
Tabelas