APP3- Pontes- Notas de aulas

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LINHAS DE INFLUÊNCIA
PGE 2018/1
CARGAS MÓVEIS
• Cargas permanentes → posição fixa, mesma intensidade, análise:
DIAGRAMAS DE ESTADO, esforços mais desfavoráveis atuantes na
estrutura, deslocamentos verificados de forma simples.
• Cargas acidentais (ou variáveis) → para cargas de variação espacial,
verificação de posição mais desfavorável de máximo ou mínimo
esforço. Cargas móveis: carregamento rodoviário, ferroviário,
multidão de pessoas, pontes rolantes, etc. Análise: LINHAS DE
INFLUÊNCIA.
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CARGAS MÓVEIS
• O dimensionamento de estruturas sob a ação de cargas móveis exige
que a análise de esforços seja feita a uma análise rigorosa. O
procedimento geral consiste em se determinar a posição das cargas
móveis em uma estrutura que provocam valores limites de
determinado esforço em uma dada seção transversal. Este
procedimento é feito com o auxílio das linhas de influência.
(MARTHA, 2010)
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LINHA DE INFLUÊNCIA – DEFINIÇÕES
• “Registra a variação de um determinado esforço em uma seção ou
reação de apoio em função da posição de uma força unitária que
percorre a estrutura.”
• “Mostra como um determinado esforço numa seção varia quando
uma carga concentrada se move sobre a estrutura. A L.I. é constituída
sobre o eixo da estrutura sendo que as abscissas representam as
posições da carga móvel e as ordenadas representam os respectivos
valores do esforço considerado.”
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LINHA DE INFLUÊNCIA
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LINHA DE INFLUÊNCIA
• Método para obtenção das L.I. das estruturas isostáticas
• Método das seções *
• Método analítico f(x)
• Método gráfico (deformadas verticais)
• No caso de vigas contínuas a obtenção das L.I. torna-se mais
complexa devido à hiperestaticidade do sistema estrutural (resposta
não-linear
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MÉTODO DAS SEÇÕES
• Traçar as linhas de influência de 𝑽𝑪, 𝑽𝑬, 𝑸𝑩,𝑴𝑩, 𝑸𝑫 𝒆𝑴𝑫.
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A B C D E F G
L.I. PARA VIGAS BIAPOIADAS
• Dado o sistema estrutural da viga sobre dois apoios com balanços,
uma carga móvel vertical “P” desloca sobre a vida e x é a posição da
carga. Determinar linhas de influência de reações de apoio, esforço
cortante e momento fletor pelo método analítico na seção S.
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L.I. DAS REAÇÕES DE APOIO
෍𝑀𝐴 = 0
𝑉𝐵 ∙ 𝐿 − 𝑃 𝑥 − 𝑎 = 0
𝑉𝐵 =
𝑃(𝑥 − 𝑎)
𝐿
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L.I. DAS REAÇÕES DE APOIO
• Dividindo ambos os lados por P torna-se o carregamento unitário e
adimensional
𝑉𝐵
𝑃
=
𝑃(𝑥 − 𝑎)
𝑃 ∙ 𝐿
→ 𝑽𝑩 = ൗ
(𝑥 − 𝑎)
𝐿
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L.I. DAS REAÇÕES DE APOIO
• Chama-se 𝑽𝑩 de “Linha de Influência” da reação de apoio 𝑉𝐵.
• Uma equação que mostra com a reação 𝑉𝐵 varia com a posição x de 
uma carga unitária P que se desloca sobre a estrutura.
• Note que os valores de 𝑽𝑩 são adimensionais.
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x 𝑽𝑩 Situação
0 -a/L Balanço esquerdo
a 0 Carga sobre apoio A
a+L 1 Carga sobre apoio B
a+L+b (L+b)/L >1 Balanço direito
L.I. DAS REAÇÕES DE APOIO
• A ordenada 𝑦𝑆 representa o valor da reação de apoio 𝑉𝐵 quando a 
carga móvel unitária estiver sobre a seção “s”. 
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L.I. DAS REAÇÕES DE APOIO
• De forma análoga, tem-se 𝑽𝑨.
𝑽𝑨 = ൗ
(𝐿 + 𝑎 − 𝑥)
𝐿
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L.I. DAS REAÇÕES DE APOIO
• De forma análoga, tem-se 𝑽𝑨.
𝑽𝑨 = ൗ
(𝐿 + 𝑎 − 𝑥)
𝐿
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x 𝑽𝐀 Situação
0 (L+a)/L >1 Balanço esquerdo
a 1 Carga sobre apoio A
a+L 0 Carga sobre apoio B
a+L+b -b/L Balanço direito
L.I. DAS REAÇÕES DE APOIO
• Conclui-se que as linhas de influência de reações de apoio de uma
viga biapoiada são lineares e tem valor unitário no apoio analisado, e
zero no outro apoio, prologando-se a reta até as extremidades dos
balanços.
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L.I. DA FORÇA CORTANTE (ENTRE APOIOS)
• 𝑥 < 𝑎 + 𝑐 → 𝑸𝒔 = −𝑽𝑩
• 𝑥 > 𝑎 + 𝑐 → 𝑸𝒔 = 𝑽𝑨
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L.I. DO MOMENTO FLETOR (ENTRE APOIOS)
• 𝑥 < 𝑎 + 𝑐 → 𝑴𝒔 = 𝑽𝑩 ∙ 𝒅
• 𝑥 > 𝑎 + 𝑐 → 𝑴𝒔 = 𝑽𝑨 ∙ 𝒄
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L.I. DO MOMENTO FLETOR (ENTRE APOIOS)
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VIGAS EM BALANÇO – L.I. REAÇÕES
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VIGAS EM BALANÇO – L.I. DA FORÇA 
CORTANTE
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VIGAS EM BALANÇO – L.I. DO MOMENTO 
FLETOR
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Obs.: As linhas de influência dos esforços solicitantes numa seção do balanço de uma
viga biapoiada são os mesmos obtidos para a viga em balanço.
EXERCÍCIO
• Traçar as linhas de influência de 𝑸𝑬 antes e depois do apoio,
𝑸𝑭 𝒆𝑴𝑭.
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