Terros-Est-Qui-II

Prévia do material em texto

Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
TEXTOS DE LABORATO´RIO
FI´SICA GERAL E EXPERIMENTAL
TEORIA DOS ERROS
UMA ANA´LISE ESTATI´STICA
σrms =
√∑
δxi 2
n
σx =
√∑
δxi 2
n − 1
σx =
√ ∑
δxi 2
n (n − 1)
δxi = xi − x
Edic¸a˜o Experimental
Prof. Sobral R. R — http://br.groups.yahoo.com/group/rsobral/
Email: rsobral@uneb.br; ruisobral@bol.com.br
ruisobral@click.com.br www.ruisobral.hpg.com.br
DEPARTAMENTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA TERRA
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB
Sobral 1
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
TEORIA DOS ERROS
— UMA ANA´LISE ESTATI´STICA
1 - Objetivo: medidas, confiabilidade, probabilidades,
...
2 - Introduc¸a˜o
A F´ısica interessam exclusivamente as leis quantita-
tivas, ou seja, as relac¸o˜es entre as diversas grandezas que
caracterizam os fenoˆmenos. Para isso, necessita medir
essas grandezas.
Para medir uma grandeza elege-se uma unidade (quan-
tidade de mesma espe´cie), determinando-se a seguir o
nu´mero de vezes que esta´ contida na primeira. Esse
nu´mero e´ a medida da grandeza na unidade escolhida.
As medidas podem ser diretas ou indiretas.
Medida direta. A comparac¸a˜o e´ meramente mecaˆnica:
medida de um comprimento com fita me´trica, medida de
massa com uma balanc¸a anal´ıtica, etc.
Medida indireta. A grandeza procurada e´ calculada
a partir de outras grandezas de medida direta e com o
aux´ılio de relac¸o˜es existentes entre tais grandezas; por ex-
emplo: a determinac¸a˜o da massa espec´ıfica de um so´lido.
Durante os trabalhos de laborato´rio nem sempre sera´
poss´ıvel medir diretamente certas grandezas, pois, para
se chegar ao resultado procurado, torna-se necessa´rio efe-
tuar medidas de ou-tras grandezas com as quais a grandeza
(ou grandezas) esta´ relacionada. Tal procedimento nos
conduzira´ a outro problema, onde conhecer o intervalo
de variac¸a˜o da grandeza medida indiretamente. Podera´
ocorrer, ainda, que um dos instrumentos utilizados na
medic¸a˜o de uma das grandezas seja muito sens´ıvel e os
demais imprecisos, obtendo-se enta˜o um resultado falho.
Quando se mede uma grandeza empregando-se os
mesmos me´todos e instrumentos, em condic¸o˜es julgadas
as mesmas, obte´m-se em geral, resultados discordantes. E´
essa a primeira aquisic¸a˜o do experimentador. Tal fato se-
ria justificado, afirmando-se que as medidas sa˜o pass´ıveis
de serem afetadas por erros de observac¸a˜o. Nessas cir-
cunstaˆncias, que nu´mero devera´ ser adotado como me-
dida da grandeza?
Qual o valor que melhor a representara´? Qual a
confiabilidade que uma se´rie de medic¸o˜es pode inspirar?
Como comparar entre si duas ou mais se´ries de medidas?
A resposta a essas perguntas constitui o objetivo da Teo-
ria dos erros.
Em outras palavras, dar simplesmente um nu´mero
como. medida de uma grandeza, sem aquilatar o erro de
que esta afetado, seja aproximadamente, seja em termos
probabil´ısticos, na˜o significa muito. Uma medida tera´
sentido somente quando se puder determinar, de uma ou
de outra forma, o erro de que esta´ afetada. Apreciar o
erro de uma medida e´ o objetivo da Teoria dos erros.
Os erros na˜o podem ser eliminados uma vez que,
sendo irregulares as suas causas, na˜o se podem estab-
elecer relac¸o˜es precisas entre tais causas e seus efeitos,
mas podem pore´m, serem atenuados com o aux´ılio da
Teoria dos erros. Paradoxalmente, essa envolve o conhec-
imento do verdadeiro valor da grandeza que medimos ou
do valor que, melhor a representa, na˜o obstante as dificul-
dades lo´gicas que surgem, quando se trata de estabelecer
com rigor o significado desse conceito. Pode-se medir,
por exemplo, a carga de um ele´tron, com uma acuraci-
dade tanto maior quanto melhores o me´todo imaginado e
o instrumental utilizado; mas, em nenhum caso, pode-se
medir a verdadeira carga do ele´tron. Com essas restric¸o˜es
torna-se necessa´rio o conceito do valor verdadeiro de uma
grandeza, no mı´nimo como hipo´tese de trabalho. E´ pre-
ciso enfatizar que a medida de uma grandeza f´ısica difere
sempre em algo, relativamente ao seu verdadeiro valor.
Classificac¸a˜o dos erros.
De um modo geral os diversos tipos de erros que po-
dem ser cometidos, numa se´rie de medic¸o˜es, podem ser
classificados em:
Erros grosseiros — Decorrem da falta de pra´tica ou
da falta de cuidado do operador. Exemplos: erros de
leitura, erros de ca´lculo e erros originados do manuseio
incorreto do instrumento de medic¸a˜o (medir a distaˆncia
entre dois pontos fazendo com que o extremo da re´gua
coincida com um dos pontos quando o zero da escala na˜o
coincide com o extremo da re´gua).
De um modo geral os, erros grosseiro podem ser evi-
tados por medic¸a˜o cuidadosa e por repetic¸o˜es. Um re-
sultado muito discrepante dos demais devera´ ser aban-
donado, pois sera´ um erro grosseiro. O erro de paralaxe
(leitura da posic¸a˜o do ponteiro de uma escala sem ter o
cuidado de fazer a visada perpendicularmente ao plano
da escala) e´ facilmente evitado gravando a escala sobre
uma superf´ıcie espelhada.
Erros sistema´ticos — Guardam uma relac¸a˜o determinada
com uma ou mais condic¸o˜es de observac¸a˜o. Caracterizam-
se por ocorrerem sempre num mesmo sentido e conser-
varem, em medic¸o˜es sucessivas, o mesmo valor.
Exemplo 1. Erros sistema´ticos introduzidos pelo obser-
vador, como o atraso ou adiantamento ao acionar um
cronoˆmetro ou por deficieˆncia de visa˜o.
Exemplo 2. Erros sistema´ticos introduzidos por instru-
mento, como a utilizac¸a˜o de uma escala em temperatura
diferente daquela em que foi feito ou seja, utilizac¸a˜o de
um instrumento em condic¸o˜es diferentes daquelas para
as quais foi calibrado (se nenhuma correc¸a˜o for feita, o
resultado tera´ um erro sistema´tico).
Exemplo 3. Erros sistema´ticos introduzidos por me´todo,
como a determinac¸a˜o da massa de um corpo no ar em vez
de fazeˆ-lo no va´cuo (o empuxo do ar falseara´ o resultado)
ou a determinac¸a˜o do valor da resisteˆncia ele´trica de um
condutor atrave´s da lei de Ohm sem levar em consid-
erac¸a˜o as resisteˆncias internas do instrumento medidor.
Para reduzir os erros pessoais deve-se quando poss´ıvel,
substituir o observador humano por um aparelho mecaˆnico,
ele´trico, fotoele´trico, fotogra´fico, etc. Nos bons labo-
rato´rios, cada observador tem a sua equac¸a˜o pessoal de
erro.
Os erros instrumentais acontecem ao longo da escala
do instrumento. Essa e´ a raza˜o por que ele deve ser cal-
ibrado antes do uso (comparando-o com outro, padra˜o,
constro´i-se uma tabela e curva de calibrac¸a˜o; por meio
dessa curva pode-se corrigir os resultados).
Algumas vezes a escolha adequada do me´todo pode
Sobral 2
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
compensar o erro sistema´tico do instrumento (o me´todo
da dupla pesagem elimina o erro sistema´tico introduzido
pela desigualdade dos brac¸os de uma balanc¸a de labo-
rato´rio).
Em resumo, sa˜o defeitos de construc¸a˜o, v´ıcios no
me´todo empregado e o comportamento particular do ob-
servador ao efetuar dado geˆnero de medic¸a˜o que oca-
sionam os erros sistema´ticos que sa˜o, ate´ certo ponto,
controla´veis; seu reconhecimento e eliminac¸a˜o, pelo em-
prego de te´cnica apurada e de oportunas correc¸o˜es, rev-
elara˜o a habilidade e capacidade do experimentador.
Erros acidentais — Decorrem de va´rias causas, conheci-
das ou na˜o, que se superpo˜em de maneira imprevis´ıvel
e na˜o guardam uma relac¸a˜o determinada com uma ou
mais condic¸o˜es da observac¸a˜o; sa˜o devidos a causas tem-
pora´rias, que variam ao longo de sucessivas observac¸o˜es e
que fogem a uma ana´lise devido a sua imprevisibilidade.
Assim, numa pesagem, o zero da balanc¸a podera´ variar
durante uma ou mais operac¸o˜es, em virtude de uma in-
controla´vel varia-c¸a˜o de temperatura no recinto. Como
fatores imprevis´ıveis podem-se considerar variac¸o˜esdas
condic¸o˜es ambientais. (pressa˜o, temperatura, etc.) e
da rede ele´trica local. Poder-se-iam citar, ainda, causas
decorrentes de pequenas perturba-c¸o˜es (entrada de sinais
espu´rios provenientes de maquinas ele´tricas pro´ximas ou,
ainda, variac¸o˜es mecaˆnicas).
Concorrem tambe´m para os erros acidentais fatores
relacionados com o pro´prio observador (sujeito a flutuac¸o˜es).
Exemplo: julgamento da coincideˆncia de um ı´ndice com
uma escala).
Os erros acidentais influenciara˜o os resultados ora
num ora noutro sentido: sera˜o revelados pela discrepaˆncia
entre os resultados obtidos em sucessivas observac¸o˜es e
sua coereˆncia se da ao acaso, o que facultara´ a aplicac¸a˜o
do ca´lculo das probabilidades ao conjunto de erros aci-
dentais, assim como aos resultados experimentais, uma
vez corrigidos os erros sistema´ticos eliminados os erros
grosseiros.
II.2 - Algarismos Significativos
Suponhamos que queremos medir o comprimento de
uma barra e dispomos de uma re´gua graduada de 1 em
1 cm. Aproximamos a re´gua da barra (veja a figura
seguinte) e fazemos a medida. Como devemos expressar
o resultado da medida?
A nossa re´gua nos da´ precisamente o valor da me-
dida em cent´ımetros mas a casa dos mil´ımetros pode ser
apenas estimada, ja´ que a re´gua na˜o tem graduac¸a˜o em
mil´ımetros.
Da casa seguinte, a casa de de´cimos de mil´ımetros,
na˜o temos a menor ide´ia e na˜o faz nenhum sentido a
avaliac¸a˜o dela. O nosso resultado deve ser expresso com
todos os algarismos precisos mais o algarismo avaliado.
0 comprimento da barra sera´ expresso como 15,5cm. Se
a nossa re´gua fosse graduada em mil´ımetros nossa me-
dida deveria ser igual a 15,50cm. Por que? Seria certo
expressar como 15,49cm?
Os algarismos que compo˜em o resultado de uma me-
dida sa˜o chamados algarismos significativos. Toda medida
se expressa por n algarismos precisos mais um e somente
um algarismo duvidoso.
OBS. 1 — Os zeros a esquerda do 10 algarismos na˜o nulo
na˜o sa˜o significativos pois o nu´mero de significativos na˜o
dependem da unidade em que expressamos o resultado
da medida. Assim:
15, 5cm = 0, 155m = 0, 000155km = 155.103um =
155.106nm = 155.109pm
Em todos os casos temos apenas 3 algarismos signi-
ficativos sendo dois precisos e outro duvidoso.
OBS. 2 - Os zeros a direita do u´ltimo algarismo na˜o nulo
sa˜o significativos pois indicam um valor medido. Assim,
0,0750 m tem treˆs significativos .
7,5000 cm tem cinco significativos.
Voceˆ pode dizer qual a menor divisa˜o dos medidores
que fizeram estas medidas?
II.3 - Operac¸a˜o com algarismos significativos
II.3.1 - Quando queremos fazer operac¸o˜es com algaris-
mos significativos, como veremos adiante, muitas vezes
e´ necessa´rio tirar um ou va´rios algarismos significativos.
Daremos abaixo essas regras chamadas de Regras de Arredonda-
mento.
Quando o algarismo a ser retirado for:
1.- Menor que cinco, o anterior na˜o muda
2.- Maior que cinco, adiciona-se uma unidade ao an-
terior
3.- 0 nu´mero cinco, temos dois casos:
a) quando o anterior for par, anterior na˜o muda
b) quando o anterior for impar, adiciona-se uma unidade
ao anterior.
II.3.2 - Na adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o o resultado deve ser ex-
presso com nu´mero de casas decimais da parcela mais po-
bre. 0 arredondamento pode ser feito antes ou depois da
operac¸a˜o pois, como veremos abaixo, o erro na operac¸a˜o
encontra-se sempre na casa duvidosa.
20, 23m + 17, 835m + 23, 78m + 2, 6m =
s/ arredondamento
20,23
17,835
23,78
2,6
64,463
Arredondando 64,5 m
c/ arredondamento
20,2
17,8
23,8
2,6
64,4
64,4 m
154,987 - 110,12 =
s/ arredondamento
154,987
- 110,12
44,867
c/ arredondamento
154,99
- 110,12
44,87
arredondando 44,87
II.3.3 - Na multiplicac¸a˜o e na divisa˜o o resultado deve
ter o mesmo nu´mero de algarismos significativos que o fa-
tor mais pobre. Em alguns casos, a multiplicac¸a˜o pode
ter n + 1 significativos (onde n da´ o nu´mero de significa-
tivos do fator mais pobre) e, consequentemente, a divisa˜o
pode ter (n - 1) algarismos significativos.
Os casos de potenciac¸a˜o e radiciac¸a˜o podem ser ex-
trapolados da multiplicac¸a˜o e da divisa˜o.
A maneira que julgamos mais simples para encontrar
o nu´mero de significativos de um produto ou quociente de
Sobral 3
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
grandezas medidas e´ a seguinte: Sabendo-se o desvio rel-
ativo de um produto (ou quociente) podemos multiplica-
lo pelo valor encontrado para o produto (ou quociente) e
teremos o desvio absoluto. O u´ltimo algarismo significa-
tivo do produto ou quociente deve estar na mesma casa
do desvio absoluto encontrado. Deve-se, enta˜o, usar as
regras de arredondamento citadas anteriormente para ex-
pressar o valor do produto (ou quociente) corretamente.
II.4 - Majorac¸a˜o de desvios
Na sec¸a˜o anterior vimos que as medidas teˆm um certo
nu´mero de algarismos precisos e um algarismo duvidoso.
E´ sobre este algarismo duvidoso que incide o desvio. Por
esta raza˜o o desvio avaliado absoluto e´ definido como
sendo metade da menor divisa˜o da escala, ou seja, incide
na casa duvidosa.
Isto faz com que o desvio absoluto avaliado so´ deva
ter um u´nico algarismo significativo (lembre-se estamos
excluindo os medidores multiescalas). Quando queremos
operar com medidas, algumas questo˜es devem ser vistas.
Veja o exemplo:
- Ache o semiper´ımetro de uma mesa estreita e com-
prida cujas dimenso˜es sa˜o:
(50, 05 + 0, 01)cm e (200, 0 + 0, 4)cm
Devemos calcular o valor ma´ximo e o valor mı´nimo
da soma o que significa que devemos considerar os desvios
ou ambos positives ou ambos negativos.
Operando temos: (250, 05 + 0, 41)cm
Pelo que ja´ vimos ao estudar algarismos significativos
o resultado da soma deve ser. 250, 0cm
Mas, qual deve ser a faixa de desvio? Vimos an-
teriormente que um desvio absoluto so´ pode ter um al-
garismo significativo. Mas, se usamos as mesmas regras
de arredondamento, iremos limitar a faixa de desvio e
perder a certeza de que o nosso valor corresponde real-
mente a soma das duas medidas. Enta˜o, devemos majorar
o desvio, ou seja, tomar um valor maior para conservar a
nossa certeza.
Nosso resultado deve ser expresso como:
(250, 0 + 0, 5)cm
Observe que o resultado e´ coerente; o desvio abso-
luto apresenta um u´nico algarismo significativo que in-
cide sobre o algarismo duvidoso da medida. Poder´ıamos
ao inve´s de arredondar o valor da medida usando as re-
gras de algarismos significativos, como fizemos, achar o
desvio absoluto por majorac¸a˜o e enta˜o deduzir a posic¸a˜o
do algarismos duvidoso do resultado da soma.
Sintetizando o processo descrito acima, temos:
Desvio calculado: 0, 41cm
Desvio majorado : 0, 5cm
Soma calculada: 250, 05cm
Arredondamento da soma: 250, 0cm
Resultado final: (250, 0 + 0, 5)cm
II.5 - Precisa˜o e Certeza
A precisa˜o de medida e´ definida a partir do desvio
relativo. Temos uma precisa˜o maior quanto menor for o
desvio relativo. e´ sempre deseja´vel obtermos uma pre-
cisa˜o maior poss´ıvel. Isto nos leva a uma outra questa˜o:
Suponha que fizemos uma medida com um determinado
medidor e, achando que o desvio relativo da medida deu
um valor muito grande, diminu´ımos arbitrariamente este
desvio. O que deve acontecer? Se diminu´ımos arbitraria-
mente a faixa de desvio ja´ na˜o temos certeza que o valor
da medida que fizemos se encontra dentro na faixa de
valores pois esta faixa se tornou estreita.
Vemos enta˜o que precisa˜o e certeza sa˜o duas coisas
relacionadas e na˜o podemos a nossa vontade modificar
uma sem que a outra se modifique.
3 - Postulados de Gauss
I - Erros de igual valor absoluto e de sinal contra´rio sa˜o
igualmente prova´veis:
f(+x) = −f(−x).
Isso significa que a func¸a˜o f(x) e´ sime´trica, relativamente
a zero (func¸a˜o par).
II - A probabilidade de que o erro esteja compreendidoentre +∞ e −∞ e´ igual a unidade (certeza).
III - O valor mais prova´vel de uma grandeza, segundo
Gauss, e´ a me´dia aritme´tica das medidas efetuadas ( e´
aquele medido n vezes com a mesma precisa˜o).
Sejam x1, x2, x3, ... , xn, os resultados obtidos na
mensurac¸a˜o de uma grandeza. O valor mais prova´vel
dessa grandeza e´ (a me´dia aritme´tica):
x =
x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
(1)
ou
x =
∑n
i=1 xi
n
(i = 1, 2, 3, 4, ... n)
Os erros acidentais (ou fortuitos) respondem pela dis-
persa˜o das medidas e podem ser classificados em:
a) Desvio — O desvio ( δx ) ou simplesmente erro da
medida, como sendo a diferenc¸a entre o resultado obtido
na medic¸a˜o da grandeza e o valor mais prova´vel da mesma
( x) ou seja:
δxi = xi − x .
O desvio assim definido tem duas propriedades im-
portantes. A primeira e´ que a soma dos quadrados dos
desvios e´ um mı´nimo (vide Me´todo dos Mı´nimos Quadra-
dos).
∑
i
δxi
2 =
∑
i
xi
2 − 2x
∑
i
xi + n x
2 (2)
da Eq.(1), tem-se que
∑
i xi = n x enta˜o,∑
i
δxi
2 =
∑
i
xi
2 − n x 2 (3)
A segunda propriedade e´ que a soma alge´brica dos desvios
e´ zero e isto decorrem da pro´pria definic¸a˜o do valor me´dio.∑
i
δxi =
∑
i
xi − n x = n x − nx = 0 (4)
b) Desvio me´dio absoluto — Define-se desvio me´dio ab-
soluto (δx), como a me´dia do modulo da diferenc¸a en-
tre os resultados obtidos (xi) e o valor mais prova´vel da
grandeza (x):
δx =
1
n
n∑
i=1
| xi − x | (5)
c) Erro relativo ou desvio relativo — E´ a raza˜o entre o
Sobral 4
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
desvio me´dio absoluto da medic¸a˜o e o valor mais prova´vel
da grandeza ( δxr )
δxr =
δx
x
(6)
O erro para cada unidade na qual se mede a grandeza
a determinar denomina-se erro relativo.
d) Erro percentual ou desvio relativo percentual
δxr% = 100
δx
x
% = 100 δxr% (7)
Quando se diz que o erro e´ de 2%, significa que foi
cometido um erro de 2 unidades para cada 100 das mes-
mas. Para avaliar a qualidade de uma medic¸a˜o, o erro
relativo e´ mais importante que o desvio absoluto.
e) Desvio quadra´tico me´dio (root-mean-square) — E´ definido
como sendo o erro cujo quadrado e´ igual a me´dia ar-
itme´tica dos quadrados dos desvios.
σrms =
√∑
δxi 2
n
=
√∑
( xi − x )2
n
=
√∑
xi 2 − n x 2
n
(8)
σrms na˜o tem um significado mais amplo, pois indica so-
mente a forma segundo a qual um conjunto particular de
valores n se desvia de seu valor me´dio (n pequeno).
f) Desvio-padra˜o.
σx =
√∑
δxi 2
n− 1 =
√∑
( xi − x )2
n − 1
=
√∑
xi 2 − n x 2
n − 1 (9)
σx = desvio padra˜o me´dio
σx =
√ ∑
δxi 2
n (n − 1) =
√∑
( xi − x )2
n (n − 1)
=
√∑
xi 2 − n x 2
n (n − 1) =
σx√
n
(10)
σx, desvio padra˜o me´dio das medic¸o˜es indivi-duais em
relac¸a˜o ao valor me´dio do ”universo”.
g) Variaˆncia — σ = σx 2
Observac¸a˜o: A distinc¸a˜o entre σrms e σx e´ conceitual-
mente muito importante. Numericamente, a diferenc¸a
entre ambos e´ geralmente muito pequena. Ambos sa˜o ex-
pressos por formulas apro-ximadamente ideˆnticas. com o
denominador de σrms substituindo em σx por (n − 1).
Quando n for muito grande as expresso˜es de σrms e σx
tendem a igualar-se. Quando n e´ ta˜o pequeno, como
por exemplo 5, a diferenc¸a entre os resultados a serem
obtidos para σrms e σx e´ de aproximadamente 12%. O
resultado que determinar ser σx maior do que σrms e´ per-
feitamente previs´ıvel, levando-se em conta que a soma
dos quadrados dos desvios relativamente ao valor me´dio
da amostragem e´ sempre um mı´nimo. Desde que o valor
me´dio do universo geralmente na˜o coincide com o valor
me´dio da amostra, a soma dos quadrados dos desvios
pertencentes a uma amostragem finita, relativamente ao
valor me´dio do universo, na˜o e´ um mı´nimo.
Assim sendo σx > σrms (para n pequeno) e´ mais
correta a utilizac¸a˜o da definic¸a˜o de σx.
i) Erro tolera´vel Etol = 3 σx
Assim, toda medic¸a˜o afetada de erro maior que o erro
tolera´vel deve ser rejeitada.
Exemplo 1. numa experieˆncia de queda livre, atrave´s
da utilizac¸a˜o de um cronoˆmetro que fornecia 1eituras de
ate´ cente´simos de segundos, foram obtidos os seguintes
resu1tados:
t(s) 2,35; 2,25; 2,28; 2,32, 2,38; 2,31; 2,32; 2,27;
2,33; 2,30
Calcular:
a) O valor mais prova´ve1 do tempo;
b) Os desvios.
c) O desvio me´dio.
d) O desvio-padra˜o.
e) O erro relativo (desvio relativo) .
f) O erro porcentual (desvio relativo percentual).
Soluc¸a˜o:
t =
∑
ti
n
= 23,11
10
= 2, 31s
b) Desvios
n δti (s) ( ti − t ) s δti (s)
1 δt1 2,35 - 2,31 + 0,04
2 δt2 2,25 - 2,31 - 0,06
3 δt3 2,28 - 2,31 - 0,03
4 δt4 2,32 - 2,31 + 0,01
5 δt5 2,38 - 2,31 + 0,07
6 δt6 2,31 - 2,31 + 0,00
7 δt7 2,32 - 2,31 + 0,01
8 δt8 2,27 - 2,31 - 0,04
9 δt9 2,33 - 2,31 + 0,02
10 δt10 2,30 - 2,31 - 0,01
c) Desvio me´dio
δt =
∑
i | δti |
n
=
0, 29
10
= 0, 03
d) Desvio-padra˜o
σ =
√∑
δti 2
n − 1 =
0, 0133
9
= 0, 038
e) Erro re1ativo ( em func¸a˜o do desvio-padra˜o)
Er =
σx
t
=
0, 04
2, 31
= 0, 017
desvio re1ativo
δtr =
δt
t
=
0, 03
2, 31
= 0, 013
Sobral 5
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
f) Erro percentual (desvio relativo percentual em func¸a˜o
do desvio padra˜o)
δtr% = 0, 017 . 100 = 1, 7%
Exerc´ıcios:
01) Ao medir o diaˆmetro de uma pec¸a, com um paqu´ıme-
tro, foram obtidos os seguintes resultados:
d(cm): 8,45; 8,40; 8,35; 8,50; 8,35; 8,40; 8,45; 8,35;
8,40; 8,35
Determinar:
a) 0 valor mais prova´vel do diaˆmetro.
b) Os desvios.
c) O desvio me´dio.
d) O erro percentual.
02) Com um cronoˆmetro que permite 1eituras ate´ 10−4s,
foram obtidos os seguintes resultados:
t(s): 0,0051; 0,0054; 0,0058; 0,0048; 0,0053; 0,0049;
0,0055; 0,0056; 0,0048; 0,0046
Calcular:
a) O tempo mais prova´vel.
b) Os desvios.
c) O desvio me´dio quadra´tico (rms).
d) Os erros percentuais, usando o desvio me´dio e o rms.
3) Com um instrumento de medic¸a˜o, foram obtidos os
seguintes resultados:
s(cm): 0,348; 0,350; 0,360; 0,345; 0,354; 0,340; 0,342;
0,358; 0,348; 0,352
Ca1cular:
a) O valor mais prova´ve1 do comprimento, objeto das
medic¸o˜es;
b) Os desvios.
c) O desvio me´dio.
d) O desvio-padra˜o.
e) O erro percentual em func¸a˜o do desvio-padra˜o.
4) Numa experieˆncia, foram obtidas as seguintes forc¸as:
F(N): 0,081; 0,080; 0,085; 0,078; 0,080; 0,083; 0,079;
0,082; 0,078; 0,083
Calcular:
a) O valor mais prova´vel da forc¸a.
b) Os desvios.
c) O desvio-padra˜o.
d) O erro percentual em func¸a˜o do desvio-padra˜o.
Gra´ficos
Manuseio de papel milimetrado, mono-log, di-log, constuir
e interpretar gra´ficos.
Introduc¸a˜o
A representac¸a˜o gra´fica e´ um dos requisitos mais im-
portante e imprescind´ıveis na descric¸a˜o e ana´lise de fenoˆmenos
f´ısicos. No processo de pesquisa em geral, o pesquisador
ao relacionar duas ou mais varia´veis quaisquer procura
representa-lo do modo mais simples e racional os dados
obtidos experimentalmente. Deste modo, seus conheci-
mentos fica ampliados pois, a partir do gra´fico ele pode
obter uma relac¸a˜o matema´tica que represente o fenoˆmeno
investigado - sua func¸a˜o correspondente.
Teoria.
Uma reta admite dois sentidos de percurso. Quando
convencionamos que um deles e´ positivo obtemos uma
reta orientada. Se arbitrariamente fixarmos um ponto
”O” (origem) sobre uma reta orientada e adotarmos uma
unidade de medida teremos um eixo (vide figura 01).
A origem (O) divide o eixo em duas regio˜es denom-
inadas de semi-eixos: positivo e negativo. Os pontos P
e M , equidistantes em relac¸a˜o a origem, sa˜o chamados
sime´tricos. Um plano cartesiano e´ representado por dois
eixos perpendiculares entre si, denominados de eixos co-
ordenados. O ponto de intersec¸a˜o dos eixos e´ a origem.
Qualquerponto representado no plano corresponde a um
par ordenado de nu´meros reais (x, y). O primeiro nu´mero
indica sempre a abcissa do ponto e o segundo nu´mero, a
ordenada.
Para determinar as coordenadas de um ponto tiramos
por ele paralelas aos eixos. Antes de representar uma
se´rie de valores de uma grandeza em um eixo coordenado
necessitamos construir uma escala. Uma escala nos ori-
enta quanto ao nu´mero de diviso˜es dos eixos que devem
ser tomados para representar uma unidade da grandeza
em estudo.
Para melhor esclarecimento suponha que desejamos
fazer um estudo da distaˆncia percorrida por um carro em
func¸a˜o do tempo e que foram obtidos os seguintes dados:
t(h) 0 3 6 9 12
D(km) 0 10 20 30 40
Para leitura do gra´fico, imagine que o nosso papel
possui as seguintes limitac¸o˜es: Eixo vertical 40mm e eixo
horizontal 60mm.
O valor ma´ximo do tempo e´ 12h que sera´ represen-
tado em 60mm. segue-se que a escala sera´ constru´ıda de
tal forma:
λ =
x(mm)
T (h)
⇒ λ = 60(mm)
12(h)
⇒ λ = 5(mm/h) (11)
Sobral 6
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
A constante λ e´ chamada mo´dulo da escala. Neste
caso temos que cada 5mm de comprimento do papel cor-
responde a 1(h), logo 15 mm (1,5 cm) corresponde a 3h e
assim por diante.
Procedimento semelhante assumimos para os valores
da distaˆncia e obtemos que cada 1mm corresponde a 1km,
logo 10mm (1cm), representa 10km.
Obs.: a escala utilizada no eixo horizontal na˜o e´ obri-
gatoriamente a mesma para o eixo vertical.
Ana´lise de gra´ficos.
Os gra´ficos podem ser lineares e na˜o lineares. Toda
vez que tivermos uma reta em um gra´fico, podemos afir-
mar que as varia´veis envolvidas variam linearmente e que
sua equac¸a˜o sera´ do tipo y = a x + b.
”Duas grandezas variam linearmente quando o acre´scimo de
uma e´ proporcional ao acre´scimo da outra”.
Um caso particular da variac¸a˜o linear entre grandezas
e´ a proporc¸a˜o direta. Nesta proporc¸a˜o, as grandezas pos-
suem a mesma tendeˆncia e o quociente entre elas e´ con-
stante, ( y ∝ x ).
”O gra´fico de uma proporc¸a˜o direta e´ sempre uma reta que
passa pela origem”.
As grandezas que na˜o variam linearmente apresenta,
como gra´fico uma curva, que pode assumir aspectos vari-
ados a depender do tipo de equac¸a˜o que relacione as
varia´veis. Um exemplo bastante comum e´ o caso pro-
porc¸a˜o inversa.
”Duas varia´veis mante´m uma relac¸a˜o de proporcionalidade
inversa quando seu produto e´ uma constante”.
Exemplos:
Proporc¸a˜o Direta
t (seg) 0 5 10 15
v (m/s) 0 40 80 120
Proporc¸a˜o inversa
P (atm) 1 2 3 4 5
V (m3) 12 6 4 3 2,4
Inclinac¸a˜o de uma reta
A inclinac¸a˜o e´ uma propriedade da reta. Em muitos
casos precisamos conheceˆ-lo. Para determinarmos a in-
clinac¸a˜o da reta construimos um triaˆngulo retaˆngulo, de
lados paralelos, aos eixos coordenados, tomando dois pon-
tos quaisquer na mesma. Observe no exemplo da figura
03, o triaˆngulo constru´ıdo ABC.
Chamamos de cateto vertical AB de ∆v e o cateto
horizontal CB de ∆t. Dividindo ∆v por ∆t obtemos a
inclinac¸a˜o da reta. Como a reta na˜o muda sua inclinac¸a˜o
a raza˜o e´ uma cons-tante.
∆v
∆t
= a ⇒ ∆v
∆t
=
120− 40
15− 5 =
80
10
= 8(m/s2) (12)
Linearizac¸a˜o de gra´ficos.
O estudo gra´fico da reta e´ mais simples do que o de
uma curva. Se o gra´fico for retil´ıneo podemos interpolar
e extrapolar valores com menor probabilidade de erro,
bem como determinar facilmente a inclinac¸a˜o da reta.
”Para melhor entendimento, devemos linearizar um gra´fico
sempre que poss´ıvel”.
A linearizac¸a˜o pode ser efetuada como a seguir:
Propriedades logar´ıtmicas:
log M N = log M + log N
log
M
N
= log M − log N
log Mp = p log M
log
n
√
M =
log M
p
Conhecida a configurac¸a˜o da curva e o tipo da func¸a˜o
que a representa, aplicamos as propriedades logar´ıtmicas
e a transformamos em uma reta.
A — Pelo tipo de curva (fig. 05) concluimos que a func¸a˜o
que a representa e´ do tipo: y = a xn
Sobral 7
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
Aplicando-se as regras ba´sica de logar´ıtmo nesta ex-
pressa˜o, temos:
log y = n log x+ log a (13)
substituindo log y por Y e log x por X e log a por b
temos: Y = n X + b (que e´ a equac¸a˜o de uma reta).
Construido-se o gra´fico de Y em func¸a˜o de X determina-
se os coeficientes n e a obtendo-se, assim, a relac¸a˜o entre
as grandezas originais.
b = y(X = 1)
n =
log (y2) − log (y1)
log (x2) − log (x1) =
Y2 − Y1
X2 − X1
Por outro lado, se no´s temos um conjunto de dados tal que
o gra´fico de seus logar´ıtmos da uma reta enta˜o o fenoˆmeno
f´ısico pode ser descrito por uma reta do tipo (A) onde:
Para na˜o ser necessa´rio o ca´lculo dos logar´ıtmos podemos
fazer o gra´fico em papel log-log.
B — Na figura 06 temos uma curva do tipo y = a n
√
x.
Procedendo-se da mesma maneira que no item A temos:
log y =
1
n
log x + log a ⇒ Y = a′ X + b (14)
onde
a′ =
1
n
, log y = Y e log x = X
C — Quando a curva for do tipo da figura 07, suspeita-se
que e´ do tipo inversa. y = a ÷ xn enta˜o, procedendo do
mesmo modo anterior:
log y = log a − log xn ⇒
log a − n log x ⇒ Y = b − n X
(15)
D — Func¸a˜o Exponencial y = C.em.x
Trac¸ando em um papel milimetrado o gra´fico da func¸a˜o
exponencial e´ do tipo
log (y) = log (C em x) ⇒
log (y) = log (C) + m x log (e)
Fazendo
log (y) = Y , log (C) = c e
m log (e) = f
Temos
Y = c + f x
Sobral 8
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
que e´ uma relac¸a˜o linear. Enta˜o, se no´s temos uma
tabela de dados experimentais onde o gra´fico do logar´ıtmo
de uma das varia´veis contra a outra varia´vel da´ uma reta
enta˜o o fenoˆme-no f´ısico atende a uma relac¸a˜o desse tipo,
onde
f =
log (y2) − log (y1)
x2 − x1 =
Y2 − Y1
x2 − x1
C = y(x = 0) e m =
f
log (e)
Uma maneira equivalente de tratar o problema e´ usar
um papel semi-log. Escolhendo nas ordenadas uma escala
logar´ıtmica evitaremos o ca´lculo dos logar´ıtmos decimais
de todos os valores de y, o que se torna tarefa mais sim-
ples.
OBS. Notar que em um papel log-log (base 10) cada
unidade de variac¸a˜o na escala logar´ıtmica corresponde a
dez unidades de variac¸o˜es na escala linear.
ME´TODO DOS MI´NIMOS QUADRADOS
Se um certo nu´mero de medidas e´ realizado de uma
mesma quantidade f´ısica e se estas medidas esta˜o sujeitas
apenas a erros aleato´rios, enta˜o a teoria dos mı´nimos
quadrados estabelece que o valor mais prova´vel da quan-
tidade medida e´ aquele que faz a soma dos quadrados dos
erros um mı´nimo. Este teorema pode ser aplicado ao caso
particular em que se pretende ajustar uma linha reta a
um conjunto de pares experimentais.
Suponha que sa˜o realizadas va´rias medidas das grandezas
x e y, obtendo-se um conjunto de pontos, x1, y1; x2, y2; x3, y3;
....;xn, yn, sendo y uma varia´vel aleato´ria relacionada a x
pela equac¸a˜o de uma reta.
y = a x + b (16)
A equac¸a˜o acima representa o valor esperado (ou valor
mais prova´vel) para a varia´vel y, ver seguinte figura.
As estimativas de mı´nimos quadrados das constantes
a e b sa˜o enta˜o aqueles valores de a e b que tornam
mı´nima a expressa˜o.
n∑
i=1
ε2i =
n∑
i=1
[ yi − ( a xi + b ) ]2 (17)
Pode-se notar facilmente que a expressa˜o acima rep-
resenta a soma dos quadrados das discrepaˆncias (ou diferenc¸as)
entre o valor observado yi e o valor esperado para, y =
a x + b.
Os melhores valores para as constantes a e b podem
enta˜o ser encontrados diferenciando-se a equac¸a˜o (17)
com respeito a e b, respectivamente, e igualando-se os
resultados a zero (condic¸a˜o de mı´nimo).
∂
∑
ε2i
∂a
=
n∑
i=1
∂[ yi − ( a xi + b ) ]2
∂a
= − 2
n∑
i=1
[ xi yi − a x2i − b xi ] = 0 (18)
∂
∑
ε2i
∂b
=
n∑
i=1
∂[ yi − ( a xi + b ) ]2
∂b(19)
= − 2
n∑
i=1
[ yi − a x2i − b ] = 0
Das equac¸o˜es (18) e (19) obtemos enta˜o as equac¸o˜es nor-
mais:
n∑
i=1
xi yi = b
n∑
i=1
xi + a
n∑
i=1
x2i (20)
n∑
i=1
yi = b n+ a
n∑
i=1
yi (21)
Pela resoluc¸a˜o simultaˆnea das equac¸o˜es (20) e (21) para
a e b obtemos:
a =
∑n
i=1 xi
∑n
i=1 yi − n
∑n
i=1(xi yi)
(
∑n
i=1 xi )
2 − n∑ni=1 x2i (22)
b =
∑n
i=1(xi yi)
∑n
i=1 xi −
∑n
i=1 x
2
i
∑n
i=1 yi
(
∑n
i=1 xi )
2 − n∑ni=1 x2i (23)
Define-se ainda um coeficiente da determinac¸a˜o r2 que
assume valores entre 0 e 1 que indica o qua˜o a equac¸a˜o
determinada se ajusta aos pontos dados. Quanto mais
pro´ximo da unidade, tanto melhor o ajuste.
r2 =
[
∑n
i=1 xi yi −
∑n
i=1 xi
∑n
i=1
yi
n
]
2
[
∑n
i=1 x
2
i −
(
∑n
i=1 xi )
2
n
] [
∑n
i=1 y
2
i −
(
∑n
i=1 yi )
2
n
]
(24)
UM EXEMPLO:
Vamos ajustar um segmento retil´ıneo a um conjunto de
oito pontos experimentais.
x 10 20 30 40 50 60 70 80
y 2 5 6 7 10 13 14 15
Soluc¸a˜o:
Equac¸a˜o da reta a ser ajustada e´:
y = a x+ b.
Usando as relac¸o˜es (20) e (21), temos:
n∑
i=1
xi yi = b
n∑
i=1
xi + a
n∑
i=1
x2i ⇒ 4049 = 360 b+ 20400 a
n∑
i=1
yi = 8 b+ a
n∑
i=1
xi ⇒ 72 = 8 b+ 360 a
Sobral 9
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
Resolvendo o sistema de equac¸o˜es anteriores obtemos para
a e b:
a = 0, 191 e b = 0, 429
A equac¸a˜o ajustada sera´:
y = 0, 191 x + 0, 429
e o coeficiente de determinac¸a˜o: r2 = 0, 98
Gra´fico:
GUIA PARA ELABORAC¸A˜O DE RELATO´RIO
I - Processos de conhecimentos:
Nas cieˆncias da natureza e em particular na f´ısica,
duas linhas gerais podem ser delineadas para o processo
de conhecimento:
A - Formulac¸a˜o de um me´todo experimental atrave´s do
qual se possa obter dados para investigac¸a˜o do fenoˆmeno
proposto.
B - Elaborac¸a˜o de uma teoria que explique o fenoˆmeno
investigado.
Essas duas linhas gerais podem ser desenvolvidas de
maneira conjunta ou independente (em alguns ramos da
f´ısica, onde a medida e´ algo muito dif´ıcil de realizar, uma
teoria pode ser formulada sem a existencia de dados ex-
perimentais; em outros ramos, a parte experimental se
desenvolve paralelamente). No entanto devemos ressaltar
que em qualquer cieˆncia natural o ”crite´rio de verdade”
e´ a experimentac¸a˜o.
Nosso objetivo e´ entender o que e´ um trabalho exper-
imental e, por isso, vamos aplicar o que dissemos acima.
Podemos, para fins de sistematizac¸a˜o, identificar na pesquisa
experimental os seguintes passos:
1 - Apresentac¸a˜o da questa˜o a ser investigada;
2 - Teoria existente ate´ entaˆo ligada a questa˜o que se
quer estudar;
3 - Estabelecer me´todos experimentais capazes de realizar
as medic¸o˜es necessa´rias;
4 - Obtenc¸a˜o de dados experimentais (realizac¸a˜o dos ex-
perimentos);
5 - Ana´lises dos resultados obtidos;
6 - Formulac¸a˜o de novas questo˜es a serem resolvidas pos-
teriormente.
Os seis pontos aqui apresentados descrevem um ciclo
completo: pois a soluc¸a˜o de uma determinada questa˜o
traz em si novas questo˜es a serem respondidas.
II - A apresentac¸a˜o de um trabalho experimental devem
constar os seguintes itens:
a) TI´TULO: identificac¸a˜o do seu trabalho;
b) OBJETIVOS : apresentac¸a˜o da questa˜o a ser investi-
gada;
c) INTRODUC¸A˜O: teoria envolvida diretamente no ex-
perimento propostos, esta teoria deve se restringir a um
ra´pido resumo das grandezas f´ısicas envolvidas e suas
relac¸o˜es ba´sicas;
d) PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS : descric¸a˜o das
medidas realizadas e dos dispositivos empregados para
efetua´-las, relac¸a˜o de material (descric¸a˜o dos instrumen-
tos utilizados);
e) RESULTADOS : apresentac¸a˜o dos dados experimentais
em forma de tabelas e ou gra´ficos de maneira que sejam
facilmente compreendidos os ca´lculos principais. Ana´lise
detalhada dos erros experimentais, apresentac¸a˜o das me-
didas com seus respectivos desvios;
f) DISCUSSA˜O: ana´lise cr´ıtica dos resultados experimen-
tais obtidos a` luz da teoria apresentada no item b (veri-
ficar se esta teoria e´ compat´ıvel com os dados experimen-
tais);
g) CONCLUSA˜O: ressaltar os pontos mais importantes
obtidos atrave´s do experimento;
NOTA:
Os gra´ficos devem ser apresentados em papel milime-
trado, bi-log ou mono-log. Pode e deve ser usado soft-
ware espec´ıfico para tratamento de dados e construc¸aˆo de
gra´ficos. REFEREˆNCIAS:
[1] J.H. Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros, 2a.
Edic¸a˜o, Editora E.Blucher Ltda, 1996.
[2] O.A.M.Helene e V.R.Vanin, Tratamento Estat´ıstico
de Dados em F´ısica Experimental, 2a. Ed., Editora E.Blucher
Ltda., 1991.
[3] Murray R. Spiegel, Estat´ıstica (Colec¸a˜o Schaum), Ed.
McGraw-Hill do Brasil, LTDA 1976
Sobral 10
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
Experimento I -
Ana´lise de uma Experieˆncia
Objetivo:
Construir e interpretar gra´ficos;
Linearizac¸a˜o de curvas;
Represetaca˜o anal´ıtica do fenoˆmeno investigado.
I - Introduc¸a˜o:
A tabela I conte´m os resultados de uma experieˆncia.
Apresente e analise eˆstes resultados de forma a possibilitar-
lhe tirar concluso˜es sobre a natureza do processo que esta
sendo investigado, e predizer o resultado de experieˆncias
TABELA I
TEMPO PARA ESVAZIAR (em segundos)
h (cm) → 30 10 4 1
d (cm) ↓
1,5 73,0 43,5 26,7 13,5
2,0 41,2 23,7 15,0 7,2
3,0 18,4 10,5 6,8 3,7
5,0 6,8 3,9 2,2 1,5
similares. A apresentac¸a˜o e a ana´lise de resultados ex-
perimentais constituem um setor essencial da F´ısica. A
experieˆncia em questa˜o consistiu em investigar o tempo
que leva a a´gua para extravasar pelo buraco do fundo de
uma lata. Conforme se esperava, eˆste tempo depende do
tamanho do orif´ıcio e da quantidade de a´gua no recipi-
ente.
Para averiguar a dependeˆncia deˆste tempo em relac¸a˜o
ao tamanho do orif´ıcio, extravazou-se, atrave´s de orif´ıcios
circulares de diferentes diaˆmetros, a a´gua contida em qua-
tro grandes recipientes cil´ındricos de igual tamanho. Para
verificar de quanto este tempo depende da quantidade de
a´gua, verteu-se este liquido para os mesmos recipientes
ate´ alturas diferentes.
Cada medida foi repetida diversas vezes, e registrada
na tabela os va1ores me´dios dos tempos (em segundos)
necessa´rios para esvaziar cada recipiente. Devido a` difi-
culdade de medir precisamente intervalos curtos de tempo
usando um relo´gio, ha´ um nu´mero menor de algarismos
significativos nas medidas deˆstes tempos do que nas de
longos intervalos de tempo.
Todos os dados necessa´rios constam na tabela; uma
representac¸a˜o gra´fica dos mesmos, pore´m, possibilitar-
nos-a´ inferir concluso˜es e facilitara enormemente o estab-
elecimento de uma relac¸a˜o matema´tica entre estes dados.
A — PROCEDIMENTO
— Primeira parte
Fac¸a um gra´fico representativo da variac¸a˜o do tempo
em func¸a˜o do diaˆmetro do orif´ıcio para uma dada altura,
digamos a de h = 30cm. Marque, no eixo horizontal, os
valores da varia´vel independente (neste caso, o diaˆmetro
d) e, no eixo vertical, as valores da varia´vel dependente
(neste caso, o tempo t). Para obter o ma´ximo de precisa˜o
no seu gra´fico, estenda a curva por toda a folha de papel.
Escolha adequadamente suas escalas nos dois eixos para
que a leitura seja fa´cil.
— Segunda parte
A partir do primeiro gra´fico, na˜o se consegue ainda
uma expressa˜o alge´brica para relacionar t e d . O gra´fico
da primeira parte mostra somente que t diminui rapida-
mente com d . Tal fato sugere uma relac¸a˜o inversa. Fac¸a o
gra´fico de t em func¸a˜o de 1/d2. Na mesma folha de papel
milimetrado, fac¸a os gra´ficos de t em func¸a˜o de 1/d2 para
as demais alturas.
— Terceira parte
Analise com mais cuidado o comportamento da curva
(t × 1/d2) para o caso de h = 1cm.Fac¸a, para isso, uma
apresentac¸a˜o destes dados usando uma escala maior para
o tempo.
— Quarta parte
Investigue a dependeˆncia de t com h, para um diaˆmetro
constante do orif´ıcio. Fac¸a um gra´fico de t em func¸a˜o
de h para o caso de d = 1,5cm. Na˜o ha´ considerac¸o˜es
geome´tricas simples que nos conduzam a correta relac¸a˜o
matema´-tica entre t e h. Tente obter a relac¸a˜o a partir
da curva, observando inicialmente h, como func¸a˜o de t,
e depois t, como func¸a˜o de h. Para verificar se a relac¸a˜o
pertence a uma classe geral de relac¸o˜es, tal como uma
lei exponencial t × h, represente graficamente num papel
dilogaritmico, t versus h.
B — QUESTIONA´RIO
— Primeira parte
a) Ha´ somente um modo de ligar os pontos da curva t
versus d ?
b) A partir da curva, voceˆ pode inferir o tempo necessa´rio
para esvaziar o mesmo recipiente quan-do os diaˆmetros
do orif´ıcio forem 4 e 8cm ?
c) Qual dos valores merece maior confianc¸a ? Por que?
— Segunda parte
a) Que tipo de curva e a do gra´fico t versus 1/d2?
b) Para a altura de a´gua considerada, que relac¸a˜o ex-
iste entre t e d ?
c) Existe a mesma relac¸a˜o entre t e d para as demais
alturas utilizadas?
d) Utilizando os gra´ficos de t versus h e t versus 1/d2,
qual o tempo t para h = 20cm e d = 1 cm?
— Terceira parte
a) Para h = 1cm, o que se pode concluir sobre a relac¸a˜o
alge´brica entre t e d ?
— Quarta parte
a) Extrapolando a curva t versus h (papel milimetrado)
Sobral 11
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
em direc¸a˜o a origem, passa curva pela mesma ?
b) Esperava voceˆ que isto acontecesse?
c) Que curva obteve do gra´fico log t versus log h ?
d) Qual o valor de n obtido neste gra´fico ?
Como conclusa˜o das partes anteriores, estabelec¸a a
expressa˜o geral para o tempo de fluxo como uma func¸a˜o
simultaˆnea de h e d . Utilizando esta expressa˜o, calcule t
para h = 20cm e d = 4cm e confronte a resposta com a
encontrada gra´ficamente. Qual, a seu ver, merece mais
confianc¸a ?
Refereˆncias:
[1] Jose´ Goldemberg, F´ısica Geral e Experimental Vol.
10, 3a edc¸a˜o, 1970
[2] HALLIDAY, David, RESNICK, Robert. Fundamen-
tos de F´ısica, 3a ed., Rio de Janeiro: Livros Te´cnicos e
Cient´ıficos Editoˆra S.A, 1993. vol. 1
Instrumentos de Medic¸a˜o
I - Introduc¸a˜o: Noˆnio ou Vernier
E´ um dispositivo que nos permite a leitura de frac¸o˜es
da menor divisa˜o de uma re´gua retil´ınea ou de um arco
de c´ırculo a que se ada´pte, cuja invenc¸a˜o e´ atribu´ıda a
Pierre Vernier e Pedro Nunes. 0 noˆnio com o mesmo tipo
de vernier e´ constitu´ıdo por uma regueta ( ou limbo cir-
cular ), dividida em certo nu´mero de partes iguais, que
se move ao longo de uma re´gua (ou limbo graduado), cu-
jas diviso˜es teˆm um valor conhecido (1 mm ou 10, por
exemplo). No primeiro caso, temos o noˆnio retil´ıneo e no
segundo o noˆnio circular.
Figura 01
I . 1 - Noˆnio Retil´ıneo ou vernier
Seja AB a regueta denominada noˆnio, de compri-
mento correspondente a n diviso˜es da re´gua principal.
Suponhamos, de um modo geral, d = amplitude da menor
divisa˜o da escala principal, n = nu´mero de diviso˜es da
escala principal que corresponde ao comprimento total
do noˆnio, d’ = amplitude da menor divisa˜o da escala do
noˆnio, n’ = nu´mero de diviso˜es do noˆnio. Podemos escr-
ever:
d . n = d′ . n′
Define-se por natureza do noˆnio (N), a diferen-c¸a en-
tre a primeira divisa˜o da re´gua principal, imediatamente
posterior a primeira divisa˜o do noˆnio e esta.
Na pra´tica, para obtermos os termos da diferenc¸a
referida, provocamos a coincideˆncia do zero do noˆnio com
o zero da escala principal. Geralmente encontramos noˆnio,
cuja primeira divisa˜o e´ anterior a primeira divisa˜o da
re´gua principal. Assim
N = d − d′ = d − (n ÷ n′) d,
N = d (n′ − n) ÷ n′
A partir dessa expressa˜o calcula-se, facilmente, a natureza
de qualquer noˆnio. Assim:
a) Na Fig. 01 temos um noˆnio acoplado a uma re´gua
graduada em mil´ımetro e cujo comprimento corresponde
a 9 diviso˜es da escala principal. Da´ı
n′ = 10; n = 9; e d = 1mm,
N = (10 − 9) ÷ 10 = 0, 1mm.
Figura 02
b) Ja´ na Fig. 02 temos um noˆnio acoplado a uma re´gua
tambe´m graduada em mil´ımetro, cujo comprimento cor-
responde, agora, a 19 diviso˜es da escala principal. Enta˜o :
n′ = 20; n = 19; e d = 1mm, N = (20 − 19) ÷ 20 =
0, 05mm.
c) Se tive´ssemos um noˆnio com 40 diviso˜es, correspon-
dendo a 39 diviso˜es da escala principal, ter´ıamos:
d = 1mm; n = 39; e n′ = 40,
N = (40 − 39) ÷ 40 = 0, 025mm
d) Poder´ıamos supor o caso em que o noˆnio se apresen-
tasse com 50 diviso˜es, correspondendo a 49 diviso˜es da
escala principal, obtendo, enta˜o:
d = 1mm; n = 49; e n′ = 50,
N = (50 − 49) ÷ 50 = 0, 02mm.
Um outro caso e´ aquele em que a primeira divisa˜o do
noˆnio precede imediatamente a segunda divisa˜o da re´gua
principal. Assim:
N = 2.d − d′ = ((2.n′ − n) ÷ n′) d
Se d = 1mm; n = 20; e n′ = 39, enta˜o:
N = ( (40 − 39) ÷ 20 ) 1mm = 0, 05mm
II - Paqu´ımetro
(Craveira, calipter ou calibre)
E´ um instrumento que serve para medir pequenos
comprimentos, diaˆmetros de fios, diaˆme-tros internos
Sobral 12
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
e externos de tubos, etc. Constitui-se em uma re´gua
meta´lica graduada, terminada por uma espera fixa (ab),
ao longo da qual desliza uma espera mo´vel ou cursor (a’
b’), na qual existe uma janela onde esta˜o acoplados um
noˆnio e um parafuso de pressa˜o (P), que permite flxa´-lo.
Nos modelos mais modernos existe, fixa ao cursor e
deslocando-se com ele, uma haste (H) para a medic¸a˜o de
profundidades de cavidades. Quando as duas esperas se
tocam, o zero do noˆnio deve coincidir com a divisa˜o zero
da escala principal do instrumento (Fig.03A).
Figura 03A
Na Fig. 03B apresenta-se a medic¸a˜o de um objeto de
comprimento L determinada da maneira que se segue:
a) Determina-se a natureza N do noˆnio da seguinte maneira:
N = (10 − 9) ÷ 10mm = 0, 1mm.
b) Ajusta-se convenientemente o instrumento sobre o ob-
jeto, de tal forma que as duas esperas toquem as su-
perf´ıcies laterais do objeto.
c) Use o nu´mero L0 da escala principal, correspondente
ao trac¸o da re´gua que precede imediatamente o trac¸o zero
do noˆnio.
d) Leˆ -se o nu´mero i correspondente ao trac¸o do noˆnio
que coincide com um dos trac¸os da escala principal.
e) O valor do comprimento L dado por:
L = L0 + i . N = 4 + 4 . (0, 1) = 4, 4mm
onde : L0 = 4mm; i = 4; N = 0, 1mm.
Figura 03B
Observac¸a˜o: Nos paqu´ımetros de vige´simos, os noˆnio
teˆm 20 diviso˜es numeradas, pore´m somente de zero a dez.
Isso ocorre para facilitar a leitura direta, pois nesse caso
a leitura da frac¸a˜o seria dada pelo trac¸o do noˆnio coinci-
dente com um dos trac¸os da escala principal, que seria o
nono trac¸o a partir do zero (Fig. 04), o que corresponde-
ria a 0,45 mm.
Figura 04
III - Parafuso microme´trico
E´ um parafuso de he´1ice cil´ındrica, em relevo, muito
regular, cuja cabec¸a e´ um tambor (T) dividido em partes
iguais e mo´vel em volta de seu eixo ao longo de uma es-
cala retil´ınea (R) paralela a este (Fig. 05)
Figura 05
O parafuso se move numa pec¸a oˆca (porca), onde as
salieˆncias da pec¸a se ajustam perfeitamente as reentraˆncias
da porca. A ponta do parafuso (E) encosta na espera fixa
(E’) quando o bordo esquerdo do tambor (T) esta´ na
direc¸a˜o da divisa˜o zero da escala retil´ınea (R) e, simul-
taneamente, a divisa˜o do aludido tambor coincide com o
borda da escala R.
O parafuso microme´trico e´ caracterizado por um passo
(p) muito regular e pequeno, em geral 1 mm ou 0,5 mm.
Avaliac¸a˜o de frac¸o˜es do passo. O parafuso microme´trico
serve para medir, com exatida˜o, frac¸o˜es da menor divisa˜o
de uma escala retil´ınea. Quando se da´ ao tambor T uma
rotac¸a˜o completa, a ponta E sofre um deslocamento nosentido longitudinal, medido na escala retil´ınea R, igual
ao passo do parafuso.
Sendo n o nu´mero de diviso˜es ( n = 50, 100, ...
500) em que se encontra dividida a cabec¸a do parafuso e
tendo-se girado com ele ate´ a divisa˜o n1, o deslocamento
h sera´ dado por
L = p (n1 ÷ n),
expressa˜o usada para todos os parafusos microme´-tricos.
IV - Microˆmetro (palmer)
O microˆmetro e´ um instrumento de precisa˜o que con-
sta, basicamente, de um parafuso micro-me´trico capaz de
se mover ao longo do pro´prio eixo; e´ empregado para
medir espessuras de laˆmi-nas e diaˆmetros de fios ou tu-
bos.
E´ feito por uma pec¸a de ac¸o BAC em forma de ”U”
ou estribo. Em B, esta acoplada uma espera fixa (P),
e C e´ uma porca fixa na qual se desloca um parafuso
microme´trico, cuja extremidade (P’) se pode apoiar em
P. A cabec¸a do parafuso microme´trico e´ constitu´ıda de
um tambor (T), normalmente dividido em 50 ou 100
partes iguais. Sobre a porca (C) esta´ gravada uma escala
retil´ınea (E) com intervalos iguais a 1 mm ou 0,5 mm.
Sobral 13
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
Quando a ponta do parafuso (P’) (espera mo´vel) esta´ em
contato com a espera fixa P, o tambor T cobre toda a
escala E e o zero de graduac¸a˜o do tambor deve coincidir
com C trac¸o zero da escala retil´ınea (ou principal) Fig.06.
Figura 06
IV . 1 - ESTUDO DO APARELHO
a) Verificar qual o valor de cada uma das diviso˜es da
escala retil´ınea E (geralmente em mm).
b) Contar o nu´mero de diviso˜es em que esta´ dividido o
tambor.
c) Determinar o passo do parafuso microme´trico (p); para
isso da´-se uma rotac¸a˜o completa ao parafuso, verificando-
se na escala E qual o deslocamento longitudinal da ponta
P’ (espera mo´vel).
d) Calcular a natureza N do palmer (chama-se natureza
do palmer (microˆmetro) o menor comprimento poss´ıvel
de ser medido pelo instrumento); designando-se por p o
passo do parafuso e por n o nu´mero de diviso˜es do tam-
bor T, teremos:
N = p ÷ n
A natureza N representa a translac¸a˜o da ponta do para-
fuso correspondente a cada rotac¸a˜o de uma divisa˜o do
tambor (Fig.07).
Figura 07
IV . 2 - LEITURA
Para efetuar uma leitura, verificar inicialmente qual
a divisa˜o da escala E deixada a descoberto pelo tambor
T e mais pro´xima de seu bordo e, ainda, qual a divisa˜o
deste ( i ) que fica em coincideˆncia com a geratriz (G). A
leitura sera´ dada pela expressa˜o:
L = L0 + i . N = L0 + i p ÷ n
Exemplos:
V - Esferoˆmetro
O esferoˆmetro (Fig.08) e´ uma outra aplicac¸a˜o do para-
fuso microme´trico. A porca A do parafuso microme´trico
e´ a parte central do tripe´ r´ıgido, cujas pontas P1, P2 e
P3 sa˜o os ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero de lado L =
P3P2 = P2P1 = P1P3, cujo eixo e´ perpendicular ao plano
definido pelas pontas. Ligado ao parafuso, e perpendi-
cular ao mesmo, existe um disco D dividido em partes
iguais (geralmente 100, 200, ..., 500), cujo bordo quase
toca numa escala retil´ınea E (meta´lica) dividida em unidades
de comprimento (0,5 ou 1,0 mm). A ponta P do parafuso
microme´trico projeta-se no centro do triaˆngulo acima men-
cionado.
Figura 08
A escala retil´ınea (ou principal) E serve simultane-
amente para a avaliac¸a˜o do nu´mero de voltas, que da´ o
parafuso microme´trico, e do ı´ndice para a graduac¸a˜o do
disco D, onde se leˆ em as frac¸o˜es de volta.
Para a aferic¸a˜o do instrumento coloca´-lo sobre uma
placa de vidro perfeitamente plana e po-lida.
V . 1 - ESTUDO DO APARELHO
Sobral 14
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
a) Verificar o valor de cada uma das diviso˜es da escala
principal.
b) Determinar o passo (p) do parafuso microme´-trico,
dando uma rotac¸a˜o completa no parafuso; verificar enta˜o
de quantas diviso˜es da escala principal E subiu ou desceu
o ı´ndice do disco D.
c) Calcular a natureza N do esferoˆmetro:
N = p ÷ n
onde p e´ o passo do parafuso microme´trico e n e´ o nu´mero
de diviso˜es da escala circular.
V . 2 - LEITURA
Para ler a escala E, fazer com que o raio visual seja
rasante a superf´ıcie da escala D. A leitura sera´ dada por
S = S0 + i p ÷ n
onde S0 e´ o nu´ mero de diviso˜es da escala principal com-
preendido entre o zero e o limbo do disco (D), i e´ a divisa˜o
da escala circular, que coincide com a ”aresta” da escala
retil´ınea E.
V . 3 - A Determinac¸a˜o do raio de curvatura de uma lente
Constitui-se na principal aplicac¸a˜o do esferoˆmetro
1. Assentar o esferoˆmetro sobre uma laˆmina de vidro
plana e perfeitamente polida, e efetuar a leitura S.
2. Assentar o instrumento sobre uma superf´ıcie esfe´rica
cujo raio (R) sera´ determinado e ler o valor S2.
3. Sabe-se que S2 ± S1 = f
4. O plano formado pelas treˆs pontas (P1, P2 e P3 )
determina sobre a superf´ıcie esfe´rica uma calota de flecha
f = P P ′ , cuja base e´ uma circunfereˆncia de raio r, no
qual esta´ inscrito um triaˆngulo equila´tero definido pelas
pontas do tripe´.
considerando-se o triaˆngulo retaˆngulo BCP’ e a sua al-
tura PB:
PB2 = PP ′ PC,
sendo: PB = r; PP ′ = f ; PC = 2R − f
Assim, r2 = f (2R − f) = 2 R f − f2;
logo , R = (r2 + f2) ÷ 2f
5. sendo o triaˆngulo P1 P2 P3 equila´tero, podemos ex-
primir seu lado L, em func¸a˜o de r:
L = r
√
3 ou r = L
√
3÷ 3
sendo,
R = (L2 ÷ 3 + f2)÷ 2 f
finalmente
R = (L2 + 3f2) ÷ 6f
onde L = lado do triaˆngulo equila´tero P1 P2 P3;
f = S2 ± S1.
Figura 09 Figura 10
VI - Balanc¸a de Triplo Travessa˜o
A balanc¸a de triplo travessa˜o, Figura 11, e´ muito
usada quando se deseja fazer pesagens ra´-pidas de mas-
sas relativamente grandes. A carga ma´xima das balanc¸as
deste tipo usadas comumente em laborato´rios e´ de 1100g
sem o aux´ılio de contra-pesos e de 2110g quando se pen-
dura os contra-pesos C na extremidade do travessa˜o e a
sensibilidade da ba1anc¸a depende da carga, ela e´ de 0, 1g
para cargas leves e vai ate´ 0, 5g para cargas de 2000g. O
erro absoluto para este tipo de balanc¸a e´ /pm 0, 2g. A pe-
sagem faz-se com o aux´ılio da tara central P (100g, 200g, ..., 500g),
da tara Q (10g, 20g, ..., 100g) e do ajuste cont´ı-nuo R que
corre numa escala de 0 a 10g com diviso˜es de 0, 1g
Figura 11
VI.1 - Procedimento Experimental
1. Verifique a posic¸a˜o do ponteiro E, sem nenhum peso
no prato da balanc¸a o ponteiro devera indicar a marca
central da escala.
2. Ponha o objeto a ser pesado no prato e com o aux´ılio
das taras P e Q e do ajuste cont´ınuo R fac¸a com que o
ponteiro indique a marca central. O peso do objeto sera´ a
soma das marcas indicadas pelas taras P e Q e pelo ajuste
cont´ınuo R
3. Concluidas as medidas, retome as taras P e Q e o
ajuste R para as marcas zero.
Experieˆncia II
Uso do Paqu´ımetro e Microˆmetro
Objetivos:
a - Familiarizac¸a˜o com o uso do paqu´ımetro e do microˆmetro
b - Determinac¸a˜o do volume de um cilindro meta´li-co
usando o paqu´ımetro e o microˆmetro.
Sobral 15
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
c - Comparac¸a˜o dos resultados obtidos atrave´s da aplicac¸a˜o
da teoria dos erros.
Aplicac¸a˜o:
O volume do so´lido em questa˜o sera´ dado pela ex-
pressa˜o:
V = (pi D2 h) ÷ 4 onde pi = C ÷ D
Figura 12
Procedimento
1 - Determinar a natureza do paqu´ımetro (N1).
2 - Efetuar dez medic¸o˜es de cada uma das grande-zas
D e h, anotando seus resultados na tabela.
3 - Mec¸a o per´ımetro do cilindro (circunfereˆncia) usando
uma fita de papel milimetrado, anote, tambe´m, as dez
medic¸o˜es na tabela.
4 - Calcular relativamente a cada grandeza envolvida:
a - O valor mais prova´vel
b - Os desvios
c - O desvio padra˜o
5 - A partir da relac¸a˜o entre a circunfereˆncia e o diaˆmetro
do cilindro calcule o valor experimental da constante pi.
6 - Aplicando operac¸o˜es com desvios, usando o valor ex-
perimental de pi, calcule o volume do cilindro.7 - determinar a natureza (N2) do microˆmetro. tomar
o necessa´rio cuidado no sentido de as esperas do instru-
mento se tocarem suavemente, evitando assim giros em
falso e consequentemente erros.
8 - efetuar com o microˆmetro se´ries de dez medic¸o˜es
relativamente a` altura h e do diaˆmetro externo da pec¸a
fornecida, anotando os resultados na tabela correspon-
dente.
9 - Calcular relativamente a cada grandeza envolvida:
a - O valor mais prova´vel
b - Os desvios
c - O desvio padra˜o
10 - Aplicando operac¸o˜es com desvios, calcular agora,
com os resultados obtidos mediante medi-c¸o˜es realizadas
com o microˆmetro, o valor de pi e o volume do cilindro.
Qual valor da constante pi e´ mais preciso?
Refereˆncias:
[1] J.H. Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros, 2a.
Edic¸a˜o, Editora E.Blucher Ltda, 1996.
[2] O.A.M.Helene e V.R.Vanin, Tratamento Estat´ıstico
de Dados em F´ısica Experimental, 2a. Ed., Editora E.Blucher
Ltda., 1991.
[3] Jose´ Goldemberg, F´ısica Geral e Experimental Vol.
10, 3a edc¸a˜o, 1970
Experimento Complementar:
Objetivo: Determinar o valor da constante pi em Func¸a˜o
da A´rea de um Circulo, Aplicac¸a˜o do Me´todo dos Mı´nimos
Quadrados.
Usando os discos de cartolinas desenhe cinco c´ırculos no
papel milimetrado. Com a ajuda da escala ache o raio e
a a´rea de cada c´ırculo e complete a tabela abaixo.
R(mm) A(mm2) Ln(R) = X (mm) Ln(A) = Y (mm2)
Prencha a tabela seguinte a partir das expresso˜es (22 e
23) para determinar a melhor reta que descreve a relac¸a˜o
entre os logaritmos do raio e da a´rea.
(Xi) X
2
i Yi Y
2
i Xi . Yi
∑
iXi
∑
iX
2
i
∑
i Yi
∑
i Y
2
i
∑
i ( Xi . Yi )
A partir destes valores determine os coeficieˆntes a e b
e escreva a expresa˜o da reta dos Mı´nimos Quadrados
Y = a X + b. Trace o Gra´fico e identifique a poteˆncia
e a constante de proporcionalidade da relac¸a˜o geral (13)
A ∝ Rn (ver Linerizac¸a˜o de Curvas: Aplicac¸o˜es Logar-
itimicas).
Comparar os resultados emp´ırico com a relac¸a˜o teo´rica
da a´rea do c´ırculo e explicar as eventuais discrepaˆncias.
Calcule o desvio relativo percentual da constante pi.
Experieˆncia III
Plano Inclinado
Objetivos:
Determinac¸a˜o dos coeficientes de atrito esta´tico e cine´tico
Material:
Sobral 16
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
Plano inclinado dotado de polia; porta pesos; conjunto
de massas aferidas; fita me´trica; transferidor; va´rios blo-
cos; materiais de superf´ıcies distintas ( sobre as quais os
blocos deslizara˜o); fios resistentes.
INTRODUC¸A˜O:
Quando um corpo estiver sobre um plano inclinado,
sob a ac¸a˜o de seu pro´prio peso, ele tendera´ a se movi-
mentar plano abaixo. O peso P do corpo se decompo˜e
segundo duas direc¸o˜es (Fig.01):
a) componente normal FN ;
b) componente tangencial FT .
Sendo α o aˆngulo de inclinac¸a˜o do plano, temos:
FN = P cos α e FT = P sen α
Admitindo-se que haja atrito entre o bloco e a su-
perf´ıcie do plano inclinado, a forc¸a de atrito sera´ dada
pela expressa˜o :
Fat = µN
onde µ e´ o coeficiente de atrito e N e´ a reac¸a˜o normal
do plano.
NOC¸O˜ES GERAIS SOBRE ATRITO
A forc¸a de atrito e´ uma forc¸a entre as superf´ıcies em
contato, sempe paralela ao plano destas, e que se opo˜e a
qualquer tendeˆncia de escorregamento entre elas.
A raza˜o entre a forc¸a de atrito e a componente per-
pendicular a`s superf´ıcies em contato e´ denominada coefi-
ciente de atrito.
Quando um corpo rola em vez de escorregar, teremos
o que se denomina um coeficiente de atrito de rolamento,
que e´, ainda, a raza˜o da forc¸a de atrito e a forc¸a normal
entre as superf´ıcies.
A superf´ıcie de qualquer material (na˜o importando
qua˜o liso possa parecer ao tato) conte´m sempre inu´meras
irregularidades, que se opo˜em ao deslizamento de qual-
quer outro corpo, oposic¸a˜o essa denominada atrito. O
atrito e´, portanto, uma forc¸a de reac¸a˜o; da´ı a` decorreˆncia
da terceira lei de Newtow: quando na˜o houver forc¸a que
tenda causar o movimento relativo entre duas superf´ıcies
em contato, na˜o existira´ foc¸a de atrito.
Consideremos um corpo A deslocando-se sobre uma
superf´ıcie qualquer. Na Fig.02, teremos:
P = peso do corpo A
N = reac¸a˜o normal do plano
F = forc¸a aplicada que ira´ fazer com que o corpo A deslize
sobre o plano
Fat = forc¸a de atrito atuante no contato entre as duas
superf´ıcies, sendo oposta em sentido a F .
Sera´ necessa´ria a aplicac¸a˜o de uma forc¸a F para que
o corpo A saia do estado de equil´ıbrio, forc¸a esta capaz de
vencer a forc¸a de atrito esta´tico. Aplicada essa forc¸a, o
corpo entraria em movimento acelerado, pois a forc¸a de
atrito esta´tico seria ma´xima. Uma vez em movimento,
o corpo necessitaria de uma forc¸a menor que essa forc¸a
de atrito para se manter em movimento retil´ıneo e uni-
forme, forc¸a esta que sera´ denominada Fc (forc¸a de atrito
cine´tica). Um gra´ifico Fat versus F teria o aspecto da
Fig.03.
Para estudos elementares em laborato´rio, certas aprox-
imac¸o˜es sera˜o va´lidas; sera˜o aceitas as seguintes afirmac¸o˜es
para superf´ıcies secas:
1. A forc¸a de atrito dinaˆmica e´ quase independente da
a´rea de contato, mas diretamente relacionada a` reac¸a˜o
normal do plano.
2. A forc¸a de atrito dinaˆmica depende da natureza das
superf´ıcies em contato; essa constante que relaciona o
escorregamento relativo das superf´ıcies e´ denominada co-
eficiente de atrito de escorregamento.
Sobral 17
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
3. A forc¸a de atrito dinaˆmica varia pouco com a veloci-
dade relativa dos corpos deslizantes.
A forc¸a de atrito dinaˆmica e´ menor que a forc¸a de
atrito esta´tica e continua diminuindo a` medida que a ve-
locidade aumenta. Isto ocorre ate´ o ponto B da Fig.04;
acima desse valor da velocidade, v, aforc¸a de atrito dinaˆmica
passa a aumentar.
Coulomb concluiu, por meio de resultados experi-
mentais, ser constante a relac¸a˜o entre a forc¸a de atrito
e a reac¸a˜o normal do plano. Essa cons-tante e´, como ja´
foi dito anteriormente, o coeficiente de atrito µ = Fat
N
O atrito e´ um conceito estat´ıstico, pois a forc¸a de
atrito representa a soma das interac¸o˜es distribuidas ir-
regularmente nas superf´ıcies em contato, sendo, natu-
ralmente, invia´vel levar em considerac¸a˜o as interac¸o˜es
moleculares individuais; elas sa˜o determinadas de modo
coletivo por me´to-dos experimentais e representadas de
forma aproxi-mada atrave´s do coeficiente de atrito.
Observac¸a˜o: Na pra´tica, para determinarmos a forc¸a
necessa´ria para manter o corpo em movimento uniforme,
dever´ıamos preliminarmente rom-per o atrito esta´tico.
Isto e´ feito dando-se leves toques no plano sobre o qual o
corpo desliza.
Na presente experieˆncia determinaremos o coe-ficiente
de atrito esta´tico e dinaˆmico de um corpo deslizando so-
bre a superf´ıcie de um plano inclinado.
Parte A
Para que o corpo esteja em equil´ıbrio, mas na imineˆncia
da descida, seria necessa´ria a aplicac¸a˜o de uma forc¸a F1
de tal forma que ainda fosse va´lida a relac¸a˜o (fig.05);
F = Fat + F1 (25)
Se o valor de F1, fosse aumentado ate´ atingir o valor de F2,
tal que o corpo chegasse a` imineˆncia de subida (Fig.06):
Assim,
F = F2 − Fat (26)
igualando-se (1) e (2):
Fat + F1 = F2 − Fat
portanto
Fat =
F2 − F1
2
(27)
Sendo Fat = µ N = µ P cos α,
enta˜o
µe P cos α =
F2 − F1
2
onde µe e´ o coeficiente de atrito esta´tico, logo
µe =
F2 − F1
2P cos α
(28)
Para determinarmos o coeficiente de atrito de movi-
mento ou dinaˆmico (µc), procederemos de forma ana´loga
a` descrita, com a ressalva de darmos leves toques no plano
ao determinarmos F3 e F4 , para romper o atrito esta´tico
e, depois, observar o corpo descendo (F3) ou subindo (F4)
o plano inclinado, em movimento retil´ıneo e uniforme
(Figs.(05-06)).Assim F3 < F1 e F4 < F2
enta˜o
µc =
F4 − F3
2P cos α
(29)
Parte B
Se colocarmos um corpo sobre um plano inclinado,
sem conexo˜es por meio de fios, e aumentarmos gradati-
vamente seu aˆngulo de inclinac¸a˜o (o plano estava inicial-
mente na horizontal), determinaremos um aˆngulo mı´nimo
αmin suficiente para propiciar o movimento descendente
do corpo (Fig.07). Nessas condic¸o˜es, teremos:
Sobral 18
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
F = Fat ⇒ P sen α = µ P cos α
ou seja:
µe = tg α (30)
Repetindo o procedimento mas dando leves toques
no plano inclinado, teremos:
µc = tg α (31)
Parte C
Para cada um dos casos determinaremos o valor mı´nimo
da forc¸a FA, FB e FC , para que o bloco B possa se deslo-
car para a esquerda (Figs. (08-10) )
10 Caso: A permanece sobre B e se move com ele.
20 Caso: A permanece imo´vel e B se movimenta.
30 Caso: A se movimenta para a direita e B para a es-
querda.
Observac¸a˜o : As forc¸as mı´nimas FA, FB e FC , que procu-
raremos obter, sa˜o as que correspondem ao atrito cine´tico.
Deve-se partir da premissa de que o coeficiente de atrito
cine´tico µc e´ conhecido e, nessas condic¸o˜es, leves toques
devera˜o ser dados no plano a fim de se obterem, na pra´tica,
os mı´nimos valores de FA, FB e FC . Posteriormente, deve-
se calcula´-los teoricamente.
PROCEDIMENTO
1 - Montar o plano inclinado com α = 150. Colocar so-
bre ele o corpo com uma sobrecarga de 500gf . Um fio
resistente, com um porta-pesos na extremidade, deve ser
conectado ao corpo e passando por uma roldana solida´ria
ao plano inclinado. O corpo, nessas condic¸o˜es, deve de-
scer o plano.
2 - Anotar o valor do peso do prato (porta-pesos).
3 - Determinar o valor de F1 (colocando massas no prato)
que sera´ a mı´nima forc¸a que impedira´ o corpo de descer
o plano (imineˆncia de descida).
4 - Determinar o valor de F2, que sera´ a mı´nima forc¸a
necessa´ria para fazer o corpo subir o plano (imineˆncia de
subida).
5 - Calcular o valor do coeficiente de atrito esta´tico, µe
6 - Repetir o item 3, determinando agora o valor de
F3, mı´nima forc¸a que permitira´ a descida do corpo em
M.R.U. (movimento retil´ıneo uniforme); isto sera´ fact´ıvel
apo´s terem-se dado leves toques no plano inclinado com
a finalidade de sobrepujar o atrito esta´tico.
7 - Repetir o item 4, determinando o valor de F4, com o
mesmo crite´rio adotado no item 6.
8 - Calcular o valor do coeficiente de atrito dinaˆmico µc.
Repetir todos os itens de 1 a 8 para α = 200.
10 - Mediante o que foi abordado na Parte B, determinar
o valor de µe, e µc, por meio de α1 e α2.
11 - Comparar os resultados para µe, e µc, obtidos nos
itens 5, 8 e 10. Qual deveria ser a relac¸a˜o teo´rica entre
ambos?
12 - Efetuar a montagem apresentada na Fig.08 e, partindo
do conhecimento do valor de µc, calcular o valor teo´rico de
Fa necessa´rio para colocar o conjunto A + B em movi-
Sobral 19
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
mento uniforme mediante um simples toque no plano.
Determinar previamente os valores de MA e MB.
13 - Determinar o valor pra´tico de Fa
14 - Efetuar a montagem da Fig.09 e proceder como nos
itens 12 e 13.
15 - Idem para a Fig.10.
REFEREˆNCIAS:
[1] J.H. Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros, 2a.
Edic¸a˜o, Editora E.Blucher Ltda, 1996.
[2] O.A.M.Helene e V.R.Vanin, Tratamento Estat´ıstico
de Dados em F´ısica Experimental, 2a. Ed., Editora E.Blu-
cher Ltda., 1991.
[3] Murray R. Spiegel, Estat´ıstica (Colec¸a˜o Schaum), Ed.
McGraw-Hill do Brasil, LTDA 1976
[4] HALLIDAY, David, RESNICK, Robert. Fundamen-
tos de F´ısica, 3a ed., Rio de Janeiro: Livros Te´cnicos e
Cient´ıficos Editoˆra S.A, 1993. vol. 1
PEˆNDULO SIMPLES
Objetivo:
Utilizar um me´todo experimental para estudar como
o per´ıodo de um peˆndulo depende de va´rios fatores; de-
terminar o valor da acelerac¸a˜o g devida a gravidade.
Introduc¸a˜o
Movimento perio´dico e´ um tipo de movimento onde o
mesmo percurso e´ repetido em intervalos iguais de tempo.
Se este percurso e´ repetido periodicamente e do tipo vai-
e-vem, o movimento e´ dito ser vibrato´rio. O percurso
completo de vai-e-vem deste tipo de movimento e´ de-
nominado vibrac¸a˜o e o tempo gasto em fazer uma vi-
brac¸a˜o e´ chamado per´ıodo. O nu´mero de vibrac¸o˜es por
unidade de tempo e´ a frequ¨eˆncia, o deslocamento a partir
do ponto central e´ a elongac¸a˜o e a elongac¸a˜o ma´xima e´
denominada amplitude. Um tipo especial de movimento
vibrato´rio, em que a forc¸a restauradora e´ proporcional a
elongac¸a˜o da part´ıcula vibrante e de sinal contra´rio a essa
elongac¸a˜o, e´ denominado movimento harmoˆnico simples
(m.h.s.).
Figura 01
O peˆndulo simples e´ o exemplo mais conveniente de
um sistema que executa m.h.s. Idealmente, o peˆndulo
simples e´ definido como uma part´ıcula suspensa por um
fio inextens´ıvel e sem peso. Na pra´tica, ele consiste de
uma esfe´ra de massa m suspensa por um fio cuja massa
e´ des-prez´ıvel em relac¸a˜o a da esfe´ra e cujo comprimento
L e´ muito maior do que o raio da esfe´ra.
A Figura 01 mostra um peˆndulo simples afastado de
uma elongac¸a˜o θ da vertical (posic¸a˜o de equil´ıbrio). As
forc¸as que atuam sobre a esfe´ra sa˜o seu peso mg e a tensa˜o
na corda T . Decompondo o peso ao longo do fio e da
perpendicular a ele, vemos (Fig.01) que o componente
tangencial mg sen θ e´ a forc¸a restauradora do movimento
oscilato´rio. Ela, na˜o e´ proporcional a elongac¸a˜o θ, mas a
sen θ. Logo o movimento na˜o e´ harmoˆnico simples. Con-
tudo, se o aˆngulo θ e´ pequeno o valor de sen θ e´ aprox-
imadamente igual a θ (em radiano). Nestas condic¸o˜es,
demonstra-se que o per´ıodo de oscilac¸a˜o do peˆndulo sim-
ples e´ dado por,
T = 2pi
√
L
g
, (32)
onde T e´ o per´ıodo de oscilac¸a˜o e L o comprimento do
peˆndulo. Estritamente falando, a Eq.(1) e´ valida para um
peˆndulo que tem toda sua massa concentrada na extrem-
idade de sua suspensa˜o e que oscile com pequenas ampli-
tudes. Na pra´tica procura-se satisfazer essas condic¸o˜es
usando-se uma esfe´ra pesada (tal como chumbo), de pe-
queno raio, suspensa por um fio o mais leve poss´ı-vel e
trabalhando com amplitudes na˜o maiores que 150.
10 PARTE
1.1 - Determinac¸a˜o do per´ıodo do peˆndulo
Um modo de determinar-se o per´ıodo T de um peˆndulo
e´ medindo-se o tempo t de n oscilac¸o˜es e calculando-se T
e seu desvio ∆T usando as equac¸o˜es:
T =
t
n
e ∆T =
∆t
n
(33)
onde ∆t e´ o desvio avaliado para as medidas com o cronoˆmetro.
Sobral 20
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
A vantagem desse processo e´ que, ale´m de simples, ele
dilui por um tempo maior do que o per´ıodo os erros de
percepc¸a˜o no disparo e parada do cronoˆmetro e reduz o
desvio de T, ja´ que este decresce quando n cresce. Da ex-
pressa˜o de ∆T pode-se concluir que o desvio relativo da
medida de T e´ tanto menor quanto maior for n. Enta˜o, o
nu´mero n deve ser escolhido em func¸a˜o da precisa˜o que
se deseje para a medida de T.
1.2 - Procedimento experimental
1. Inicialmente, defina o desvio avaliado ∆T para as me-
didas com o cronoˆmetro e anote-o.
2. Ponha o peˆndulo para oscilar com pequena ampli-
tude (na˜o maior que 150) e mec¸a com o cronoˆmetro pelo
menos duas vezes o tempo t de n oscilac¸o˜es completas.
Os valores medidos de t na˜o devem diferir por mais que
uma frac¸a˜o de segundos. Anote seus resultados.
3. Calcule t (a me´dia de t) e, com a Eq.(2), o per´ıodo T
e seu desvio ∆T .
20 PARTE
2.1 - Dependeˆncia do per´ıodo com a massa do peˆndulo
Veˆ-se pela Eq.(1) que o per´ıodo independe da massa
do peˆndulo. Isso pode ser verificado experimentalmente
utilizando-se um peˆndulo feito com uma esfe´ra perfurada
onde se pode introduzir basto˜es de diferentes materiais
de modo a variar a massa do peˆndulo.
2.2 - Procedimentoexperimental
1. Usando o peˆndulo sempre com o mesmo comprimento,
determine o per´ıodo de oscilac¸a˜o (veja 10 Parte) para o
peˆndulo com diferentes valores da massa. Para variar a
massa do peˆndulo use basto˜es com diferentes massas. An-
ote seus resultados
2. Compare os valores dos per´ıodos obtidos e discuta
se, dentro do erro experimental, eles podem ser consid-
erados iguais.
30 PARTE
3.1 - Dependeˆncia do per´ıodo com a amplitude de oscilac¸a˜o
do peˆndulo
Vimos anteriormente, que a forc¸a restauradora do
peˆndulo depende do sen θ. Isto significa que somente para
valores pequenos de θ, quando se pode fazer sen θ = θ, o
per´ıodo pode ser considerado independente da amplitude.
Quando a amplitude na˜o e´ pequena a Eq.(1) deixa de ser
exata. O per´ıodo, neste caso, pode ser calculado com a
exatida˜o que se deseje tomando-se um nu´mero suficiente
de termos da se´rie (veja Symon, Mechanics, pg. 208),
T = 2pi
√
L
g
[ 1 +
1
22
sen2
θ
2
+
1
22
32
42
sen4
θ
2
+ ... ] (34)
Veˆ-se, pois, que o per´ıodo depende de θ. Para θ =
150 o per´ıodo real dado pela Eq.(3) difere do valor aprox-
imado dado pela Eq.(1) em 0,05%. Assim, na Eq (3),
podemos tomar o fator 2pi
√
L
g como igual ao per´ıodo
medido para θ < 150.
3.2 - Procedimento experimental
1. Mantendo constantes o comprimento e a massa do
peˆndulo, determine os per´ıodos de oscilac¸a˜o (veja 10 Parte)
para θ < 150, θ = 450 e θ = 600. Anote seus resultados.
Para θ < 150 mec¸a 20 oscilac¸o˜es pelo menos e para grandes
amplitudes mec¸a 10 oscilac¸o˜es.
2. Calcule os per´ıodos reais para as amplitudes θ = 450 e
θ = 600 usando a Eq.(3), fazendo nela 2pi
√
L
g igual ao
per´ıodo para θ < 150. Compare os per´ıodos medidos com
os calculados e discuta seus resultados.
40 PARTE
4.1 - Dependeˆncia do per´ıodo de oscilac¸a˜o com o compri-
mento do peˆndulo
A verificac¸a˜o da relac¸a˜o entre o per´ıodo T e o compri-
mento L do peˆndulo pode ser feita atrave´s da linearizac¸a˜o
da Eq.(1) pelo me´todo gra´fico (anamorfose) para pares de
valores T e L obtidos experimentalmente. Se o gra´fico de
T contra
√
L for uma reta e, tambe´m, se o coeficiente an-
gular desta for igual, dentro do erro experimental, a
2pi√
g
(supo˜e-se conhecido o valor de g local), a validade da lei
e´ verificada.
4.2 - Procedimento experimental
1. Monte o peˆndulo com um comprimento L na˜o menor
que 40 cm, medido com precisa˜o do ponto de suspensa˜o
ao centro da esfe´ra. Ponha o peˆndulo para oscilar com
pequena amplitude e determine o per´ıodo de oscilac¸a˜o
pelo me´todo descrito na 10 Parte.
2. Repita este procedimento para, pelo menos, seis val-
ores de L, com intervalos na˜o menores que 15 cm e con-
strua uma tabela com os pares de valores medidos (L, T ).
3. Com os pares de valores (L, T ) use o me´todo da anamor-
fose (gra´ficos) e, tomando para g o valor local, verifique
a validade da Eq.(1). De sua conclusa˜o sobre a validade
da lei, Veja as questo˜es na Parte 5.3.
50 PARTE
5.1 - Determinac¸a˜o do valor de g
A Eq.(1) permite determinar graficamente o valor de g
local. Para isso constro´i-se o gra´fico de T contra
√
L com
pares de valores T e L obtidos experimentalmente e a
comparac¸a˜o do coeficiente angular da reta obtida com a
constante
2pi√
g da Eq.(1) permite calcular g.
5.2 - Procedimento experimental
1. Execute o Passo 1 e o Passo 2 do procedimento acima
2. Construa o gra´fico de T contra
√
L, determine o coe-
ficiente angular da reta obtida, iguale-o a constante
2pi√
g
da Eq.(1) e calcule g. Compare este valor de g com o
Sobral 21
Teoria dos Erros + Roteiros F´ısica Geral e Experimental - II
recomendado localmente e discuta seus resultados.
5.3 - Questo˜es: Reflita sobre elas e res-ponda.
1. Qual voce acha que deve ser o procedimento mais
recomendado para determinar o per´ıodo T . (a) medir n
vezes o per´ıodo e calcular T com o valor me´dio dos n val-
ores, ou (b) medir o tempo t de n oscilac¸o˜es e calcular T
pela Eq.(2)? Demons-tre sua resposta.
2. Para grandes amplitudes pediu-se para voceˆ contar
apenas 10 oscilac¸o˜es. Voceˆ acha que o per´ıodo para grandes
amplitudes seria mais acurado se contasse-mos 100 os-
cilao˜es? Explique.
3. Por que e´ necessa´rio contar mais vibrac¸o˜es para um
peˆndulo curto do que para um longo, para obter-se a
mesma precisa˜o para o per´ıodo?
4. Na determinac¸a˜o do valor g, qual a medida feita que
mais contribuiu com o erro?
5. Resuma numa u´nica sentenc¸a os resultados de suas
investigac¸o˜es relativas aos efeitos dos fatores que voceˆ foi
capaz de controlar durante o experimento.
6. Num ponto Z arbitra´rio, trace uma perpendi-cular a
linha trac¸ada, mec¸a a distaˆncia do centro de cada ponto
a esta perpendicular e calcule o v.m.p. e o desvio padra˜o
dessas distaˆncias.
7. A partir da linha Z e na reta passando por 0, marque
o v.m.p. obtido e determine o ponto x o desvio padra˜o
obtido e o desvio do alcance OX
ESTUDO DO COMPORTAMENTO
DAS MOLAS
I - Objetivos:
Determinar a constante ela´stica de uma mola, inves-
tigar as transformac¸o˜es de energia numa mola vibrante,
estudar o comportamento inela´s-tico de uma mola sob
pequenas forc¸as e oscilac¸o˜es.
10 PARTE:
Introduc¸a˜o
Quando uma Forc¸a peso e´ gradualmente aplicada na
extremidade livre de uma mola suspensa num suporte
fixo, a mola distende-se ate´ a tensa˜o na mola ser con-
trabalanceada pelo o peso da carga, se a mola e´ do tipo
ela´stica, ou seja, se ela retorna a suas dimenso˜es originais
logo que a forc¸a aplicada e´ removida, verifica-se experi-
mentalmente que, dentro de limites da carga, a distensa˜o
x produzida na mola e´ proporcional a forc¸a F nela apli-
cada. Esta e a lei de Hook para uma mola ela´stica, cuja
expressa˜o matema´tica e´:
F = k x (35)
onde k e´ denominada a constante ela´stica da mola e e´ nu-
mericamente igual a forc¸a requerida para produzir uma
unidade de distensa˜o.
A lei de Hook para a mola vale somente dentro de
limites do valor da forc¸a aplicada quando esta forc¸a ul-
trapassa o limite de elasticidade ou de tensa˜o da mola,
esta e´ distendida ale´m de seu limite ela´stico e na˜o mais
retornara´ a suas dimenso˜es originais. Esta deformac¸a˜o
e´ denominada pla´stica. Quando a forc¸a aplicada e´ muito
pequena, em algumas molas a distensa˜o varia com a forc¸a
de um modo na˜o linear, este e´ o caso de algumas molas
espirais, onde, na auseˆncia de qualquer forc¸a aplicada, as
espiras esta˜o pressionadas umas contra as outras devido
a tenso˜es iniciais da pro´pria mola. Quando uma forc¸a
pequena e´ aplicada, a mola distende-se um pouco e a
orientac¸a˜o de cada espira varia bastante, produzindo na
mola uma distensa˜o anisotro´pica. Este estudo sera´ visto
na 30 Parte.
Determinac¸a˜o da constante ela´stica de uma mola
I.2 - Medidas:
A Figura 1 mostra uma mola espiral suspensa ver-
ticalmente por uma de suas extremidades num suporte
mo´vel e tendo na outra extremidade um porta-pesos com
um ponteiro.
Figura 01.
A forc¸a F e´ aplicada na mola atrave´s de pesos aferidos
colocados no porta-pesos e a distensa˜o x e´ medida pela
indicac¸a˜o do ponteiro na escala milimetrada
I.3 - Procedimento experimental
1. Usando a montagem da Fig.01, ponha uma massa ini-
cial no porta-pesos para relaxar alguma tensa˜o inicial da
mola enta˜o, mova o suporte verticalmente para ajustar o
ponteiro numa marca conveniente da escala essa marca
servira´ como origem para medir-se as distenso˜es da mola
para os pesos que forem sendo postos no porta-pesos.
2. A partir da´ı, adicione sucessivamente pesos afer´ıdos
F no porta-peso, mec¸a as distenso˜es correspondentes x
na escala e construa uma tabela com os valores medidos
de F e x.
3. Com os valores de F e x, construa o gra´fico de x contra
F - a varia´vel independente e´ locada no eixo das abcissas