Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas(1)

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EQUAÇÕES DE MAXWELL E ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 
 
 As equações de Maxwell, relacionam os vetores campo elétrico e magnético, E
�
 e B
�
, as suas fontes, que 
podem ser cargas elétricas, correntes ou campos variáveis. A partir dessas equações podemos demonstrar todas as 
leis fundamentais da eletricidade e do magnetismo, ou seja, leis de Coulomb, Gauss, Biot-Savart, Ampère e 
Faraday. Elas desempenham no eletromagnetismo clássico um papel tão importante quanto as leis de Newton para 
a mecânica clássica. 
 A partir de suas equações, Maxwell mostrou que é possível obter uma equação de onda para os campos 
elétrico e magnético, denominada onda eletromagnética. 
 O trabalho de Maxwell foi demonstrado experimentalmente em 1887 por Hertz que realizou a primeira 
transmissão de ondas de rádio (denominadas de ondas hertzianas). 
 Maxwell mostrou que a velocidade das ondas eletromagnéticas (EM) no espaço livre será: 
00
1
εµ
=c 
onde 22120 /1085,8 NmC−×=ε é a permissividade elétrica do espaço livre e 270 /104 AN−×= πµ é 
permeabilidade magnética do espaço livre. 
 
1 – As equações de Maxwell 
 As equações de Maxwell são: 
0
int
ε
erior
S
QSdE =⋅∫ �� - Lei de Gauss ⇒ o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada 
qualquer, é igual à carga no interior da superfície dividida por ε0. 
0=⋅∫
S
SdB
�
�
 - Lei de Gauss para o magnetismo ⇒ o fluxo do campo magnético através de qualquer 
superfície fechada é igual a zero uma vez que as evidencias experimentais mostram que as linhas de campo 
magnético não divergem de nenhum ponto e nem convergem para nenhum ponto, implicando na não existência de 
pólos magnéticos isolados. 
∫∫ ⋅−=⋅
SC
SdB
dt
ddE
�
�
�
��
 - Lei de Faraday ⇒ descreve o modo como as linhas do campo magnético se 
comportam em uma região na qual o campo magnético está variando e relaciona o campo elétrico à taxa de 
variação do campo magnético. 
∫∫ ⋅+=⋅
SC
SdE
dt
dIdB
�
�
�
��
000 εµµ - Lei de Ampère generalizada ⇒ o primeiro termo é o produto de 
µ0 pela corrente que atravessa qualquer superfície limitada pela curva, enquanto o segundo termo é o produto de 
µ0ε0 pela taxa de variação do fluxo do campo magnético através da mesma superfície. 
Uma outra maneira de se escrever a lei de Ampère generalizada é: 
( )dB
C
II
dt
dIdB +=+=⋅∫ 0000 µφεµµ��� 
onde 
dt
d
I Bd
φ
ε 0= é a corrente de deslocamento. 
 
2 – Onda eletromagnéticas (EM) 
Campo elétrico
Campo magnético
Direção de propagação
E
B
 
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Espectro eletromagnético – A diferença entre o vários tipos de ondas Sem – luz visível, ondas de rádio, raios 
X, raios gama, microondas, etc. – está apenas no comprimento de onda e na freqüência. O olho humano é sensível 
a uma faixa de comprimento de onda que vai aproximadamente de 400 a 700 nm. 
 
Radiação de um dipolo elétrico – Cargas elétricas aceleradas produzem ondas EM. Em uma antena do tipo 
dipolar, cargas oscilantes irradiam ondas EM com intensidade máxima na direção perpendicular à antena e nula na 
direção da antena. Na direção perpendicular à antena e a grandes distâncias, o campo elétrico de uma onda EM é 
paralelo à antena. 
Os campos 
Os campos elétrico e magnético de uma onda EM têm as formas: 
( )
( )tkxBB
tkxEE
m
m
ω
ω
−=
−=
sin
sin
 
Os vetores E
�
 e B
�
 são perpendiculares à direção de propagação da onda EM que é portanto uma onda 
transversal. 
 
A razão entre as amplitudes e a velocidade escalar da onda EM 
Os módulos desses campos estão relacionados por: 
00
1
εµ
=== c
B
E
B
E
m
m
 
onde c é a velocidade da onda e smc /103 8×= 
 
Fluxo de energia 
 
No caso mais geral, a direção de propagação de uma onda EM é a direção do produto vetorial BE
��
× . 
 
Densidade de energia de uma onda EM. 
 
c
EBBEuuu BE
00
2
2
0 µµ
ε ===+= 
 
Vetor de Poynting 
 
0µ
BES
��
� ×
= 
dá o fluxo de energia (W/m2) para uma onda EM. A intensidade da onda (o valor médio de S) é: 
2
0
1
rmsE
c
SI
µ
== (fluxo de energia média; onda plana) 
 
Pressão de radiação 
 
Quando uma superfície intercepta radiação eletromagnética, uma força e um a pressão são exercidas sobre a 
superfície, a força é: 
c
IAF = (absorção total) 
onde I é a intensidade da radiação e A é a área da superfície perpendicular à trajetória da radiação. Se a 
radiação é totalmente refletida retornando ao longo der sua trajetória original, a força é 
c
IAF 2= (reflexão total retornando ao longo da trajetória) 
 
Sendo a pressão definida como força por unidade de área, a pressão de radiação será: 
c
Ip = (absorção total) e 
c
Ip 2= (reflexão total) 
 
 
 
 
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Equações de onda 
2
2
22
2
2
2
22
2
1
1
t
B
cx
B
t
E
cx
E
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
 
Exercícios 
 
1. (a) Quais são as ondas EM de maior freqüência, as ondas luminosas ou os Raios X? (b) Determine o 
comprimento de onda de uma rádio AM típica como a Rádio Difusora de Alagoas. (c) Qual é o comprimento 
de onda da Rádio Educativa FM? 
 
2. Um transmissor usa uma antena do tipo circular com a espira no plano horizontal. Qual seria a orientação de 
uma antena do tipo dipolar, instalada no receptor, para receber o sinal com máximo de intensidade? 
 
3. A figura ao lado representa o gráfico polar da intensidade 
da radiação EM de uma antena dipolar em função do 
ângulo. A intensidade ���� é proporcional a 2
2sin
r
θ
, onde 
� é o ângulo entre o momento dipolar e o vetor posição r
�
. 
Seja I1 a intensidade da radiação para uma distância 
r = 10 m da origem e para um ângulo � � ��0. Determinar a 
intensidade em função de I1 (a) para r = 30 m � � � ��0; (b) 
r = 10 m� � � 450; (c) r = 20 m� � � ��0. (d) para que 
ângulo a intensidade com r = 5 m é igual a I1? (e) Para que 
distância a intensidade em 
� � ��
0
 é igual a I1? 
 
4.
 
A antena transmissora de uma estação de rádio é uma 
antena dipolar localizada a 2000 m acima do nível do mar. 
A intensidade do sinal em uma montanha a 4 km de 
distância, também a 2000 m acima do nível do mar, é 4x10-12 W/m2. Qual a intensidade do sinal ao nível do 
mar e a 1,5 km do transmissor? 
 
5.
 
Uma estação de rádio que usa uma antena do tipo dipolar vertical transmite com uma freqüência de 1,5 MHz e 
uma potência de 500 kW. Calcule a intensidade do sinal a uma distância horizontal de 120 km da estação. 
 
6.
 
A amplitude de uma onda EM é E0 = 400 V/m. Determine (a) Erms; (b) Brms; (c) a intensidade I; (d) a pressão 
de radiação Pr. 
 
7.
 
(a) Uma onda EM de 200 W/m2 de intensidade incide perpendicularmente em um cartão preto retangular, com 
20 cm e 30 cm de lado, que absorve toda a radiação. Determine a força exercida pela radiação sobre o cartão. 
(b) Determine a forca exercida pela mesma onda se o cartão refletir toda a radiação incidente. 
 
8.
 
Uma estação de rádio AM irradia uma onda senoidal isotrópica com uma potência de 50 kW. Quais são os 
valores de Emáx e Bmáx a uma distância de (a) 500 m; (b) 5 km; (c) 50 km? 
 
9.
 
Uma onda EM fornece a mesma potência que uma linha de transmissão de 1000 A, 750 kV. A onda tem a 
mesma forma de um feixe de intensidade uniforme com uma seção reta de 50 m2. Quais são os valores rms do 
campo elétrico e do campo magnético? 
 
10.
 
O campo elétrico de uma onda EM oscila na direção dos eixo dos y e o vetor de Poynting é dado por 
 
( ) ( ) ( ) itxmWtxS �� ]10310[cos/100, 922 ×−= 
 
onde x é dado em metros e t em segundos. (a) Qual a direção de propagação da onda? (b) Determine o 
comprimento de onda e a freqüência. (c) Determineos campos elétrico
 
e
 
magnético. 
I(θ )θ
y
x