aula 3 Probabilidade e Estatística UFCG

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Probabilidade e Estat´ıstica
Distribuic¸a˜o Normal (Gaussiana)
UAEst/CCT/UFCG
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A Distribuic¸a˜o Normal (Gaussiana)
Introduc¸a˜o
A distribuic¸a˜o Normal e´ talvez a mais importante das distribuic¸o˜es de
probabilidade. Erros de mensurac¸a˜o de fenoˆmenos f´ısicos ou econoˆmicos
sa˜o frequentemente modelados pela distribuic¸a˜o Normal, mas esta na˜o
e´ a u´nica aplicac¸a˜o desta densidade. Por exemplo, a distribuic¸a˜o dos
pesos, alturas e QI’s das pessoas numa populac¸a˜o tambe´m ja´ foram
modelados com sucesso por esta distribuic¸a˜o.
A distribuic¸a˜o Normal e´ tambe´m chamada de Gaussiana em homena-
gem ao matema´tico Carl Friederich Gauss (1777 - 1855), que a utilizou
pela primeira vez na modelagem de erros de medida. A distribuic¸a˜o
Normal tambe´m funciona como uma boa aproximac¸a˜o para outras den-
sidades. Por exemplo, sob algumas condic¸o˜es, pode-se provar que a
distribuic¸a˜o Binomial pode ser aproximada pela Normal.
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A Distribuic¸a˜o Normal (Gaussiana)
Definic¸a˜o:Dizemos que a varia´vel aleato´ria X tem distribuic¸a˜o Normal com
paraˆmetros µ e σ2,−∞ < µ <∞ e 0 < σ2 <∞, se sua f.d.p. e´ dada por
f (x) =
1
σ
√
2pi
e−
1
2(
x−µ
σ )
2
,−∞ < x <∞.
Notac¸a˜o: X ∼ N(µ, σ2).
Observac¸a˜o: Quando µ = 0 e σ2 = 1, temos a Distribuic¸a˜o Normal
Padra˜o ou Padronizada. Nesse caso, obtemos
f (x) =
1√
2pi
e−
1
2
x2 ,−∞ < x <∞.
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Propriedades
(i) Gra´fico da f(x) tem a forma de sino;
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Propriedades
(ii) f(x) assume valor ma´ximo no ponto x = µ;
(iii) Os pontos de inflexa˜o da func¸a˜o sa˜o: x = µ+ σ e x = µ− σ;
(iv) A curva normal e´ sime´trica em relac¸a˜o ao ponto x = µ;
(v) E (X) = µ e V ar (X) = σ2;
(vi) Se X ∼ N(µ, σ2), enta˜o a varia´vel
Z =
X − µ
σ
∼ N(0, 1).
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Observac¸o˜es
Seja X ∼ N(µ, σ2). Para a < b constantes reais, temos que
P (a < X < b) =
∫ b
a
1√
2piσ
e−
1
2
(x−µ
σ
)2dx.
Problema: A integral acima na˜o apresenta uma soluc¸a˜o anal´ıtica.
Uma alternativa e´ resolver esta integral atrave´s de me´todos nume´ricos
como Newton-Rapson, Score-Fisher, etc.
Uma outra alternativa e´ reduzir (ou transformar) a varia´vel X para
uma varia´vel
Z =
X − µ
σ
,
que tem distribuic¸a˜o normal padra˜o, e, assim obter a probabilidade de
interesse numa Tabela da distribuic¸a˜o Normal Padra˜o.
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Observac¸o˜es
Assim,
P (a < X < b) = P
(
a− µ
σ
<
X − µ
σ
<
a− µ
σ
)
= P
(
a− µ
σ
< Z <
b− µ
σ
)
= Φ
(
b− µ
σ
)
− Φ
(
a− µ
σ
)
.
Podemos observar que qualquer probabilidade envolvendo a v.a.X ∼ N(µ, σ2),
pode ser calculada em func¸a˜o da distribuic¸a˜o acumulada Φ da v.a. Z ∼
N(0, 1), que se encontra tabulada.
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Uso da Tabela
A Tabela da distribuic¸a˜o Normal Padra˜o apresenta a seguinte
probabilidade:
Φ(z) = P (Z ≤ z) =
∫ z
−∞
1√
2pi
e−
x2
2 dx,
onde z e´ um valor real qualquer.
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Exemplo 1
Se a varia´vel Z tem distribuic¸a˜o normal padra˜o, isto e´, Z ∼ N(0, 1),
obtenha:
(a) P (Z ≤ 1, 64)
(b) P (Z < −2, 57)
(c) P (Z > −1, 75)
(d) P (Z > 2, 33)
(e) P (0 ≤ Z ≤ 1, 96)
(f) P (−2, 68 ≤ Z ≤ −1, 57)
(g) o valor z, na tabela da normal padra˜o, tal que, P (Z ≤ z) = 0, 985.
(h) o valor z, na tabela da normal padra˜o, tal que, P (Z > z) = 0, 50.
(i) o valor z, na tabela da normal padra˜o, tal que,
P (−z < Z < z) = 0, 90.
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“Hora da chamada...”
Albert Einstein
Ha´ uma forc¸a motriz mais poderosa que o vapor, a eletricidade e a energia
atoˆmica: a vontade.
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Exemplo 2
Sendo X ∼ N(100, 25), calcule:
(a) P (X ≤ 105)
(b) P (X > 80)
(c) P (90 ≤ X ≤ 105)
(d) P (X ≤ 125)
(e) P (X ≤ 75)
(f) Um nu´mero c, tal que P (X > c) = 2P (X ≤ c).
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Exemplo 3
Uma fa´brica de carros sabe que a durac¸a˜o (X) dos motores de sua fabricac¸a˜o
tem distribuic¸a˜o aproximadamente normal, com me´dia de 150.000 km e
desvio padra˜o de 5.000 km.
(a) Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabrica-
dos por essa firma, tenha um motor que dure:
(i) menos de 170.000 km?
(ii) entre 140.000 km e 165.000 km?
(b) Se a fa´brica substitui o motor que apresenta durac¸a˜o inferior a` garantia
(g), qual deve ser esta garantia, para que a porcentagem de motores
substitu´ıdos seja aproximadamente igual a 0, 2 %?
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Exemplo 4
Certa ma´quina de empacotar determinado produto oferece variac¸o˜es de peso
com desvio padra˜o de 20 g.
(a) Em quanto deve ser regulado o peso me´dio do pacote para que apenas
10 % tenham menos de 400 g?
(b) Com o peso me´dio regulado, qual a probabilidade de um pacote sair
com mais de 450 g?
Obs.: considere a distribuic¸a˜o dos pesos normal.
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Exerc´ıcios Sugeridos
9.1 a 9.5, 9.11, 9.12, 9.15 e 9.17 (Livro Texto)
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“Hora da chamada...”
Seˆneca
Grande parte do progresso esta´ na vontade de progredir.
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Bibliografia
Probabilidade, Aplicac¸o˜es a` Estat´ıstica (2a edic¸a˜o). Paul L. Meyer
(1995). LTC.
Estat´ıstica Ba´sica (7a edic¸a˜o). Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin
(2011). Editora Saraiva.
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