aula4 Probabilidade e Estatística UFCG

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Probabilidade e Estat´ıstica
Modelo Uniforme, Exponencial, Gama e Qui-Quadrado
UAEst/CCT/UFCG
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Modelos Probabil´ısticos para Varia´veis Aleato´rias
Cont´ınuas
Introduc¸a˜o
De modo geral, podemos dizer que as varia´veis aleato´rias cujos
valores resultam de algum processo de mensurac¸a˜o sa˜o varia´veis
aleato´rias cont´ınuas.
Por exemplo:
1 O peso ou a altura das pessoas de uma cidade;
2 A demanda de energia de uma empresa;
3 O tempo de vida u´til de um equipamento eletroˆnico;
4 Erros de medidas em geral, resultantes de experimentos em
laborato´rios.
Estudaremos alguns modelos probabil´ısticos espec´ıficos para varia´veis
aleato´rias cont´ınuas.
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Modelos Probabil´ısticos para Varia´veis Aleato´rias
Cont´ınuas
1 Modelo Uniforme.
2 Modelo Exponencial.
3 Modelo Normal (ou Gaussiano).
4 Modelo Gama.
5 Modelo Qui-quadrado.
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Uniforme
Definic¸a˜o: Uma v.a. X tem distribuic¸a˜o uniforme no intervalo [a, b] se
sua f.d.p. e´ dada por
f(x) =
{
1
b−a , a ≤ x ≤ b,
0, c.c.
Notac¸a˜o: X ∼ U [a, b].
Propriedades:
E(X) = a+b2 e Var(X) =
(b−a)2
12 .
Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
F (x) = P (X ≤ x) =

0, x < a,
x−a
b−a , a ≤ x ≤ b,
1, x > b.
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Exponencial
Definic¸a˜o: Seja X uma v.a. cont´ınua que assume valores no conjunto
RX = {x � IR; x > 0}. Dizemos que X segue uma distribuic¸a˜o ex-
ponencial com paraˆmetro α > 0, se sua func¸a˜o densidade de probabilidade
(f.d.p.) e´ dada por
f (x) =
{
αe−αx, x > 0
0, c.c.
Notac¸a˜o: X ∼ Exp(α).
Observac¸a˜o: A distribuic¸a˜o exponencial desempenha um importante papel
na modelagem de fenoˆmenos relacionados com a Teoria da Confiabilidade.
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Exponencial - Propriedades
E(X) = 1/α e V ar(X) = 1/α2.
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada F de X ∼ Exp(α) e´
F (x) = P (X ≤ x) = 1− e−αx, x > 0.
Propriedade da Falta de Memo´ria - Para todo s, t > 0, teremos
P (X > s+ t | X > s) = P (X > t) .
Observac¸a˜o: Supondo que X representa o tempo de vida (em anos) de um
equipamento, podemos fazer a seguinte interpretac¸a˜o para a propriedade da falta
de memo´ria: a probabilidade do equipamento durar pelo menos t+s anos, sabendo-
se que ja´ durou s, e´ igual a` probabilidade de um equipamento novo durar pelo menos
t anos. Ou seja, a informac¸a˜o da “idade” do equipamento pode ser esquecida e o
que importa, para o ca´lculo da probabilidade, e´ quantos anos a mais queremos que
o equipamento dure.
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Exemplo 1
O tempo, em horas, necessa´rio para um reparo em certo tipo de ma´quina e´
uma varia´vel aleato´ria exponencialmente distribu´ıda com paraˆmetro
α = 1/2.
a) Calcule a probabilidade de que um reparo numa das ma´quinas dure no
m´ınimo 2 horas.
b) Calcule a probabilidade condicional de que o tempo de reparo seja de
pelo menos 10 horas, dado que sua durac¸a˜o seja superior a 9 horas.
c) Qual o tempo me´dio de reparo nessa ma´quinas?
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A func¸a˜o Gama
Definic¸a˜o: A func¸a˜o gama, denotada por Γ, e´ definida por
Γ (p) =
∫ ∞
0
xp−1e−xdx, p > 0.
Propriedades:
Uma vez que, para p > 0, a integral impro´pria acima e´ convergente,
conclu´ımos que a func¸a˜o gama esta´ bem definida.
Se p = n e´ um inteiro positivo enta˜o Γ(n) = (n− 1)!.
Em particular, Γ(1) = 1.
E´ fa´cil verificar tambe´m, que Γ
(
1
2
)
=
√
pi.
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Gama
Definic¸a˜o: Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua definida para todos os
valores na˜o-negativos. Diremos que X tem distribuic¸a˜o de probabilidade
gama com paraˆmetros α > 0 e r > 0, se sua f.d.p. e´ dada por
f (x) =
{
α
Γ(r) (αx)
r−1 e−αx, x > 0
0, c.c.
Notac¸a˜o: X ∼ Γ (α, r) .
Propriedades:
(i) E (X) = rα e V ar (X) =
r
α2
.
(ii) Se r = 1, temos que X ∼ Exp(α).
Observac¸a˜o: O modelo Gama possui diversas aplicac¸o˜es na teoria da
confiabilidade.
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Exemplo 2
Em uma certa cidade o consumo dia´rio de a´gua (em milho˜es de litros) segue
aproximadamente uma distribuic¸a˜o Γ(1/3; 2).
(a) Qual e´ a probabilidade de que, em um certo dia, o consumo seja no
ma´ximo 9 milho˜es de litros?
(b) Calcule o consumo me´dio dia´rio de a´gua nesta cidade.
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Qui-Quadrado
Um caso particular muito importante da distribuic¸a˜o gama sera´ obtido
se fizermos α = 1/2 e r = n/2, onde n e´ um inteiro positivo.
Obteremos uma fam´ılia de distribuic¸o˜es de um paraˆmetro (n), com
f.d.p.
f(x) =
1
2n/2Γ(n/2)
x(
n
2
)−1e−x/2, x > 0.
Uma varia´vel aleato´ria X com f.d.p. dada pela expressa˜o acima tera´
uma distribuic¸a˜o qui-quadrado, com n graus de liberdade, denotada
por χ2n.
Se X ∼ χ2n, enta˜o
E(X) = n e Var(X) = 2n.
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Qui-Quadrado
A distribuic¸a˜o qui-quadrado possui va´rias aplicac¸o˜es importantes em
infereˆncia estat´ıstica.
A distribuic¸a˜o qui-quadrado esta´ tabulada para alguns valores de n.
Deste modo, poderemos achar na tabela da qui-quadrado, o valor de c
que satisfaz
P (χ2n ≤ c) = γ,
para alguns valores de γ e n.
Se Z ∼ N(0, 1), enta˜o Z2 ∼ χ21. Ou seja, o quadrado de uma v.a.
com distribuic¸a˜o normal padra˜o e´ uma “nova” v.a. com distribuic¸a˜o
qui-quadrado.
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“Hora da chamada...”
Shakespeare
Voceˆ faz suas escolhas e suas escolhas fazem
voceˆ.
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Bibliografia
Probabilidade, Aplicac¸o˜es a` Estat´ıstica (2a edic¸a˜o). Paul L. Meyer
(1995). LTC.
Estat´ıstica Ba´sica (7a edic¸a˜o). Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin
(2011). Editora Saraiva.
Noc¸o˜es de Probabilidade e Estat´ıstica (4a edic¸a˜o). Marcos N. Ma-
galha˜es e Antonio C. P. de Lima (2002). Edusp.
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Exerc´ıcios
(1) Com o objetivo de verificar a resisteˆncia a` pressa˜o de a´gua, os te´cnicos
de qualidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC produzidos.
Os tubos produzidos teˆm 6 metros de comprimento e sa˜o submetidos
a grandes presso˜es ate´ o aparecimento do primeiro vazamento, cuja
distaˆncia a uma das extremidades (fixada a priori) e´ anotada para fins
de ana´lise posterior. Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspecionado.
Seja X a varia´vel aleato´ria que indica a distaˆncia correspondente ao
vazamento. Admita que a probabilidade de ocorreˆncia de vazamento
em todos os pontos sa˜o iguais.
(a) Calcule a probabilidade de que o vazamento esteja, no ma´ximo, a 1
metro da extremidade fixada;
(b) Calcule a probabilidade de que o vazamento esteja a uma distaˆncia entre
3 metros e 4 metros da extremidade fixada;
(c) Existe alguma coincideˆncia entre os resultados obtidos em (a) e (b)?
Justifique sua resposta.
Resp.: a) 16, 7 % b) 16, 7 %
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Exerc´ıcios
(2) Escolhe-se, aleatoriamente, um ponto no intervalo [0;10]. Qual a pro-
babilidade de que o ponto esteja entre 3/2 e 7/2? E entre 7/2 e 23/2?
Resp.: 20 % e 65 %
(3) Consideremos um relo´gio eletroˆnico, onde o ponteiro dos segundos tem
um movimento cont´ınuo. Definamos a varia´vel aleato´ria X = aˆngulo
formado pelo ponteiro dos segundos e pelo eixo que passa pelo nu´mero
12 e vai ate´ o centro.
(a) Identifique o conjunto dos poss´ıveis valores de X.
(b) Calcule a probabilidade de que, olhando para este relo´gio em um mo-
mento escolhido ao acaso, encontrar aˆngulo X entre 120 graus e 240
graus.
Resp.: a) RX = [0, 360
◦) b) 33, 3 %
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Exerc´ıcios
(4) O tempo necessa´rio para um medicamento contra dor fazer efeito foi
modelado de acordo com a densidade Uniforme no intervalo de 5 a
15 minutos, tendo por base experimentos conduzidos em animais. Um
paciente, que esteja sofrendo dor, recebe o reme´dio e, supondo va´lido
o modelo mencionado acima, pergunta-se a probabilidade da dor:
(a) Cessar em ate´ 10 minutos?
(b) Demorarpelo menos 12 minutos?
(c) Durar mais de 7 minutos, sabendo-se que durou menos de 10?
Resp.: a) 50 % b) 30 % c) 60 %
(5) Suponha que o valor esperado de uma varia´vel aleato´ria com distri-
buic¸a˜o Uniforme cont´ınua e´ igual a 1 e a variaˆncia e´ 1/12. Encontre a
probabilidade da varia´vel assumir valores menores que 3/4. Resp.: 25 %
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Exerc´ıcios
(6) Seja V a velocidade do vento (em milhas por hora) e suponha-se que
V seja uniformemente distribu´ıda sobre o intervalo [0, 10]. A pressa˜o,
digamos W (em libras/pe´ quadrado), na superf´ıcie da asa de um avia˜o
e´ dada pela relac¸a˜o: W = 0, 003V 2. Encontre o valor esperado de W .
Resp.: 0, 1
(7) O tempo de vida (em horas) de um transistor e´ uma varia´vel aleato´ria
T com f.d.p.
f (t) =
{
1
500e
− 1
500
t, t > 0
0, c.c.
Encontre:
(a) A vida me´dia do transistor;
(b) A probabilidade de que seu tempo de vida seja maior do que a me´dia.
Resp.: a) 500 horas b) 36, 79 %
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Exerc´ıcios
(8) Estima-se que o tempo de falha de um tubo de televisa˜o seja distribu´ıdo
exponencialmente, com uma me´dia de treˆs anos. Uma companhia ofere-
ce seguro para esses tubos no primeiro ano de uso. Qual a porcentagem
de apo´lices que tera˜o que pagar? Resp.: 28, 35 %
(9) Suponha que, em determinado per´ıodo do dia, o tempo me´dio de aten-
dimento em um caixa de banco seja de 5 minutos. Admitindo que o
tempo para atendimento tenha distribuic¸a˜o exponencial, determinar a
probabilidade de um cliente:
(a) Esperar mais de 5 minutos para ser atendido;
(b) Esperar ate´ 5 minutos para ser atendido;
(c) Esperar entre 3 e 8 minutos para ser atendido.
Resp.: a) 36, 79 % b) 63, 21 % c) 34, 69 %
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Exerc´ıcios
(10) O tempo de atendimento em uma oficina e´ aproximadamente exponen-
cial com paraˆmetro α = 1/4. Qual a probabilidade de:
(a) Esperar no m´ınimo 4 minutos?
(b) Espera inferior a 5 minutos?
(c) Espera de exatamente 4 minutos?
Resp.: a) 36, 79 % b) 71, 35 % c) Zero
(11) Para uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o Exponencial de paraˆmetro
igual a 1, determine a probabilidade de sorteamos um valor que se
distancie no ma´ximo 0,5 da me´dia. Resp.: 38, 34 %
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Exerc´ıcios
(12) O tempo, em minutos, de utilizac¸a˜o de um caixa eletroˆnico por clientes
de um certo banco, foi modelado por uma varia´vel aleato´ria T com
distribuic¸a˜o Exponencial cuja me´dia e´ igual a 1/3. Determine:
(a) P (T < 1).
(b) P (T > 1|T ≤ 2).
(c) Um nu´mero a tal que P (T ≤ a) = 0, 4.
Resp.: a) 95, 02 % b) 4, 74 % c) 0, 1703
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