Lei de Hooke e Sistema Massa-Mola

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
 INSTITUTO DE FÍSICA 
RELATÓRIO DE PRÁTICA EXPERIMENTAL 
FIS01260 - Física Experimental II 
 
 
LEI DE HOOKE E O SISTEMA MASSA-MOLA 
 
 
Nome: Vítor de Oliveira Sudbrack 
Cartão: 00244462 
 
Porto Alegre, 26 de Março de 2015. 
 
Resumo: Neste experimento demonstra-se a validade de um 
sistema massa-mola na vertical, comparando o período de oscilação 
obtido experimentalmente com o valor calculado através das leis que 
regem o movimento harmônico simples. A técnica aplicada para a 
medida dos períodos experimentais consistiu-se em gravações em 
vídeo que foram analisadas digitalmente. O resultado final obtido 
mostrou que para grandes massas, a diferença percentual entre os 
valores é inferior a 2%. 
 
Introdução 
 O experimento descrito neste relatório refere-se a um sistema massa-mola na 
vertical, onde se objetivou conseguir valores experimentais dos períodos de oscilação e 
compará-los com valores teóricos, verificando a diferença percentual entre eles. Para 
obter os valores teóricos, parte-se da Lei de Hooke, a qual descreve que, numa mola, a 
força de extensão ou compressão é linearmente proporcional à variação de comprimento 
sofrida pela mola, desde que a força não exceda o seu limite de deformação elástica. Esta 
relação é expressa algebricamente por , onde o coeficiente k é denominado 
“constante elástica da mola”, determinado experimentalmente e depende, entre outros 
fatores, do material de fabricação, espessura do fio e tamanho do aro. O sinal de menos 
representa que os vetores força e deslocamento têm sentido oposto. 
 Para demonstrar a validade do sistema massa-mola na vertical (onde existem 
forças não nulas na direção do movimento), utiliza-se o fato de que , sendo 
a altura na qual a mola está em equilíbrio com estas forças (como o peso), e então este 
“zera” a força resultante. Portanto, ao subtrair-se de está se considerando apenas o 
deslocamento devido à massa fixada no final da mola. 
 Considerando agora a 2ª Lei de Newton e arbitrariamente tem-se a 
seguinte equação diferencial: 
 , e 
 
 
¹ Na medição das incertezas utilizou-se a seguinte convenção: para aparelhos digitais, a incerteza é igual a 
menor unidade disponível para leitura; para aparelhos analógicos, a incerteza é igual a metade da menor 
unidade disponível para leitura. 
 Equação esta cuja solução descreve a função posição, , do movimento 
harmônico simples. Dividindo esta equação diferencial por e definindo “frequência 
angular”, , tal como segue, obtém-se: 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 Finalmente, da cinemática de rotação, sabe-se que, , portanto o período 
de uma revolução ( será dado por: 
 
Materiais Utilizados¹ 
Câmera filmadora (de celular) de 23 fps; 
Massas de metal (incerteza: ; 
Mola de aço, de aro e espessura de aprox. 7 e 0,5 mm, respectivamente; 
Régua de 30 cm (incerteza: ); 
Suportes de metal. 
 
Procedimentos 
 Para calcular o valor teórico do período, fez-se necessário mensurar a constante 
elástica da mola utilizada. Para isso, se utilizou massas de metal pré-estabelecidas, com 
valores de 10, 20, 30, 40, 50, 70 e 90 g. Com a mola presa superiormente por um suporte 
e inferiormente às massas, mediu-se o descolamento da posição final da mola através de 
uma régua fixada junto ao suporte e descontou-se deste a posição inicial da mola (sem 
massa alguma). A leitura deve ser realizada num plano ortogonal à régua, para minimizar 
erros de paralaxe. 
 Para o cálculo dos períodos, filmou-se a oscilação da massa-mola, para uma 
determinada força aplicada (que gerou um deslocamento inicial), da qual independe o 
período. Repetiu-se a filmagem para três valores de massa: 50, 70 e 90 g. Através do 
software Media Player Classic, passou-se frame por frame, observando os instantes em 
que o sistema troca o módulo da velocidade no ponto mais alto da trajetória. É possível se 
observar no primeiro frame da Figura 1 o momento de lançamento da massa, além da 
nitidez da imagem do sistema massa-mola nos três frames centrais, constatando-se que a 
velocidade é nula naqueles instantes, e logo que a posição é máxima ou mínima, ao 
contrário do quinto frame, onde a velocidade não é nula. O período foi obtido através da 
equação T1 = t2 - t1, que aplicada repetidas vezes geral a expressão Tk = tk+1 – tk, para k de 
1 à n-1, onde n é o número de oscilações no vídeo. Os valores de t foram obtidos do 
programa com uma precisão de um milésimo de segundo, mas como cada frame dura 
1/23 s (≈0,043 s), a precisão do recurso digital torna-se meio décimo de segundo. 
 
 
 
 
 
 
¹ Na medição das incertezas utilizou-se a seguinte convenção: para aparelhos digitais, a incerteza é igual a 
menor unidade disponível para leitura; para aparelhos analógicos, a incerteza é igual a metade da menor 
unidade disponível para leitura. 
Figura 1. Alguns frames analisados para uma massa de 70 g. 
 
 
 
Dados Experimentais 
 
Tabela 1. Dados para o 
cálculo de k 
 Tabela 2. Dados para a obtenção experimental do 
período para três diferentes massas 
Peso (N) ² 
Deslocamento 
(m) 
 
Período de uma oscilação T (ms) 
0,098 0,011 m = 50 g m = 70 g ³ m = 90 g 
0,196 0,022 545 629 586 669 
0,294 0,032 500 587 544 670 
0,392 0,045 505 545 586 586 
0,490 0,055 541 544 544 627 
0,686 0,076 504 665 586 626 
0,882 0,097 544 554 628 
² g=979,50,3cm/s² (LANG,1995) 554 595 670 
 502 552 628 
 544 592 629 
 543 553 628 
 
 ³ Os traços pontilhados representam o período de oscilações 
sequenciais. Cada bloco contornado por linha contínua 
representa um take de filmagem. 
 
Resultados e discussão 
 Para o cálculo da constante elástica da mola utilizada, através do software 
Microsoft Office Excel, traçou-se uma linha de regressão linear através do método de 
mínimos quadrados com os prontos da Tabela 1, além do ponto trivial (0,0), conforme se 
encontra em anexo (versão manuscrita). Obteve-se a reta com coeficiente 
de correlação linear superior a 0,99. Pode-se obter a constante elástica através da 
definição de derivada, tal que: 
 
 
 . O desvio padrão dos valores da 
constante elástica individuais para cada massa é 0,2 N/m. Portanto, a estimativa para a 
constante elástica da mola utilizada é . 
 As médias e desvios padrão dos períodos de oscilação para cada valor de massa, 
expressos na Tabela 2, assim como o valor teórico esperado, encontram-se na tabela 
abaixo. 
¹ Na medição das incertezas utilizou-se a seguinte convenção: para aparelhos digitais, a incerteza é igual a 
menor unidade disponível para leitura; para aparelhos analógicos, a incerteza é igual a metade da menor 
unidade disponível para leitura. 
 
Tabela 3. Valores médios do período de oscilação e seus desvios padrão comparados 
com os valores teóricos esperados 
Massa (g) 
Valor experimental 
encontrado (s) 
Valor teórico 
esperado (s) 
Diferença 
percentual (%) 
50 0,530,02 0,47 11,3 
70 0,580,04 0,55 5,2 
90 0,640,03 0,63 1,6 
 
 Majoritariamente, a diferença percentual pode ser relacionada com forças não 
controladas que participaram do sistema massa-mola, como a resistência do ar, que faz 
com que o período de oscilação diminua lentamente. 
 O uso de filmagem como recurso para obtenção dos valores dos períodos é válido, 
visto que captura os instantes em que a velocidade é nula (sendo caracterizado com uma 
imagem nítida) e reduz o erro devido ao tempo de reação do controlador do cronômetro.Outra opção, igualmente sofisticada, seria o uso de controladores automáticos, como 
receptores fotossensíveis. 
 
Conclusão 
 Concluiu-se com este experimento que, através de recursos digitais, puderam-se 
obter períodos de oscilação experimentais bem próximos do valor teórico esperado. 
Sendo que com o aumento da massa diminuiu-se a diferença percentual, algo que era 
previsível, visto que o aumento da massa provoca um aumento no período, fazendo-o 
mais fácil de obter experimentalmente. 
 Verificou-se então que para pequenas forças a relação entre a compressão ou 
tração de uma mola é linearmente proporcional à força exercida sobre ela, sendo esta a 
Lei de Hooke. 
 
Referências bibliográficas 
 
Lang, Fernando. Determinando a aceleração gravitacional. 1995. Disponível em: < 
http://www.if.ufrgs.br/~lang/Textos/GRAVIDADE.pdf>. Acesso em 14/03/15. 
Halliday, David, et al. Fundamental das Física. Vol. 2. Cap. 14 – Oscilações. 4ª Edição. 
MSPC. Vibrações mecânicas I-10. Disponível em: < 
http://www.mspc.eng.br/mecn/mvbr110.shtml>. Acesso em 14/03/15.