AP1 MÉTODOS DETERMINISTICOS 2017.2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 de Me´todos Determin´ısticos II – 09/09/2017
Questa˜o 1 [1,5pts] Sendo f(x) = log4 x e g(x) = 32x, calcule g(f(2)).
Soluc¸a˜o: Fazendo a composta teremos
g(f(2)) = 32g(x) = 32×log4(2) = 3log4(22) = 31 = 3.
Questa˜o 2 [1,5pts] Resolva a desigualdade ln (x2 − 2x− 2) ≤ 0
Soluc¸a˜o: Para obtermos ln (x2 − 2x− 2) ≤ 0 basta exigirmos: que x2−2x−2 > 0 e x2−2x−2 ≤
1. Para a primeira condic¸a˜o vemos que as ra´ızes de x2− 2x− 2 = 0 sa˜o x = 1−√3 e x = 1+√3.
Logo, x > 1−√3 e x < 1 +√3. A outra condic¸a˜o e´
x2 − 2x− 2 ≤ 1⇔ x2 − 2x− 3 ≤ 0⇔ (x+ 1)(x− 3) ≤ 0.
Para isso acontecer temos que os fatores: x + 1, x − 3 sa˜o positivos e o outro negativos. Logo,
ou x ≥ −1 ou x ≤ 3. A desigualdade sera´ verdadeira se x satisfazer: −1 ≤ x < 1 − √3 ou
1 +
√
3 < x ≤ 3.
Questa˜o 3 [2,0pt] Dada f(x) = x
x2−x−2 encontre as ass´ıntotas desta func¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Inicialmente e´ preciso verificar quais os valores que na˜o esta˜o no dom´ınio da func¸a˜o, como
e´ uma func¸a˜o racional, enta˜o, basta encontrar os valores de x tais que x2−x−2 = 0 = (x+1)(x−2).
Portanto, para x = −1 e x = 2 sa˜o candidatos a terem assintotas verticais. Para finalizar vamos
calcular os limites
lim
x→−1−
x
x2 − x− 2 = −∞ e limx→−1+
x
x2 − x− 2 = +∞
lim
x→2−
x
x2 − x− 2 = −∞ e limx→2+
x
x2 − x− 2 = +∞
lim
x→−∞
x
x2 − x− 2 = 0 e limx→+∞
x
x2 − x− 2 = limx→+∞
x
x
(
1
x− 1− 2/x
)
= 0
Portanto, x = −1, x = 2 sa˜o assintotas verticais e y = 0 e´ ass´ıntota horizontal.
Questa˜o 4 [1,5pt] Calcule o lim
x→2
1
x
− 12
x− 2
Soluc¸a˜o:
lim
x→2
1
x
− 12
x− 2 = limx→2
2−x
2x
x− 2
= lim
x→2
2−x
2x
x−2
1
= lim
x→2
(
−x− 22x
)( 1
x− 2
)
= lim
x→2
−1
2x = −
1
4 .
Nome da Disciplina AP1 2
Questa˜o 5 [2,0pt] Calcule o lim
x→2
√
6− x− 2√
3− x− 1 .
Soluc¸a˜o:
lim
x→2
√
6− x− 2√
3− x− 1 = limx→2
(√
6− x− 2√
3− x− 1
)(√
6− x+ 2√
6− x+ 2
)(√
3− x+ 1√
3− x+ 1
)
= lim
x→2
(2− x)
(2− x)
(√
3− x+ 1√
6− x+ 2
)
= lim
x→2
√
3− x+ 1√
6− x+ 2 =
1 + 1
2 + 2 =
1
2 .
Questa˜o 6 [1,5pt] Calcule o lim
t→−3
t2 − 9
2t2 + 7t+ 3 .
Soluc¸a˜o:
lim
t→−3
t2 − 9
2t2 + 7t+ 3 = limt→−3
(t− 3)(t+ 3)
2(t+ 3)(t+ 12)
= lim
t→−3
(t− 3)
2(t+ 12)
= −62× −52
= 65 .
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