Notas de Aula de Física III (Prof Elvis Soares)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FÍSICA
Física III: Eletromagnetismo
Prof. Elvis do A. Soares
Notas de Aula usadas durante os cursos de Eletromagne-
tismo
Rio de Janeiro
2017
ii
Sumário
Conteúdo iii
1 Carga Elétrica e Campo Elétrico 1
1.1 Propriedades da Carga Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Corpos Eletrizados e Processos de Eletrizacão . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Eletrização por Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Eletrização por Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Eletrização por Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Campo Elétrico de uma Distribuição de Cargas . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Linhas de Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Movimento num Campo Elétrico Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Lei de Gauss 17
2.1 Fluxo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Aplicações da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Cargas em Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Potencial Eletrostático 31
3.1 Força Elétrica como Força Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Diferença de Potencial e Potencial Eletrostático . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Potencial de Cargas Puntiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Gradiente do Potencial e Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Potencial Devido a Distribuições Contínuas de Carga . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Potencial Devido a um Condutor Carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Capacitância e Dielétricos 43
4.1 Capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Cálculo de Capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Associação de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
iii
iv SUMÁRIO
4.3.1 Capacitores em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.2 Capacitores em Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Energia Armazenada num Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Materiais Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6 Capacitores com Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Corrente e Resistência Elétricas 55
5.1 Corrente Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.1 Modelo Microscópico para Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Lei de Ohm e Condutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.1 Modelo Microscópico para Condutividade . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Potência Elétrica e Efeito Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Associação de Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.1 Resistores em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.2 Resistores em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Leis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Campo Magnético e Força Magnética 69
6.1 Fatos Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 Força e Campo Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3 Força Magnética numa Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.4 Movimento de Cargas num Campo Magnético Uniforme . . . . . . . . . . . . 76
7 Fontes de Campo Magnético 79
7.1 Lei de Gauss no Magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3 Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.4 Corrente de Deslocamento e a Lei de Ampère-Maxwell . . . . . . . . . . . . 89
8 Indução Eletromagnética 93
8.1 Lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2 Indução de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.3 Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.4 Indutância Mútua e Auto-Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.5 Energia Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.6 Equações de Maxwell e Além! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Capítulo 1
Carga Elétrica e Campo Elétrico
A interação eletromagnética entre partículas carregadas eletricamente é uma das intera-
ções fundamentais da natureza. Nesse capítulo iremos estudar algumas propriedades básicas
da força eletromagnética, discutiremos a Lei de Coulomb, o conceito de campo elétrico,
e finalizaremos com o estudo do movimento de partículas carregadas num campo elétrico
uniforme.
1.1 Propriedades da Carga Elétrica
Quando atritamos uma caneta contra o nosso cabelo num dia seco, vemos que a caneta
passa a atrair pequenos pedaços de papel sobre a mesa. O mesmo ocorre quando certos
materiais são atritados entre si, como um bastão de vidro contra um pano de seda ou plástico
contra pele.
Isto se deve ao fato de que toda a matéria que conhecemos é formada por átomos, que
são formados por um núcleo, onde ficam os prótons e nêutrons e uma eletrosfera, onde os
elétrons permanecem, em órbita. Os prótons e nêutrons têm massa praticamente igual, mas
os elétrons têm massa cerca de 2 mil vezes menor.
Se pudéssemos separar os prótons, nêutrons e elétrons de um átomo, veríamos que os
prótons seriam atraídos pelos elétrons enquanto os nêutrons não seriam afetados. Esta
propriedade de cada uma das partículas é chamada carga elétrica. Os prótons são partículas
com carga positiva, os elétrons tem carga negativa e os nêutrons tem carga neutra.
1
2 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
A unidade de medida adotada internacionalmente para a medida de cargas elétricas é o
coulomb (C).
Um próton e um elétron têm valores absolutos de carga iguais embora tenham sinais
opostos. O valor da carga de um próton ou um elétron é chamado carga elétrica elementar
e simbolizado por e, sendo a menor unidade de carga elétrica conhecida na natureza, com
valor igual a
e = 1.602 19× 10−19 C (1.1)
Portanto, 1 C de carga é aproximadamente a carga de 6.24 × 1018 elétrons ou prótons.
Esse número é bem pequeno se comparado com número de elétrons livres em 1 cm3 de cobre,
que tem da ordem de 1023.
1.2 Corpos Eletrizados e Processos de Eletrizacão
Dizemos que um corpo está eletrizado negativamente quando tem maior número de elé-
trons do que de prótons, fazendo com que a carga elétrica desse corpo seja negativa; E que
um corpo está eletrizado positivamente quando tem maior número de prótons do que de
elétrons, fazendo com que a carga elétrica desse corpo seja positiva. Por isso, um corpo é
chamado eletricamente neutro se ele tiver número igual de prótons e de elétrons, fazendo
com que a carga elétrica sobre o corpo seja nula. A carga de um corpo eletrizado deve então
ser um múltiplo da carga elementar, de tal forma que Q = ±N.e, sendo N um número inteiro
qualquer.
O processo de retirar ou acrescentar elétrons a um corpo neutro para que este passe a
estar carregado eletricamente denomina-se eletrização. Alguns dos processos de eletrização
mais comuns são:
1.2.1 Eletrização porAtrito
Este processo foi o primeiro de que se tem conhecimento. Foi descoberto por volta do
século VI a.C. pelo matemático grego Tales de Mileto, que concluiu que o atrito entre certos
materiais era capaz de atrair pequenos pedaços de palha e penas.
Posteriormente o estudo de Tales foi expandido, sendo possível comprovar que dois corpos
neutros feitos de materiais distintos, quando são atritados entre si, um deles fica eletrizado
negativamente (ganha elétrons) e outro positivamente (perde elétrons). Quando há eletriza-
ção por atrito, os dois corpos ficam com cargas de módulo igual, porém com sinais opostos.
Por exemplo, ao se atritar uma barra de vidro num pano de lã, elétrons passam do vidro
para a lã. Em consequência, a barra de vidro adquire carga elétrica positiva (perde elétrons)
e o pano de lã adquire carga elétrica negativa (recebe elétrons). Se, em vez da barra de
vidro, atritarmos com a lã uma barra de resina, haverá a transferência de elétrons da lã para
1.2. CORPOS ELETRIZADOS E PROCESSOS DE ELETRIZACÃO 3
a resina. Então, a barra de resina adquire carga elétrica negativa (recebe elétrons) e o pano
de lã adquire carga elétrica positiva (perde elétrons).
1.2.2 Eletrização por Contato
Se dois corpos condutores, sendo pelo menos um deles eletrizado, são postos em contato,
a carga elétrica tende a se estabilizar, sendo redistribuída entre os dois, fazendo com que
ambos tenham a carga com mesmo sinal.
1.2.3 Eletrização por Indução
Este processo de eletrização é totalmente baseado no princípio da atração e repulsão, já
que a eletrização ocorre apenas com a aproximação de um corpo eletrizado (indutor) a um
corpo neutro (induzido).
O processo é dividido em três etapas:
1. Primeiramente um bastão eletrizado é aproximado de um condutor inicialmente neu-
tro, pelo princípio de atração e repulsão, os elétrons livres do induzido são atraí-
dos/repelidos dependendo do sinal da carga do indutor.
2. O próximo passo é ligar o induzido à Terra por um fio condutor, ainda na presença do
indutor.
3. Desliga-se o induzido da Terra, fazendo com que sua carga seja de sinal oposto àquela
do indutor.
Por fim, retira-se o indutor das proximidades do induzido que fica eletrizado com sinal
oposto à carga do indutor, e com a carga distribuída por todo o corpo.
4 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
Terra
1.3 Lei de Coulomb
A partir de alguns experimentos, Coulomb pode generalizar as seguintes propriedades da
força elétrica entre duas cargas puntiformes em repouso. A força elétrica
• é inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre as cargas e dirigida ao
longo da linha que liga uma a outra.
• é proporcional ao produto das cargas das duas partículas;
• é atrativa se as cargas são de sinais opostos e repulsiva se as cargas tem o mesmo sinal.
A lei expressa na forma vetorial para a força elétrica exercida por uma carga q1 numa
outra carga q2, dita ~F 2(1), é
~F 2(1) = k
q1q2
r2
rˆ = −~F 1(2) (1.2)
onde k é a constante chamada constante de Coulomb e rˆ é o vetor unitário dirigido da
carga q1 para a carga q2, conforme figura.
–+
r
F1(2)
F2(1)
q1
q2
F1(2)
F2(1)
q1
q2
rˆ
+
+
A constante de Coulomb é também escrita como k = 1/4pi�0, e seu valor no SI é
k = 8.987 5× 109 N.m2/C2 ≈ 9.0× 109 N.m2/C2 (1.3)
Como a força elétrica obedece à Terceira Lei de Newton, a força elétrica exercida pela
carga q2 em q1 é igual em intensidade a força exercida por q1 em q2, na mesma direção mas
em sentido oposto, de modo que ~F 1(2) = −~F 2(1)
Quando mais que duas cargas estão presentes, a força entre qualquer par delas é dada
pela Lei de Coulomb. Portanto, a resultante das forças sobre qualquer uma delas é igual a
1.3. LEI DE COULOMB 5
soma vetorial das forças exercidas pelas outras cargas.
~F i =
∑
i 6=j
~F i(j) =
∑
i 6=j
k
qiqj
r2j
rˆj (1.4)
Exemplo 1.1. Átomo de Hidrogênio
Um átomo de hidrogênio é composto por um elétron, de massa me = 9.11× 10−31 kg,
e um próton, de massa mp = 1.67× 10−27 kg, separados por uma distância de aproxima-
damente d = 5.3× 10−11 m.
A intensidade da força elétrica é dada pela Lei de Coulomb
Fe = k
e2
d2
= (9.0× 109)(1.60× 10
−19)2
(5.3× 10−11)2 = 8.2× 10
−8 N
Já a intensidade da força gravitacional é dada pela Lei da Gravitação Universal de
Newton
Fg = G
memp
d2
= (6.67× 10−11)(9.11× 10
−31)(1.67× 10−27)
(5.3× 10−11)2 = 3.6× 10
−47 N
A razão Fe/Fg ≈ 2× 1039. Então, a força gravitacional entre essas partículas subatô-
micas é desprezível se comparada com a força elétrica.
Exemplo 1.2. Força Resultante
Consideremos três cargas −q, q e√2q dispostas nos vértices de um triângulo retângulo,
como mostra a figura.
F3(1)
q
q
-q
a
a
y
x
–
+
+
F3(2)
2a√
√2
A força ~F 3(1) exercida pela carga
√
2q sobre
a carga q é
~F 3(1) = k
√
2q2
(
√
2a)2
rˆ1,
onde rˆ1 é o vetor posição relativa que sai da
carga
√
2q e aponta na direção de q, sendo
escrito facilmente como rˆ1 = cos 45oxˆ +
sen 45oyˆ, de modo que
~F 3(1) =
1
2
k
q2
a2
(xˆ+ yˆ),
6 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
A força ~F 3(2) exercida pela carga −q sobre a carga q é
~F 3(2) = −k q
2
a2
rˆ2,
onde rˆ2 é o vetor posição relativa que sai da carga −q e aponta na direção de q, sendo
escrito na forma rˆ2 = xˆ, de modo que
~F 3(2) = −k q
2
a2
xˆ
A força resultante ~F 3 sobre a carga q é então calculada como a soma das forças ~F 3(1)
e ~F 3(2) sendo
~F 3 = ~F 3(1) + ~F 3(2) =
1
2
k
q2
a2
(−xˆ+ yˆ)
1.4 Campo Elétrico
O conceito de campo foi desenvolvido por Michael Faraday no contexto de forças elétri-
cas. Nesse contexto, um campo elétrico existe na região do espaço ao redor de um objeto
carregado, a carga fonte. Quando outro objeto carregado, a carga teste, entra nesse campo
elétrico, uma força elétrica age sobre ele.
Sendo assim, o campo elétrico produzido pela carga fonte é definido como a força elétrica
por unidade de carga situado num dado ponto do espaço
~E =
~F e
q2
= k
q1
r2
rˆ (1.5)
O vetor ~E tem no SI unidade de N/C. A direção de ~E, como mostra a figura, é a direção
da força que uma carga teste positiva sentiria quando colocada nesse campo. Dizemos que
um campo elétrico existe num ponto se uma carga teste nesse ponto experimenta uma força
elétrica, dada por
~F e = q ~E (1.6)
E
q r
P
rˆ
+ –
E
q
rˆ
r
P
O campo elétrico num ponto P devido a um conjunto de cargas puntiformes pode ser
1.4. CAMPO ELÉTRICO 7
obtido, através do princípio da superposição, como a soma vetorial dos campos elétricos
devido, individualmente, a cada carga do conjunto no mesmo ponto P .
~E =
∑
i
~Ei =
∑
i
k
qi
r2i
rˆi (1.7)
Exemplo 1.3. Campo Elétrico de um Dipolo
Um dipolo elétrico é definido como uma carga positiva q e uma negativa −q separadas
por uma distância 2a. Vamos obter o campo elétrico ~E devido ao dipolo num ponto P
situado a uma distância y do centro do dipolo.
P E
θ
θ
y
E1
E2
y
r
θ
a
q
θ
a
–q
– x+
No ponto P , os campos ~E1 e ~E2 devido às
duas cargas são iguais em intensidades, pois
o ponto P é equidistante das cargas, sendo
assim
E1 = E2 = k
q
(y2 + a2)
.
As componentes y de ~E1 e ~E2 se cancelam,
e as componentes x são ambas positivas e de
mesma intensidade, de modo que
E = 2E1 cos θ = 2k
q
(y2 + a2)
a
(y2 + a2)1/2
Portanto, ~E é um vetor paralelo ao eixo x
escrito na forma
~E = k
2qa
(y2 + a2)3/2
xˆ
No limite em que o ponto P está muito distante do dipolo, dito y � a, podemos
desprezar a2 comparado com y2 no denominador e escrever
~E ≈ k2qa
y3
xˆ
Obs: Em alguns livros é comum aparecer o vetor momento de dipolo elétrico definido
como ~d = −2qaxˆ, que é um vetor de intensidade igual a carga positivaq vezes a distância
entre as cargas 2a e aponta na direção da carga negativa para a positiva, de modo que
8 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
~E ≈ −k
~d
y3
Então, muito distante do dipolo elétrico, o campo elétrico varia com ∼ 1/r3 que cai
mais rapidamente que o campo de uma carga que varia com ∼ 1/r2. Isso se deve ao
fato que os campos das cargas positiva e negativa vão se anulando ao longo da distância,
diminuindo a intensidade do campo elétrico total.
Exercício 1.1. Mostre que para um ponto P ′ situado ao longo do eixo x, porém muito
distante do dipolo (de tal forma que x� a) tem-se
~E ≈ k
~d
x3
1.5 Campo Elétrico de uma Distribuição de Cargas
Todo corpo é composto de cargas elétricas (vindas da natureza atómica da matéria), cujas
distâncias relativas são muito curtas se comparadas com os tamanhos típicos dos objetos.
Sendo assim, para calcular o campo elétrico criado por uma distribuição de cargas, usa-
remos o seguinte procedimento: primeiro, dividimos a distribuição de cargas em pequenos
elementos de carga, cada um de carga infinitesimal dq (infinitesimal, porém maior que a
carga elementar). Depois, usamos o campo elétrico devido a uma carga puntiforme para
calcular o campo elétrico devido a esse elemento dq no ponto P . E por último, somamos
as contribuições de todos elementos de cargas e obtemos o campo elétrico total no ponto P
devido à distribuição de cargas (de acordo com o princípio de superposição dos campos).
O campo elétrico no ponto P devido a um elemento
de carga dq é
d~E = k
dq
r2
rˆ
onde r é a distância do elemento de carga até o
ponto P e rˆ o vetor unitário que sai da carga e
aponta na direção de P .
O campo elétrico total em P devido a todos os elementos na distribuição de carga é
~E =
∫
V
d~E =
∫
V
k
dq
r2
rˆ (1.8)
1.5. CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 9
e a integral aparece porque o corpo é modelado como uma distribuição contínua de carga.
De fato, podemos associar sempre a uma distribuição de cargas o conceito de densidade
de carga.
• No caso de uma carga distribuída ao longo de um volume tem-se dq = ρdV , onde ρ é
a densidade volumétrica de cargas.
• No caso de uma carga distribuída ao longo de uma área tem-se dq = σdA, onde σ é a
densidade superficial de cargas.
• No caso de uma carga distribuída ao longo de uma linha tem-se dq = λdl, onde λ é a
densidade linear de cargas.
Exemplo 1.4. Fio Carregado Uniformemente
Vamos estudar o caso de um fio de comprimento L e cargaQ distribuída uniformemente
ao longo dele, como mostra a figura.
O campo elétrico no ponto P devido a um
elemento de carga dq do fio é, por definição,
dado por
d~E = k
dq
r2
rˆ,
onde ~r é o vetor posição relativa que sai do
elemento de carga e aponta na direção de P
dado por
~r = −xxˆ+ ayˆ,
onde seu módulo e o correspondente vetor
unitário são
r =
√
x2 + a2 e rˆ =
~r
r
=
(−xxˆ+ ayˆ)
(x2 + a2)1/2
.
Além disso, o elemento de carga dq pode ser escrito em termos do elemento de linha
do fio dl = dx, nesse sistema de coordenadas. Com isso temos
dq = λ dx =
Q
L
dx (1.9)
O campo elétrico total produzido pelo fio no ponto P é então calculado como uma
integral do campo produzido por cada elemento de carga que compõe o fio, indo de
10 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
x = −L/2 até x = L/2, e assim tem-se
~E(P ) =
∫
fio
d~E =
∫ L/2
−L/2
kλ dx
(x2 + a2)3/2
(−xxˆ+ ayˆ).
e calculando-se as integrais (Exercício 1.2), tem-se
~E(P ) =
kQ
a (L2/4 + a2)1/2
yˆ.
Exercício 1.2. Mostre que as integrais necessárias resultam em∫ L/2
−L/2
xdx
(x2 + a2)3/2
= 0,
∫ L/2
−L/2
dx
(x2 + a2)3/2
=
L
[(L/2)2 + a2]1/2
.
Exercício 1.3. Mostre que no caso em que o fio é muito pequeno, ou o ponto P está
muito distante do fio tem-se
lim
a�L
~E(P ) =
kQ
a2
yˆ
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P .
Essa contribuição é muito relevante para corpos que possuem carga total Q 6= 0, ou
seja corpos carregados, e é conhecida como contribuição de monopólo elétrico. Se a carga
total do corpo for nula, a próxima contribuição deveria ser a de um dipólo elétrico.
Exercício 1.4. Mostre que no caso em que o fio é muito grande, ou o ponto P está muito
próximo do fio tem-se
lim
L�a
~E(P ) =
2kλ
a
yˆ
que cai lentamente com a distância a do ponto P .
Exemplo 1.5. Aro Carregado Uniformemente
Consideremos um aro de raio R carregado uniformemente com uma carga positiva Q.
Vamos determinar o campo elétrico num ponto P situado a uma distância a do centro do
aro e ao longo do eixo perpendicular ao plano do mesmo, conforme a figura.
1.5. CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 11
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
θ P dEx
dEdE⊥
a
r
dq
R
O campo elétrico no ponto P devido a um
elemento de carga dq do aro é dado por
d~E = k
dq
r2
rˆ,
onde ~r é o vetor posição relativa que sai de
um elemento de carga e aponta na direção de
P .
Esse campo tem uma componente dEx =
dE cos θ ao longo do eixo x e uma compo-
nente dE⊥ perpendicular ao eixo x.
Sabemos que o campo resultante no ponto P deve estar ao longo do eixo x pois a
componente perpendicular de todos os elementos de carga somados se anula. Isto é, a
componente perpendicular do campo criado por qualquer elemento de carga é cancelada
pela componente perpendicular criada por um elemento de carga no lado oposto do anel
(diga-se diametralmente oposto).
Como r = (a2 +R2)1/2 e cos θ = a/r para qualquer elemento de carga, temos que
dEx = dE cos θ =
(
k
dq
r2
)
a
r
= k
a
(a2 +R2)3/2
dq
Todos os elementos do aro fazem a mesma contribuição para o campo elétrico no ponto
P porque todos são equidistantes desse ponto. Então, integrando esse resultado obtemos
Ex =
∫
dEx =
∫
k
a
(a2 +R2)3/2
dq = k
a
(a2 +R2)3/2
∫
dq
Sendo Q a carga total do aro, o campo elétrico total produzido por este aro no ponto
P é então escrito na forma vetorial como
~E(P ) = k
Qa
(a2 +R2)3/2
xˆ
Exercício 1.5. Mostre que se o aro é muito pequeno, ou o ponto P está muito distante
desse aro tem-se
lim
a�R
~E(P ) = k
Q
a2
xˆ
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P .
Exercício 1.6. Mostre que se o aro é muito grande, ou o ponto P está muito próximo
12 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
dele tem-se
lim
R�a
~E(P ) = k
Qa
R3
xˆ
que passa a ser um campo linear com a distância a do ponto P .
Exemplo 1.6. Disco Carregado Uniformemente
Consideremos um disco de raio R carregado uniformemente com uma densidade su-
perficial de carga σ. Vamos determinar o campo elétrico num ponto P situado a uma
distância a do centro desse disco e ao longo do eixo perpendicular ao plano do mesmo,
conforme a figura.
P
a
r
R
dq
dr
Se considerarmos o disco como um conjunto
de aros concêntricos, podemos usar o resul-
tado do exemplo anterior (o campo de um
aro carregado uniformemente) e somamos as
contribuições de todos aros formando o disco.
O aro de raio r e espessura dr, conforme a figura, tem área igual a 2pir dr. A carga
dq desse aro é igual a dq = 2piσr dr. Usando o resultado do aro carregado, temos que o
campo elétrico no ponto P devido a um elemento de carga dq desse aro é dado por
dEx = k
a
(a2 + r2)3/2
(2piσr dr).
Então, integrando esse resultado sobre os limites r = 0 até r = R, notando que a é
constante, obtemos
Ex = kapiσ
∫ R
0
2r dr
(a2 + r2)3/2
= kapiσ
∫ R
0
(a2 + r2)−3/2d(r2),
de modo que
Ex = kapiσ
[
(a2 + r2)−1/2
−1/2
]R
0
= 2pikσ
(
1− a
(a2 +R2)1/2
)
.
Sendo assim o campo elétrico total produzido por este disco no ponto P é então escrito
na forma vetorial como
~E(P ) = 2pikσ
(
1− a(a2 +R2)1/2
)
xˆ
1.6. LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO 13
Exercício 1.7. Mostre que se o disco é muito pequeno, ou o ponto P está muito distante
tem-se
lim
a�R
~E(P ) = k
Q
a2
xˆ,
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P .
Exercício 1.8. Mostre que se o disco é muito grande, ou o ponto P está muito próximo
dele tem-se
lim
R�a
~E(P ) = 2pikσxˆ =
σ
2�0
xˆ,
que é um campo constante nas proximidades do disco, sendo �0 a permissividade elétrica
do vácuo.
Desta forma, um plano infinito tem módulo do campo elétrico igual a E = σ/2�0 nas
suas proximidades.
1.6 Linhas de Campo Elétrico
Vamos agora explorar uma maneira de representar o campo elétrico pictoricamente. Uma
maneira conveniente de visualizar padrões de campo elétrico é desenhar linhas curvas para-
lelas ao vetor campo elétrico em qualquer ponto do espaço.
O vetor campo elétrico ~E é tangente a linha de campo elétrico em cada ponto. A linha
tem uma direção, indicada por uma seta, que é a mesma do vetor campo elétrico.
O número de linhas por unidade de área que atravessa uma superfície perpendicular as
linhas é proporcional a intensidade do campo elétrico nesse região. Então, as linhas de campo
estão mais próximas onde o campo elétrico é forte e mais distantes onde o campo é fraco.
q –q
+ –
As regras para desenhar as linhas de campo elétrico são as seguintes:
• As linhas de campo começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas.
• O número de linhas desenhadas é proporcional a intensidade da carga.
14 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
• Duas linhas de campo nunca se cruzam.
Para um dipolo elétrico, as linhas de campo elétrico surgem na carga positiva e evanescem
na carga negativa.
+ – + +
1.7 Movimento num Campo Elétrico Uniforme
Quando uma carga q e massa m está localizada num campo elétrico ~E, a força elétrica
exercida nessa carga é
~F = q ~E = m~a (1.10)
Se o campo elétrico ~E é uniforme (isso é, constante na intensidade e direção), então a
aceleração permanece constante durante todo movimento.
Exemplo 1.7. Elétron num Campo Elétrico Uniforme
Consideremos duas placas metálicas carregadas com cargas opostas e dispostas parale-
lamente onde um elétron de carga −e é lançado horizontalmente com velocidade ~v0 = v0xˆ
dentro da região de campo elétrico uniforme que se estabelece entre as placas, conforme
a figura.
( 0 , 0 )
E
–
(x ,y)
–
v
x
y– – – – – – – – – – – –
+ + + + + + + + + + + +
v0xˆ
Sabe-se que o campo elétrico ~E = Eyˆ é uniforme, de modo que o movimento do
elétron é uniformemente acelerado. Sua aceleração sendo portanto
~a = −eE
m
yˆ
1.7. MOVIMENTO NUM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME 15
e com isso, sua velocidade e sua posição como função do tempo serão
~v = v0xˆ− eE
m
tyˆ e ~r = ~r0 + v0txˆ− 1
2
eE
m
t2yˆ
16 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
Capítulo 2
Lei de Gauss
Nesse capítulo, descreveremos a Lei de Gauss e um procedimento alternativo para cálculo
de campos elétricos a partir dessa lei.
2.1 Fluxo Elétrico
O fluxo do campo elétrico é proporcional ao número de linhas de campo que passam por
uma dada superfície.
Consideremos uma superfície qualquer divida em um número muito grande de elementos
de área que são suficientemente pequenos, de área dA, onde o campo elétrico é uniforme uma
vez que o elemento de superfície é suficientemente pequeno. Desta forma, o fluxo elétrico
dΦE através desse elemento de área é
dΦE = EdA
Se a superfície em consideração não é perpendicular ao campo, o fluxo através dela pode
mudar. É fácil entender pela figura a seguir, onde a normal à superfície dA2 faz um ângulo
θ com o campo elétrico, enquanto a normal à superfície dA1 é paralela a ele.
17
18 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
Porém, o número de linhas de campo que atravessam a superfície dA1 é o mesmo que
atravessam a superfície dA2, uma vez que dA1 = dA2 cos θ é a projeção da superfície dA2,
nesse caso. Então, o fluxo elétrico sobre as duas superfícies é igual nesse caso a
dΦE = ~E · nˆ1dA1 = ~E · nˆ2dA2 ≡ ~E · d ~A
Se quisermos calcular o fluxo elétrico sobre uma superfície, devemos calcular a soma do
fluxo de cada elemento de superfície infinitesimal, conforme a figura. Sendo assim, o fluxo
elétrico se reduz a integral
ΦE =
∫
~E · d ~A (2.1)
que é uma integral feita sobre a superfície desejada, ou seja, ela depende do campo elétrico
e da forma da superfície em questão.
Exemplo 2.1. Fluxo através do Cubo
Consideremos um campo elétrico uniforme ~E orientado ao longo da direção x positivo.
Vamos calcular o fluxo elétrico total através da superfície de um cubo de arestas l, como
mostra a figura.
2.1. FLUXO ELÉTRICO 19
O fluxo total é a soma dos fluxos através
de todas superfícies do cubo. Primeira-
mente, notamos que o fluxo através das
faces 3©, 4© e daquelas não numeradas é
zero pois ~E é perpendicular a d ~A nessas
faces.
O fluxo através das faces 1© e 2© é
ΦE =
∫
1
~E · d ~A+
∫
2
~E · d ~A
Na face 1©, ~E é constante e tem a direção oposta ao vetor d ~A1, de modo que o fluxo
sobre essa face é ∫
1
~E · d ~A =
∫
1
(Exˆ) · (−xˆdA1) = −E
∫
1
dA1 = −El2
Na face 2©, ~E é constante e tem a mesma direção do vetor d ~A2, de modo que o fluxo
sobre essa face é ∫
2
~E · d ~A =
∫
2
(Exˆ) · (xˆdA2) = E
∫
2
dA2 = El
2
Portanto, o fluxo total sobre a superfície do cubo é
ΦE = −El2 + El2 + 0 + 0 + 0 + 0
ΦE = 0
Exemplo 2.2. Fluxo através da Esfera devido a uma Carga
Consideremos uma carga puntiforme positiva q localizada no centro de uma esfera de
raio R, como mostra a figura.
20 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
+
O fluxo total através da superfície da es-
fera deve ser calculado como
ΦE =
∮
~E · d ~A
onde o elemento de área da esfera é
d ~A = rˆdA, de modo que o fluxo atra-
vés da esfera é
ΦE =
∮ (
k
q
R2
rˆ
)
· (rˆdA) = k q
R2
(4piR2)
Lembrando que k = 1/4pi�0, podemos escrever o fluxo através da esfera como
ΦE =
q
�0
Notamos que o fluxo total através da superfície da esfera é proporcional a carga interna.
O fluxo é independente do raio R porque a área da superfície da esfera é proporcional
a R2 e, o campo elétrico é proporcional a 1/R2. Então, o produto da área pelo campo
elétrico independe do raio R.
2.2 Lei de Gauss
Vamos considerar algumas superfícies fechadas em volta de uma carga q, conforme a
figura. A superfície A1 é esférica, mas as superfícies A2 e A3 não são.
Pelo exemplo anterior, o fluxo que passa através da superfície A1 é q/�0. Como discutido
anteriormente, o fluxo é proporcional ao número de linhas de campo elétrico que passam
através da superfície. E da figura vemos que o número de linhas que passam através de A1
2.2. LEI DE GAUSS 21
é igual ao número de linhas que passam pelas superfícies não-esféricas A2 e A3. Portanto,
concluímos que o fluxo total através de qualquer superfície fechada envolta de uma carga q é
dado por q/�0 e é independente da forma dessa superfície.
Agora, vamos considerar uma carga localizada fora de uma superfície de forma arbitrária,
conforme a figura.
Como podemos ver, qualquer linha de campo que entra na superfície sai da mesma por
outro ponto. O número de linhas de campo entrando na superfície é igual ao número deixando
a superfície. Portanto, concluímos que o fluxo total através de uma superfície fechada que
não engloba nenhuma carga é zero.
Consideremos agora o sistema de cargas e superfícies conforme a figura a seguir.
A superfície S engloba somente uma carga, q1; assim, o fluxo total através de S é q1/�0.
O fluxo através de S devido às cargas q2, q3, e q4 fora dela é zero pois cadas linha de campo
que entra em S num ponto sai da superfície por outro ponto. A superfície S ′ engloba as
cargas q2 e q3; assim, o fluxo total através dela é (q2 + q3)/�0.E finalmente, o fluxo total
através de S ′′ é zero pois não há nenhuma carga no interior da superfície. Isso é, todas as
linhas de campo que entram em S ′′ por um ponto saem dela em outros pontos. Notemos que
22 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
a carga q4 não contribui para o fluxo em nenhuma superfície porque ela está fora de todas
as superfícies.
Assim, a Lei de Gauss, que é a generalização do que descrevemos aqui, estabelece que o
fluxo total sobre qualquer superfície fechada é
ΦE =
∮
~E · d ~A = Qint
�0
(2.2)
onde Qint representa a carga total no interior da superfície e ~E representa o campo elétrico
em qualquer ponto na superfície.
2.3 Aplicações da Lei de Gauss
A lei de Gauss é útil para determinar campos elétricos de distribuições de cargas com
alto grau de simetria.
A idéia é escolher uma superfície gaussiana que satisfaz uma ou mais condições a seguir:
1. O valor do campo elétrico pode ser constante sobre a superfície devido à simetria.
2. O produto escalar ~E · d ~A é zero porque ~E e d ~A são perpencilares, enquanto ~E · d ~A é
±EdA pois ~E e d ~A são paralelos.
3. O campo pode ser zero sobre a superfície.
Essas condições serão usadas nos exemplos a seguir.
Exemplo 2.3. Campo Elétrico de uma Carga Puntiforme
Vamos determinar o campo elétrico de uma carga puntiforme q a partir da Lei de
Gauss.
+
Como qualquer ponto a uma mesma dis-
tância r da partícula está contido na su-
perfície de uma esfera, dizemos que o
espaço em volta da carga tem simetria
esférica, e essa simetria nos diz que o
campo elétrico deve depender apenas da
coordenada radial, de forma que escre-
vemos
~E = Er(r)rˆ
Escolheremos uma superfície gaussiana que satisfaça algumas das propriedades listadas
acima, e a melhor opção parece ser uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na
2.3. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 23
carga puntiforme, conforme figura. Com isso, podemos escrever o fluxo do campo elétrico
como
ΦE =
∮
~E · d ~A =
∮
Er(r)dA =
q
�0
onde usamos o fato que o campo elétrico é normal à superfície gaussiana. Além disso,
o campo elétrico possui a mesma intensidade em todos os pontos da superfície esférica,
devido à distância ser a mesma em todos os pontos, de modo que∮
Er(r)dA = Er(r)
∮
dA = Er(r)(4pir
2) =
q
�0
Er(r) =
q
4pi�0r2
= k
q
r2
Obs: Se a carga não estivesse no centro da esfera, a lei de Gauss permaneceria válida,
mas não haveria simetria suficiente para determinar o campo elétrico, pois a intensidade
do campo elétrico iria variar ao longo da superfície gaussiana.
Exemplo 2.4. Campo Elétrico de uma Esfera Carregada Uniformemente
Vamos determinar o campo elétrico de uma esfera isolante de raio a e carregada uni-
formemnte com uma carga Q.
Como a distribuição de cargas é esfericamente simétrica, sabemos que o campo deve
ser radial para fora
~E = E(r)rˆ
e que a superfície gaussiana deve ser uma superfície esférica, conforme as figuras abaixo.
24 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
No caso em que r > a, conforme figura (a) e do exemplo anterior, sabemos que
ΦE =
∮
E(r)dA = E(r)
∮
dA = E(r)(4pir2) =
Q
�0
cujo resultado é
E(r > a) = k
Q
r2
No caso em que r < a, conforme figura (b), o fluxo do campo elétrico deve ser
ΦE =
∮
E(r)dA = E(r)
∮
dA = E(r)(4pir2) =
Qint
�0
porém, nesse caso, a carga interna à superfície gaussiana é dada a partir da densidade de
carga da esfera ρ = Q/4
3
pia3 na forma
Qint = ρ
(
4
3
pir3
)
= Q
r3
a3
que juntos resultam em
E(r < a) = k
Q
a3
r
Sendo assim, o campo elétrico dentro e fora
da esfera tem formas diferentes e podemos
analisá-los na forma de um gráfico.
E(r) =
k
Q
a3
r se r < a
k Q
r2
se r > a
Exemplo 2.5. Campo Elétrico de um Fio Infinito Carregado Uniformemente
Vamos determinar o campo elétrico de um fio delgado infinito e isolante carregado
uniformemente com uma densidade de carga linear λ.
2.3. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 25
+
+
+
+
+
+
Como a distribuição de cargas é cilin-
dricamente simétrica, sabemos que o
campo deve ser radial cilíndrico para
fora, conforme a figura (b)
~E = E(s)sˆ
e que a superfície gaussiana deve ser
uma superfície cilíndrica, conforme a
figura (a).
Usando a Lei de Gauss, sabemos que o
fluxo do campo elétrico através da su-
perfície gaussiana é proporcional à carga
interna à gaussiana
ΦE =
∮
~E · d ~A = E(s) ∫ dA
= E(s)(2pisl) = λl
�0
onde usamos o fato que o campo elétrico
~E é perpendicular aos vetores d ~A nas
superfícies da tampa e do fundo do ci-
lindro, de modo que o resultado é
E(s) =
λ
2pi�0s
Assim, o campo elétrico de uma distribuição de cargas com simetria cilíndrica cai com
1/r enquanto que o de uma distribuição com simetria esférica cai com 1/r2. Tal campo
foi encontrado no exemplo do fio carregado, no capítulo anterior, no limite em que o fio é
infinito.
Obs: Se o fio fosse finito, não poderíamos afirmar que na borda desse fio o campo teria
a forma ~E = E(s)sˆ. Na verdade, apareceriam componentes do campo que são parelelas
ao fio.
Exemplo 2.6. Campo Elétrico de um Plano Infinito Carregado Uniformemente
Vamos determinar o campo elétrico de um plano delgado infinito e isolante carregado
uniformemente com uma densidade de carga superficial σ.
26 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+
Como a distribuição de cargas tem sime-
tria planar, ou seja, simetria na forma de
um plano, sabemos que o campo deve ser
perpendicular à superfície
~E = E(n)nˆ
e que a superfície gaussiana pode ser
uma superfície cilíndrica, conforme a
figura.
Usando a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo do campo elétrico através da superfície
gaussiana é proporcional à carga interna à gaussiana
ΦE =
∮
~E · d ~A = E(n)
∫
dA = 2E(n)A =
σA
�0
onde usamos o fato que o campo elétrico ~E é perpendicular aos vetores d ~A na lateral do
cilindro e somente há fluxo nas tampas do cilindro, de modo que o resultado é
E(n) =
σ
2�0
Assim, o campo elétrico de uma distribuição de cargas plana infinita independe da
distância ao plano. Tal campo foi encontrado no exemplo do disco carregado, no capítulo
anterior, no limite em que o disco é infinito.
2.4 Cargas em Condutores
Como vimos no capítulo anterior, um bom condutor elétrico contem cargas (elétrons) que
não estão ligados aos átomos e portanto estão livres para se moverem dentro do material.
Quando não há nenhum movimento
Um condutor em equilíbrio eletrostático tem as seguintes propriedades:
1. O campo elétrico é zero em qualquer lugar no interior do condutor.
2. Se um condutor isolado está carregado, sua carga reside na superfície.
3. O campo elétrico no exterior muito próximo do condutor é perpendicular à superfície
e de módulo σ/�0.
4. Num condutor de forma irregular, a densidade de carga σ é maior onde menor for o
raio de curvatura da superfície.
2.4. CARGAS EM CONDUTORES 27
Vamos verificar as primeiras três propriedades a seguir, e a quarta propriedade é apre-
sentada aqui apenas para completar a lista de propriedades de um condutor em equilíbrio
eletrostático, mas será verificada apenas no capítulo seguinte.
Primeira propriedade: Vamos considerar uma chapa condutora imersa num campo
elétrico externo ~E.
+
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
O campo elétrico dentro do condutor deve
ser zero sobre a hipótese que estamos em
equilíbrio eletrostático. Se o campo não
fosse zero, os elétrons livres experimentariam
uma força elétrica e iriam acelerar devido
a essa força. Esse movimento dos elétrons,
contudo, significaria que o condutor não está
em equilíbrio eletrostática.
Assim, a existência do equilíbrio eletrostático
é consistente apenas com o campo zero no con-
dutor.Segunda propriedade: Vamos considerar um condutor de forma arbitrária. Uma
superfície gaussiana é desenhada dentro do condutor e pode estar próxima da superfície do
condutor o quanto quisermos.
Como já mostramos, o campo elétrico no
interior do condutor deve ser nulo quando
está em equilíbrio eletrostático. Portanto,
o campo elétrico deve ser nulo em todos os
pontos da gaussiana, de modo que o fluxo
total sobre essa superfície deve ser nulo. E
pela Lei de Gauss, concluímos que a carga
total no interior da gaussiana é zero.
Assim, como a carga total dentro do condutor
deve ser nula, a carga total no condutor reside
na sua superfície.
Terceira propriedade: Vamos usar a lei de Gauss para mostrar essa propriedade.
Notamos que se o campo elétrico ~E tiver componente paralela à superfície do condutor,
elétrons livres sofrerão força e estarão postos a se mover ao longo da superfície, o que no
caso de equilíbrio eletrostático é proibido. Então, o vetor ~E deve ter apenas componente
normal à superfície.
28 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
+ +
+ +
+
+
+
+
++
+
+
+
+++
+
+
+
+
Vamos usar uma gaussiana na forma de um
cilindro tão pequeno quanto quisermos, cujas
faces planas são paralelas à superfície do con-
dutor, enstando parte do cilindro fora do con-
dutor e parte dentro. O fluxo sobre a super-
fície lateral do cilindro é zero, pois o campo é
paralelo à superfície, e na superfície dentro do
condutor é zero pois o campo é zero naquela
região.
Então, o fluxo na gaussiana é apenas
ΦE =
∮
EdA = EA =
Qint
�0
=
σA
�0
de modo que o campo na superfície do condutor deve ter módulo igual a
E =
σ
�0
tendo a direção perpendicular à superfície do condutor.
Exemplo 2.7. Esfera dentro de uma Casca Esférica Condutores
Vamos determinar o campo elétrico de um plano delgado infinito e isolante carregado
uniformemente com uma densidade de carga superficial σ.
Como a distribuição de cargas tem simetria
esférica, a direção do campo elétrico deve ser
radial de tal forma que
~E = E(r)rˆ
Região 1: Para encontrar o campo dentro da esfera sólida, consideremos uma super-
fície gaussiana de raio r < a. Como a carga total dentro de um condutor em equilíbrio
eletrostático é zero, Qint = 0 , então, usando a Lei de Gauss e simetria, E(r < a) = 0.
Região 2: Nessa região, consideremos uma gaussiana esférica de raio r onde a < r < b
e notemos que a carga no interior dessa superfície é +2Q (a carga da esfera sólida). Devido
à simetria esférica, o campo elétrico deve ser radial, de modo que pela Lei de Gauss
2.4. CARGAS EM CONDUTORES 29
E(4pir2) =
2Q
�0
e assim
E(a < r < b) = k
2Q
r2
Região 3: Nessa região, o campo elétrico deve ser zero pois a casca esférica é também
um condutor em equilíbrio, então E(b < r < c) = 0.
Região 4: Usando uma gaussiana esférica de raio r onde r > c e notando que a carga
interna a essa superfície é Qint = +2Q+ (−Q) = Q, temos
E(r > c) = k
Q
r2
Desta forma, o campo elétrico dessa distribuição de cargas pode ser escrito e repre-
sentado num gráfico como a seguir.
E(r) =

0 se r < a
k 2Q
r2
se a < r < b
0 se b < r < c
k Q
r2
se r > c
30 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
Capítulo 3
Potencial Eletrostático
Nesse capítulo, estudaremos o potencial eletrostático criado por cargas puntiformes e
distribuições de cargas, bem como diferenças de potenciais entre pontos.
3.1 Força Elétrica como Força Conservativa
Uma das propriedades mais interessantes da Lei de Coulomb é o fato da força eletrostática
entre cargas elétricas ser uma força conservativa, que obedece a condição∮
~F el · d~l = 0,
sendo d~l um elemento diferencial de deslocamento, denotado por d~l = dxxˆ+ dyyˆ + dzzˆ no
sistema de coordenadas cartesiano. Lembremos que essa integral representa o trabalho feito
pela força elétrica sobre uma carga ao longo de qualquer caminho fechado, de modo que
W
(el)
A→B =
∫ B
A
~F el · d~l (3.1)
é o trabalho da força elétrica entre quaisquer dois pontos A e B deve ser o mesmo para
qualquer caminho que escolhamos entre esses dois pontos.
Assim como no caso das forças gravitacional e elétrica, que são forças conservativas,
podemos associar à força elétrica uma diferença de energia potencial eletrostática, W (el)A→B =
−(U (el)B − U (el)A ), sendo escrita na forma integral
U
(el)
B − U (el)A = −
∫ B
A
~F el · d~l. (3.2)
3.2 Diferença de Potencial e Potencial Eletrostático
Para um deslocamento infinitesimal d~l de uma carga, o trabalho realizado pela força
elétrica numa carga é ~F el · d~l = q0 ~E · d~l, sendo q0 a carga teste que experimenta o campo
31
32 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
elétrico ~E criado por alguma distribuição fonte de carga. Como essa quantidade de trabalho é
feita pelo campo, a energia potencial do sistema carga-campo é mudada por uma quantidade
dU = −q0 ~E ·d~l. E para um deslocamento finito entre os pontos A e B, a mudança na energia
potencial ∆U = UB − UA do sistema é
∆U = −q0
∫ B
A
~E · d~l (3.3)
e a integração é feita ao longo do caminho que a carga q0 segue de A para B. Como a força
q0 ~E é conservativa, essa integral de linha não depende do caminho que ligue A a B.
Dividindo a energia potencial pela carga teste obtemos uma quantidade física que depende
somente da distribuição fonte de cargas, essa quantidade é denominada potencial eletrostático
V . Assim, a diferença de potencial ∆V = VB − VA entre dois pontos A e B num campo
elétrico é definida como a mudança de energia potencial do sistema quando uma carga teste
é deslocada entre os pontos dividida pela carga teste q0
∆V = −
∫ B
A
~E · d~l (3.4)
A unidade de potencial eletrostático no S.I é o Volt, V ≡ C/m. Como o campo elétrico
se relaciona com o potencial, é comum utilizarmos como unidade de campo V/m, além de
N/C.
Exemplo 3.1. Diferença de Potencial num Campo Elétrico Uniforme
Vamos determinar a diferença de potencial (d.d.p.) entre os pontos A e B sujeitos
a um campo elétrico uniforme ~E e a variação da energia potencial necessária para levar
uma carga q de um ponto a outro, conforme figura.
O campo elétrico nessa região é ~E = −Eyˆ, de
modo que o produto escalar ~E · d~l = −E dy, e
nesse caso temos
VB − VA = −
∫ B
A
~E · d~l = −
∫ yB
yA
−E dy = −Ed.
Assim, o potencial em B deve ser menor do que o potencial em A pois a diferença de
potencial é negativa entre os pontos. Isso significa que o campo elétrico aponta no sentido
em que há decréscimo do potencial.
3.3. POTENCIAL DE CARGAS PUNTIFORMES 33
∆V = −Ed
A variação da energia potencial eletrostática é dada por ∆U = q∆V , então
∆U = −qEd.
O que nos informa que a energia potencial do sistema diminui fazendo com que a ener-
gia cinética da partícula aumentasse ∆K = −∆U , uma vez que não há forças dissipativas
durante a trajetória.
3.3 Potencial de Cargas Puntiformes
Agora que sabemos determinar a diferença de potencial entre dois pontos do espaço,
podemos o potencial eletrostático num ponto específico do espaço localizado a uma distância
r de uma carga puntiforme. Para isso, começaremos com a expressão geral
VB − VA = −
∫ B
A
~E · d~l
onde A e B são os dois pontos arbitrários conforme a figura. Em qualquer ponto do espaço,
o campo elétrico de uma carga puntiforme é ~E = kqrˆ/r2, onde rˆ é um vetor unitário dirigido
da carga para o ponto. A quantidade ~E · d~l pode ser expressa como
~E · d~l = k q
r2
rˆ · d~l
O produto escalar rˆ·d~l = dl cos θ, onde θ é o ângulo
entre rˆ e d~l. Além disso, dl cos θ é a projeção de
d~l em rˆ, então, dl cos θ = dr. Isto é, qualquer
deslocamento d~l ao longo do caminho de A para
B produz uma mudança dr na magnitude de rˆ, o
vetor posição do ponto com relação a carga fonte
do campo. Fazendo essa substituição, encontramos
que ~E · d~l = (kq/r2) dr, e assim, a expressão paraa diferença de potencial se torna
VB − VA = −kq
∫ rB
rA
dr
r2
= kq
[
1
r
]rB
rA
= k
q
rB
− k q
rA
Essa equação nos mostra que a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos A e B
num campo criado por uma carga puntiforme depende somente das coordenadas radiais rA e
34 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
rB, ou seja, independente do caminho escolhido de A para B, como discutido anteriormente.
Uma vez estabelecido uma referência para o potencial no ponto A, qualquer ponto B
terá seu potencial definido univocamente, isto é, o valor de VB depende do valor de VA. É
comum escolhermos a referência do potencial elétrico, no caso de uma carga puntiforme,
sendo V = 0 em rA = ∞. Com essa escolha de referência, o potencial elétrico criado por
uma carga puntiforme em qualquer ponto a uma distância r da carga é
V (r) = k
q
r
, (3.5)
de modo que, o potencial eletrostático depende apenas da posição V = V (x, y, z), ou seja, o
potencial é um campo escalar.
Para um conjunto de duas ou mais cargas puntiformes, o potencial eletrostático total
pode ser obtido pelo princípio da superposição, isto é, o potencial total num determinado
ponto do espaço devido ao conjunto de cargas é a soma dos potenciais devido a cada carga
independentemente naquele ponto. Assim, para um conjunto de cargas, o potencial eletros-
tático total é
V (r) =
∑
i
Vi =
∑
i
k
qi
ri
. (3.6)
3.4 Gradiente do Potencial e Equipotenciais
Uma vez que conhecemos o potencial de uma dada configuração de cargas, será que
conseguiremos inferir algo sobre o campo elétrico? De fato, sabemos que a diferença de
potencial entre dois pontos infinitesimalmente próximos é dada pela própria definição do
potencial
dV = −~E · d~l,
sendo assim, o campo elétrico é proporcional ao gradiente do potencial ~∇V e de fato
~E = −~∇V = −∂V
∂x
xˆ− ∂V
∂y
yˆ − ∂V
∂z
zˆ (3.7)
Isto é, a componente x do campo elétrico é igual ao negativo da derivada do potencial
com respeito a x. Processo similar pode ser feito para as componentes y e z. Esse fato é a
afirmação matemática que o campo elétrico é uma medida da taxa de variação do potencial
com a posição.
Vamos agora imaginar um caminho d~l que seja perpendicular ao campo elétrico ~E. A
diferença de potencial nesse caminho é dV = −~E ·d~l = 0, ou seja, a diferença de potencial é
nula quando caminhamos sobre uma superfície que é perpendicular ao campo elétrico. Essas
superfícies recebem o nome de equipotenciais, pelo fato de terem o mesmo potencial em todos
3.5. POTENCIAL DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 35
seus pontos.
+
Na figura acima vemos equipotenciais (linhas tracejadas) e linhas de campo (linhas cheias)
para (a) um campo elétrico uniforme produzido por um plano infinito de carga, (b) uma
carga puntiforme, e (c) um dipolo elétrico. E em todos os casos, o campo elétrico é sempre
perpendicular às superfícies equipotenciais e tem sentido que aponta na direção do potencial
decrescente.
3.5 Potencial Devido a Distribuições Contínuas de Carga
Para distribuições contínuas de carga, podemos calcular o potencial eletrostático de duas
maneiras apresentadas a seguir.
Se a distribuição de carga é conhecida, podemos
considerar o potencial devido a um pequeno ele-
mento de carga dq, tratando esse elemento como
uma carga puntiforme. O potencial eletrostático
dV em algum ponto P devido ao elemento de carga
dq é
dV = k
dq
r
onde r é a distância do elemento de carga ao ponto
P .
Para obter o potencial total no ponto P , integramos a equação acima para incluir con-
tribuições de todos elementos de carga da distribuição. Como cada elemento está, em geral,
a distâncias diferente do ponto P , podemos expressar
V = k
∫
dq
r
(3.8)
36 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
onde r depende do elemento de carga dq, e assumimos que o potencial é zero quando o ponto
P é infinitamente distante da distribuição de carga.
Se o campo elétrico já é conhecido por outras considerações, tais como Lei de Gauss,
podemos calcular o potencial elétrico devido à distribuição contínua de carga usando a
definição do potencial. Se a distribuição de carga tem simetria suficiente, primeiro calculamos
~E em qualquer ponto usando a Lei de Gauss e então substituímos em ∆V = − ∫ ~E ·d~l para
determinar a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos. E por fim, escolhemos o
potencial V sendo zero em algum ponto conveniente do espaço.
Exemplo 3.2. Potencial devido a um Aro Uniformemente Carregado
Vamos determinar o potencial eletrostático em qualquer localizado num eixo central
perpendicular a um aro uniformemente carregado de raio R e carga total Q.
Consideremos, como na figura, que o aro está ori-
entado tal que seu plano é perpendicular ao eixo
x e seu centro está na origem. Para analisar o
problema, consideraremos o ponto P estando a
uma distância x do centro do aro, conforme fi-
gura. O elemento de carga dq está a uma dis-
tância
√
x2 +R2 do ponto P . Assim, podemos
expressar V como
V = k
∫
aro
dq
r
= k
∫
aro
dq√
x2 +R2
.
Como cada elemento dq está a mesma distância do ponto P , podemos tirar
√
x2 +R2
da integral, e V se reduz a
V = k
1√
x2 +R2
∫
aro
dq,
e usando o fato que
∫
aro dq é a carga total do aro Q, temos
V (P ) = k
Q√
x2 +R2
A única variável nessa expressão para V é x, uma vez que nosso cálculo é válido
somente para pontos ao longo do eixo x. A partir desse resultado, o campo elétrico pode
ser determinado a partir do gradiente do potencial como
3.5. POTENCIAL DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 37
~E = −∇V = −dV
dx
xˆ = −kQ d
dx
(x2 +R2)−1/2
= −kQ(−1
2
)(x2 +R2)−3/2(2x)
então
~E(P ) = k
Qx
(x2 +R2)3/2
xˆ
Exemplo 3.3. Potencial devido a um Disco Uniformemente Carregado
Vamos determinar o potencial eletrostático em qualquer ponto localizado no eixo cen-
tral perpendicular a um disco uniformemente carregado de raio R e densidade superficial
de carga σ.
Novamente, escolhemos o ponto P no eixo x a
uma distância x do centro do disco. Simplifica-
mos o problema dividindo o disco num conjunto
de aros carregados de espessura infinitesimal dr.
O potencial devido a cada aro é dado pelo exem-
plo anterior. Consideremos um desses aros de raio
r e espessura dr, conforme figura. O elemento de
área dado pelo aro é dA = 2pir dr, de modo que
o elemento de carga será dq = σdA = σ2pir dr.
Assim, o potencial no ponto P devido a esse aro
é
dV = k
dq√
x2 + r2
= k
σ2pir dr√
x2 + r2
onde x é uma constante e r uma variável. Para encontrar o potencial total em P , somamos
sobre todos os aros formando o disco. Isto é, integramos dV de r = 0 a r = R
V = pikσ
∫ R
0
2r dr√
x2 + r2
= pikσ
∫ R
0
(x2 + r2)−1/2 d(r2)
e assim
V (P ) = 2pikσ
[
(x2 +R2)1/2 − x]
38 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
Para um ponto qualquer fora do eixo do disco, o cálculo de V é muito difícil de realizar,
e não trataremos esses exemplos nesse curso.
Exercício 3.1. Mostre a partir do potencial calculado que o campo elétrico em qualquer
ponto P ao longo do eixo do disco será
~E(P ) = 2pikσ
(
1− x√
x2 +R2
)
xˆ
Exemplo 3.4. Potencial devido a uma Esfera Uniformemente Carregado
Vamos determinar o potencial eletrostático em qualquer região do espaço criado por
uma esfera uniformemente carregada de raio R e carga total Q.
Comecemos pelos pontos no exterior da esfera,
isto é, r > R, tomando o potencial como zero em
r = ∞. Nos capítulos anteriores, encontramos
que a intensidade do campo elétrico no exterior
de uma esfera uniformemente carregada de raio
R é
E(r > R) = k
Q
r2
onde o campo é radial para fora quando Q é positivo. Nesse caso, para obter o potencial
num ponto exterior, tal como B na figura, usamos ∆V = − ∫ B
A
~E ·d~l, escolhendo o ponto
A como r =∞VB − VA = −
∫ rB
rA
E(r) dr = −kQ
∫ rB
rA
dr
r2
= kQ
[
1
rB
− 1
rA
]
VB − 0 = kQ
[
1
rB
− 0
]
e assim sabemos que o potencial na região exterior à esfera é dado por
V (r > R) = k
Q
r
Por continuidade em r = R, o potencial num ponto C na superfície da esfera deve ser
VC = kQ/R. Para um ponto no interior da esfera, vamos lembrar que o campo elétrico
3.6. POTENCIAL DEVIDO A UM CONDUTOR CARREGADO 39
no interior de uma esfera isolante uniformemente carregada é
E(r < R) = k
Q
R3
r
Podemos usar esse resultado para calcular a diferença de potencial VD−VC em algum
ponto interior D
VD − VC = −
∫ rD
rC
E(r) dr = −k Q
R3
∫ r
R
r dr
VD − kQ
R
= k
Q
2R3
(R2 − r2)
de modo que o potencial na região interior à esfera é dado por
V (r < R) = k
Q
2R
(
3− r
2
R2
)
V (r) =
k
Q
2R
(
3− r2
R2
)
se r < R
kQ
r
se r > R
Podemos esboçar um gráfico do potencial V (r)
como função da distância r ao centro da esfera,
definindo V0 = 3kQ/(2R).
3.6 Potencial Devido a um Condutor Carregado
Vimos no capítulo anterior que quando um condutor sólido em equilíbrio está carregado,
sua carga reside na sua superfície, fato que os difere dos isolantes. Assim, o campo elétrico
próximo a superfície externa é perpendicular a mesma e dentro do condutor o campo é nulo.
Consideremos dois pontos A e B na superfície de um condutor carregado, conforme figura.
Usando um caminho ao longo da superfície que ligue os dois pontos, vemos que o campo ~E
é sempre perpendicular ao deslocamento d~l, de modo que ~E ·d~l = 0. Usando esse resultado,
vemos que
VB − VA = −
∫ B
A
~E · d~l = 0
que vale para quaisquer dois pontos na superfície, portanto V é constante na superfície.
Assim, a superfície de um condutor carregado em equilíbrio eletrostático é uma superfície
equipotencial.
40 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + ++
+
+
+
+
+
+
Exemplo 3.5. Potencial de uma Esfera Condutora
Consideremos uma esfera condutora de carga Q e de raio R, como mostra a figura (a).
+ +
+ +
+ +
+ ++
+ +
+ +
+ ++
O campo elétrico obtido via Lei de Gauss é
E(r) =
0 se r < Rk Q
r2
se r > R
O potencial pode então ser obtido via campo elé-
trico por integração, como no exemplo anterior,
de modo que
V (r) =
k
Q
R
se r < R
kQ
r
se r > R
Portanto, o potencial elétrico no interior da esfera
condutora é uniforme e de mesmo valor que o po-
tencial na superfície (figura (b)), uma vez que a
diferença de potencial entre a superfície e qual-
quer ponto no interior da esfera deve ser nula,
pois o campo no interior do condutor é também
nulo (figura (c)).
Concluímos então que o potencial eletrostático de um condutor carregado é constante em
qualquer ponto no interior do condutor e de mesmo valor que na superfície.
Exemplo 3.6. Poder das Pontas
3.6. POTENCIAL DEVIDO A UM CONDUTOR CARREGADO 41
Consideremos um condutor representado por duas esferas condutoras de raios R1 e R2
conectadas por um fio condutor, como mostra a figura.
Como as esferas estão conectadas por fio condu-
tor, elas devem ambas terem o mesmo potencial
V = k
Q1
R1
= k
Q2
R2
Assim, a razão entre suas cargas é
Q1
Q2
=
R1
R2
Porém, a razão entre suas densidades superficiais de cargas deve então ser
σ1
σ2
=
R2
R1
que mostra que a densidade de carga é maior na esfera de menor raio, ou seja, quanto
menor for a curvatura da superfície maior será a densidade de carga num condutor.
42 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
Capítulo 4
Capacitância e Dielétricos
Nesse capítulo, estudaremos o conceito de capacitância, aplicações de capacitores e die-
létricos.
4.1 Capacitância
Considere dois condutores carregando cargas de mesmo valor e sinais opostos, conforme
figura. Essa combinação de dois condutores chamaremos de capacitores, sendo ambos con-
dutores algumas vezes chamados de placas. E devido à presença das cargas, existe uma
diferença de potencial ∆V entre os condutores.
O que determina quanta carga está nas placas de um capacitor para uma dada diferença
de potencial entre elas? Experimentos mostram que a quantidade de carga Q num capacitor
é linearmente proporcional a diferença de potencial ∆V entre os condutores. Sendo assim,
a capacitância C de um condutor é definida como a razão entre a intensidade da carga num
dos condutores pela intensidade da diferença de potencial entre eles
C ≡ Q
∆V
(4.1)
Note que por definição capacitância é sempre uma quantidade positiva. Além disso, como
43
44 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS
veremos logo mais, capacitância é uma medida da capacidade de um capacitor em armazenar
energia, pois cargas positivas e negativas estão separadas no sistema dos dois condutores de
um capacitor, existindo uma energia potencial elétrica armazenada no sistema.
A capacitância no sistema SI tem unidade de Coulomb por Volt, sendo definida como
Farad, F = C/V , em homenagem a Michael Faraday.
Para entender como um capacitor se forma, ou seja, como ele se carrega, consideremos
um capacitor formado por um par de placas paralelas, conforme figura.
+
–
Com o capacitor inicialmente descarregado, conec-
tamos cada placa a um terminal de uma bateria,
que age como uma fonte de diferença de potencial,
estabelecendo um campo elétrico nos fios condu-
tores quando essa conexão é feita. Na placa co-
nectada ao terminal negativo da bateria, o campo
elétrico força os elétrons a irem em direção à placa,
o processo continua até a placa, o fio, e o terminal
da bateria terem o mesmo potencial, de modo que
não há mais diferença de potencial entre o terminal
e a placa, não há mais movimento de elétrons, e a
placa agora está carregada negativamente.
Um processo similar ocorre na outra placa do capacitor, com elétrons saindo da placa
para o fio, deixando a placa carregada positivamente. Nessa configuração final, a diferença
de potencial entre as placas do capacitor é a mesma daquela entre os terminais da bateria.
4.2 Cálculo de Capacitância
Para determinar a capacitância de um certo tipo de capacitor vamos usar o seguinte pro-
cedimento: assumimos uma carga de magnitude Q numa das placas, em seguida calculamos
a diferença de potencial ∆V entre as placas usando as técnicas do capítulo anterior, e por
último usamos a expressão C = Q/∆V para determinar a capacitância.
Exemplo 4.1. Capacitância de uma Esfera Condutora
Imaginemos um condutor esférico carregado. As linhas de campo ao redor desse con-
dutor são exatamente as mesmas que no caso se existisse uma casca esférica condutora
de raio infinito, concêntrica com a esfera e carregando uma carga de mesma intensidade
e sinal oposto, de modo que essa casca esférica imaginária pode ser identificada como um
segundo condutor de um capacitor de dois condutores.
Assim, podemos calcular a capacitância para essa situação usando o fato que o poten-
4.2. CÁLCULO DE CAPACITÂNCIA 45
cial de uma esfera de raio R e carga Q é simplesmente kQ/R na sua superfície, e V = 0
na casca infinitamente grande, então
C =
Q
∆V
=
Q
kQ/R
=
R
k
= 4pi�0R,
mostrando que a capacitância de uma esfera carregada é proporcional ao seu raio e inde-
pende da carga na esfera e da diferença de potencial.
A capacitância de uma par de condutores depende somente da geometria dos condutores.
Vamos ilustrar isso com duas geometrias familiares: placas paralelas e cilindros concêntricos.
Exemplo 4.2. Capacitor de Placas Paralelas
Consideremos duas placas metálicas de áreas iguais A separadas por uma distância d,
conforme figura. Uma placa está carregada com carga Q, a a outra carregada com carga
−Q.
Se as placas estão muito próximas, de tal
forma que a distância d é muito menor queas
dimensões típicas das placas, podemos con-
siderar o campo elétrico uniforme na região
entre as placas com valor igual a
E =
σ
�0
=
Q
�0A
,
e nulo na região fora das placas. Então, como o campo entre as placas é uniforme, a
diferença de potencial entre as placas é
∆V = V+ − V− = Ed = Qd
�0A
.
Substituindo esse resultado na definição de capacitância, temos para o capacitor de
placas paralelas
C =
Q
∆V
=
Q
Qd/�0A
,
portanto
C =
�0A
d
Isto é, a capacitância de um capacitor de placas paralelas é proporcional à área das
suas placas e inversamente proporcional à separação entre as placas.
46 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS
Exemplo 4.3. Capacitor Cilíndrico
Consideremos um condutor cilíndrico sólido de raio a e carga Q coaxial a uma casca
cilíndrica de raio b > a e espessura desprezível, com carga −Q.
Se os condutores tiverem um comprimento L
muito maior que os raio a e b, podemos des-
prezar os efeitos de borda sobre as linhas de
campo, de tal forma que nesse caso o campo
elétrico é perpendicular ao eixo dos cilindros
e é confinado na região entre eles.
A partir da Lei de Gauss, a intensidade do
campo elétrico na região entre a e b é aquela
de um cilindro com distribuição de carga uni-
forme λ, dado por
E(r) =
2kλ
r
=
2kQ/L
r
,
E com esse campo, podemos calcular a diferença de potencial entre a superfície externa
do cilindro sólido e a superfície interna da casca cilíndrica
∆V = V+ − V− = −
∫ a
b
E(r)dr = −2k(Q/L)
∫ a
b
dr
r
= 2k(Q/L) ln
(
b
a
)
.
Substituindo esse resultado na definição de capacitância, temos para o capacitor cilín-
drico
C =
Q
∆V
=
Q
2k(Q/L) ln (b/a)
,
portanto
C =
L
2k ln (b/a)
Isto é, a capacitância de um capacitor cilíndrico é proporcional ao comprimento dos
cilindros.
4.3 Associação de Capacitores
Agora que sabemos determinar a capacitância de capacitares a partir de sua geome-
tria, podemos associar diferentes capacitares para obter qualquer valor de capacitância que
necessitarmos. Basicamente existem dois de associações: paralela e série.
4.3. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 47
4.3.1 Capacitores em Paralelo
Numa associação em paralelo, conforme figura (b), as diferenças de potenciais em cada
capacitor individualmente são as mesmas e iguais à diferença de potencial aplicada sobre a
associação inteira.
+
–
+ –
+ –
+ – + –
Quando os capacitores são conectados ao circuito conforme a figura (a), elétrons são
transferidos entre os fios e as placas, permitindo as placas da direita se carregarem negativa-
mente e as placas da esquerda se carregarem positivamente. O fluxo de carga cessa quando a
voltarem sobre os capacitares é igual àquela dos terminais da bateria, e os capacitares ficam
carregados com cargas Q1 e Q2. A carga total Q armazenada nos capacitores é
Q = Q1 +Q2
Isso é, a carga total nos capacitares conectados em paralelo é a soma das cargas de cada
capacitor individual. E como a voltarem sobre cada capacitor é a mesma, as cargas que eles
carregam são
Q1 = C1∆V e Q2 = C2∆V
Suponhamos que agora desejamos trocar esses dois capacitores por um capacitor equiva-
lente apenas e que tem uma capacitância Ceq, conforme figura (c). O efeito desse capacitor
no circuito deve ser o mesmo do conjunto de capacitores anteriores, isto é, esse capacitor equi-
valente deve armazenar carga Q quando conectado a d.d.p de ∆V . Assim, para o capacitor
equivalente,
Q = Ceq∆V
48 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS
Substituindo essas três relações para as carga na equação da carga total do circuito,
temos
Ceq∆V = C1∆V + C2∆V
Ceq = C1 + C2
Assim, a capacitância equivalente de uma associação de capacitores em paralelo é a
soma algébrica das capacitâncias individuais e é maior que qualquer uma das capacitâncias
originais.
Ceq = C1 + C2 + C3 + . . . (em paralelo) (4.2)
4.3.2 Capacitores em Série
Numa associação em série, conforme figura (b), as cargas em cada capacitor individual-
mente são as mesmas e iguais à carga total armazenada na associação inteira.
–+ + –
+
–
Podemos entender isso a partir do seguinte processo. Quando os capacitores são conec-
tados ao circuito conforme a figura (a), elétrons são retirados da placa da esquerda de C1 e
colocados para a placa da direita de C2 pela bateria. Como essa carga negativa se acumula
na placa direita de C2, uma quantidade equivalente de carga negativa é forçada a sair da
placa esquerda de C2, ficando assim com carga positiva. A carga negativa que deixou a placa
esquerda de C2 causa um acúmulo de carga negativa na placa direita de C1. Como resultado,
todas as placas da direita ficam com carga negativa −Q, e todas placas da esquerda com
carga +Q. Assim, as cargas nos capacitares conectados em série são as mesmas.
Da figura (b), vemos que a voltagem ∆V entre os terminais da bateria é dividida entre
os capacitores
∆V = ∆V1 + ∆V2
4.3. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 49
Em geral, a diferença de potencial entre qualquer número de capacitores conectados em
série é a soma da diferença de potencial sobre cada capacitor individualmente. E como as
cargas nos capacitores são as mesmas, as voltagens sobre eles são
∆V1 =
Q
C1
e ∆V2 =
Q
C2
Vamos agora trocar esses capacitores por um capacitor equivalente tendo uma capaci-
tância Ceq, conforme figura (c). O efeito desse capacitor no circuito deve ser o mesmo do
conjunto de capacitores anteriores, isto é, esse capacitor equivalente deve armazenar carga
−Q na placa da direita e carga +Q na placa da esquerda quando conectado a d.d.p de ∆V
dos terminais da bateria. Assim, para o capacitor equivalente,
∆V =
Q
Ceq
Substituindo essas três relações para as voltagens na equação da voltarem total do cir-
cuito, temos
Q
Ceq
=
Q
C1
+
Q
C2
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
Assim, o inverso da capacitância equivalente de uma associação de capacitores em série
é a soma algébrica dos inversos das capacitâncias individuais e é menor que qualquer uma
das capacitância originais.
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+
1
C3
+ . . . (em série) (4.3)
Exemplo 4.4. Capacitância Equivalente
Consideremos um circuito misto de capacitores, conforme figura (a). A capacitância
equivalente entre a e b pode ser encontrada reduzindo as associações de capacitores como
indicadas nas partes (b), (c), e (d), usando as regras de associações em série e paralelo.
50 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS
ba
(b)
ba
( c)
ba
(d)
ba
(a)
4.4 Energia Armazenada num Capacitor
Quanta energia deve estar armazenada num capacitor depois que o carregamos?
Para calcular a energia armazenada num ca-
pacitor durante o processo de carregamento,
imaginemos que a carga é transferida meca-
nicamente para o capacitor, de modo que o
trabalho necessário para adicionar uma carga
dq ao capacitor é
dW = ∆V dq
e sabendo que a diferença de potencial entre as placas do capacitor depende da carga q nele,
podemos escrever
dW =
q
C
dq,
conforme ilustrado na figura. O trabalho total para carregar o capacitor desde uma carga
q = 0 até a carga final q = Q é então
W =
∫ Q
0
q
C
dq =
1
C
∫ Q
0
q dq =
Q2
2C
.
O trabalho feito para carregar o capacitor aparece como energia potencial elétrica U
armazenada no capacitor. Usando a capacitância, podemos expressar a energia potencial
armazenada num capacitor carregado nas seguintes formas
U =
Q2
2C
=
1
2
Q∆V =
1
2
C(∆V )2 (4.4)
Podemos considerar a energia armazenada num capacitor como sendo armazenada no
campo elétrico criado entre as placas quando o capacitor está carregado, pois o campo elétrico
é proporcional a carga no capacitor. Para um capacitor de placas paralelas, a diferença
4.5. MATERIAIS DIELÉTRICOS 51
de potencial está relacionada com ocampo elétrico através da relação ∆V = Ed, e sua
capacitância é C = �0A/d. Substituindo essas expressões na energia, obtemos
U =
1
2
�0A
d
(Ed)2 =
1
2
(�0Ad)E
2.
Como o volume ocupado pelo campo elétrico é Ad, a energia por unidade de volume
uE = U/(Ad), conhecida como densidade de energia, é
uE =
1
2
�0E
2 (4.5)
Assim, a densidade de energia em qualquer campo elétrico é proporcional ao quadrado
da intensidade do campo elétrico num dado ponto.
Para uma dada capacitância, a energia armazenada aumenta com o aumento da carga e
com o aumento da diferença de potencial. Na prática, entretanto, há um limite de energia
máxima (ou carga) que pode ser armazenada pois, em valores muito altos de campo elétrico,
ocorre descarga elétrica entre as placas.
4.5 Materiais Dielétricos
O que acontece quando colocamos um material isolante na presença de um campo elétrico
externo?
Consideremos um dielétrico feito de moléculas polares localizadas num campo elétrico
entre as placas de um capacitor. Os dipolos (isso é, as moléculas polares que formam o die-
létrico) estão orientados aleatoriamente na ausência de um campo elétrico, conforme figura
(a). Quando um campo elétrico externo ~E0 devido ao capacitor é aplicado, conforme figura
(b), um torque é exercido sobre os dipolos, fazendo com que eles se alinhem parcialmente
com o campo. O grau de alinhamento das moléculas com o campo elétrico depende da tem-
peratura e da intensidade do campo, em geral, aumentando com o aumento da temperatura e
do campo. Se as moléculas do dielétrico são apolares, então o campo elétrico externo produz
alguma separação de cargas e num momento de dipolo induzido.
E0
–
+ –
+
–
+
–
+
–+–+–
+
–
+
–+
–+
– + –
+
– + –
+ – +
– +– +
– +
– + –
+ – +
– +
– + – +
– +
E0
Eind
– indσ indσ
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
Em ambos materiais feitos de moléculas polares ou apolares, os campos elétricos induzidos
pelos momentos de dipolos elétricos alinhados tendem a cancelar parcialmente o campo
52 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS
externo original, figura (c). Assim, o campo elétrico resultante ~ET dentro do dielétrico é o
campo original ~E0 mais o campo induzido ~Eind
~ET = ~E0 + ~Eind,
ou
ET = E0 − Eind.
Notamos que o campo resultante dentro do dielétrico aponta na direção do campo externo
original. O campo induzido depende do campo externo original na forma Eind = αE0, sendo
α a polarizabilidade do meio material. Com isso, podemos escrever
ET = (1− α)E0,
e denominando κ = 1/(1 − α) a constante dielétrica do meio material, vemos que o campo
resultante no interior do meio dielétrico é reduzido de um fator κ
~ET =
~E0
κ
(4.6)
Além disso, o campo elétrico externo E0 está relacionado com a densidade de carga σ
nas placas através da relação E0 = σ/�0, e o campo elétrico induzido Eind no dielétrico está
relacionado com a densidade de carga induzida σind, conforme figura (b), através da relação
Eind = σind/�0. Como ET = E0/κ = σ/(κ�0), temos
σ
κ�0
=
σ
�0
− σind
�0
e
σind =
(
κ− 1
κ
)
σ (4.7)
Como κ > 1, essas expressões mostram que o campo elétrico no interior do dielétrico ET
é reduzido, e a densidade de carga induzida σind no dielétrico é menor que a densidade de
cargas nas placas.
Existe, porém, um valor crítico para o campo externo, consequentemente para a diferença
de potencial, acima do qual o material deixa de ser isolante, e ocorre ou uma descarga elétrica
ou uma ruptura do isolamento. Esse campo elétrico crítico fornece a rigidez dielétrica do
material, que é medida pelo módulo do campo elétrico mínimo acima do qual se produz a
ruptura do dielétrico.
4.6. CAPACITORES COM DIELÉTRICOS 53
4.6 Capacitores com Dielétricos
Quando inserimos um dielétrico no interior de um capacitor o que acontece com a capa-
citância? Aumenta, diminui, ou não se modifica? Podemos analisar o seguinte experimento
para ilustrar o efeito de um dielétrico num capacitor.
+
–
+
–
Consideremos um capacitor de placas paralelas isolado que sem o dielétrico, conforme
figura (a), tem uma carga Q0 e uma capacitância C0, de modo que a diferença de potencial
entre as placas é ∆V0. Se um dielétrico é agora inserido entre as placas, conforme figura (b),
a diferença de potencial ∆V entre as placas deve ser reduzida de um fator κ pois o campo
no interior do capacitor foi reduzido do mesmo fator, desta forma
∆V =
∆V0
κ
.
Como a carga Q0 no capacitor não mudou, concluímos que a capacitância deve mudar
para o valor
C =
Q0
∆V
=
Q0
∆V0κ
= κ
Q0
∆V0
então
C = κC0 (4.8)
Isso é, a capacitância aumenta de um fato κ quando um dielétrico preenche completa-
mente a região entre as placas.
Exemplo 4.5. Capacitor parcialmente preenchido
Consideremos um capacitor de placas paralelas com separação entre as placas d, que
tem capacitância C0 na ausência de um dielétrico, preenchido com dielétrico de constante
κ e espessura d/3 conforme figura (a).
54 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS
Podemos imaginar o conjunto da figura (a)
como sendo dois capacitores C1 e C2 associ-
ados em série, conforme figura (b). Usando
o resultado da capacitância de um capacitor
de placas paralelas, temos
C1 =
κ�0A
d/3
e C2 =
�0A
2d/3
.
Como associamos em série, a capacitância
equivalente é dada por
1
C
=
1
C1
+
1
C2
=
d/3
κ�0A
+
2d/3
�0A
então
C =
(
3κ
2κ+ 1
)
�0A
d
e como a capacitância sem o dielétrico é C0 =
�0A/d, podemos escrever
C =
(
3κ
2κ+ 1
)
C0
Capítulo 5
Corrente e Resistência Elétricas
Nesse capítulo, estudaremos a definição de corrente, com descrição microscópica, as defini-
ções de resistência elétrica e introduzimos o resistor, como uma força eletromotriz possibilita
o fluxo de corrente em um circuito, e por fim, como obter as energia e potência em circuitos.
5.1 Corrente Elétrica
O que acontece ao ligarmos um fio metálico às placas de um capacitor carregado?
Como não pode haver equilíbrio eletrostático, pois as extremidades do fio condutor estão
em potenciais diferentes, há movimento de cargas, ou seja, uma corrente elétrica passa
através do fio quando a conexão é feita.
A intensidade da corrente elétrica i que atravessa
uma dada seção de um fio condutor é definida como
a quantidade de carga dq que atravessa esta seção
num dado intervalo de tempo dt, de modo que po-
demos escrever
I ≡ dq
dt
. (5.1)
A unidade de corrente elétrica no SI é o Ampère, que passa a definir a unidade de
Coulomb. Assim, numa corrente de 1A, a secção do fio é atravessada a cada segundo por
1C de carga, equivalente a 6.2× 1018 C.
Por motivos históricos, é convencional definir a corrente tendo a mesma direção do fluxo
de cargas positivas. Em condutores elétrico, tais como cobre e alumínio, a corrente é devido
ao movimento de elétrons. Portanto, num metal, a direção da corrente num condutor é
oposta ao fluxo de elétrons. Numa lâmpada fluorescente, os portadores de cargas são tanto
elétrons como íons positivos do gás, que se deslocam em sentidos opostos sob a ação do
campo de descarga.
55
56 CAPÍTULO 5. CORRENTE E RESISTÊNCIA ELÉTRICAS
5.1.1 Modelo Microscópico para Corrente
Podemos relacionar a corrente elétrica com o movimento de cargas através de um modelo
microscópico de condução num metal.
Num condutor isolado, isto é, a diferença de potencial é zero nele, os elétrons se movem
num movimento aleatório que é análogo ao movimento das moléculas num gás. Quando uma
diferença de potencial é aplicada nesse condutor, um campo elétrico aparece nesse condutor
exercendo uma força nos elétrons, produzindo uma corrente. Contudo, os elétrons não se
movem em linhas retas através do condutor, pois