03a ESI

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07/03/2018
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CCE0370 - Teoria das Estruturas I
Aula 03a – Esforços Solicitantes Internos
Estabilidade e Estaticidade
• A estabilidade e a estaticidade devem ser estudadas 
simultaneamente.
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Esta%cidade e Estabilidade de Modelos Planos
Quanto à Estabilidade as estruturas podem ser classificadas 
como:
• Estáveis:
üQuando o sistema de forças reativas for capaz de equilibrar qualquer 
sistema de forças ativas. 
• Instáveis: 
üQuando as forças reativas forem em número insuficiente.
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Estaticidade e Estabilidade de Modelos Planos
Quanto à Estaticidade as estruturas podem ser classificadas 
como:
• Hipostáticas : sempre instáveis.
• Isostáticas: sempre estáveis.
• Hiperestáticas: sempre estáveis.
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Grau de Estaticidade
Uma estrutura será está+ca quando o • número e a posição dos 
apoios forem suficientes para o equilíbrio da mesma. 
Essa “esta+cidade” pode ser definida pelo número de •
solicitações existentes (incógnitas) e pelo número de equações 
disponíveis para sua análise, visto que, nessa análise, será́
gerado um sistema de equações, que pode ser determinado ou 
indeterminado.
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Estruturas externamente Isostáticas
• Quando os apoio de uma 
estrutura, em equilíbrio 
estável, são em número 
estritamente necessário 
para impedir todos os seus 
possíveis movimentos.
(Estruturas Isostáticas, Maria Cascão, pg.37) 
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Estruturas externamente Hiperestá0cas 
• Quando os apoio de uma 
estrutura, em equilíbrio estável, 
são em número superior ao 
estritamente necessário para 
impedir seu movimento.
(Estruturas Isostáticas, Maria Cascão, pg.38) 
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Estruturas externamente Hipostá1cas 
• Quando o número de apoios 
de uma estrutura é 
insuficiente para estabelecer 
o equilíbrio.
(Estruturas Isostáticas, Maria Cascão, pg.38)
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Estruturas Reais 
Ao Engenheiro Civil somente interessam as estruturas estáveis.
Isostá6cas ü
Hiperestá6casü
A grande maioria é hiperestá2ca 
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Exemplo 1: (Estática das Estruturas, Soriano, pg.90)
• ∑"! = 0
• ∑%" = 0
&'
• ∑%# = 0
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A
B
C
15 KN/m
10 KN
V
A V
B
2 m 2 m 2 m
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6
Exemplo 1: (Estática das Estruturas, Soriano, pg.90)
Podemos confirmar com mais •
uma equação de equilíbrio 
quanto à rotação em torno de 
B:
• ∑"! = 0
10×2 + 90×1 − +"×4 = 0
10×2 + 90×1 − 27,50×4 = 0
20 + 90 − 110 = 0
0 = 0
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• ∑0# = 0
+" − 10 − 15×6 + +! = 0
+" + +! = 100
• ∑"" = 0
−10×2 − 90×3 + +!×4 = 0
+! =
20 + 270
4
=
290
4
• +! = 72,50 34
• +" = 27,50 34
Exemplo 2: (Está/ca das Estruturas, Soriano, pg.90)
• ∑"! = 0
• ∑%" = 0
&'
• ∑%# = 0
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A
B
C
30 KN/m
40 KN
V
B
V
C
2 m 6 m 2 m
D
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Exemplo 2: (Estática das Estruturas, Soriano, pg.90)
Podemos confirmar com mais •
uma equação de equilíbrio 
quanto à rotação em torno de C:
• ∑"# = 0
40×8 − *+×6 + 300×3 = 0
320 − 203,34×6 + 900 = 0
320 − 1220 + 900 = 0
0 = 0
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• ∑"3 = 0
−40 + (+ − (30×10) + (# = 0
(+ + (# = 340
• ∑.+ = 0
40×2 − 300×3 + (#×6 = 0
(# =
900 − 80
6
=
820
6
(# = 136,67 56
(+ = 203,34 56
Obje%vo da Análise Estrutural 
üDeterminação das reações de apoio.
üDeterminação dos esforços solicitantes internos (ESI)
üEstruturas Isostáticas ® determinação do 
comportamento interno das estruturas
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Esforços Internos
Esforços internos em uma estrutura caracterizam as ligações ü
internas de tensões, isto é, esforços internos são integrais de 
tensões ao longo de uma seção transversal de uma barra.
Esforços internos representam o efeito de forças e momentos ü
entre duas porções de uma estrutura re<culada resultantes de 
um corte em uma seção transversal.
Os esforços internos correspondentes de cada lado da seção ü
seccionada são iguais e contrários, pois correspondem uma ação 
e a reação correspondente.
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Esforços Internos
(E
st
ru
tu
ra
s 
Is
o
st
á
,
ca
s,
 M
a
ri
a
 C
a
sc
ã
o
, 
p
g
.4
2
)
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Esforços Internos
• As componentes dessas resultantes são denominados esforços 
seccionais ou esforços solicitantes internos ou simplesmente 
esforços internos.
• N® esforço ou força normal
• V ou Q® esforço ou força cortante
• M® (esforço) momento fletor
• T® (esforço) momento de torção
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(E
st
á
&
ca
 d
a
s 
E
st
ru
tu
ra
s,
 S
o
ri
a
n
o
, 
p
g
.6
9
)
Esforços Internos
• N® esforço ou força normal
• V ou Q® esforço ou força cortante
• M® (esforço) momento fletor
• T® (esforço) momento de torção
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(Estática das Estruturas, Soriano, pg.70)
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Convenção de sinais dos ESI e Tipos de Solicitações
• N® tração / compressão
• M® Flexão
• V ou Q® Cisalhamento
• T® Torção
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M+M-
V-V+
SEÇÃO
(Está&ca das Estruturas, Soriano, pg.74)
Viga bi apoiada com uma carga concentrada 
(Notas de aula Prof. Luiz Fernando Martha – PUC-Rio)
(1) Seção S à esquerda da carga 
concentrada (x < a)
(2) Seção S à direita da carga 
concentrada (x > a)
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VA VB 
P 
x 
a b 
l 
S 
Q 
M Q M 
x (a–x) 
(l–x) 
P 
VA VB 
 
VA VB 
P 
S 
Q 
M Q M 
P 
VA VB 
x 
a b 
l 
x (l–x) 
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Reações de apoio
• Determinar pelo equilíbrio global da viga: ∑"! = 0 e ∑%" = 0:
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#$! = 0
'" + '# = )
#*" = 0
−), + '# . . = 0
/$ = 012
#*# = 0
)3 − '". . = 0
/% = 042
'" + '# = )
'" = ) − ),. = ) 1 −
,
. = )
. − ,
.
/% = 042
Esforço cortante e momento fletor em uma transversal S
• Determinados pelo equilíbrio de cada porção isolada da viga quando é dado um corte 
em S.
• Na situação (1) – (x < a) –, o equilíbrio da porção à esquerda da seção S fornece:
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!"! = 0
−& + (" = 0 → & = +
*+
,
!-# = 0
.− (". 0 = 0 → . = *
+1
,
M
+
Q
-
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OBS: o mesmo resultado tem que ser obtido se Q e M forem 
calculados através do equilíbrio da porção à direita de S:
!"! = 0
% − ' + )" = 0
% = ' − )"
% = ' − ' *+
% = +' 1 − *+ = +'
+ − *
++ − * = -
. = + #$%
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&'/ = 0
−' − + , − - + /0. 1 − - = 0
' = −+ , − - + +,1 (1 − -)
' = −+, + +- + + ,11 − +
,-
1
' = ++(- − , + , − ,-1 )
' = ++ - − ,-1 = ++-
1 − ,
1
' = ++- 1 − ,1
5 = +# 123
M
-
Q
+
Para a situação (2) – (x > a) –, é mais fácil entrar pelas 
forças que estão à direita da seção S:
!"# = 0
& + () = 0
* = −,-.
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!/!= 0
−/ + (" . (2 − 3) = 0/ = +(" . 2 − 3
/ = +,-. (. − 5).
M
-
Q
+
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Exercício Resolvido 1: Determinar os ESI nas seções S
1
e S
2
. 
!"! = 0
−&" + 2) = 0
&" = 2)
!"# = 0
*" − 3) + *$ = 0
*" + *$ = 3)
!," = 0
−3)×2. + *$×3. = 0
*$ =
3). 2.
3.0% = 12
*" = 3) − 2)
0& = 2
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 25
Exercício Resolvido 1: Cálculo dos ESI
• ESI em S
1
(única seção)
• ESI em S
2
(duas seções – presença de descontinuidade)
ü!!
" ou !!
# (imediatamente à esquerda/anterior de S
2
)
ü!!
$ ou !!
%
(imediatamente à direita/posterior de S
2
)
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Exercício Resolvido 1: Cálculo dos ESI em S
1
!• − 2$ = 0
' = () (tração + pela ação de *!)
$• − + = 0
, = +) (cortante + por .!)
/• − $. 1 = 0
2 = ). 3 (momento +)
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M
+
M
-
Q
-
Q
+
Exercício Resolvido 1:
Cálculo dos ESI em !!
" ou !!
# (imediatamente à esquerda/anterior de S2)
• $− !& = (
$ = !&
• −)+ & = (
) = &
• +−&. !# = (
+ = &. !#
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 28
M+M-
Q-Q+
SEÇÃO
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Exercício Resolvido 1:
Cálculo dos ESI em !!
" ou !
!
#
(imediatamente à direita/posterior de S2)
$• = & (nulo)
'• + )" = &
* = −)" = −!,
• −- + )" . / = 0
1 = +)" . / = !,. 2
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 29
M+M-
Q-Q+
SEÇÃO
FTOOL: www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/
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