01a Introducao

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CCE0370 - Teoria das Estruturas I
Aula 01a – Introdução
Mapa Conceitual
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Material didático e Bibliografia
Maria Cascão Ferreira de Almeida, Estruturas Isostáticas, editora: 
Oficina de Textos, edição: 1, ano: 2009
MARTHA, L. F. C. R. Análise de estruturas: conceitos e métodos 
básicos. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010. 
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• SAVA – Sala de Aula Virtual no SIA
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FTOOL: www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/
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Introdução a Análise de Estruturas
(Material do Prof. Luiz Fernando Martha – PUC-Rio)
• Processo do Projeto Estrutural
– Concepção (arquitetônica) da obra Þ atendimento às necessidades 
funcionais e econômicas
– Anteprojeto estrutural Þ plantas de forma (concreto armado) Þ
orçamento
– Análise Estrutural Þ previsão do comportamento da estrutura
– Dimensionamento Þ verificação das hipóteses do anteprojeto
– Detalhamento Þ especificação detalhada da construção
– Documentação Þ informações necessárias para construção
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Introdução a Análise de Estruturas
(Material do Prof. Luiz Fernando Martha – PUC-Rio)
• Análise Estrutural
– É a etapa do projeto estrutural onde é feita uma previsão sobre o 
comportamento da estrutura.
– Isto é uma simulação de como a estrutura responde a todas as 
solicitações.
– Para esta simulação é criado um modelo matemático, denominado 
Modelo Estrutural.
• Quatro níveis de abstração da estrutura na Análise Estrutural:
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Modelo 
Discreto 
Estrutura 
Real 
Modelo 
Estrutural 
Modelo 
Computacional 
Métodos de Análise Implementação Idealização 
(Concreto Armado Eu te amo, pag. 17)
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Estrutura Real Modelo estrutural bidimensional (fatia do prédio)
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Resultados da Análise Estrutural:
– O comportamento estrutural é caracterizado por:
– Deslocamentos e deformações
– Esforços internos (momentos fletores, esforços normais, esforços 
cortantes, etc.) e tensões
– Reações de apoio
Configuração Deformada Diagrama de Momentos Fletores
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Hipóteses (simplificações) adotadas na criação do Modelo 
Estrutural
• Com respeito à geometria:
Modelo de barras ou contínuo, modelo bi ou tridimensional, etc.?
Como representar os elementos estruturais: vigas, pilares, lajes, 
etc.?
• Sobre as condições de suporte:
Como a estrutura se conecta com o meio externo?
Que tipos de apoio considerar?
• Com respeito ao comportamento dos materiais:
Como representar matematicamente um material?
• Sobre as solicitações:
Como representar as cargas que atuam na estrutura?
Quais são os tipos de solicitação: peso próprio, vento, cargas de 
ocupação de prédios, variação de temperatura?
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Modelo de estruturas reticuladas
• É o modelo de estruturas formadas por barras (elementos estruturais que 
têm um eixo claramente definido). Estes são os tipos mais comuns de 
estruturas, tais como a estrutura de uma cobertura ou o esqueleto de um 
edifício metálico. Mesmo em casos de estruturas nas quais nem todos os 
elementos estruturais podem ser considerados como barras (como é o caso 
de edifícios de concreto armado), é comum analisar o comportamento 
global ou parcial da estrutura utilizando-se um modelo de barras.
• No caso de estruturas reticuladas, o modelo estrutural tem características 
que são bastante específicas. 
• O modelo matemático deste tipo de estrutura usa o fato de os elementos 
estruturais terem um eixo bem definido e está embasado na Teoria de Vigas 
de Navier, que rege o comportamento de membros estruturais que 
trabalham à flexão, acrescida de efeitos axiais e de torção.
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Classificação dos modelos de estruturas reticuladas
• Quadro plano
• ! - deslocamento na direção do eixo global X;
• " - deslocamento na direção do eixo global Y;
• # - rotação em torno do eixo global Z.
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X 
Y 
HA 
MA 
VA 
HB 
VB 
P 
q 
x
CD 
x
DD 
y
CD 
y
DD 
X 
Y 
z
Cq 
z
Dq 
z
Bq 
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Classificação dos modelos de estruturas reticuladas
• Treliça plana
• Ligações entre barras articuladas (rótulas) Þ as barras só estão 
solicitadas as esforços axiais (normais)
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X 
Y 
N 
N 
Classificação dos modelos de estruturas reticuladas
• Grelha
• ! - deslocamento na direção do eixo global Z;
• " - rotação em torno do eixo global X;
• # - rotação em torno do eixo global Y.
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VA 
VB q 
z
D 
X Y 
Z 
x
AM 
y
AM 
x
q 
y
q 
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Comparação entre quadro plano e grelha
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VA 
VB q 
z
D 
X Y 
Z 
x
AM 
y
AM 
x
q 
y
q 
 
X 
Y 
HA 
MA 
VA 
HB 
VB 
P 
q 
	 Quadro	Plano	 Grelha	
Deslocamento	em	X	 x 	 0=
x
	
Deslocamento	em	Y	 y 	 0=
y
	
Deslocamento	em	Z	 0=
z
	
z
	
Rotação	em	torno	de	X	 0=
x
	
x
	
Rotação	em	torno	de	Y	 0=
y
	
y
	
Rotação	em	torno	de	Z	 z 	 0=
z
	
	
Classificação dos modelos de estruturas reticuladas
• Quadro espacial
• Cada ponto de um quadro espacial pode ter três componentes de 
deslocamento ∆", ∆$ % ∆& e três componentes de rotação '", '$ % '& .
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X Y 
Z 
zP 
xP 
yP 
zq 
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Condições básicas da Análise Estrutural
• As condições matemáticas que o modelo estrutural tem que satisfazer para representar 
adequadamente o comportamento da estrutura real podem ser dividas nos seguintes grupos:
• Condições de equilíbrio.
São condições que garantem o equilíbrio estático de qualquer porção isolada da estrutura ou da 
estrutura como um todo.
• Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações.
São condições geométricas que devem ser satisfeitas para garantir que a estrutura, ao se deformar, 
permaneça contínua (sem vazios ou sobreposição de pontos) e compatível com seus vínculos externos. 
Tipos de condições de compatibilidade:
– Continuidade interna
• No interior das barras
• Nas ligações das barras
– Compatibilidade externa (modelo tem que satisfazer as condições de suporte adotadas).
• Condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a estrutura (leis constitutivas dos 
materiais)
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Princípios físicos básicos para as condições de equilíbrio
• As condições de equilíbrio garantem o equilíbrio estático de qualquer porção isolada da 
estrutura ou da estrutura como um todo. Elas estão baseadas nas três leis de Newton:
– 1ª Lei de Newton (Princípio da Inércia): “Todo corpo permanece em seu estado de repouso 
ou de movimentos retilíneo uniforme até que uma ação externa, não equilibrada, atue sobre 
ele.”
– 2ª Lei de Newton: “A partir do momento em que o corpo ficar submetido à ação de uma 
força resultante F, o corpo irá adquirir uma aceleração a, de tal forma F = ma, sendo m a 
massa do corpo.”
– 3ª Lei de Newton: “A toda ação corresponde uma reação de mesma intensidade e de sentido 
contrário.”
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Unidades de força
1 N (Newton) é a força cuja intensidade é capaz de deslocar uma massa de 1 kg com a aceleração de 1 m/seg2.
1 kN (kilo-Newton) = 1000 N.
1 kgf (kilograma-força) é a força cuja intensidade é capaz de deslocar uma massa de 1 kg com a aceleração da gravidade: 1 kgf = kg g.
Para conversão, será adotada a aceleração da gravidade g = 10 m/seg2.
1 kgf = 10 N.
1 tf (tonelada-força) é a força cuja intensidade é capaz de deslocar uma massa de 1 tonelada (1000 kg) com a aceleração da gravidade: 1 tf = 
1000 kg g = 1000 kgf
1 tf = 10 kN.
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Discussão sobre as leis de Newton no contexto da análise de 
estruturas
• Estruturas civis estão sempre em estado de repouso (velocidade e aceleração nulas). 
Portanto, “a força resultante em uma estrutura deve ser nula”.
• Lembre-se que uma força é uma grandeza vetorial, com intensidade, direção e 
sentido. 
• Para o caso de quadros planos, a imposição de resultante de força nula fornece duas 
condições para o equilíbrio global da estrutura:
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Discussão sobre as leis de Newton no contexto da análise 
de estruturas
• Uma estrutura tem dimensões grandes 
e tem comportamento diferente de 
uma partícula sem dimensão. 
• Além disso, as cargas atuam em uma 
estrutura em vários pontos de 
aplicação. Nesse caso, a ação à 
distância de uma força deve ser 
considerada. 
• O efeito de uma força F atuando à 
distância h é chamado de momento: 
M = F x h
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Discussão sobre as leis de Newton no contexto da análise 
de estruturas
• Assim, a 2ª lei de Newton, para estruturas em repouso, pode ser estendida para momentos: “o 
momento resultante em uma estrutura deve ser nulo”. No caso de quadros planos, isso resulta em 
mais uma condição para o equilíbrio global da estrutura:
• Essa condição de equilíbrio garante que o corpo não vai girar:
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Estruturas civis se deformam quando submetidas 
a solicitações (cargas, etc.). Mas as deformações 
e os deslocamentos de estruturas são muito 
pequenos, a ponto de serem desprezados 
quando são impostas condições de equilíbrio. 
Isto é, as condições de equilíbrio são impostas 
para a geometria original (indeformada) da 
estrutura. Esta hipótese é chamada de hipótese 
de pequenos deslocamentos.
A 3ª lei de Newton (princípio de ação e reação) é aplicável a todas as estruturas recebendo 
cargas e que estejam em equilíbrio. Esse princípio vale para forças em qualquer direção e 
para momentos.
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As 2ª e 3ª leis de Newton também se aplicam para qualquer porção isolada da estrutura. Isto é, qualquer 
barra, qualquer nó ou qualquer trecho da estrutura tem que isoladamente satisfazer as condições de 
equilíbrio. Isso vai resultar no conceito de esforço interno. Veja, por exemplo, o esforço interno axial em 
um cabo:
• Tração de um cabo
• Esforço interno axial (esforço normal)
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Mais adiante os esforços internos vão ser definidos 
para cada tipo de modelo estrutural: quadro plano, 
treliças, grelhas e quadros espaciais.
Vínculos externos (restrições de apoio)
• Em um modelo estrutural, as ligações com o meio externo têm 
que ser especificadas. 
• Isso é feito através de restrições de apoios, também 
denominadas vínculos externos. 
• Em um quadro plano, um apoio pode restringir o deslocamento 
horizontal !, o deslocamento vertical ", ou a rotação # no ponto 
da estrutura onde está posicionado. 
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Lembre-se que:
$ - deslocamento na direção do eixo global X;
% - deslocamento na direção do eixo global Y;
& - rotação em torno do eixo global Z.
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Vínculos externos (restrições de apoio)
• Um apoio pode impedir cada componente de deslocamento ou rotação em 
separado, aos pares, ou todos juntos. Os tipos mais comuns de apoios estão 
indicados abaixo, onde também estão indicadas as suas representações no 
modelo estrutural.
Estrutura Real Representação Representação
(Concreto Armado Eu te amo) (adotada)
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SIMBOLOGIA E RESTRIÇÕES IMPOSTAS
• Reações de apoio
– Cada restrição de apoio está associada a uma reação de apoio, que é a força ou 
momento que o vínculo externo exerce sobre a estrutura. 
– O impedimento a um deslocamento está associado ao aparecimento de uma 
reação força. 
– O impedimento de uma rotação está associado ao aparecimento de uma reação 
momento.
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Reações de apoio
• Um apoio do 1º gênero está associado a uma reação força 
vertical. 
• Um apoio do 2º gênero está associado está associado a uma 
reação força horizontal e uma reação força vertical. 
• Um engaste está associado a três reações de apoio: uma reação 
força horizontal, uma reação força vertical e uma reação 
momento:
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 q q 
VA 
HA 
VB VA 
HA 
MA 
VB 
HB 
Aplicação das condições de equilíbrio para determinação 
de reações de apoio
• Conforme dito anteriormente, um dos objetivos da Análise 
Estrutural é a determinação das reações de apoio de uma 
estrutura. 
• De uma maneira geral, para se calcular as reações de apoio é 
necessário considerar todos as condições matemáticas que o 
modelo estrutural tem que atender: condições de equilíbrio, leis 
constitutivas dos materiais e condições de compatibilidade entre 
deslocamentos e deformações. 
• Entretanto, existe um caso especial de estruturas para as quais é 
possível determinar as reações de apoio (e também os esforços 
internos) utilizando apenas condições de equilíbrio. 
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Aplicação das condições de equilíbrio para determinação 
de reações de apoio
• Esses tipos de estruturas são denominados estruturas isostáticas. 
• O caso mais geral de estruturas é o de estruturas hiperestáticas, para 
as quais só é possível determinar reações de apoio utilizando todas 
as condições do modelo: equilíbrio, leis constitutivas e 
compatibilidade. A análise de estruturas hiperestáticas é bem mais 
complexa do que a análise de estruturas isostáticas. 
• A determinação de reações de apoio é considerada apenas para 
estruturas isostáticas.
• Os exemplos estudados são de vigas horizontais e barras verticais ou 
inclinadas, que se enquadram como modelos de quadros planos. 
Para esses tipos de modelos estruturais, existem três equações de 
equilíbrio disponíveis. 
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Aplicação das condições de equilíbrio para determinação 
de reações de apoio
• Portanto, a condição para que quadros planos sejam isostáticos é 
que tenham apenas três reações de apoio.
• Deve-se salientar que a presença de articulações internas (rótulas) 
acarreta equações de equilíbrio adicionais (isso será visto mais 
tarde). 
• Portanto, um quadro plano isostático pode ter mais do que três 
reações de apoio quando tiver rótulas.
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