03b DiagramasESI

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07/03/2018
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CCE0370 - Teoria das Estruturas I
Aula 03b – Diagramas de ESI – DEC e DMF
Vigas Isostáticas
üSimples
–Viga bi apoiada
–Viga bi apoiada dotada de balanços
–Viga engastada e livre 
ü Compostas
–Nós rígidos e articulados (vigas Gerber) 
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Viga Simples bi apoiada com carga concentrada
1) Calcular as reações de apoio
2) Determinar os ESI na seção S
3) Traçar os diagramas de esforços internos (DEC e DMF)
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 3
Calcular as reações de apoio
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 4
!"! = 0
%" = 0
!"# = 0
&$ − ( + &" = 0
&$ + &" = (
!*$ = 0
−(. , + &". - = 0
.% =
/. 0
1
&$ = ( − (. ,-
.& = /. 21
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Determinar os ESI na seção S - Se
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 5
Q-
M+
Q+
M-
!"!" = 0
" − &'( . * = 0
" = &'*(
!+# = 0
−, + &'( = 0
, = &'(
Q-
M+
Q+
M-
Determinar os ESI na seção S - Sd
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 6
Q-
M+
Q+
M-
!"! = 0
% + '() = 0
% = −'()
!+"# = 0
−+ + '() . - = 0
+ = '(-)
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Traçar os diagramas de esforços internos (DEC e DMF)
üDiagrama de Esforço Cortante (DEC)
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Traçar os diagramas de esforços internos (DEC e DMF)
üDiagrama de Momento Fletor (DMF)
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Exemplo 01
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!"! = 0
%" − 10 + %# = 0
%" + %# = 10
)$ = 5 +,
!-" = 0
−10.3 + %#. 6 = 0
%# = 306
)% = 5 +,
Exemplo 01
Seção à direita da carga:
!"! = 0
% + 5 = 0
% = −5 )*
!+"# = 0
−+ + 5.3 = 0
+ = 15 )*/
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 10
Seção à esquerda da carga:
!"! = 0
−% + 5 = 0
% = 5 )*
!+"$ = 0
+ − 5.3 = 0
+ = 15 )*/
Q-
M+
Q+
M-
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Exemplo 01
• DEC
• DMF
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Exemplo 02
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 12
!"! = 0
%" − 12 + %#
= 0
%" + %# = 12
*$ = + ,-
!." = 0
−12.2 + %# . 8 = 0
%# = 248
*% = 2 ,-
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Exemplo 02
Seção à esquerda da carga:
!"! = 0
−& + 9 = 0
& = 9 )*
!+"# = 0
+ − 9.2 = 0
+ = 18 )*0
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 13
Q-
M+
Q+
M-
Seção à direita da carga:
!"! = 0
& + 3 = 0
& = −3 )*
!+"$ = 0
−+ + 3.6 = 0
+ = 18 )*0
Exemplo 02
• DEC
• DMF
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 14
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Exemplo 03
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 15
!"! = 0
%" − 70 − 110 + %# = 0
%" + %# = 180
+$ = ,- ./
!0" = 0
−70.3 − 110.5 + %# . 8 = 0
%# = 210 + 5508 =
760
8
+% = 6- ./
Exemplo 03
Seção à esquerda de 70 KN:
!"! = 0
−& + 85 = 0
& = 85 *+
!," = 0
, − 85.3 = 0
, = 255 *+0
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Q-
M+
Q+
M-
Q-
M+
Q+
M-
Seção à esquerda de 110 KN:
!"! = 0
−& + 85 − 70 = 0
& = 15 *+
!," = 0
, − 85.5 + 70.2 = 0
, = 285 *+0
Seção à direita de 110 KN:
!"! = 0
& + 95 = 0
& = −95 *+
!,# = 0
−, + 95.3 = 0
, = 285 *+0
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Exemplo 03
• DEC
• DMF
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 17
Viga Simples biapoiada com carga distribuída
1) Calcular as reações de apoio
2) Determinar os ESI na seção S
3) Traçar os diagramas de esforços internos (DEC e DMF)
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Calcular as reações de apoio
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 19
!"! = 0
%" − '. ) + %# = 0
%" + %# = '. )
%" = '. ) −
'. )
2
,$ =
-. .
/
!0" = 0
−'). )2 + %# . ) = 0
%# = '. )
%
2. )
,& = -. ./
Determinar ESI na seção S
• OBS: Para qualquer seção S, onde 0 ≤ x ≤ L.
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S à esquerda:
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Q-
M+
!"! = 0
−& + (. *2 − (, = 0
-(/) = −1/ + 1. 22
!3"# = 0
3 − (*2 . , + (,.
,
2 = 0
4(/) = −1/
$
2 +
12/
2
Diagrama de Esforço Cortante: !(#) = −'# +
!.#
$
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) = 0
+ ) = −,) +
,. .
2
+ 0 = −,. 0 +
,. .
2
+ 0 =
,. .
2
) =
.
2
+ ) = −,) + ,.
.
2
+
.
2
= −,.
.
2
+ ,.
.
2
+
.
2
= 0
) = .
+ . = −,. +
,. .
2
+ . = −
,. .
2
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Diagrama de momento fletor: !(#) = −
'#!
(
+
'*#
(
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+ = 0
- 0 = −
.. 0 !
2
+
.. 1. 0
2
! 2 = 2
+ =
1
2
-
1
2
= −
.
2
.
1
2
!
+
.. 1
2
.
1
2
-
1
2
= −
.1!
8
+
.1!
4
!
*
(
=
'*"
5
+ = 1
- L = −
.. 1 !
2
+
.. 1. 1
2
! 2 = 2
Exemplo 04
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 24
!"! = 0
%" − 15.8 + %# = 0
%" + %# = 120
-$ = ./ 01
!2" = 0
−120.4 + %# . 8 = 0
%# =
480
8
-% = ./ 01
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Exemplo 04
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 25
! = 0
$ % =
&. (
)
* 0 =
15.8
2
$ / = 0/ 12
! = 4
* 4 = −15. (4) + 15. (4)
$ 8 = / 12
! = 8
$ % = −
&. (
)
* 8 = −
15.8
2
$ 9 = −0/ 12
: / = /
; ! =
<=!
8
; 4 =
15. 8!
8
: 4 = 120 12>
: 9 = /
$(%) = −&% +
&. (
)
:(%) = −
&%"
)
+
&(%
)
Exemplo 04
• DEC
• DMF
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Exemplo 05
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 27
!"! = 0
%" − 40.2 − 20 + %# = 0
%" + %# = 100
,$ = -. /0
!1" = 0
−40.2.1 − 20.3 + %#. 4 = 0
%# = 1404
,% = 3. /0
Exemplo 05
Momento Máximo (Q=0) em S
∑"! = 0 ou	( = 0
65 − 40. . = 0
. = 6540/ = 0, 2345
6 − 65.1,625 + 40.1,625. 1,6252 = 0
6 = 52,8125 ;<=
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Q-
M+
Q+
M-
Q-
M+
Q+
M-
Seção à esq. carga dist.:
>"! = 0
−? + 65 − 80 = 0
? = −15 ;<
>6" = 0
6 − 65.2 + 80.1 = 0
6 = 50 ;<=
Seção à dir. carga 20KN
>"! = 0
? + 35 = 0
? = −35 ;<
>6# = 0
−6 + 35.1 = 0
6 = 35 ;<=
x
S
65 KN
40.x KN
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Exemplo 05
• DEC
• DMF
7 March 2018 CCE0370 - Teoria das Estruturas I 29
FTOOL: www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/
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