39 26 06 2010 Equação da Reta no Espaço Escola Naval

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Equação da Reta no Espaço 
 
1. EN– A reta s, que passa pelo ponto P(1, –2, 1), corta a reta r de equações x – 1 = 
2
y = 
3
2z − , e é perpendicular a r, 
tem equações: 
(A) 
x 1 t
y 2 2t
z 1 t
= +⎧⎪ = − −⎨⎪ = +⎩
 
(B) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
−−=
−=
t31z
t42y
t1x
 
(C) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
−−=
−=
t1z
t2y
t51x
 
 (D) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
+−=
+=
t3
2
1z
t31y
t3
2
1x
 
(E) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
+−=
+=
t31z
t22y
t51x
. 
 
Solução: 
 
A reta 
 
( ) ( )
( ) ( )
x 1 t
(r) : y 2 t Q (r) Q 1 t,2 t, 2 3 t PQ t, 2 t 2,3 t 1
z 2 3t
1(r) (s) PQ r 0 t, 2 t 2,3 t 1 1, 2,3 0 t 4t 4 9t 3 0 t
2
1 1PQ ,1,
2 2
1x 1 t
2
(s): y 2 t
1z 1 t
2
= +⎧⎪ = ⇔ ∈ ⇔ = + + ⇒ = + +⎨⎪ = +⎩
⊥ ⇔ • = ⇔ + + • = ⇒ + + + + = ⇔ = −
⎛ ⎞⇔ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎧ = −⎪⎪⇒ = − +⎨⎪⎪ = −⎩
????
???? ?
????
 
Opção (A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. EN– Os vértices de um triângulo são: A(2, 1, 3), B(4, –1, 2) e C(6, 2, 5). As coordenadas do pé da altura relativa ao 
vértice A são: 
(A) (5, 1, 3) 
(B) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
5
21,
5
6,
5
26 
 (C) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
11
34,
11
1,
11
45 
(D) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
71,
2
1,5 
(E) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
22
59,
22
7,
11
49 . 
 
Solução: 
 
( ) ( ) ( )
( )
( )
A 2, 1, 3 , B 4, –1, 2 e C 6, 2, 5
Seja (r) a reta sup orte da base BC
x 4 2 t
(r): y 1 3t H (r) H 4 2 t, 1 3 t, 2 3t
z 2 3t
AH 2 2t, 2 3t, 1 3t .
5 49 7 59Como AH (r) AH r 0 4 4t 6 9t 3 9t 0 t H , ,
22 11 22 22
= +⎧⎪ =− + ⇔ ∈ ⇔ = + − + +⎨⎪ = +⎩
⇒ = + − + − +
⎛⊥ ⇔ • = ⇒ + − + − + = ⇔ = ⇒ = −⎝
?????
????? ? ⎞⎜ ⎟⎠
 
Opção (E) 
 
3. EN– A distância do ponto (1, 0, 2) à reta 
6
1z
3
y
2
2x −==− vale: 
(A)
7
4 
 (B) 1 
(C)
7
35 
(D)
7
82 
 (E)
7
105 . 
 
Solução: 
( )
( ) ( )
x 2 2t
x 2 y z 1(r): (r): y 3t Q (r) Q 2 2t,3t, 1 6t
2 3 6
z 1 6t , t
Seja P 1,0, 2 PQ 1 2t,3t, 1 6t .
4 57 12 25 82PQ (r) PQ r 0 2 4t 9t 6 36t 0 t PQ , , PQ .
49 49 49 49 7
= +⎧− − ⎪= = ⇔ = ⇔ ∈ ⇔ = + +⎨⎪ = + ∈⎩
= ⇒ = + − +
⎛ ⎞⊥ ⇔ • = ⇒ + + − + = ⇔ = ⇔ = − ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
?
????
???? ? ???? ????
 
 
Opção (D) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. EN– O valor de m para que as retas r e s 
r:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
+−=
⎩⎨
⎧
−=
−=
t5z
t3y
t21x
:se
x2z
3mxy
sejam ortogonais é 
(A) –10 
(B) –8 
(C) 4 
(D) 6 
(E) 8. 
 
Solução: 
 
( )
( )
r 1, m, 2
s 2, 1,5
(r) (s) r s 0 2 m 10 0 m 8.
= −
= −
⊥ ⇔ • = ⇒ − − = ⇔ =−
?
?
? ?
 
 
Opção (B) 
 
5. EN– Seja r a reta que contém: 
(i) o ponto de interseção das retas 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
+=
2tz
5t4y
3t2x
:r1 e ⎩⎨
⎧ +=+=+ 2z
4
1y
2
1x:r2 
 
(ii) o ponto médio do segmento de extremos 1)0,A(1 − e 3),4,B(3 − .As equações de r são: 
 
(A) t31x −−= ; t1y −−= ; 
 t32z +−= . 
(B) t31x += ; t1y −−= ; t32z +−= . 
(C) 
3
2z
1
1y
3
1x +=−
+=+ . 
(D) 
3
2z
1
1y
3
1x −=−
−=− . 
(E) t23x += ; t21y −−= ; t3z += . 
 
Gabarito 
 
1. A 
2. E 
3. D 
4. B 
5. C