Apostila Sistemas Digitais

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Sistemas 
Digitais I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Sandro Rodrigo G. Bastos 
SISTEMAS DIGITAIS I Prof. Sandro Rodrigo G. Bastos 
 
 
 
Universidade Santa Cecília 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ÍNDICE 
 
1. SISTEMAS ANALÓGICOS E DIGITAIS ____________________________________4 
2. SISTEMAS NUMÉRICOS ________________________________________________7 
2.1. Sistema Binário___________________________________________________________ 7 
2.2. Sistema Octal ____________________________________________________________ 9 
2.3. Sistema Hexadecimal _____________________________________________________ 10 
2.4. Códigos Binários_________________________________________________________ 12 
3. ÁLGEBRA DE BOOLE E PORTAS LÓGICAS ______________________________14 
4. CIRCUITOS COMBINACIONAIS ________________________________________23 
4.1. Mapas de “Veitch Karnaugh”______________________________________________ 23 
4.2. Problemas de Lógica Booleana _____________________________________________ 26 
5. FUNÇÕES COM PORTAS NAND E NOR __________________________________36 
6. MÉTODO DE PARIDADE_______________________________________________43 
7. ARITMÉTICA DIGITAL ________________________________________________46 
7.1. Adição Binária __________________________________________________________ 46 
7.2. Representação de Números com Sinal _______________________________________ 46 
7.3. Adição no Sistema Complemento de 2 _______________________________________ 48 
7.4. Subtração no Sistema Complemento de 2 ____________________________________ 49 
7.5. Multiplicação de Números Binários _________________________________________ 49 
7.6. Divisão Binária __________________________________________________________ 49 
7.7. Aritmética Hexadecimal __________________________________________________ 51 
8. CIRCUITOS ARITMÉTICOS ____________________________________________55 
9. FAMÍLIAS LÓGICAS DE CIRCUITOS INTEGRADOS ______________________61 
9.1. A Família Lógica TTL (Transistor Transistor Logic) __________________________ 63 
9.2. A Família Lógica MOS (Metal Oxide Semiconductor)__________________________ 71 
10. ANEXO 1: LABORATÓRIOS __________________________________________82 
11. ANEXO 2: PINAGEM DE CIRCUITOS INTEGRADOS____________________100 
12. ANEXO 3: RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS ________________101 
13. BIBLIOGRAFIA ____________________________________________________114 
 
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1. SISTEMAS ANALÓGICOS E DIGITAIS 
 
Costuma-se dividir a Eletrônica em duas áreas: Eletrônica Analógica e Eletrônica Digital. 
Uma maneira bem simples para se entender o conceito das palavras Analógico e Digital, é 
compararmos uma rampa com uma escada. Ao analisarmos a rampa, percebemos que uma pessoa 
poderá ocupar cada uma das infinitas posições existentes entre o início e o fim. No caso da escada, a 
pessoa poderá estar em apenas um dos seus degraus. Sendo assim, podemos dizer que a rampa pode 
representar um sistema analógico, enquanto que a escada pode representar um sistema digital. 
 
 
 
 
 
Enquanto no voltímetro analógico o ponteiro pode ocupar infinitas posições entre o maior e 
menor valor da escala, no voltímetro digital os valores mostrados no display são discretos, isto é, 
existe um número finito de valores entre o maior e o menor valor da escala. Outro exemplo pode ser 
encontrado no ajuste de volume de um televisor. Ajustando o volume do televisor através de um botão 
conectado a um potenciômetro, teremos infinitas posições para escolher dentro da escala permitida. 
Porém, no controle remoto observamos que a intensidade do som muda em pequenos saltos e, em 
alguns modelos, aparece no vídeo o valor selecionado em uma escala previamente definida. Podemos 
dizer então que o "botão de volume" do televisor é uma entrada analógica, e que o ajuste de volume no 
controle remoto representa uma entrada digital. 
Podemos concluir que a Eletrônica Analógica processa sinais com funções contínuas e a 
Eletrônica Digital processa sinais com funções discretas. 
 
Vantagens das Técnicas Digitais 
 
O grande crescimento da eletrônica está relacionado com o uso de técnicas digitais para 
implementar funções que eram realizadas usando-se os métodos analógicos. Os principais motivos da 
migração para a tecnologia digital são: 
 
- Os sistemas digitais são mais fáceis de ser projetados. Isso porque os circuitos utilizados são 
circuitos de chaveamento, nos quais não importam os valores exatos de tensão ou corrente, 
mas apenas a faixa – Alta (High) ou Baixa (Low) – na qual eles se encontram. 
- Fácil armazenamento de informação. Técnicas de armazenamento digitais podem armazenar 
bilhões de bits em um espaço físico relativamente pequeno. Já a capacidade de 
armazenamento de um sistema analógico é extremamente limitada. 
- Maior precisão e exatidão. Nos sistemas analógicos, a precisão é limitada porque os valores de 
tensão e corrente são diretamente dependentes dos valores dos componentes do circuito, além 
de serem muito afetados por ruídos. 
- Os circuitos digitais são menos afetados por ruídos. Flutuações espúrias na tensão (ruído) não 
são tão críticas em sistemas digitais, desde que o ruído não tenha amplitude suficiente que 
dificulte a distinção entre um nível Alto e um nível Baixo. 
- CIs (chips) digitais têm um grau maior de integração. 
 
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Limitações das Técnicas Digitais 
 
Na verdade, há apenas uma grande desvantagem ao se utilizar as técnicas digitais: O mundo é 
quase totalmente analógico. Como exemplos temos a temperatura, a pressão, a posição, a velocidade, 
o nível de um líquido e a vazão. Para obter as vantagens das técnicas digitais quando tratamos com 
entradas e saídas analógicas, três passos devem ser seguidos: 
 
1- Converter as entradas analógicas do mundo real para o formato digital. 
2- Realizar o processamento da informação digital. 
3- Converter as saídas digitais de volta ao formato analógico. 
 
A figura abaixo mostra um diagrama de um sistema de controle de temperatura típico. Conforme o 
diagrama, a temperatura analógica é medida e o valor medido é em seguida convertido para digital. A 
informação digital é processada e convertida de volta para o formato analógico. Essa saída alimenta 
um controlador que comanda alguma ação para o ajuste da temperatura. 
 
 
 
Conversor
analógico/digital
(ADC)
Dispositivo
de medição
(sensor)
Analógico
Processamento
Digital
Digital
Conversor
digital/analógico
(DAC)
Controlador
Analógico
Digital
Ajuste de
Temperatura
Temperatura
Analógica
 
Para simplificar ainda maiso processamento de sinais digitais, utiliza-se a técnica de 
numeração binária, que usa apenas dois símbolos para a representação de números. Se enumerarmos 
esses valores usando a numeração binária, teremos um Conjunto Universo com apenas dois elementos 
distintos para representarmos os sinais desejados. Isso quer dizer que num dispositivo digital 
eletrônico teremos o processamento de elementos que se apresentam em apenas dois valores. A esses 
conjuntos dá-se o nome de BITs (BInary DigiT) e BYTES (conjunto de 8 bits). 
Ao se trabalhar com sistemas binários, utilizamos abreviações para certas potências de dois, 
como detalhadas abaixo. 
 
Número de bits Valor Abreviação 
10 bits 210 = 1.024 1 Kb (kilobit) 
16 bits 216 = 65.536 64 Kb 
20 bits 220 = 1.048.576 1 Mb (megabit) 
30 bits 230 = 1.073.741.820 1 Gb (gigabit) 
 
 
O sistema de numeração binário é o mais importante sistema de numeração em sistemas 
digitais. Porém, outros sistemas também são muito utilizados, sendo necessário uma maneira de se 
converter os valores de um sistema para outro. Esse assunto será discutido no próximo capítulo. 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1 - Quais dos itens a seguir referem-se à forma de representação digital e quais se referem à analógica? 
 
a) Chave de dez posições. 
b) A corrente elétrica na tomada na parede. 
c) A temperatura de uma sala. 
d) Pedras dentro de um balde. 
e) Velocímetro de automóvel. 
f) Altitude de um avião. 
g) Corrente através de um alto-falante. 
h) Ajuste do temporizador de um forno de microondas. 
 
2 - Qual a diferença entre as quantidades analógicas e digitais? 
 
3 - Quais são as vantagens das técnicas digitais sobre as analógicas? 
 
4 - Qual é a maior limitação para o uso das técnicas digitais? 
 
 
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2. SISTEMAS NUMÉRICOS 
Muitos sistemas de numeração são usados na tecnologia digital. Os mais comuns são o 
decimal, o binário, o octal e o hexadecimal. O sistema decimal é naturalmente o sistema mais familiar 
para todos, uma vez que ele é uma ferramenta que utilizamos todos os dias. 
 
Binário Octal Decimal Hexadecimal 
0 0 0 0 
1 1 1 1 
 2 2 2 
 3 3 3 
 4 4 4 
 5 5 5 
 6 6 6 
 7 7 7 
 8 8 
 9 9 
 A 
 B 
 C 
 D 
 E 
 F 
 
 
2.1. Sistema Binário 
Infelizmente, o sistema decimal não se presta para ser implementado satisfatoriamente em 
sistemas digitais. Por exemplo, é difícil projetar um equipamento eletrônico que possa trabalhar com 
10 níveis diferentes de tensão (um para cada algarismo decimal, do 0 ao 9). Por outro lado, é fácil 
implementar circuitos eletrônicos simples e precisos que operam somente com dois níveis de tensão. 
Por esta razão, quase todos os sistemas digitais usam o sistema de numeração binário (base 2), embora 
outros sistemas de numeração às vezes sejam usados em conjunção com o sistema binário. 
O sistema de numeração binário é um sistema posicional em que cada dígito binário (bit) tem 
um certo peso de acordo com sua posição. 
 
 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 
 MSB LSB 
Onde: 
MSB – Most Significant Bit 
LSB – Least Significant Bit 
 
Conversão Binário � Decimal 
 
1º Método: Todo número, independente da base numérica, pode ser expresso pela equação: 
 
D = an.Bn-1 + an-1.Bn-2 + ........+ a1.B0 + ......... 
Onde: 
D = Número em decimal 
an = Valor do n-ésimo termo a partir da vírgula 
B = Base 
 
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Exemplo: Transformar o número binário 10110 em decimal. 
 
D = 1.24 + 0.23 + 1.22 + 1.21 + 0.20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22 
 
2º Método: Existe uma maneira mais prática de transformar binário em decimal que é pelo método 
“...8-4-2-1”. O bit menos significativo corresponde ao “1”, o segundo dígito menos significativo 
corresponde ao “2” e assim sucessivamente. Deve-se somar apenas os números cujo termo é 1. 
 
Exemplo: Transformar o número binário 10110 em decimal. 
 
 16 8 4 2 1 
1 0 1 1 0 = 16 + 4 + 2 = 22 
 
Conversão Decimal � Binário 
 
1º Método: Este método consiste em sucessivas divisões por 2 até se obter o quociente 0. Os restos 
destas divisões colocados na ordem inversa correspondem ao número binário. 
 
Exemplo: Transformar o número decimal 43 em binário. 
 
43 2 
1 21 2 
 1 10 2 
 0 5 2 
 1 2 2 
 0 1 2 
 1 0 
 
Resultado: 101011 
 
2º Método: Basta utilizar o método “...8-4-2-1” na forma inversa. 
 
Exemplo: Transformar o número decimal 43 em binário. 
 
 43 = 32 16 8 4 2 1 
1 0 1 0 1 1 
 
Número Fracionário: Para se mudar a parte fracionária de um número decimal, basta multiplicar 
sucessivamente o número fracionário pela base que se deseja passar, tomando-se como resposta a 
parte inteira do produto das sucessivas multiplicações, consideradas do primeiro para o último 
produto. O término do processo dependerá da precisão do arredondamento ou capacidade da máquina. 
 
Exemplo: Transformar o número decimal 0,42 em binário. 
 
0,42 x 2 = 0,84 
0,84 x 2 = 1,68 
0,68 x 2 = 1,36 
0,36 x 2 = 0,72 
0,72 x 2 = 1,44 
 
Resultado: 0,01101 
 
 
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2.2. Sistema Octal 
O sistema de numeração octal é muito importante no trabalho com computadores digitais. A 
principal vantagem é a facilidade com que conversões podem ser feitas entre números binários e 
octais, e vice versa. 
Quando lidamos com uma grande quantidade de números binários de vários bits, é 
conveniente e mais eficiente escrevermos os números em octal em vez de binário. 
 
Conversão Octal � Decimal 
 
Exemplo: Transformar o número octal 372,6 em decimal. 
 
D = 3.82 + 7.81 + 2.80 + 6.8-1 = 192 + 56 + 2 + 0,75= 250,75 
 
Conversão Decimal � Octal 
 
Exemplo: Transformar o número decimal 266 em octal. 
 
266 8 
2 33 8 
 1 4 8 
 4 0 
 
Resultado: 412 
 
Exemplo: Com 4 dígitos fracionário, transformar o número decimal 0,37 em octal. 
 
0,37 x 8 = 2,96 
0,96 x 8 = 7,68 
0,68 x 8 = 5,44 
0,44 x 8 = 3,52 
 
Resultado: 0,2753 
 
Conversão Octal � Binário 
 
Para realizar a conversão, basta transformar cada número octal no seu correspondente binário. 
Este método também pode ser usado na conversão binário para octal. 
 
Octal 0 1 2 3 4 5 6 7 
Binário 000 001 010 011 100 101 110 111 
 
Exemplo: Transformar o número octal 472 em binário. 
 
 4 = 100 
7 = 111 472 = 100 111 010 
 2 = 010 
 
Conversão Binário � Octal 
 
Exemplo: Transformar o número binário 101 100 001 em octal. 
 
 101 = 5 
100 = 4 101 100 001 =541 
 001 = 1 
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2.3. Sistema Hexadecimal 
O sistemade numeração hexadecimal usa a base 16. Assim, ele tem 16 símbolos possíveis, 
utilizando os dígitos 0 a 9 mais as letras A, B, C, D, E e F. Da mesma forma que o sistema octal, é 
utilizado principalmente como um método compacto para representação de números binários. 
 
Conversão Hexadecimal � Decimal 
 
Exemplo: Transformar o número hexadecimal 2AF em decimal. 
 
D = 2.162 + 10.161 + 15.160 = 512 + 160 + 15 = 687 
 
Conversão Decimal � Hexadecimal 
 
Exemplo: Transformar o número decimal 423 em hexadecimal. 
 
423 16 
7 26 16 
 10 1 16 
 1 0 
 
Resultado: 1A7 
 
Conversão Hexadecimal � Binário 
 
Hexa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 
Binário 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
 
Exemplo: Transformar o número hexadecimal 9F2 em binário. 
 
9 = 1001 
F = 1111 9F2 = 1001 1111 0010 
2 = 0010 
Conversão Binário � Hexadecimal 
 
Exemplo: Transformar o número binário 1011 0011 1101 em hexadecimal. 
 
1011 = B 
 0011 = 3 1011 0011 1101 =B3D 
1101 = D 
 
Exercício: Transforme os números abaixo para a base solicitada. 
 
a) (1001)2 para a base octal 
b) (01100110,101)2 para a base decimal 
c) (174)8 para a base binária 
d) (036)8 para a base decimal 
e) (2D3,A)16 para a base decimal 
f) (10B)16 para a base binária 
g) (47)10 para a base binária 
h) (178)10 para a base octal 
i) (110101010)2 para a base hexadecimal 
j) (623,82)10 para a base hexadecimal 
 
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Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.4. Códigos Binários 
Se cada dígito de um número decimal é representado por seu equivalente binário, o resultado é 
um código chamado “Decimal Codificado em Binário” (Binary Coded Decimal). Como um dígito 
decimal pode assumir os valores de 0 a 9, quatro bits são necessários para codificar cada dígito. A 
principal vantagem do código BCD é a relativa facilidade de conversão para o decimal e vice-versa. 
É importante ressaltar que um número BCD não é o mesmo que um número binário puro. O 
código binário puro considera o número decimal completo e o representa em binário; o código BCD 
converte cada dígito decimal para binário individualmente. 
Outra codificação utilizada é o Código Gray, cuja principal característica reside no fato de que 
há apenas uma alteração de bit entre os números vizinhos. O Código Excesso de 3 tem como 
característica iniciar a contagem a partir do número 3 em binário. 
 
DECIMAL BCD GRAY Exces. de 3 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 
2 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 
3 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 
4 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 
5 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 
6 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 
7 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 
8 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 
9 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 
 
Exercício: Converta os números abaixo em BCD, Gray e Excesso de 3. 
 
a) (1935)10 
b) (7832)10 
c) (101001001010)2 
Respostas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1 - Qual é o maior número em decimal que pode ser representado usando 8 bits? 
 
2 - Qual é o próximo número binário que se segue a 10111 |2 na seqüência de contagem? 
 
3 - Quantos bits são necessários para uma contagem até 511 |10? 
 
4 - Qual é o peso do MSB de um número de 16 bits? 
 
5 - Transforme os números abaixo para a base solicitada. 
 
a) 1001110,101 |2 para X |10 
b) 25 |10 para X |2 
c) 1C4 |16 para X |10 
d) 416 |8 para X |2 
e) 1101110 |2 para X |8 
f) 0,28 |10 para X |16 
g) 87,14 |10 para X |8 
h) 1011110 |2 para X |16 
i) 3DA |16 para X |2 
j) 22 |8 para X |10 
 
6 - Converta os números abaixo em BCD, Gray e Excesso de 3. 
 
a) 326 |10 
b) 111001010 |2 
c) FF |16 
d) 107 |8 
 
 
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3. ÁLGEBRA DE BOOLE E PORTAS LÓGICAS 
Em 1854, George Boole (1815-1864), filósofo e matemático inglês, apresentou um trabalho 
intitulado “An Investigation of the Laws of Thought” que serviu como base para a teoria matemática 
das proposições lógicas. Em 1938, Claude Elwood Shannon, engenheiro americano, no seu trabalho 
“Symbolic Analysis of Relay and Switching”, aplicou a teoria de Boole na simplificação lógica de 
funções usadas em telefonia. Ele percebeu que as leis que governam as relações entre as proposições 
lógicas eram idênticas às leis válidas para dispositivos de chaveamento de dois estados. Tais 
dispositivos podem ter um dos seguintes estados diferentes: “ligado” ou “desligado”, voltagem “alta” 
ou “baixa”, “verdadeiro” ou “falso”. 
A Álgebra de Boole é estruturada sobre um conjunto de três tipos de operações: OU, E e 
COMPLEMENTO, e pelos caracteres 0 e 1. As operações E e OU serão simbolizadas, 
respectivamente, por um ponto (.) e por um sinal de mais (+), enquanto que o COMPLEMENTO será 
representado através de uma barra colocada em cima do elemento em questão. 
 
POSTULADOS E TEOREMAS 
 
Associativa: (X + Y) + Z = X + (Y + Z) 
 (X . Y) . Z = X . (Y . Z) 
 
Comutativa: X + Y = Y + X 
 X . Y = Y . X 
 
Elemento Neutro: 0 + X = X 
 1 . X = X 
 
Distributiva: X . (Y + Z) = (X . Y) + (X . Z) 
 X + (Y . Z) = (X + Y) . (X + Z) 
 
Complementar: X . X = 0 
 X + X = 1 
 
De Morgan: (X + Y) = (X . Y) 
 (X . Y) = (X + Y) 
 
A partir destes postulados e teoremas, podemos simplificar expressões booleanas como nos 
exemplos a seguir: 
 
Exemplo: Simplificar as expressões abaixo utilizando a Álgebra de Boole. 
 
a) S = A.B.C + A.C + A.B 
S = A.(B.C + C + B) � Distributiva 
S = A.(B.C + B.C) � De Morgan 
S = A.1 � Complementar 
S = A 
 
b) F = A.B + A.B + A.B 
F = A.B + A.B + A.B 
�
 Comutativa 
F = B.(A + A) + A.B � Distributiva 
F = B + A.B 
�
 Complementar 
F = (B + A).(B + B) � Distributiva 
F = B + A 
�
 Complementar 
F = B.A � De Morgan 
 
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Exercício: Simplifique as expressões abaixo utilizando a Álgebra de Boole 
 
a) H = A.B.C + B.C 
 
b) Y = (A + B + C) + (B + C) 
 
c) S = (A + B + C) . (A + B) 
 
d) T = A.B + A.B.C + A.B.C 
 
e) F = X.Y.Z + X.Z + X.Y.Z + X.Z 
 
f) G = A.(B + B.C) + A.B + B.C.(A + C) 
 
Respostas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Os postulados e teoremas da Álgebra de Boole permitem representar expressões da solução de 
um problema ou do comando de um sistema. Tais expressões podem ser executadas por um conjunto 
de circuitos em eletrônica digital denominados Portas Lógicas. As portas lógicas são, na verdade, a 
tradução dos postulados Booleanos implementados através de circuitos eletrônicos. 
 
Função OU (OR) 
 
Tabela Verdade Porta OU 
A B F 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 1 
 
 
Função E (AND) 
 
Tabela Verdade Porta E 
A B F 
0 0 0 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
 
 
Função NOU (NOR) 
 
Tabela Verdade Porta NOU 
A B F 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 0 
 
 
Função NE (NAND) 
 
Tabela Verdade Porta NE 
A B F 
0 0 1 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 0 
 
F = A + B 
F = A . B 
F = A + B 
F = A . B 
A
B
F
A
B
F
A
B
F
A
B
F
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Função Complemento 
 
Tabela Verdade Porta Inversora 
A A 
0 1 
1 0 
 
 
Função OU-Exclusivo 
 
Tabela Verdade Porta OU-Exclusivo 
A B F 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 0 
 
 
Função E-Coincidência 
 
Tabela Verdade Porta E-Coincidência 
A B F 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
 
 
O uso conveniente dos diversos tipos de portas lógicas permite a implementação de um 
circuito com equação lógica na saída igual a da função booleana. As variáveis da função são colocadas 
nas entradas do circuito. A configuração final do circuito vai depender da disponibilidade de 
componentes e da experiência do usuário. 
 
 
Exemplo: Implemente o circuito da função abaixo utilizando qualquer porta lógica de no máximo 2 
entradas. 
 
F = A.B + A.B 
Resp: 
 
A
B
F
F = A 
F = A.B + A.B = A⊕B 
F = A.B + A.B = A � B 
A F
A
B
F
A
B
F
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Exercício: Implemente o circuito da função abaixo utilizando qualquer porta lógica de no máximo 2 
entradas. 
 
S = A.B.C + B.C + A.C 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Determine a função que representa o circuito lógico abaixo: 
 
 
Resposta: 
 
 
 
Exercício: Determine a função que representa o circuito lógico abaixo: 
 
A B C D
F
 
 
Resposta: 
 
 
A
B
C
F
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Formas Canônicas 
 
A lógica estruturada é baseada na capacidade de escrever equações booleanas de maneira que 
ela utilize vários tipos de formas regulares e repetidas. Dois tipos de formas estruturadas são 
especialmente úteis em um projeto lógico. Elas são conhecidas como “Soma de produtos” e “Produto 
de somas”. Uma expressão em soma de produtos consiste em efetuar operações OR sobre termos 
contendo operações AND. A expressão em produto de somas consiste em efetuar operações AND 
sobre termos contendo operações OR. Como pode ser observado, as equações podem ser determinadas 
pela aplicação da regra de De Morgan. 
 
Y(ABC) = (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) � Soma de Produtos (SDP) 
 
Y(ABC) = (A + B + C) . (A + B + C) . (A + B + C) � Produto de Somas (PDS) 
 
Uma equação pode estar no formato soma de produtos, mas não estruturada em sua forma 
canônica, ou seja, com todos os termos apresentando todas as variáveis disponíveis. A equação pode 
ser colocada em sua forma canônica da seguinte forma: 
 
Y(ABC) = (A.B) + (A.B.C) + B 
 
Y(ABC) = (A.B).1 + (A.B.C) + 1.B.1 
 
Y(ABC) = (A.B) . (C + C) + (A.B.C) + (A + A) . B . (C + C) 
 
Y(ABC) = (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) 
 
Y(ABC) = (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) 
 
 
Quando estamos trabalhando com expressões descritas em termos de soma de produtos, é 
conveniente introduzirmos o conceito de Mintermo. O mintermo é formado com a operação AND 
aplicada a todas as variáveis, em suas formas normais ou complementares. A notação com mintermos 
pode ser utilizada para simplificar a aparência de expressões em soma de produtos. Considere a 
função: 
 
F(ABC) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C 
 
Esta expressão pode ser expressa em termos de mintermos utilizando a seguinte forma, onde o 
símbolo de somatório (Σ) indica a operação OR aplicada aos mintermos listados dentro do parêntese. 
 
F(ABC) = Σ (0, 3, 4, 7) 
 
Com funções expressas no formato produto de somas, utiliza-se o conceito de Maxtermo, que 
consiste na operação OR aplicada a todas as variáveis, em suas formas normais ou complementares. 
Na função expressa em maxtermos, o símbolo de produtório (Π) indica a operação AND aplicada nos 
maxtermos listados. 
 
F(ABC) = (A + B + C) . (A + B + C) . (A + B + C) 
 
F(ABC) = Π (1, 3, 7) 
 
 
 
 
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Exercício: Escreva a função abaixo em sua forma SDP canônica, e em seguida expressa em 
mintermos. 
 
F(ABC) = A.B.C + A.C + A.B 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Escreva a função em sua forma SDP canônica e expressa em mintermos, definida pela 
seguinte Tabela Verdade. 
 
X Y Z F 
0 0 0 0 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1 - Simplifique as expressões abaixo utilizando os postulados da Álgebra de Boole. 
 
a) S = (A + C).(B + D) 
 
b) F = A.(X + Z) + C.(Y + X.Z) + C.Y + A.Z 
 
c) F = X.Y.W + X.(Z.W + Z) + X.Y.W + X.Z 
 
d) X = (A + B).(A + B) 
 
e) G = (M + N).(M + P).(N + P) 
 
f) F = A.B.C + A.B.C + B.C.D 
 
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2 - Implemente os circuitos das funções abaixo utilizando qualquer porta lógica de no máximo 2 
entradas. 
 
a) F = X.(Y + Z) + W.Z + Y 
 
b) F = A⊕B + (C + D).A 
 
c) S = A + C.D.(A � B) 
 
d) G = X.Z.Y.W + (Z⊕W).X 
 
3 - Determine as funções que representam os circuitos abaixo. 
 
a) 
 
A B C D
F
 
 
b) 
 
X Y Z W
S
 
 
4 - Determine as condições de entrada necessárias para que a saída da figura abaixo seja “1”. 
 
A
B
C
S
 
 
5 - Um avião emprega um sistema de monitoração dos valores de rpm, pressão e temperatura dos seus 
motores usando sensores que operam da seguinte forma: 
Sensor RPM = 0 apenas quando a velocidade for < 4.800 rpm. 
Sensor P = 0 apenas quando a pressão for < 1,30 N/m2. 
Sensor T = 0 apenas quando a temperatura for < 95 oC. 
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A figura abaixo mostra o circuito que controla um alarme dentro da cabine para certas condições da 
máquina. Admita que um nível ALTO na saída W ative o alarme de advertência. Determine quais 
condições do motor indicam um sinal de advertência ao piloto. 
 
Sensor de
Temperatura
Sensor de
Pressão
Sensorde
RPM
W
Alarme
T
P
R
 
 
6 - Determine qual a porta lógica que, ao inserirmos as formas de onda A e B em suas entradas, 
fornece em sua saída a forma de onda S abaixo. 
 
 A 
 
 
 
 B 
 
 
 
 S 
 
7 - Projete um circuito lógico com duas entradas A e B e duas saídas X e Y, devendo operar da 
seguinte forma: 
 
- Quando B = 1, a saída X segue a entrada A e a saída Y é 0. 
- Quando B = 0, a saída X é 0 e a saída Y segue a entrada A. 
 
8 - Escreva a função abaixo em sua forma SDP canônica, e em seguida expressa em mintermos. 
 
F(XYZ) = X.Y + Y.Z + X.Y.Z + X.Z 
 
9 - Escreva a função em sua forma SDP canônica e em mintermos, definida pela seguinte Tabela 
Verdade. 
 
A B C F 
0 0 0 1 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
1 1 1 0 
 
 
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4. CIRCUITOS COMBINACIONAIS 
Os circuitos combinacionais podem ser utilizados na implementação de solução de projetos 
onde a função (ou funções) de saída depende única e exclusivamente da combinação das variáveis de 
entrada. Na resolução de um projeto, identifica-se quem são as variáveis de entrada e a(s) função(ões) 
de saída. Na análise, monta-se a Tabela Verdade, onde o número de combinações é dado por: 
 
Onde “n” é a quantidade de variáveis de entrada. 
Após o levantamento da Tabela Verdade, deve-se otimizar a função através da simplificação, 
que pode ser feita através dos postulados da Álgebra de Boole e/ou através dos mapas de “Veitch 
Karnaugh”. A partir da função simplificada implementa-se o circuito lógico. 
 
4.1. Mapas de “Veitch Karnaugh” 
Este método consiste em se fazer a minimização de uma função lógica. O mapa de Karnaugh 
contém os mesmo elementos que uma Tabela Verdade comum, porém com uma distribuição diferente. 
A seguir, apresentamos as regras para minimização de funções usando mapas de Karnaugh: 
- Escrever a função no Mapa de Karnaugh; 
- Reunir o maior número possível de células com “1”, de forma simétrica, sendo que o número total 
de células deve ser 2n (1,2,4,8,16,32...). As células devem ser adjacentes entre si; 
- Enquanto existirem células com “1” não pertencentes a nenhum dos grupos formados, devemos 
repetir o procedimento anterior para a formação de novos grupos; 
- Obter, através da “Soma de Produtos”, a função resultante da simplificação; cada grupamento de 
“1” irá representar um produto dentro da Soma. A identificação do produto será dada pelas 
variáveis que permaneceram constantes para o grupamento. 
 
OBS: Duas células dentro do mapa de Karnaugh serão adjacentes, se de uma célula para outra somente 
uma variável de identificação mudar de estado. 
 
Exemplo: Minimize a função abaixo utilizando Karnaugh. 
 
F = A.B.C + A.B + A.B.C + A.B.C 
 
A Tabela Verdade que representa a função é: 
 
A B C F 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 1 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
1 1 1 0 
 
Mapa de Karnaugh: 
 
 
 
 
 
nscombinaçõeN 2º =
 A B 
 C 00 01 11 10 
0 0 1 0 1 
1 0 1 0 1 
 
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Utilizando as regras de minimização temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Temos dois grupos de células, cuja função minimizada será: 
 
F = A.B + A.B = A⊕⊕⊕⊕B 
 
A função minimizada ficou muito menor que a original, economizando portas lógicas caso 
fosse implementado o circuito digital. Podemos aplicar essa regra para 2, 3, 4, 5, ... variáveis de 
entrada. Abaixo temos mapas de Karnaugh de diversos tamanhos, cujas regras de minimização podem 
ser seguidas como no exemplo anterior. 
 
 A 
 B 0 1 
0 
1 
 
Mapa de 2 variáveis 
 
 
 A B 
 C D 00 01 11 10 
00 
01 
11 
10 
 
Mapa de 4 variáveis 
 
Muitas vezes uma determinada situação pode promover irrelevâncias (don’t care), ou seja, 
tanto faz “1” como “0”. Já que a irrelevância pode assumir qualquer valor, podemos adaptá-la para “1” 
ou para “0” conforme a conveniência do mapa de Karnaugh para resultar numa minimização máxima. 
As irrelevâncias serão escritas como “X”. 
Analisando o mapa de Karnaugh abaixo, verificamos que algumas irrelevâncias foram 
utilizadas para a minimização. 
 
 A B 
 C D 00 01 11 10 
00 1 1 0 1 
01 1 X X 0 
11 0 X 1 1 
10 1 0 0 X 
 
 
Observe que duas das irrelevâncias (X) foram utilizadas com valor “0” e as outras duas com 
valor igual a “1”. Minimizando segundo os enlaces de Karnaugh, temos: 
 A B 
 C 00 01 11 10 
0 
1 
 
Mapa de 3 variáveis 
 
 A B C 
 D E 000 001 011 010 110 111 101 100 
00 
01 
11 
10 
 
 Mapa de 5 variáveis 
 A B 
 C 00 01 11 10 
0 0 1 0 1 
1 0 1 0 1 
 
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F = B.D + A.C + A.C.D 
 
Verifique que se não pegarmos as irrelevâncias para compor os grupos, a função resultante 
será muito maior que a encontrada. 
 
Exercício: Minimize através de Karnaugh e implemente o circuito lógico utilizando apenas portas 
lógicas de no máximo duas entradas. 
 
a) F(ABC) = Σ (1, 4) + d (5, 6, 7) 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A B 
 C 00 01 11 10 
0 X 1 1 1 
1 1 0 0 X 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
c) F = A.B.D + B.C.D + A.D + A.B.C.D + A.B.C + A.B.D + A.C.D 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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d) A B 
 C D 00 01 11 10 
00 1 0 0 X 
01 0 0 X 0 
11 1 1 X 1 
10 1 0 0 1 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) F = B.C.D.E + A.B.D.E + A.B.C.D.E + B.D.E + A.B.C.E + A.B.C.D.E + A.B.D.E + B.C.D.E 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2. Problemas de Lógica Booleana 
Dado uma certa situação lógica, pode-se implementar um circuito que satisfaça tal problema. 
Para isso, basta seguir a seguinte seqüência de operação: 
- Traduza o problema em uma função booleana; 
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- Construa a Tabela Verdade a partir da função booleana; 
- Construa o Mapa de Karnaugh; 
- Obtenha as equações minimizadas; 
- Implemente o circuito lógico que satisfaça o problema 
 
Exercício: Um comitê consiste de um presidente, um diretor financeiro, um secretário e um 
tesoureiro. Uma moção só é aprovada se recebe a maioria dos votos ou o voto do presidente maiso de 
um outro membro. Cada membro aperta um botão para indicar a aprovação da moção. Projete um 
circuito de chaveamento controlado por botões, sendo que quando a moção for aprovada toque uma 
campainha. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício: Determine a Tabela Verdade e as equações minimizadas por Karnaugh de um circuito 
combinacional capaz de implementar os leds de um display de 7 segmentos, para que codifique apenas 
os números listados abaixo. 
a
b
c
d
e
f g
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Universidade Santa Cecília 29 
Exercício: Deseja-se construir um circuito que controle duas resistências R1 e R2 de um forno 
elétrico. O forno elétrico tem dois sensores de temperatura Sa e Sb, e um sensor P na porta do forno. 
Para o controle das resistências deve-se levar em consideração os seguintes estados: 
 
- R1 e R2 são ligadas quando a temperatura estiver abaixo de 100oC. 
- Somente R1 é ligada quando a temperatura estiver entre 100oC e 200oC. 
- Somente R2 é ligada quando a temperatura for superior a 200oC. 
- Se a porta P do forno for aberta, deve-se desligar ambas as resistências, independente da temperatura. 
- Nas situações impossíveis de ocorrer na prática, utilizar Don't Care, independente de qualquer outra 
situação descrita acima. 
 
Considere: 
 
R1 e R2 - Resistências (=0 desligada e =1 ligada) 
Sa - Sensor de Temperatura (=0 Temp. inferior a 100oC e =1 Temp. superior a 100oC) 
Sb - Sensor de Temperatura (=0 Temp. inferior a 200oC e =1 Temp. superior a 200oC) 
P - Porta do Forno (=0 aberta e =1 fechada) 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Universidade Santa Cecília 30 
Exercício: Implemente o circuito combinacional mínimo de um decodificador BCD para Gray, 
utilizando qualquer porta lógica de no máximo duas entradas. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 A 
D B 
 E C 
 A 
C B
 D 
 A 
 B 
 C 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1 - Determine as equações lógicas mínimas utilizando Karnaugh. Não é necessário montar o circuito. 
 
a) F = A.B.C + A.B.C + A.B.C +A.B + B.C 
 
b) F(ABCD) = Σ (3, 4, 5 ,6, 11, 12 ,13, 14) 
 
c) F = A.B.D + B.C.D + A.D + A.B.C.D + A.B.C + A.B.D + A.C.D 
 
d) 
 
 
000 001 011 010 110 111 101 100 
00 1 0 1 1 X 1 0 1 
01 X X 0 0 X 0 X 1 
11 0 X X 0 0 0 1 0 
10 0 0 1 X 1 X 0 0 
 
e) 
 
 
00 01 11 10 
00 X 1 X X 
01 X 0 0 X 
11 X 1 0 0 
10 1 1 1 0 
 
f) F(ABCD) = Σ (1, 3, 5, 7 ,10, 12, 14) + d (0, 6, 8, 11, 15) 
 
g) F(ABC) = Σ (0, 3, 4, 5 ,7) + d (1, 2, 6) 
 
h) 
 
 
00 01 11 10 
00 X 0 X 0 
01 X 0 0 X 
 
2 - Dado o circuito abaixo, determine: 
 
a) A função correspondente. 
b) A função minimizada por Karnaugh. 
c) O circuito minimizado utilizando qualquer porta de no máximo 2 entradas. 
 
A B C D
F
 
 
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3 - Um circuito de alarme de automóvel possui quatro sensores eletrônicos utilizados para indicar o 
estado da porta do motorista, do motor, dos faróis e do uso de cinto de segurança. Projete o circuito 
combinacional mínimo que ative um alarme de acordo com as seguintes condições: 
 
- Os faróis estão acesos e o motor está desligado; ou 
- A porta do motorista está aberta e o motor está ligado; ou 
- A porta do motorista está fechada, o motor está ligado e o passageiro não estiver usando o cinto 
de segurança. 
 
Considere: 
- P - Porta Fechada: NL0. Porta Aberta: NL1. 
- M - Motor Desligado: NL0. Motor Ligado: NL1. 
- F - Faróis Apagados: NL0. Faróis Acesos: NL1. 
- C - Sem o Cinto de Segurança: NL0. Com o Cinto de Segurança: NL1. 
- A - Alarme Desativado: NL0. Alarme Ativado: NL1. 
 
4 - Projete o circuito combinacional mínimo que determine se as entradas possuem uma quantidade 
par ou ímpar de bits "1". 
 
 
5 - O circuito abaixo mostra quatro chaves que são parte de um circuito de controle de uma máquina 
copiadora. As chaves estão localizadas ao longo do caminho que o papel passa pela máquina. Cada 
uma das chaves está normalmente aberta, e quando o papel passa pela chave, ela é fechada. É 
impossível que as chaves S1 e S4 estejam fechadas ao mesmo tempo. Projete um circuito 
combinacional que produza uma saída em nível alto quando duas ou mais chaves estiverem fechadas 
ao mesmo tempo. Obtenha a tabela verdade, o mapa de Karnaugh, a função lógica e o circuito digital. 
 
CIRCUITO
LÓGICO
R
+ 5V
R
R
R
S1
S2
S3
S4
Saída F
 
 
 
 
CIRCUITO
LÓGICO
X
Y
Z
PAR
ÍMPAR
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Universidade Santa Cecília 33 
6 - Determine o circuito de controle de uma máquina copiadora que deve acender uma lâmpada de 
alarme através de uma saída S sempre que uma das condições abaixo existir: 
 - A bandeja de alimentação de papel estiver vazia e a temperatura interna passar de 60oC; OU 
 - A chave X e a chave Y na trajetória do papel estiverem ativadas, indicando congestionamento no 
caminho do papel. 
Considere: 
 - A presença de papel na bandeja de alimentação é indicada pelo sensor A em NL1. 
 - O sensor T envia NL1 se a temperatura interna passar de 60oC. 
 - As chaves X e Y enviam NL1 quando estiverem ativadas. 
 - Para acender a lâmpada de alarme a saída S deve fornecer NL1. 
 
7 - A figura abaixo apresenta um detector de magnitude, que recebe dois números binários (x1x0 e 
y1y0) e determina se eles são iguais e, se não forem, indica qual é o maior. Projete o circuito 
combinacional para esse detector. 
 
Detector de
Magnitude
x1
x0
y1
y0
R (x = y)
S (x > y)
T (x < y)
 
 
8 - Você foi encarregado da criação de um sistema de segurança para uma agência bancária. A agência 
possui um cofre dotado de uma sirene de segurança, que sempre é ativada quando o cofre é aberto fora 
do horário de expediente do banco. Durante o expediente, um interruptor situado na mesa do gerente 
deve estar desligado para que o cofre possa ser aberto sem a ativação da sirene. 
 
Este sistema possui osseguintes sinais de entrada: 
- Um sensor na porta do cofre ( C ) sinalizando: 0 porta fechada, 1 porta aberta. 
- Um relógio eletrônico ( R ) sinalizando : 0 fora do expediente, 1 horário de expediente. 
- Um interruptor na mesa do gerente ( I ) sinalizando: 0 sirene desativada, 1 ativa . 
 
E um único sinal de saída: 
- Uma sirene ( S ) representada: 0 silenciosa, 1 gerando sinal sonoro. 
 
Determine a Tabela Verdade, a equação mínima utilizando Karnaugh e o circuito correspondente. 
 
9 - Em um laboratório, quatro produtos químicos (A, B, C e D) devem ser guardados em dois 
depósitos disponíveis. A natureza dos produtos é tal que é perigoso guardar os produtos B e C juntos, a 
não ser que o produto A esteja no mesmo depósito. Também é perigoso guardar os produtos C e D 
juntos. Elabore um circuito que dispare uma sirene sempre que existir uma combinação perigosa em 
qualquer depósito. 
 
Considere: 
- Os sensores A, B, C e D detectam a presença dos respectivos produtos químicos, enviando NL1. 
- A sirene é acionada com NL1. 
 
10 - Um produto químico está armazenado em dois tanques diferentes. Cada tanque tem um sensor de 
nível e um sensor de temperatura, que funcionam da seguinte maneira: 
 
- Sensores de Nível (N1 e N2): Apresentam nível lógico "1" quando o nível do produto cai abaixo de 
um ponto específico. 
- Sensores de Temperatura (T1 e T2): Apresentam nível lógico "1" quando a temperatura está acima 
de 100 ºC. 
 
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Projete um circuito que indique através de um alarme (disparado em nível lógico "1") quando 
o nível dos dois tanques estiver abaixo do especificado OU quando a temperatura dos dois tanques 
estiver abaixo de 100 ºC. 
 
11 - A bomba d'água B1 leva água de um riacho até o tanque inferior, e a bomba B2 leva água do 
tanque inferior para o superior. A bomba B1 deve ligar com o objetivo de manter a água sempre 
próxima do nível máximo (S2), desligando ao atingir S2. A bomba B2 funciona da mesma forma, 
baseada nos níveis S3 e S4, mas não poderá funcionar caso o nível do tanque inferior esteja abaixo de 
S1. Se qualquer combinação que os sensores enviarem for impossível de ocorrer na prática, as duas 
bombas devem ser imediatamente desligadas, independente de qualquer outra situação. 
 
Considere: 
 
S1, S2, S3 e S4 (Sensores de nível) - NL0 - Ausência de água 
 NL1 - Presença de água 
 
B1 e B2 (Bombas d'água) - NL0 - Desligada 
 NL1 - Ligada 
 
Determine a Tabela Verdade, as funções das bombas e os seus respectivos circuitos. 
 
12 - Um foguete para ser controlado necessita de correção de rumo periódica. Quando a direção do 
foguete se desviar mais de 10o à direita com relação à direção desejada, deve-se ligar o motor 
retropropulsor M1. Quando o desvio é de mais de 10o à esquerda, deve-se ligar o motor retropropulsor 
M2. Se a velocidade estiver abaixo da velocidade mínima (Vm), deve-se ligar ambos os motores, 
independente dos possíveis desvios. Todos esses procedimentos devem ser cancelados se o foguete 
estiver submetido a uma chuva de meteoros (motores devem ser desligados). 
OBS: Nas situações impossíveis de ocorrer na prática deve-se utilizar Don t´ Care, independente de 
qualquer situação descrita acima. 
 
Considere: 
D - sensor de desvio a direita (= 0 normal e = 1 se desvio maior que 10o) 
E - sensor de desvio a esquerda (= 0 normal e = 1 se desvio maior que 10o) 
Vm - velocidade mínima (= 0 abaixo e = 1 acima) 
C - detector de meteoros (= 0 sem meteoros e = 1 com meteoros) 
M1 e M2 - motores de correção (= 0 desligado e = 1 ligado) 
 
Determine a Tabela Verdade, as equações mínimas dos motores e os circuitos. 
 
Bomba
B2
S1
S3
S4
Tanque
Superior
Tanque
Inferior
S2 Riacho
B1
Bomba
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13 - Quatro tanques A, B, C e D de uma indústria química contêm diferentes líquidos. Sensores de 
nível de líquido (Na e Nb) detectam se o nível do tanque A ou B, respectivamente, sobe acima do 
nível determinado. Sensores de temperatura (Tc e Td) existentes nos tanques C e D, respectivamente, 
detectam se a temperatura de um desses tanques cai abaixo do determinado. Projete um circuito que 
dispare um alarme quando o nível do tanque A ou B estiver muito alto. O alarme também dispara caso 
a temperatura dos tanques C e D estiver abaixo do estabelecido. 
 
Considere: 
Na e Nb - sensores de nível (= 0 normal e = 1 acima do nível) 
Tc e Td - sensores de temperatura (= 0 abaixo do determinado e = 1 normal) 
A - alarme (= 0 desligado e = 1 acionado) 
 
14 - Um equipamento eletrônico deve controlar a temperatura interna e o fornecimento de água de 
uma estufa. Para isso, há dois sensores de temperatura (T1 e T2), um sensor de nível do tanque e um 
sensor de profundidade de um riacho próximo. 
Se a temperatura for maior que 35oC, o sistema de refrigeração deve ser acionado. Se a 
temperatura for menor que 30oC, o sistema de aquecimento é que deve ser acionado. Se a temperatura 
estiver entre 30oC e 35oC, os sistemas de aquecimento e refrigeração devem permanecer desligados. 
Ao mesmo tempo, uma bomba d’água deve ser acionada se o nível do tanque (NT) estiver 
abaixo do especificado. Porém, se o nível do riacho (NR) estiver muito baixo, a bomba d’água não 
poderá ser acionada. 
Em situações impossíveis de ocorrer na prática, deve-se utilizar don’t care em todas as saídas 
(independente de qualquer outra situação). 
 
Tanque
Riacho
B
Bomba
NT
NR
T1
T2
A R
Sistemas de
Aquecimento
e Refrigeração
 
 
Considere: 
 
T1 NL1 – T > 30oC 
(Sensor de temp.) NL0 – T < 30oC 
 
T2 NL1 – T > 35oC 
(Sensor de temp.) NL0 – T < 35oC 
 
NR e NT NL1 – Com água 
(Sensores de nível) NL0 – Sem água 
 
B NL1 – Acionada 
(Bomba d’água) NL0 – Desacionada 
 
A NL1 – Acionado 
(Sist. de Aquecimento) NL0 – Desacionado 
 
R NL1 – Acionado 
(Sist. de Refrigeração) NL0 – Desacionado 
 
Determine a Tabela Verdade, as equações mínimas e os circuitos correspondentes. 
 
 
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5. FUNÇÕES COM PORTAS NAND E NOR 
Podemos implementar qualquer função booleana utilizando apenas portas NAND ou somente 
portas NOR. Isso é possível porque as portas NAND e NOR, em combinações apropriadas, podem ser 
usadas para implementar cada uma das operações booleanas OR, AND e INVERSOR, conforme 
ilustrado na figura abaixo. 
 
 
A X = A . A = A
A
B
A . B
X = A . B
A
B
A
B
X = A . B = A + B
A X = A + A = A
A
B
A + B
X = A + B
A
B
A
B
X = A + B = A . B
 
 
 
A principal vantagem está no fato de se utilizar apenas um tipo de CI (Circuito Integrado) para 
implementar uma função onde seria necessária a utilização de diversas portas lógicas diferentes. Com 
isso é possível otimizar o circuito, diminuindo as dimensões e custo final do projeto. Devemos 
substituir cada produto, soma ou complemento, pelo circuito equivalente com esse tipo de portas. Para 
facilitar o entendimento do método de transformação, vamos partir para exemplos. Verifique a função 
abaixo: 
 
F = A.B + A.(B + C) 
 
É importante notar que para implementar um circuito lógico que atenda a função acima, seria 
necessário 2 portas AND, 2 portas Inversoras, 1 porta NOR e 1 porta OR. Em termos de CircuitosIntegrados seriam necessários um CI para as portas AND, um CI para as Inversoras, um CI para a 
porta NOR e outro CI para a porta OR, resultando num total de 4 Circuitos Integrados. 
Vamos agora implementar a função através somente de portas NAND com o objetivo de 
diminuir o número de circuitos integrados. Para isso, a expressão algébrica da função deve ser 
manipulada para a obtenção de uma função onde a operação OU não esteja presente. Isto é possível se 
usarmos convenientemente o Teorema de De Morgan, conforme os passos a seguir: 
 
1 – Análise da função 
 
Para implementarmos o circuito apenas com portas NAND, é necessário que a função esteja 
no formato “Produto de Termos”. Na função analisada, percebemos que é necessário mudar os dois 
sinais de soma (+) para produto (.). Isso é possível através da aplicação do Teorema de De Morgan. 
 
 
2 – Aplicação de De Morgan 
 
Podemos aplicar o Teorema diretamente no termo (B + C), resultando na seguinte função: 
 
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F = A.B + A.(B.C) 
 
 
F = A.B + A.(B.C) 
 
Para aplicarmos o Teorema de De Morgan, é necessário que uma barra de complemento seja 
inserida acima do sinal de soma, envolvendo os dois termos. Porém, se inserirmos apenas uma barra, 
estaremos invertendo o resultado da função. Portanto, sempre que for necessária uma nova barra de 
complemento, deve-se colocar duas barras para manter o resultado da função original. 
 
 
F = A.B + A.(B.C) 
 
 
F = A.B . A.(B.C) 
 
 
3 - Implementando a função através de portas NAND de 2 entradas 
 
O CI 7400 comporta quatro portas NAND de duas entradas, portanto bastariam dois destes 
CI’s para implementar esta função, em vez de quatro CI’s conforme implementado anteriormente 
antes das transformações em portas NAND. 
Verifique nos exercícios a seguir que, durante o procedimento de transformação para portas 
NAND, pode surgir a necessidade de transformar novamente a função em “soma de termos” para 
depois retornar em “produto de termos”. Isto pode ser necessário para que se encontre uma função 
menor. 
 
Exercício: Dadas as funções abaixo, transforme-as em produto de termos e em seguida implemente o 
circuito lógico composto apenas de portas NAND de duas entradas. 
 
a) F = (A + B) . (C + D) 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
B
F
C C B.C
A A.B
B.C
A.B.C
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b) F = A + B 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) F = A + B + C 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) F = A.C + B.(A + D) 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Minimize a função abaixo utilizando Karnaugh e depois implemente o circuito lógico 
apenas com portas NAND de duas entradas. 
 
F = A.B.D + A.B.C.D + B.C.D + A.B.C + A.B.C 
 
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Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todo o procedimento para transformação em portas NAND é válido para transformação em 
portas NOR, ou seja, como o objetivo agora é eliminar todos os produtos para sobrar apenas as somas, 
vamos utilizar o Teorema de De Morgan para implementar um circuito lógico construído apenas com 
portas NOR. 
 
Exemplo: Transforme a função em soma de termos e implemente o circuito lógico apenas com portas 
NOR de duas entradas. 
 
F = A.B + A.B.C 
 
1 – Análise da função 
 
Podemos observar que é necessário mudar os três sinais de produto (.) para soma (+). 
 
2 – Aplicação de De Morgan 
 
F = A.B + A.(B + C) 
 
 
F = A.B + A.(B + C) 
 
 
F = (A + B) + (A + B + C) 
 
 
F = (A + B) + (A + B + C) 
 
3 - Implementando a função através de portas NOR de 2 entradas 
 
A
B
F
C
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Exercícios: Dadas as funções abaixo, transforme-as em soma de termos e em seguida implemente o 
circuito lógico composto apenas de portas NOR de duas entradas. 
 
a) F = A.(C + B.D) 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) F = B.(A.B + C) 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Minimize a função abaixo por Karnaugh e depois implemente o circuito lógico utilizando 
apenas portas NOR de duas entradas. 
 
F = A.B.C + A.C + A.B.C + A.B.C 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1 - Transforme as funções abaixo em produto de termos. Implemente os circuitos das funções obtidas 
utilizando apenas portas NAND de 2 entradas. 
 
a) F = (A + B.C) . (A.B + C) 
 
b) F = A.C + B.(A + D) 
 
c) F = (X + Y + Z).W +X.Z 
 
d) F = (A.B + C) + A.C 
 
2 - Transforme as funções abaixo em soma de termos. Implemente os circuitos das funções obtidas 
utilizando apenas portas NOR de 2 entradas. 
 
a) F = (A + B.C) . (A.B + C) 
 
b) F = (X . Y) . (Z + X . W) 
 
c) F = (X .Y) . (Z + W) 
 
d) F = (X + Y.Z).X.Z 
 
3 - Converta o circuito abaixo para um circuito que use apenas portas NAND. Em seguida, escreva a 
expressão de saída para o novo circuito. 
 
G
X
Y
Z
W
 
 
4 - Minimize a função abaixo utilizando Karnaugh e, em seguida, transforme a função minimizada em 
produto de termos. Implemente o circuito utilizando apenas portas NAND de 2 entradas. 
 
F = A.B.C + C.D + A.B.D + A.C.D + B.C.D 
 
 
 
 
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5 - Determine a função em soma de termos do circuito abaixo. 
 
S
A
B
C
 
 
6 - Dado o circuito abaixo, determine: 
a) A função correspondente. 
b) A função transformada em soma de termos. 
c) O circuito utilizando apenas portas NOR de 2 entradas. 
 
 
 
 
A
B
C
D
F
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6. MÉTODO DE PARIDADE 
Quando uma informação é transmitida de um dispositivo (transmissor) para outro (receptor), 
há a possibilidade de ocorrência de erros quando o receptor não recebe uma informação idêntica 
àquela que foi enviada pelo transmissor. A principal causa de um erro é o “ruído elétrico”, que 
consiste em flutuações espúrias na tensão ou corrente que estão presentes em praticamente todos os 
sistemas eletrônicos. Por isso, muitos sistemas digitais utilizam algum método de detecção de erros. 
Uma das técnicas mais simples para detecção de erros é o “Método de Paridade”. 
Um bit de paridade consiste em um bit extra anexado ao conjunto de bits a ser transferido.O 
bit de paridade pode ser 0 ou 1, dependendo do número de 1s contido no conjunto de bits. Dois 
métodos diferentes são usados. 
No método que usa “paridade par”, o valor do bit de paridade é determinado para que o 
número total de 1s no conjunto de bits (incluindo o bit de paridade) seja um número par. Por exemplo, 
suponha que o conjunto de bits seja 1000011. Esse conjunto de bits tem três 1s; portanto, anexamos 
um bit de paridade par igual a 1 para tornar par o número total de 1s. O novo conjunto de bits, 
incluindo o bit de paridade, passa a ser: 11000011. Se o grupo de bits já contiver um número par de 1s, 
o bit de paridade terá valor 0. O método de “paridade ímpar” é usado da mesma maneira, exceto que o 
bit de paridade é determinado para que o número total de 1s, incluindo o bit de paridade, seja ímpar. 
 
Paridade Par Paridade Ímpar
1 0 0 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 0
1
0
bit de paridade
1 0 0 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 0
0
1
 
 
 
O bit de paridade é gerado para detectar erros de apenas um bit que ocorram durante a 
transmissão. Por exemplo, suponha que o conjunto de bits 1000001 seja transmitido com paridade 
ímpar. O código transmitido seria: 11000001. O receptor verifica se a informação transmitida contém 
um número ímpar de 1s (incluindo o bit de paridade). Em caso afirmativo, o receptor considera que o 
código foi recebido corretamente. Agora, suponha que, devido a algum ruído, seja recebido o seguinte 
código: 11000000. O receptor identificará que o código tem um número par de 1s. Isso significa que 
há algum erro no código, devendo ser descartado. 
É evidente que o método de paridade não funcionará se ocorrer erro em dois bits, porque dois 
bits errados não geram alteração na paridade do código. Na prática, o método de paridade é usado em 
situações em que a probabilidade de erro de um único bit é baixa e a probabilidade de erro em dois bits 
seja zero. 
O circuito mostrado na figura seguinte é usado para “geração de paridade” e “verificação de 
paridade”. Esse exemplo usa quatro bits de dados fazendo uso da paridade par. Esse circuito pode ser 
facilmente adaptado para usar paridade ímpar e um número qualquer de bits. 
Os dados a serem transmitidos são aplicados ao circuito gerador de paridade que produz um 
bit de paridade par em sua saída, totalizando cinco bits para transmissão. Esses cinco bits entram no 
circuito verificador de paridade do receptor, o qual gera uma saída de erro (E), que indica se ocorreu 
ou não um erro em um único bit. 
Verifique que o circuito emprega portas OU-Exclusivo, pois ela opera de tal forma que gera 
NL1 se o número de 1s nas entradas for ímpar e gera uma saída NL0 se o número de 1s nas entradas 
for par. 
 
 
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D0
D1
D2
D3
D0
D1
D2
D3
Paridade Par
Gerador de paridade par
D0
D1
D2
D3 Erro (E)
1 = erro
0 = sem erro
Paridade
Verificador de paridade par
 
 
 
Exercício: Determine o bit de paridade par dos números binários abaixo. 
 
a) 100101 
b) 01011011 
c) 1110111 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Os dados abaixo foram recebidos por um circuito verificador de paridade ímpar de 7 bits, 
sendo o MSB o bit de paridade. Determine quais conjuntos de dados tiveram um bit errado na 
transmissão. 
 
a) 10010100 
b) 01001011 
c) 11001011 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1 - Porque o método de paridade não consegue detectar um erro duplo de bit em um dado transmitido? 
 
2 - A seqüência de bits abaixo foi recebida pelo circuito verificador de paridade da página anterior. 
Determine quais conjuntos de dados que provavelmente tiveram um bit errado na transmissão. 
 
1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 
 
3 - Determine a saída do gerador de paridade da página anterior para cada um dos seguintes conjuntos 
de dados de entrada D3D2D1D0: 
 
a) 0111 
b) 1001 
c) 0000 
d) 0100 
 
4 - Determine a saída do verificador de paridade da página anterior para cada um dos conjuntos de 
dados enviados pelo transmissor: 
 
a) 01010 
b) 11110 
c) 11111 
d) 10000 
 
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7. ARITMÉTICA DIGITAL 
Primeiramente veremos como as diversas operações aritméticas são feitas com números 
binários e também em hexadecimal, e depois estudaremos os circuitos lógicos que realizam estas 
operações em um sistema digital. 
 
7.1. Adição Binária 
A adição de dois números binários é realizada da mesma forma que a adição de números 
decimais. A única diferença está que, no sistema binário, apenas quatro situações podem ocorrer na 
soma de dois dígitos (bits), qualquer que seja a posição: 
 
 0 + 0 = 0 
 1 + 0 = 1 
 1 + 1 = 10 = 0 + carry 1 para a próxima posição 
1 + 1 + 1 = 11 = 1 + carry 1 para a próxima posição 
 
Exercícios: Some os seguintes números binários. 
 
a) 10110 + 00111 
b) 10001111 + 10010010 
c) 11,011 + 10,110 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2. Representação de Números com Sinal 
Como a maioria dos computadores e das calculadoras digitais efetua operações tanto com 
números positivos quanto negativos, é necessário representar de alguma forma o sinal do número (+ 
ou -). Em geral, a convenção que tem sido adotada é que um 0 no bit de sinal representa um número 
positivo e um 1 no bit de sinal representa um número negativo. Na figura seguinte, o bit na posição 
mais à esquerda é o bit de sinal que representa positivo (+) ou negativo (-). Os outros seis bits são a 
magnitude do número, que é igual a 52 em decimal. 
 
 
0 1 1 0 1 0 0 = +52|10
+ Magnitude = 52|10
1 1 1 0 1 0 0 = -52|10
- Magnitude = 52|10
 
 
 
Essa representação é denominada “Sistema Sinal-Magnitude” para números binários com 
sinal. Embora esse sistema seja uma representação direta, os computadores e calculadoras 
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normalmente não o utilizam, porque a implementação do circuito é mais complexa do que em outros 
sistemas. O sistema mais usado para representar números binários com sinal é o “Sistema de 
Complemento de 2”. Antes de saber como é esse sistema, temos que saber o complemento de 1 e o 
complemento de 2 de um número binário. 
 
Forma do Complemento de 1 
 
O complemento de 1 de um número binário é obtido substituindo cada 0 por 1 e cada 1 por 0. 
Em outras palavras, substitui-se cada bit do número binário pelo seu complemento, conforme 
mostrado a seguir. 
 
1 0 1 1 0 1 Número binário original 
 
0 1 0 0 1 0 Complemento de 1 
 
 
Forma do Complemento de 2 
 
O complemento de 2 de um número binário é formado tomando-se o complemento de 1 do 
número e adicionando-se 1 na posição do bit menos significativo. O processo é ilustrado a seguir para 
(101101)2 = (45)10. 
 
1 0 1 1 0 1 Equivalente binário de 45 
 
0 1 0 0 1 0 Complemento de 1 
+ 1 Adiciona-se 1 para formar o complemento de 2 
0 1 0 0 1 1 Complemento de 2 
 
Para finalizar, basta acrescentar um bit 1 na frente do número encontrado, que poderá ser a 
posição definidapara o bit de sinal. 
 
1 0 1 0 0 1 1 = (-45)10 
 
Assim, o sistema de complemento de 2 para representação de números com sinal funciona da 
seguinte forma: 
 
- Se o número for positivo, a magnitude é representada na forma binária direta, e um bit de sinal 0 é 
colocado em frente ao bit mais significativo (Most Significant Bit – MSB). 
 
0 1 0 1 1 0 1 = +45|10
+ Binário
 
 
- Se o número for negativo, a magnitude é representada na sua forma do complemento de 2 e um 
bit de sinal 1 é colocado em frente ao MSB. 
 
1 0 1 0 0 1 1 = -45|10
- Complemento de 2
 
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O sistema de complemento de 2 é usado para representar números com sinal porque permite 
realizar a operação de subtração efetuando na verdade uma adição. Isso é importante porque um 
computador digital pode usar o mesmo circuito tanto na adição quanto na subtração, desse modo 
poupando hardware. 
Um número binário negativo escrito na forma “Complemento de 2” pode ser definido de 
acordo com a fórmula abaixo, facilitando sua conversão para o valor correspondente em decimal. 
 
 
Exemplo: Transforme o número 1101, que está em complemento de dois, para o seu equivalente 
decimal. 
 
a = - 1.23 + (1.22 + 0.21 + 1.20) 
a = - 8 + (4 + 0 + 1) = -8 + 5 
a = - 3 |10 
 
 
7.3. Adição no Sistema Complemento de 2 
Caso 1 – Dois Números Positivos: A adição de dois números positivos é bastante direta. Considere a 
adição de +9 e +4. 
 
+9 = 1 0 0 1 
+4 = 1 0 0 
 
Para números positivos, deve-se igualar o número de casas acrescentando bits 0. 
 
1 0 0 1 � +9 
0 1 0 0 � +4 
 1 1 0 1 � +13 
 
Caso 2 – Um número Positivo e um Outro Menor e Negativo: Considere a adição de +9 e –4. 
Lembre-se que –4 estará representado em complemento de 2. 
 
+9 = 1 0 0 1 
–4 = 1 1 0 0 
 
1 0 0 1 � +9 
1 1 0 0 � –4 
 1 0 1 0 1 � +5 
 
 
Caso 3 – Um número Positivo e um Outro Maior e Negativo: Considere a adição de –9 e +4. 
 
–9 = 1 0 1 1 1 
+4 = 1 0 0 
 
1 0 1 1 1 � –9 
0 0 1 0 0 � +4 
1 1 0 1 1 � –5 
 
 
 
�
−
=
⋅+⋅−=
1
0
n
k
k
k
n
n babaa
Este Carry é descartado. 
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Caso 4 – Dois números Negativos: Considere a adição –9 e –4. 
 
–9 = 1 0 1 1 1 
–4 = 1 1 0 0 
 
Para números negativos, deve-se igualar o número de casas acrescentando bits 1. 
 
1 0 1 1 1 � –9 
1 1 1 0 0 � –4 
1 1 0 0 1 1 � –13 
 
 
 
7.4. Subtração no Sistema Complemento de 2 
A operação de subtração usando o sistema de complemento de 2, na verdade, envolve uma 
operação de adição. 
 
7.5. Multiplicação de Números Binários 
A multiplicação de números binários é feita do mesmo modo que a multiplicação de números 
decimais. O procedimento, na verdade, é mais simples, uma vez que os dígitos multiplicadores podem 
ser apenas 0 ou 1. O exemplo seguinte ilustra este procedimento para números binários sem sinal. 
 
1 0 0 1 � +9 
 1 0 1 1 � +11 
 1 0 0 1 
 1 0 0 1 
0 0 0 0 
 1 0 0 1 
 1 1 0 0 0 1 1 � +99 
 
Caso um número esteja em complemento de 2, deve-se primeiro convertê-lo para o seu 
equivalente em binário positivo. Assim, é possível efetuar a multiplicação como no caso acima. 
Evidente que o resultado deve ser convertido para binário negativo, usando o complemento de 2. 
 
7.6. Divisão Binária 
O processo para dividir números binários é o mesmo que é utilizado para números decimais. 
Para ilustrar, segue um exemplo onde iremos dividir (9)10 por (3)10. 
 
+9 = 1 0 0 1 
+3 = 1 1 
 
1 0 0 1 1 1 
 1 1 1 1 (3)10 
0 0 1 1 
 1 1 
 0 
 
A divisão de números com sinal é tratada do mesmo modo que na multiplicação. 
 
Exercício: Sendo A = 50 |10 e B = 10 |10, efetue as operações solicitadas em binário. 
 
a) A + B 
b) A – B 
Este Carry é descartado 
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c) – A + B 
d) – A – B 
e) A * B 
f) A / B 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Universidade Santa Cecília 51 
 
7.7. Aritmética Hexadecimal 
Números em hexadecimal são usados extensivamente na programação em linguagem de 
máquina e na especificação de endereços de memória nos computadores. Quando se trabalha nessas 
áreas, encontram-se situações em que os números hexa têm que ser somados ou subtraídos. 
 
Adição Hexadecimal 
 
A adição hexadecimal é realizada basicamente da mesma forma que a adição decimal desde 
que você se lembre de que o maior dígito hexa é F em vez de 9. É aconselhável seguir os 
procedimentos abaixo: 
 
1- Some os dois dígitos hexa em decimal, inserindo mentalmente o equivalente decimal para os 
dígitos maiores que 9. 
2- Se a soma for menor ou igual a 15, o resultado da soma pode ser expresso como um dígito 
hexa. 
3- Se a soma for maior ou igual a 16, subtraia 16 e transporte um carry 1para a posição do 
próximo dígito. 
 
Exemplo: Some os números hexa 58 e 24. 
 
 5 8 
+ 2 4 
 7 C 
 
A soma dos dígitos 8 e 4 gera o resultado 12, que corresponde a C em hexa. Nesse caso, não 
há carry para o dígito da próxima posição. Ao somar 5 com 2, gera-se o resultado 7. 
 
Exemplo: Some os números hexa 58 e 4B. 
 
 5 8 
+ 4 B 
 A 3 
 
Comece somando 8 com B, substituindo mentalmente o decimal 11 por B. Isso gera uma soma 
igual a 19. Visto que 19 é maior que 16, obtenha 3 (por subtração); escreva o dígito 3 logo abaixo dos 
dígitos somados e transporte um carry 1 para a próxima posição. Esse carry é somado ao 5 e ao 4 
gerando uma soma igual a 10, que é então convertido para o hexadecimal A. 
 
 
Subtração Hexadecimal 
 
Lembre-se de que os números hexadecimais são apenas uma maneira eficiente de representar 
números binários. Assim, podemos subtrair números hexa usando o mesmo método usado para 
números binários, ou seja, o complemento de 2. Podemos obter o complemento de 2 de um número 
hexadecimal após sua conversão para binário, e então convertendo novamente para hexa, conforme 
ilustrado a seguir: 
 
7 3 A Número hexa 
 0111 0011 1010 converta para binário 
 1000 1100 0110 efetue o complemento de 2 
8 C 6 converta novamente para hexa 
 
Porém, existe um procedimento mais rápido: subtraia cada dígito hexa de F; em seguida some 
1. Vamos experimentar esse procedimento para o exemplo anterior: 
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 F F F 
-7 -3 -A 
 8 C 5 Subtraia cada dígito hexa de F 
 
 
 8 C 5 
+ 1 some 1 
 8 C 6 equivalente hexa do complemento de 2 
 
 
Exemplo: Subtraia 3A5 |16 de 592 |16. 
 
Primeiro, deve-se converter o número 3A5 para sua forma em complemento de 2: 
 
 
 F F F 
-3 -A