Apostila de Nivelamento Calculo 1

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NIVELAMENTO DA DISCIPLINA CÁLCULO I 
 
 
 
Professores: 
Elainne Ferreira 
Jefferson Silva 
Lauriano Souza 
Manoel Ricardo 
Silvia Viviane 
 
 
 
 
 
 
 
Manaus/AM - 2017 
 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - UEA 
 ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA - EST 
 CICLO BÁSICO DE ENGENHARIA 
 
 
 
ÍNDICE 
1. Polinômios e Operações com polinômios 
2. Funções Polinomiais 
2.1. Funções Afins 
2.2. Funções Quadráticas 
3. Funções Exponenciais e Logarítmicas 
3.1 Funções Exponenciais 
3.2 Funções Logarítmicas 
4. Funções Trigonométricas 
4.1 Função Seno 
4.2 Função Cosseno 
4.3 Função Tangente 
4.4 Outras Funções Trigonométricas 
4.5 Relações importantes da Trigonometria 
5. Composição de Funções e Funções Inversas 
5.1 Funções Compostas 
5.2 Funções Inversa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Polinômios e Operações 
com polinômios 
 Neste curso de nivelamento estamos 
interessados em estudar polinômios e 
suas respectivas operações, com o fim 
de operacionalizar certos cálculos de 
limites que surgem durante o estudo do 
primeiro curso de Cálculo Diferencial e 
Integral. 
Definição 1. (Polinômio) Chamamos 
expressão polinomial ou polinômio, na 
variável complexa 𝑥, toda expressão da 
forma: 
𝑎𝑛𝑥
𝑛 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
em que 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são números 
complexos, denominados coeficientes, e 
𝑛 um número inteiro não-negativo, 
denominado grau do polinômio, quando 
𝑎𝑛 ≠ 0. 
 Por exemplo, as expressões: 
4𝑥 + 6, 
𝑥2 + 1, 
2𝑥4 − 5𝑥 + 𝑥 − 1e 
4𝑥5 
são polinômios. Pela definição dada, 
não são exemplos de polinômios as 
expressões: 
𝑥−1 + 𝑥−2 + 1, 
𝑥3 +
1
𝑥
+ 1, 
𝑥
1
2 + 1 e 
√𝑥 − 2𝑥 + √𝑥
3
, 
pois as potências da variável 𝑥 ou são 
números negativos ou são fracionários. 
Um fato interessante a se observar é que 
qualquer número complexo, não nulo, é 
um polinômio de grau zero, e que o 
polinômio 0, denominado polinômio 
nulo, não possui grau. 
 A fim de se ter um estudo mais 
eficiente de polinômios, costuma-se 
relacioná-los a funções de variável 
complexa 𝑝: ℂ → ℂ definidas por 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, 
𝑎0, … , 𝑎𝑛 ∈ ℂ, as quais são chamadas 
funções polinomiais. Assim, 
1) 𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎2 
2) 𝑔(𝑥) = 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
são exemplos de funções polinomiais, 
de graus 1 e 2, respectivamente, 
denominadas função afim e função 
quadrática. Se o grau de uma função 
polinomial for igual a zero, então a 
função é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎0, onde 
𝑎0 ≠ 0. 
 A partir de agora, não iremos mais 
distinguir polinômio de função 
polinomial, isto é, quando nos 
referirmos a um polinômio 𝑝, de grau 𝑛, 
estaremos pensando nas funções 
polinomiais definidas por: 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0. 
 Com a definição dada de polinômio 
podemos definir operações entre esses 
respectivos elementos, estas são a 
adição, multiplicação e divisão de 
polinômios. Atentarmo-nos somente a 
operação que será usada com mais 
frequência no curso de Cálculo, a saber, 
a divisão de polinômios. 
 
 
 Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑑(𝑥) dois polinômios, 
com 𝑑(𝑥) ≠ 0. Dividir 𝑝(𝑥) por 𝑑(𝑥) 
significa encontrar dois polinômios 
𝑞(𝑥) e 𝑟(𝑥), tais que 
i) 𝑝(𝑥) = 𝑑(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) 
ii) o grau de 𝑟(𝑥) não pode ser 
maior e nem igual ao grau de 
𝑝(𝑥) ou 𝑟(𝑥) = 0. 
Chamamos 𝑝(𝑥) de dividendo, 𝑑(𝑥) de 
divisor, 𝑞(𝑥) de quociente e 𝑟(𝑥) de 
resto da divisão. O método mais 
elementar para se calcular a divisão de 
dois polinômios é o denominado 
método da chave. Ele consiste 
simplesmente em dividir o polinômio 
𝑝(𝑥) por 𝑑(𝑥), supondo que grau de 𝑝 
seja maior ou igual ao grau de 𝑑. Eis 
alguns exemplos: 
Exemplo 1. Sejam 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥 e 
𝑑(𝑥) = 𝑥 − 2. Determinar 
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
. 
Resolução. Pelo método da chave, tem-
se: 
2𝑥3 − 4𝑥 
−2𝑥3 + 4𝑥2 
𝑥 − 2 
2𝑥2 + 4𝑥 + 4 
4𝑥2 − 4𝑥 
−4𝑥2 + 8𝑥 
4𝑥 
−4𝑥 + 8 
8 
Logo, 
2𝑥3 − 4𝑥 = (𝑥 − 2)(2𝑥2 + 4𝑥 + 4) + 8. 
Em particular, 
2𝑥3 − 4𝑥
𝑥 − 2
= 2𝑥2 + 4𝑥 + 4 +
8
𝑥 − 2
. 
Exemplo 2. Simplificar as expressões: 
a) 
𝑥3−4𝑥2−𝑥+4
𝑥2−3𝑥−4
 
b) 
𝑥2−4𝑥+4
𝑥3−5𝑥2+8𝑥−4
 
Resolução. 
a) Novamente, pelo método da 
chave, temos: 
𝑥3 − 4𝑥2 − 𝑥 + 4 
−𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 
𝑥2 − 3𝑥 − 4 
𝑥 − 1 
−𝑥2 + 3𝑥 + 4 
𝑥2 − 3𝑥 − 4 
0 
Logo, 
𝑥3−4𝑥2−𝑥+4
𝑥2−3𝑥−4
= 𝑥 − 1. 
b) Observe que o grau do 
numerador é inferior ao grau do 
denominador, a princípio seria 
impossível reescrever de 
maneira mais simples essa 
expressão, no entanto, usando a 
relação: 
(
𝑎
𝑏
)
−1
=
𝑏
𝑎
, 𝑎 ≠ 0, 
podemos reescrever 
𝑥2 − 4𝑥 + 4
𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4
= (
𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4
𝑥2 − 4𝑥 + 4
)
−1
. 
Assim, sendo 
𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4
𝑥2 − 4𝑥 + 4
= 𝑥 − 1 
concluímos que 
𝑥2 − 2𝑥 − 4
𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 + 1
= (𝑥 − 1)−1 =
1
𝑥 − 1
. 
 Um fato que ajuda na divisão de dois 
polinômios é o fato de ambos possuírem 
as mesmas raízes. A raiz de um 
polinômio 𝑝(𝑥) é um número complexo 
𝑥0 tal que 𝑝(𝑥0) = 0. Um polinômio 
𝑝(𝑥) possuir uma raiz 𝑥0 significa que 
𝑎 divisão 
𝑝(𝑥)
𝑥−𝑥0
 é exata (o resto é nulo). 
Se dois polinômios 𝑝(𝑥) e 𝑑(𝑥) 
 
 
possuem uma mesma raiz 𝑥0, então 
𝑝(𝑥)
𝑑(𝑥)
 
pode ser fatorado. 
Exemplo 3. Simplificar a expressão 
𝑥3 + 1
𝑥2 − 1
. 
Resolução. Note que −1 é raiz de 𝑥3 +
1 e 𝑥2 − 1. Assim, 𝑥3 + 1 e 𝑥2 − 1 são 
divisíveis por (𝑥 − (−1)) = 𝑥 + 1. 
Calculando, cada divisão pelo método 
da chave, obtemos: 
𝑥3 + 1
𝑥2 − 1
=
(𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
=
𝑥2 − 𝑥 + 1
𝑥 − 1
. 
 Algumas relações nos ajudam a 
simplificar o processo de divisão entre 
polinômios (ou simplificar expressões 
que podem ser reescritas como 
quocientes entre polinômios), estas 
relações são chamadas de produtos 
notáveis: 
i) 𝑥2 − 𝑎2 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎) 
ii) 𝑥3 − 𝑎3 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2) 
iii) 𝑥3 + 𝑎3 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑎2) 
iv) 𝑥4 − 𝑎4 = (𝑥2 + 𝑎2)(𝑥2 − 𝑎2) 
v) (𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 
vi) (𝑥 − 𝑎)2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 
Exemplo 4. Calcule: 
a) 
√𝑥−√𝑎
𝑥−𝑎
 
b) 
𝑥+𝑎
√𝑥
3
+ √𝑎
3 
Resolução. 
a) Observe que nenhum dos 
produtos notáveis pode ser 
aplicado diretamente nos 
quocientes dados, para isto é 
necessário uma substituição bem 
comum no cálculo de limites. 
Sejam 𝑦 = √𝑥 e 𝑏 = √𝑎. Então, 
𝑦2 = 𝑥 e 𝑏2 = 𝑎. Assim, temos 
que: 
√𝑥 − √𝑎
𝑥 − 𝑎
=
𝑦 − 𝑏
𝑦2 − 𝑏2
 
Aplicando o produto notável dado por 
i), obtemos: 
𝑦 − 𝑏𝑦2 − 𝑏2
=
𝑦 − 𝑏
(𝑦 − 𝑏)(𝑦 + 𝑏)
=
1
𝑦 + 𝑏
 
Logo, 
√𝑥 − √𝑎
𝑥 − 𝑎
=
1
√𝑥 + √𝑎
. 
b) Observe que a soma √𝑥
3
+ √𝑎
3
 é 
semelhante a soma 𝑥3 + 𝑎3, 
assim devemos fazer uma 
substituição de modo que 
possamos transformar √𝑥
3
+ √𝑎
3
 
em algo semelhante a 𝑥3 + 𝑎3. 
Com efeito, tomando 𝑦 = √𝑥
3
 e 
𝑏 = √𝑎
3
, obtemos 𝑦3 = 𝑥, 𝑏3 =
𝑎 e 
𝑥 + 𝑎
√𝑥
3
+ √𝑎
3 =
𝑦3 + 𝑏3
𝑦 + 𝑏
 
donde 
𝑦3 + 𝑏3
𝑦 + 𝑏
=
(𝑦 + 𝑏)(𝑦2 − 𝑏𝑦 + 𝑏2)
𝑦 + 𝑏
 
= 𝑦2 − 𝑏𝑦 + 𝑏2. 
E, portanto 
𝑥 + 𝑎
√𝑥
3
+ √𝑎
3 = (√𝑥
3
)
2
− √𝑎
3
√𝑥
3
+ (√𝑎
3
)
2
. 
Outra definição importante a respeito de 
polinômios, e que constitui um método 
de resolução de integrais, é a 
 
 
denominada igualdade entre 
polinômios. 
Definição 2. Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) dois 
polinômios onde o grau de 𝑝 é igual ao 
grau de 𝑞. Dizemos que 𝑝 e 𝑞 são iguais 
se os coeficientes dos termos de mesmo 
grau são iguais, isto é, se 𝑝(𝑥) = 𝑎0 +
𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥
𝑛 e 𝑞(𝑥) =
𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥
2 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑥
𝑛 então 
𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) se 𝑎0 = 𝑏0, 𝑎1 = 𝑏1, 
… , 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛. 
Exemplo 5. Determinar valores reais 𝐴 
e 𝐵 de modo que: 
𝑥 − 1
𝑥2 − 5𝑥 + 6
=
𝐴
𝑥 − 2
+
𝐵
𝑥 − 3
 
Resolução. 
Somando as frações do lado direito da 
igualdade e as igualando a fração do 
lado esquerdo, obtemos: 
𝑥 − 1
𝑥2 − 5𝑥 + 6
=
(𝐴 + 𝐵)𝑥 + (−3𝐴 − 2𝐵)
𝑥2 − 5𝑥 + 6
 
Donde, por igualdade de polinômios, 
obtemos (𝐴 + 𝐵) = 1 e (3𝐴 + 2𝐵) = 1 
e assim os valores para 𝐴 e 𝐵 serão 𝐴 =
−1 e 𝐵 = 2 e, portanto 
𝑥 − 1
𝑥2 − 5𝑥 + 6
= −
1
𝑥 − 2
+
2
𝑥 − 3
. 
Exercícios. 
1) Calcule: 
a) 
√𝑥
4 − √𝑎
4
√𝑥−√𝑎
 c) 
√𝑦−4 √𝑦
4 +4
𝑦−16
 
b) 
√𝑥
4 − √𝑎
4
𝑥−𝑎
 d) 
𝑥10−𝑥8−𝑥6+𝑥4−𝑥2+1
𝑥4−1
 
e) 
2𝑥3+9𝑥2+12𝑥+4
−𝑥3−2𝑥2+4𝑥+8
 
2) Determine os valores de 𝐴, 𝐵 e 𝐶 a 
fim de que se tenha: 
a) 
2𝑥−3
2𝑥2−5𝑥+2
=
𝐴
2𝑥−1
+
𝐵
𝑥−2
 
b) 
𝑥−1
𝑥2−4𝑥+4
=
𝐴
𝑥−2
+
𝐵
(𝑥−2)2
 
c) 
𝑥2−1
𝑥3−7𝑥2+14𝑥−8
=
𝐴
𝑥−1
+
𝐵
𝑥−4
+
𝐶
𝑥−2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Funções Polinomiais 
 2.1 Funções Afins 
 As funções afins descrevem uma 
grande diversidade de fenômenos nas 
Ciências Exatas, Sociais e Biológicas. 
Em particular, nos cursos de Exatas o 
seu estudo é necessário a fim de se 
compreender vários fenômenos físicos. 
Definição 2. (Função Afim) Uma 
função 𝑓: ℝ → ℝ chama-se afim quando 
existem constantes 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ tais que 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 para todo 𝑥 ∈ ℝ. Em 
particular, quando 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 dizemos 
que 𝑓 é uma função linear, e quando 
𝑓(𝑥) = 𝑏 dizemos que 𝑓 é uma função 
constante. 
Exemplo 5. A função 𝑓: ℝ → ℝ, 
definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥, denominada 
função identidade, é uma função afim. 
O gráfico que descreve está função é 
ilustrado na figura abaixo. 
 
 
Exemplo 6. Uma partícula que se 
desloca em um MRU, conforme a lei 
𝑥(𝑡) = 𝑣0𝑡 + 𝑥0, onde 𝑥(𝑡) é sua 
posição no instante 𝑡, tem o gráfico de 
sua posição e velocidade 𝑣(𝑡) dados, 
respectivamente, por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os coeficientes 𝑎 e 𝑏 explicitam o 
comportamento do gráfico de uma 
função afim. Seja 𝑓 uma função afim 
dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
i) O valor 𝑎 é a inclinação da 
reta que descreve o gráfico 
de 𝑓. Quando 𝑎 > 0, a reta é 
crescente, e quando 𝑎 < 0 a 
reta é decrescente. Caso 𝑎 =
0, a reta é constante e será 
paralela ao eixo 𝑥. 
 
ii) O valor 𝑏 é o valor que a 
função assume quando 𝑥 =
0. O número 𝑏 = 𝑓(0) às 
vezes é chamado de valor 
inicial da função. No 
exemplo 6, quando 𝑡 = 0, a 
posição inicial da partícula 
era 𝑥(0) = 𝑥0. 
A variação do valor 𝑏 na 
função afim indica uma 
translação do seu gráfico. 
𝑓(𝑥) = 𝑥 
𝑥 
𝑥 
𝑥0 
𝑡 𝑡0 
𝑥(𝑡0) 
𝑡 
𝑣 
 
𝑣 = 𝑣0 
𝑦 
 
 
 
 
 
 
2.2 Funções Quadráticas 
 As funções quadráticas surgem 
naturalmente em diversos fenômenos 
físicos, em especial, nos fenômenos que 
descrevem valores extremantes como, 
por exemplo, a altura máxima atingida 
por uma bola chutada na horizontal ou a 
velocidade mínima de uma partícula 
que descreve um MRUV. 
Definição 3. (Função Quadrática) Uma 
função 𝑓: ℝ → ℝ chama-se quadrática 
quando existem números reais 𝑎, 𝑏, 𝑐, 
com 𝑎 ≠ 0, tais que 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
para todo 𝑥 ∈ ℝ. Sua representação no 
plano cartesiano é uma curva 
denominada parábola, conforme é 
exemplificado nas figuras abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A abertura da parábola é denominada 
concavidade, por sua vez, esta abertura 
estará voltada para cima ou para baixo 
dependendo do sinal do número real 𝑎 
na expressão do trinômio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
i) Quando 𝑎 > 0, a 
concavidade da parábola é 
voltada para cima. 
ii) Quando 𝑎 < 0, a 
concavidade da parábola é 
voltada para baixo. 
O ponto da parábola onde o valor da 
função quadrática é o maior ou menor 
valor possível é chamado de vértice da 
parábola. O vértice da parábola, que 
descreve o gráfico da função 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 é o ponto de 
coordenadas: 
𝑉 = (−
𝑏
2𝑎
, −
Δ
4𝑎
) 
onde o número real Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 é 
denominado discriminante do trinômio 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. O valor do discriminante 
indica se o gráfico da parábola 
intercepta ou não o eixo das abscissas 
no plano cartesiano. A abscissa do 
ponto de interseção do gráfico da 
função quadrática com o eixo 𝑥 é 
denominada de raiz do trinômio 𝑎𝑥2 +
𝑏𝑥 + 𝑐, isto é, é o número real 𝑥 tal que 
𝑓(𝑥) = 0. A relação entre o valor do 
discriminante e as raízes do trinômio é 
descrita a seguir: 
i) Quando Δ > 0, o gráfico da 
função quadrática intercepta 
dois pontos do eixo 𝑥, cujas 
abscissas são 𝑥 =
−𝑏±√Δ
2𝑎
. 
𝒙 
𝑦 
Parábola com concavidade voltada para cima 
 
𝑦 
𝑎𝑥 + 𝑏1 
𝑎𝑥 + 𝑏2 𝑎𝑥 + 𝑏3 
𝑥 
𝑥 
Parábola com concavidade voltada para baixo 
𝑦 
 
 
Assim, neste caso, o trinômio 
possuirá duas raízes reais e distintas. 
 
ii) Quando Δ = 0, o gráfico da 
função quadrática intercepta 
um único ponto do eixo 𝑥, 
cuja abscissa é 𝑥 =
−𝑏
2𝑎
. 
 
Neste caso, o trinômio possuirá 
apena uma raiz real. 
 
iii) Quando Δ < 0, o gráfico da 
função quadrática não 
intercepta o eixo das 
abscissas. Assim, o trinômio 
não possui raiz real alguma.Exemplo 6. No movimento retilíneo 
uniformemente variado de uma 
partícula, sua posição tem uma variação 
descrita por uma função quadrática. 
Seja 𝑥(𝑡) =
1
2
𝑎0𝑡
2 + 𝑣0𝑡 + 𝑥0 a função 
posição de uma partícula no instante 𝑡. 
O gráfico da posição da partícula no 
instante 𝑡 = 𝑡0 é apresentado abaixo. 
 
 
 
 
 
Cada coeficiente 𝑎0, 𝑣0 e 𝑥0 tem um 
significado na equação que descreve um 
MRUV. Conforme o gráfico acima, se 
verifica que 𝑥0 é a posição da partícula 
no instante 𝑡 = 0. O valor 𝑣0 representa 
a velocidade da partícula quando 𝑡 = 0 
(pois no MRUV, a velocidade é descrita 
por 𝑣(𝑡) = 𝑎0𝑡 + 𝑣0). 
 Além disso, a concavidade dessa 
parábola, que descreve a variação de 
posição, é também determinada pelo 
sinal da aceleração 𝑎0. 
Exercícios. 
1) Esboçar o gráfico das seguintes 
funções. 
(a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 
(b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3 
(c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 
(d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 
(e) 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 + 1 
(f) 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 − 𝑥2 
(g) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−9
𝑥−3
 
(h) 𝑓(𝑥) =
𝑥4−4𝑥3+4𝑥2
𝑥2−2𝑥
 
2) Dada a posição de uma partícula, no 
instante 𝑡, por 𝑥(𝑡) = 4𝑡2 − 4𝑡 + 16, 
esboçar os gráficos da função posição e 
função velocidade. 
𝑡 
𝑥 
𝑡0 
𝑥0 
𝑥(𝑡0) 
𝑥(𝑡) 
𝒂 > 𝟎 
𝒙 
𝒚 
𝒂 > 𝟎 
𝒙 
𝒚 
 
 
3. Funções Exponenciais e 
Logarítmicas 
 Vários fenômenos físicos e 
químicos que ocorrem na natureza têm 
comportamentos que necessitam ser 
descritos ao longo de grandes ou 
curtíssimos espaços de tempo. A 
variação de temperatura, segundo a lei 
de resfriamento de Newton, é um 
exemplo de fenômeno que ocorre 
rapidamente em pequenos intervalos de 
tempo. A desintegração radioativa de 
um determinado elemento químico ou 
material orgânico é um fenômeno que 
ocorre em grandes períodos de tempo 
gradativamente. Todos os fenômenos 
exemplificados podem ser descritos 
através de funções exponenciais. 
3.1. Função Exponencial 
Definição 4. (Função Exponencial). A 
função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, 
com 𝑎 ≠ 1 e 𝑎 > 0, é denominada 
função exponencial de base 𝑎 e definida 
para todo 𝑥 real. 
O valor do número real 𝑎 define a 
forma como se comportará a função 
exponencial. Quando 𝑎 > 1 a função 
será crescente, isto é, seu gráfico será 
uma curva ascendente, e quando 0 <
𝑎 < 1 a função será decrescente, isto é, 
seu gráfico será uma curva descendente. 
 
 
 
 Alguns exemplos de funções 
exponenciais são 𝑓(𝑥) = 2𝑥, 𝑔(𝑥) =
3−𝑥+1 e ℎ(𝑥) = 0,52𝑥. Não são 
exemplos de funções exponenciais as 
funções dadas por 𝑤(𝑥) = (−1)𝑥, 
𝑧(𝑥) = 𝑥2, 𝑦(𝑥) = 2𝑥
2
, pois 𝑤 não é 
definida para todo 𝑥 ∈ ℝ, 𝑧 é um 
polinômio e 𝑦 não é da forma 𝑎𝑥. 
 Na função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
temos: 
i) Se 𝑥 = 0 então 𝑓(0) = 𝑎0 = 1, isto é 
o par ordenado (0,1) satisfaz a lei 𝑦 =
𝑎𝑥 para todo o 𝑎 ( 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1). Isso 
quer dizer que o gráfico de qualquer 
função exponencial corta o eixo y no 
ponto de ordenada 1. 
ii) Se 𝑎 > 1 então a função é crescente 
se 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦. 
iii) Se 0 < 𝑎 < 1 então a função é 
decrescente se 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑎𝑥 > 𝑎𝑦. 
Exemplo 7. A função que descreve a 
população de bactérias em cada instante 
de hora 𝑛, em uma amostra, dada por 
𝑓(𝑛) = 2𝑛 é crescente. De fato, para 
𝑛1 < 𝑛2, tem-se 2
𝑛1 < 2𝑛2. Assim, a 
população de bactéria cresce a cada 
unidade de hora de tempo. 
 Dentre todas as bases para uma 
função exponencial, há uma que é mais 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , 𝑎 > 1. 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , 0 < 𝑎 < 1. 
 
 
conveniente para todos os propósitos do 
Cálculo. Esta base é dada pelo número 
de Euller “𝑒” (que vale 
aproximadamente 2,71). Este número 
surge naturalmente em diversos 
fenômenos da natureza que possam ser 
descritos através de funções 
exponenciais. A partir de agora, 
daremos preferência a essa base no 
decorrer do estudo de funções 
exponenciais. Escreveremos a função 
exponencial de base 𝑒 como 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
ou 𝑓(𝑥) = exp 𝑥. 
3.2. Funções Logarítmicas 
Dado um número real 𝑏, tal que 𝑎 <
𝑏 ≠ 1, define-se como logaritmo de um 
número positivo 𝑦 > 0 na base 𝑏 ao 
expoente 𝑥 a que se deve elevar a base 
𝑏 para obter o número 𝑦. Escreve-se: 
𝑥 = log𝑏 𝑦 ⇔ 𝑏
𝑥 = 𝑦. Em particular, 
quando 𝑏 = 10 escreveremos 
simplesmente 𝑥 = log 𝑦 (logaritmo 
decimal). 
 
Definição 5. (Função Logarítmica). A 
função 𝑓: ℝ+ − {0} → ℝ dada por 
𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥, com 𝑎 ≠ 1 e 𝑎 > 0, é 
denominada função logarítmica de base 
𝑎 e é definida para todo 𝑥 real positivo. 
O valor do número real 𝑎 define a 
forma como se comportará a função 
logarítmica. Quando 𝑎 > 1 a função 
será crescente, isto é, seu gráfico será 
uma curva ascendente, e quando 0 <
𝑎 < 1 a função será decrescente, isto é, 
seu gráfico será uma curva descendente. 
Exemplos de funções logarítmicas são 
𝑓(𝑥) = log2 𝑥 , 𝑔(𝑥) = log0,5 𝑥
2 e 
ℎ(𝑥) = log 2𝑥. Não são exemplos de 
funções logarítmicas as funções dadas 
por 𝑠(𝑥) = log−1 𝑥 e 𝑟(𝑥) = log𝑥 2, 
pois 𝑠 não tem base positiva e 𝑟 não é 
da forma log𝑏 𝑓(𝑥). Em particular, 
𝑟(𝑥) = log𝑥 2 se, e somente se, 𝑥
𝑟(𝑥) =
2. 
 Na função logarítmica 𝑓(𝑥) = log𝑏 𝑥 
tem-se: 
i) Os gráficos das funções logarítmicas 
sempre cortam o eixo 𝑥 no ponto (1,0). 
 
ii) Quando a base é maior que 1, os 
números maiores que 1 tem logaritmos 
positivos e os números entre 0 e 1 tem 
logaritmos negativos. 
 





0xlog1logxlog1x0
0xlog1logxlog1x
aaa
aaa
 
iii) Quando a base é menor que 1, os 
números maiores que 1 tem logaritmos 
negativos e os números entre 0 e 1 tem 
logaritmos positivos. 
 





0xlog1logxlog1x0
0xlog1logxlog1x
aaa
aaa
 
 Assim como para a função 
exponencial há uma base que é mais 
conveniente no estudo Cálculo, também 
haverá uma base que é conveniente à 
função logarítmica. Esta base também 
será dada pelo número “𝑒”. A partir de 
agora, daremos também preferência a 
essa base no decorrer do estudo do 
Cálculo. Escreveremos a função 
logarítmica de base 𝑒 como 𝑓(𝑥) =
ln 𝑥 (= log𝑒 𝑥). 
Exemplo 8. O número, em centenas de 
indivíduos, de um determinado grupo de 
 
 
animais, 𝑥 dias após a liberação de um 
predador em seu ambiente, é expresso 
pela seguinte função: 
𝐹(𝑥) = log5 √53 (𝑥
4). 
Após cinco dias da liberação do 
predador, qual o número de indivíduos 
desse grupo existirá no ambiente? 
Resolução. Devemos calcular o valor de 
𝐹(5), pois esse número representará o 
número de animais existentes após o 
predador ser libertado após 5 dias. Ora, 
temos que: 
𝐹(5) = log5 √53 (5
4) ⇔ (5√5
3
)
𝐹(5)
= 54 
Donde obtemos: 
(5
4
3)
𝐹(5)
= 54 ⇒ 5
4𝐹(5)
3 = 54 ⇒
4𝐹(5)
3
= 4 
E, portanto 𝐹(5) = 3. 
Exercícios. 
1) Esboçar o gráfico das seguintes 
funções: 
(a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
(b) 𝑓(𝑥) = 3−𝑥(c) 𝑓(𝑥) = 0,5𝑥 + 1 
(d) 𝑓(𝑥) = 22𝑥 − 1 
(e) 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 
(f) 𝑓(𝑥) = log 2𝑥 
(g) 𝑓(𝑥) = log 𝑥2 
(h) 𝑓(𝑥) = 1 + log2 𝑥 
2) Segundo a lei do resfriamento de 
Newton, a temperatura 𝑇 de um corpo 
colocado num ambiente cuja 
temperatura é 𝑇0 obedece à seguinte 
relação: 𝑇 = 𝑇0 + 𝑘𝑒
−𝑐𝑡. Nesta relação, 
𝑇 é medida na escala Celsius, 𝑡 é o 
tempo medido em horas, a partir do 
instante em que o corpo foi colocado no 
ambiente, e 𝑘 e 𝑐 são constantes a serem 
determinadas. Considere uma xícara 
contendo café, inicialmente a 100°C, 
colocada numa sala de temperatura 
20°C. Vinte minutos depois, a 
temperatura do café passa a ser de 40ºC. 
a) Calcule a temperatura do café 50 
minutos após a xícara ter sido colocada 
na sala. 
b) Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 =
1,1, estabeleça o tempo aproximado em 
que, depois de a xícara ter sido colocada 
na sala, a temperatura do café se reduziu 
à metade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Funções Trigonométricas 
 As funções trigonométricas surgem 
naturalmente em fenômenos físicos que 
descrevem comportamentos oscilatórios 
ou periódicos. A oscilação de um 
pêndulo, de uma massa presa a uma 
mola sob a ação de uma força e a 
variação de carga e corrente num 
circuito elétrico, cuja voltagem externa 
oscila, são exemplos de fenômenos 
descritos por funções trigonométricas. 
4.1. Função Seno 
 A função 𝑓 que associa a cada 
número real 𝑥 o valor sen 𝑥 é chamada 
de função seno e é definida pela lei 
𝑓(𝑥) = sen 𝑥. Alguns aspectos 
importantes da função seno são: 
i) O domínio é toda a reta real 
ℝ, isto é, todo número real 
possui valor de seno; 
ii) A imagem de seno é o 
intervalo [−1,1], isto é, o 
seno de todo número real é 
limitado pelos valores −1 e 
1. 
iii) A função seno é periódica e 
o seu período é 2𝜋, ou seja, 
a sen(𝑥 + 2𝜋) = sen(𝑥). 
iv) O gráfico da função seno é 
uma curva denominada 
senóide. 
 
v) A função seno é ímpar, isto 
é, sen(−𝑥) = sen 𝑥. 
vi) Observando o gráfico da 
função seno verifica-se que 
esta é crescente nos e 1o e 4o 
quadrantes e decrescente nos 
demais quadrantes. 
4.2. Função Cosseno 
 A função 𝑔 que associa a cada 
número real 𝑥 o valor cos 𝑥 é chamada 
de função cosseno e é definida pela lei 
𝑔(𝑥) = cos 𝑥. Os aspectos essenciais da 
função cosseno são: 
i) O domínio é toda a reta real 
ℝ, isto é, todo número real 
possui valor de cosseno; 
ii) A imagem de cosseno é o 
intervalo [−1,1], isto é, o 
cosseno de todo número real 
é limitado pelos valores −1 
e 1. 
iii) A função cosseno é 
periódica e o seu período é 
2𝜋, isto é, a cos(𝑥 + 2𝜋) =
cos(𝑥). 
iv) O gráfico da função cosseno 
é uma curva denominada 
cossenóide. 
 
 
 
 
v) A função cosseno é par, isto 
é, cos(−𝑥) = cos 𝑥. 
vi) Observando o gráfico da 
função cosseno verifica-se 
que esta é crescente nos e 3o 
e 4o quadrantes e decrescente 
nos demais quadrantes. 
4.3. Função Tangente 
 A função ℎ que corresponde cada 
número real 𝑥 ao valor tan 𝑥 é chamada 
de função tangente e esta é definida pela 
lei ℎ(𝑥) = tan 𝑥. Os aspectos mais 
importantes da função tangente são: 
i) O seu domínio é o conjunto 
dos números reais 
{𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. 
ii) A imagem da função 
tangente é toda reta real, em 
particular, todo número real 
é a tangente de algum outro 
número real. 
iii) A função tangente é 
periódica e o seu período é 
𝜋, daí tan(𝑥 + 𝜋) = tan(𝑥). 
iv) O gráfico da função tangente 
é uma curva denominada 
tangenóide. 
 
 
v) A função tangente é ímpar, 
isto é, tan(−𝑥) = tan 𝑥. De 
fato, tan(−𝑥) =
sen(−𝑥)
cos(−𝑥)
=
−
sen 𝑥
cos 𝑥
= − tan 𝑥. 
vi) A função tangente é 
crescente no 1o e 3o 
quadrante, e decrescente no 
2o e 4o quadrante. 
4.4. Outras funções trigonométricas 
 Funções trigonométricas que são 
obtidas diretamente das funções seno, 
cosseno e tangente e que tem grande 
utilidade no curso de Cálculo são 
descritas a seguir. 
i) Função Secante 
𝑓(𝑥) = sec 𝑥 
onde sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
, 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
ii) Função Cossecante 
𝑓(𝑥) = cossec 𝑥 
onde cossec 𝑥 =
1
sen 𝑥
, 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
iii) Função Cotangente 
𝑓(𝑥) = cotg 𝑥 
 
 
onde cotg 𝑥 =
1
tan 𝑥
, 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
4.5. Relações Importantes da 
Trigonometria 
 Apresentamos a seguir algumas 
relações trigonométricas que surgirão 
com frequência e que naturalmente 
serão bastante aplicadas no decorrer do 
curso de Cálculo. 
1) sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 
2) tan 𝑥 =
sen 𝑥
cos 𝑥
 
3) 1 + tan2 𝑥 = sec2 𝑥 
4) 1 + cotan2 𝑥 = cossec2 𝑥 
5) sen(𝑎 + 𝑏) = sen 𝑎 cos 𝑏 +
sen 𝑏 cos 𝑎 
6) cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 −
sen 𝑎 sen 𝑏 
 Exemplo 9: Demonstrar as seguintes 
relações: 
a) sen 2𝑎 = 2 sen 𝑎 cos 𝑎 
b) cos 2𝑎 = cos2 𝑎 − sen2 𝑎 
c) cos2 𝑥 =
1
2
+
1
2
cos 2𝑥 
Resolução. 
a) Fazendo 𝑎 = 𝑏 na relação 5) 
obtemos o resultado. 
b) Fazendo 𝑎 = 𝑏 na relação 6) 
obtemos o resultado. 
c) Somando as relações: 
sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 
cos2 𝑥 − sen2 𝑥 = cos 2𝑥 
obtemos a expressão 2 cos2 𝑥 = 1 +
cos 2𝑥 donde segue o resultado 
desejado. 
 
Exercícios: 
1) Prove as seguintes relações: 
a) sen2 𝑥 =
1
2
−
1
2
cos 2𝑥 
b) cos4 𝑥 − sen4 𝑥 = cos 2𝑥 
c) √1 + sen 2𝑥 = cos 𝑥 + sen 𝑥 
d) tan 2𝑥 =
2 tan 𝑥
1−tan2 𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Composição de Funções e 
Funções Inversas 
5.1. Funções Compostas 
 A composição entre duas funções 𝑓 e 
𝑔 consiste em combinar estas funções a 
fim de se gerar novas funções, 
chamadas de compostas, as quais 
geralmente são mais complexas dos que 
as originais. Isto é, uma função 
aparamente complexa (uma função que 
não seja elementar), pode ser reescrita 
como a composta de funções mais 
simples. 
Definição 6. Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, 
a função composta, 𝑓 ∘ 𝑔 (também 
chamada de composição de 𝑓 e 𝑔) é 
definida por (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)). 
 A composição entre 𝑓 e 𝑔 somente é 
possível quando o domínio de 𝑓 ∘ 𝑔 é o 
conjunto de todos os pontos 𝑥 do 
domínio de 𝑔 tais que 𝑔(𝑥) está no 
domínio de 𝑓. Assim, se 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 
𝑔: 𝐶 → 𝐷, 𝐷 = 𝐼𝑚 𝑔, então é possível 
determinar 𝑓 ∘ 𝑔 somente se 𝐴 ⊂ 𝐶. 
 
 
 
 
 
 
Por exemplo, sejam 𝑓: ℝ → ℝ, 
𝑔: [0,1] → [0,1] e ℎ: ℝ → [−1,1] 
funções cujas imagens são iguais aos 
seus respectivos contradomínios. É 
possível determinar 𝑓 ∘ 𝑔, 𝑓 ∘ ℎ, ℎ ∘ 𝑓 e 
ℎ ∘ 𝑔. No entanto, não existem 𝑔 ∘ 𝑓 e 
𝑔 ∘ ℎ. 
Exemplo10. Sejam 𝑓: ℝ → ℝ e 𝑔: ℝ →
ℝ funções definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e 
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3. Determinar 𝑓 ∘ 𝑔, e 𝑔 ∘
𝑓, 𝑓 ∘ 𝑓 e 𝑔 ∘ 𝑔. 
Resolução. Temos: 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)2; 
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥2) = 𝑥2 − 3; 
𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥2) = (𝑥2)2 = 𝑥4; 
𝑔(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3) − 3 =
𝑥 − 6; 
 Você pode observar no exemplo 
acima que, em geral, 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓. 
Exemplo 11. Sejam as funções 𝑓(𝑥) =
√𝑥, 𝑔(𝑥) = cos 𝑥 e ℎ(𝑥) =
1
𝑥
. 
Determinar 𝑓 ∘ 𝑔, 𝑓 ∘ 𝑓, 𝑓 ∘ ℎ, 𝑔 ∘ ℎ e 
ℎ ∘ ℎ. 
Resolução. Temos: 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(cos 𝑥) = √cos 𝑥; 
𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(√𝑥) = √√𝑥 = √𝑥
4
; 
𝑓(ℎ(𝑥)) = 𝑓 (
1
𝑥
) = √
1
𝑥
; 
𝑔(ℎ(𝑥)) = 𝑔 (
1
𝑥
) = cos (
1
𝑥
); 
ℎ(ℎ(𝑥)) = ℎ (
1
𝑥
) =
1
1
𝑥
= 𝑥. 
 Até aqui usamos a composição para 
construir as funções complicadas a 
partir das mais simples. Mas em 
Cálculo é proveitoso ser capaz de 
decompor uma função complicada em 
funções mais simples, como no exemplo 
a seguir. 
𝑔(𝑥) 
𝐶 𝐴 𝐵 
𝑥 𝑓(𝑔(𝑥)) 
𝒈 𝒇 
𝐷 
 
 
Exemplo 12. Dada 𝐹(𝑥) =
cos2(𝑥 + 9), encontre funções 𝑓, 𝑔 e ℎ 
tais que 𝐹 = 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ. 
Resolução. Observe que na função 𝐹 
temos: 
𝑥 ↦ 𝑥 + 9 
(𝑥 + 9) ↦ cos(𝑥 + 9) 
cos(𝑥 + 9) ↦ (cos(𝑥 + 9))2 
Assim, fazendo 
ℎ(𝑥) = 𝑥 + 9 
𝑔(𝑥 + 9) = cos(𝑥 + 9) 
𝑓(cos(𝑥 + 9)) = (cos(𝑥 + 9))2 
concluímos que 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑔(𝑥) =
cos 𝑥 e ℎ(𝑥) = 𝑥 + 9. 
5.2. Funções Inversas 
 A inversa de uma função, quando 
existe, exprime uma relação intrínseca 
entre os elementos da imagem da 
função e os pontos do domínio que 
estão associados a eles. Em Cálculo, o 
conhecimento da definição de inversa 
de uma função é essencial para o 
cálculo das derivadas das inversas de 
algumas funções elementares. 
 Definição 7. (Função Inversa) Seja 𝑓 
uma função injetiva com domínio 𝐴 e 
imagem 𝐵. Então sua função inversa 
𝑓−1 tem domínio 𝐵 e imagem 𝐴, sendo 
definida por 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑦 
para todo 𝑦 em 𝐵. 
Note que 
Domínio de 𝒇−𝟏 = imagem de 𝒇 
Imagem de 𝒇−𝟏 = domínio de 𝒇. 
Observe que, a partir da definição, se 
𝑦 = 𝑓(𝑥) podemos escrever: 
𝑓−1(𝑦) = 𝑥 ⇒ 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 
para todo 𝑥 em 𝐴. Ou 
𝑓(𝑥) = 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑓−1(𝑦)) = 𝑦 
para todo 𝑦 em 𝐵. A função obtida pela 
composição de uma função com sua 
inversa é chamada de função 
identidade. A função identidade é 
definida por 𝐼(𝑥) = 𝑥. A inversa da 
função identidade é a própria função 
identidade. 
Observação: Em geral, temos que 
𝑓−1(𝑥) ≠ [𝑓(𝑥)]−1. Veja que 𝑓−1(𝑥) é 
a função inversa da lei 𝑓(𝑥), enquanto 
[𝑓(𝑥)]−1 é o inverso do número real 
𝑓(𝑥), isto é, [𝑓(𝑥)]−1 =
1
𝑓(𝑥)
. 
Exemplo 13. Encontrar a inversa da 
função 𝑓(𝑥) = 𝑥3. 
Resolução. A inversa de 𝑓 é uma função 
𝑔 = 𝑓−1 tal que 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥, isto é, 
𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = (𝑔(𝑥))
3
. Assim, a 
inversa de 𝑓 é 𝑓−1(𝑥) = 𝑔(𝑥) = √𝑥
3
. 
Exemplo 14. Encontrar a inversa da 
função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1. 
Resolução. Seja 𝑢 = 𝑓−1(𝑥). Então, 
𝑓(𝑢) = 𝑥 ⇒ 𝑢2 + 𝑢 + 1 = 𝑥. Donde, 
obtemos uma equação de segundo grau 
que depende apenas de 𝑢: 
𝑢2 + 𝑢 + (1 − 𝑥) = 0 
Ao encontrarmos a solução dessa 
equação obtemos uma relação 
𝑢(𝑥) =
−1 ± √𝑥 − 3
2
 
 
 
na qual se verifica que não é uma 
função (note que cada elemento do 
domínio de 𝑢 possui duas imagens 
distintas). Assim, 𝑓 não possui inversa 
dada por uma única regra. No entanto, 
note que 𝑓(𝑥) pode ser reescrito como 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 +
1
4
+
3
4
= (𝑥 +
1
2
)
2
+
3
4
. 
E tomando 𝑦 = 𝑓(𝑥) encontramos 
 𝑦 −
3
4
= (𝑥 +
1
2
)
2
⇒ 𝑥 = ±√𝑦 −
3
4
−
1
2
. 
Isto é, 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) = √𝑦 −
3
4
−
1
2
 ou 
𝑥 = 𝑓−1(𝑦) = −√𝑦 −
3
4
−
1
2
 podem ser 
vistas como expressões que definem 
(escolhendo um sinal para o termo 
±√𝑦 −
3
4
) uma suposta inversa para 𝑓, 
desde que 𝑦 ≥
3
4
. Assim, apesar de 𝑓 
não possuir uma inversa definida por 
uma única regra, podemos construir 
uma inversa para 𝑓 em um subconjunto 
restrito de valores de dom(𝑓−1). Com 
efeito, uma inversa de 𝑓, restrita ao 
conjunto {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥
3
4
} ⊂ dom(𝑓−1), 
é dada por 
𝑢(𝑥) = √𝑥 −
3
4
−
1
2
. 
Para esta escolha, verifica-se que: 
 𝑓(𝑢(𝑥)) = 𝑢2 + 𝑢 + 1 = (𝑥 −
3
4
) −
√𝑥 −
3
4
+
1
4
+ √𝑥 −
3
4
−
1
2
+ 1 = 𝑥. 
Observação: Note que neste último 
exemplo, 𝑓 é uma bijeção somente se 
𝑥 ≥ −
1
2
 ou 𝑥 ≤ −
1
2
 (ou seja, somente 
quando é escolhido apenas uma ramo da 
parábola). 
 Apresentaremos a seguir a inversa 
das principais funções elementares. 
i) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 ⇒ 𝑓−1(𝑥) = √𝑥
𝑛
 
ii) 𝑓(𝑥) = √𝑥
𝑛
⇒ 𝑓−1(𝑥) = 𝑥𝑛 
iii) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ⇒ 𝑓−1(𝑥) = log𝑎 𝑥 
iv) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓−1(𝑥) = ln 𝑥 
v) 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 ⇒ 𝑓
−1(𝑥) = 𝑎𝑥 
vi) 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 ⇒ 𝑓−1(𝑥) = 𝑒𝑥 
vii) 𝑓(𝑥) = sen 𝑥 ⇒ 𝑓−1(𝑥) =
arcsen 𝑥 
viii) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 ⇒ 𝑓−1(𝑥) =
arccos 𝑥 
vii) 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 ⇒ 𝑓−1(𝑥) = arctan 𝑥 
Exercícios. 
1) Escreva as funções dadas como a 
composição de duas ou mais funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒𝑥
2
, 𝑘 ∈ ℝ. 
b) 𝑔(𝑥) = (𝑥4 − 𝑥2 + 1)10 
c) ℎ(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) , 𝐴, 𝜔 e 𝜑 
constantes. 
d) 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥+√𝑥
 
e) 𝑔(𝑥) = √
𝑥
1+𝑥
3
 
2) Encontrar a inversa das seguintes 
funções, caso existam. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 
 
 
c) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
 
d) 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
2𝑥+1
 
e) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥2 
f) 𝑓(𝑥) = tan √𝑥 
g) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 3 
3) Usando o fato de que (𝑓 ∘ 𝑔)−1 =
𝑔−1 ∘ 𝑓−1, calcule a inversa da função 
ℎ(𝑥) = √tan 𝑥. 
4) Demonstre a relação 
cos(arcsen 𝑥) = √1 − 𝑥2 
e a use para simplificar as expressões 
tan (arcsen 𝑥), tan (arccos 𝑥) 
sen(arctan 𝑥) e cos(arctan 𝑥).