Tabela de Limites

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GUIDG.COM 1 
 
19/6/2012 – CDI – Cálculo avançado, Limites. 
 
 
Tabela de Limites 
Resumo informal tabelado para definições, Limites notáveis, propriedades e regras gerais. 
 
 
Legenda: D = Definição; P = Proposição ou Propriedade; F = Fundamental ou Notável ; T = Teorema ; R = Regras 
 
Leg. Limite Descrição e Demonstração se possível 
R0 
 
Antes de qualquer teoria sobre limites é importante saber o que significa a notação de limites, ou seja como se faz a 
leitura dos símbolos abaixo: 
 
1 – f (x) , lê-se “f de x” e significa “função de x”. 
2 – xQ a , lê-se “x tende à a”. 
 
3 – lim
xQ a
f x` a= b
 , lê-se: O limite de f (x) quando x tende à a é igual a b. 
 ou ainda: O limite de f (x) é b quando x tende à a. 
 
T1 
 
Limites Laterais: 
 
xQ a+ , lê-se “x tende à a pela direita”. 
xQ a@ , lê-se “x tende à a pela esquerda”. 
 
a) 
lim
xQ a+
f x` a= L
 
Dizemos que o limite de uma função quando x tende à a pela direita (isto é, na reta real, dos valores maiores para os menores), é L. 
Então L é o limite á direita. 
 
b) 
lim
xQ a@
f x` a= L
 
Dizemos que o limite de uma função quando x tende à a pela esquerda (isto é, na reta real, dos valores menores para os maiores), é L. 
Então L é o limite á esquerda. 
 
c) Teorema do Limite bilateral: 
 
Se f(x) é definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então: 
 
lim
xQ a
f x` a= L^ lim
xQ a+
f x` a= lim
xQ a@
f x` a= L
 
 
Ou seja: O limite bilateral existe se, e somente se os limites laterais existirem e forem iguais. 
 
T2 
Teorema da Unicidade: 
 
Se lim
xQ a
f x` a= b1 e limxQ a f x` a= b2 então b1 = b2 . 
D1 
 
Limites, definição: 
 
Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x 
aproxima-se de a é L, e escrevemos que: 
 
lim
xQ a
f x` a= L se 8 ε > 0 , 9 δ > 0 | f x` a@LLLL MMM< ε sempre que x@aLL MM < δ
. 
 
Lê-se: O limite de f(x) quando x tende à a é igual a L se para todo épsilon maior que zero, existe um delta maior que zero tal que o 
módulo de f(x) - L é menor que épsilon sempre que o módulo de x – a for menor que delta. 
 
Amplamente isto significa que através do estabelecimento de uma relação entre as desigualdades propostas, pode-se obter uma prova 
matemática para a existência do limite. 
 
GUIDG.COM 2 
 
Para que se entenda a definição é necessário entender o significado geométrico. 
 
Uma explicação para cada símbolo é dado no arquivo “Notação Matemática” que pode ser obtido no site. 
 
D2 
 
Limites no infinito, definição: 
 
a) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto a, +1` a. Escrevemos: 
 
lim
xQ +1
f x` a= L se 8 ε > 0 , 9 A > 0 | f x` a@LLLL MMM< ε sempre que x > A
. 
 
 
b) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto @1 , b
b c
. Escrevemos: 
lim
xQ@1
f x` a= L se 8 ε > 0 , 9 B< 0 | f x` a@LLLL MMM< ε sempre que x < B
. 
 
Ou seja os limites existem se satisfazerem cada um à sua condição dada. 
 
OBS: Veja o Teorema 3 (T3), pois este ajudará muito no cálculo de limites no infinito. 
 
D3 
 
Limites infinitos, definição: 
 
a) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que: 
 
lim
xQ a
f x` a= +1 se 8 M > 0 , 9 δ> 0 | f x` a > M sempre que x@aLL MM< δ
. 
 
b) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que: 
 
lim
xQ a
f x` a=@1 se 8 N < 0 , 9 δ> 0 | f x` a < N sempre que x@aLL MM< δ
. 
 
D4 
 
Limites infinitos no infinito, definição: 
Havendo uma boa interpretação de limites no infinito e limites infinitos, as demais definições podem ser facilmente deduzidas: 
 
a) lim
xQ +1
f x` a= +1 se 8 M > 0 , 9 N > 0 | f x` a > M sempre que x > N
. 
 
Ou seja: O limite de uma função vai positivamente para o infinito, se para todo M maior que zero (no eixo das ordenadas) existir um 
N maior que zero (no eixo das abscissas), tal que por maior que M seja sempre teremos uma f(x) > M sempre que x > N. 
 
Assim deduzimos os próximos três casos: 
 
b) lim
xQ +1
f x` a=@1 se 8 M < 0 , 9 N > 0 | f x` a < M sempre que x > N
. 
 
c) lim
xQ@1
f x` a= +1 se 8 M > 0 , 9 N < 0 | f x` a > M sempre que x < N
. 
 
d) lim
xQ@1
f x` a=@1 se 8 M < 0 , 9 N < 0 | f x` a < M sempre que x < N
. 
 
T3 
 
Limites no infinito, o próximo teorema nos ajudará no cálculo de limites no infinito: 
 
a) lim
xQ +1
1
x n
fffffff
= 0
 
 
b) lim
xQ@1
1
x n
fffffff
= 0
 
8n 2 ZC
+
 
Lê-se: Para todo n pertencente ao conjunto dos números inteiros positivos sem o zero. 
GUIDG.COM 3 
 
T4 
 
Limites infinitos, o próximo teorema nos ajudará no cálculo de limites infinitos: 
 
a) lim
xQ 0+
1
x n
fffffff
= +1
 
 
b) lim
xQ 0@
1
x n
fffffff
=
+1 , se n é par
@1 , se n é impar
V
 
 
R1 lim
xQ1
f x` a
 
 
Quando apresentarmos a notação: lim
xQ1
f x` a
 
Isto é, o limite de uma função quando x tende ao infinito, estamos procurando pelo limite 
da função quando xQ+1 e xQ@1, ou seja, são dois limites: 
 
lim
xQ +1
f x` a
 e lim
xQ@1
f x` a
 
 
R2 Indeterminações. 
 
Vamos falar de indeterminações. Quando chegamos a alguma das sete formas abaixo, 
dizemos (iii ... indeterminação!) 
 
0
0
fff
,
1
1
fffffff
,1@1 , 0B1 ,00 ,10 ,11
 
 
Isto significa que nada podemos dizer sobre o limite sem um estudo mais profundo de cada 
caso, este por sua vez é feito com o auxilio da equivalência entre funções. 
 
Convém ainda lembrar que @1 e +1 não são números, são conceitos. 
Dizer que xQ@1 ou xQ+1 indica o comportamento da variável x. Assim x 
nunca chega à um limite numérico, por isso diz-se que tende ao infinito. 
Diferente de quando dizemos por exemplo, que xQF 10, aqui o limite de x existe, 
mesmo que f(x) não esteja definida neste ponto. 
 
R3 
 
Indeterminações e propriedades dos limites infinitos: 
 
A tabela a seguir resume os fatos principais para os limites infinitos, onde se pode ter: xQ a, xQ a+ , xQ a@ , 
xQ +1 ou xQ@1. 
0+ indica que o limite é zero quando x tende à zero pela direita (por valores positivos), e 0@ indica que o limite é zero 
quando x tende a zero pela esquerda (por valores negativos). 
* Para os quatro primeiros casos citados em R2. 
 
 lim f x` a lim g x` a h(x)= lim h x` a simbolicamente 
01 F1 F1 f(x) + g(x) F1 F1 F1 = F1 
02 * +1 +1 f(x) – g(x) ? ( +1) – ( +1) é indeterminação 
03 +1 k f(x) + g(x) +1 +1 + k = +1 
04 @1
 
k f(x) + g(x) @1
 
@1
 + k = @1 
05 +1 +1 f(x) . g(x) +1 ( +1) . ( +1) = +1 
06 +1 @1
 
f(x) . g(x) @1
 
( +1) . (@1) = @1 
07 +1 k > 0 f(x) . g(x) +1 +1 . k = +1 
08 +1 k < 0 f(x) . g(x) @1
 
+1 . k = @1 
09 * F1 0 f(x) . g(x) ? F1 . 0 é indeterminação 
GUIDG.COM 4 
 
10 k F1 f(x) / g(x) 0 k /F1 = 0 
11 * F1 F1 f(x) / g(x) ? F1 / F1 é indeterminação 
12 k > 0 0+ f(x) / g(x) +1 k / 0+ = +1 
13 +1 0+ f(x) / g(x) +1 +1 / 0+ = +1 
14 k > 0 0@ f(x) / g(x) @1 k / 0@= @1 
15 +1 0@ f(x) / g(x) @1 +1 / 0@=@1 
16 * 0 0 f(x) / g(x) ? 0 / 0 é indeterminação 
 
 
P1 
 
a) Se a, m e n são números reais, então: 
 
lim
xQ a
mx + n
` a
= ma + n
 
 
Decorrências imediatas: Se c é um número real qualquer, então: 
 
b) lim
xQ a
c = c
 
 
c) lim
xQ a
x = a
 
 
P2 
 
Propriedades dos Limites. Vejamos as principais propriedades usadas na manipulação algébrica e no cálculo 
de limites. Subdividimosem grupos (P2, P3...) , os 10 primeiros mais dedutíveis enquanto os 4 restantes em 
mais destaque. 
 
Sejam as funções f(x) e g(x), para as quais existem os limites lim
xQ a
f x` a e lim
xQ a
g x
` a
 , então: 
 
01 - lim
xQ a
f x` aF g x` aB C= lim
xQ a
f x` aF lim
xQ a
g x
` a
 
 
02 - lim
xQ a
k A f x` aB C= k A lim
xQ a
f x` a 
 
03 - lim
xQ a
f x` aA g x` aB C= lim
xQ a
f x` a A lim
xQ a
g x
` a
 
 
04 - lim
xQ a
f x` a
g x
` afffffffffffffff
H
J
I
K= limxQ a f x
` a
lim
xQ a
g x
` afffffffffffffffffffffffffffff
 , se lim
xQ a
g x
` a
≠ 0 
 
05 - lim
xQ a
f x` aB Cn = lim
xQ a
f x` aB Cn , com n 2 N 
 
06 - lim
xQ a
f x` anqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= lim
xQ a
f x` anqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 
 
07 - lim
xQ a
ln f x` aB C= ln lim
xQ a
f x` aB C , se lim
xQ a
f x` a> 0 
 
08 - lim
xQ a
sin f x` aB C= sin lim
xQ a
f x` aB C 
 
09 - lim
xQ a
cos f x` aB C= cos lim
xQ a
f x` aB C 
 
GUIDG.COM 5 
 
10 - limxQ a e
f x` a
= e
lim
x Q a
f x` ab c
 
P3 
 
11 - Se f x` a> 0 , e o lim
xQ a
f x` a= b , então b > 0 
Ou seja, se a função assume valores positivos, então o limite será positivo. 
 
12 – Propriedade do Confronto: Se f (x) e g(x) são funções tais que: lim
xQ a
f x` a= lim
xQ a
g x
` a
= b 
E se h(x) é uma função tal que: f x` a≤ h x` a≤ g x` a , então lim
xQ a
h x` a= b . 
Esta propriedade é demonstrada como prova do primeiro limite fundamental (F1). 
 
P4 
 
13 – Propriedade para funções polinomiais: Seja f x` a= a0 x n + a1 x n@ 1 + …+ an então: 
 
a) lim
xQ +1
f x` a= +1 , se a0 > 0
@1 , se a0 < 0
X\
Z 
 
b) lim
xQ@1
f x` a= +1 , se a0 > 0 e n par
a0 < 0 e n ímpar
X\
Z 
 
c) lim
xQ@1
f x` a=@1 , se a0 > 0 e n ímpar
a0 < 0 e n par
X\
Z 
P5 
 
14 – Limites no infinito do quociente de funções polinomiais: Se P x
` a
= a0 x
n + a1 x
n@ 1 + …+ an 
e Q x` a= b0 x m + b1 x m@ 1 + …+ bm , então: 
 
 
lim
xQ 1
P x
` a
Q x` affffffffffffffff= limxQ 1
a0 x
n
b0 x m
ffffffffffffffff
 
 
DEB 
 
F0 
As próximas proposições são conhecidas como limites fundamentais, ou notáveis. Estas proposições irão nos auxiliar 
no cálculo de limites quando estivermos diante de casos particulares tais como 
0
0
fff
, 11 e 10 . Também é 
interessante lembrar F1, F8 e F9 são as proposições que caracterizam os limites fundamentais. 
F1 lim
xQ 0
sen x
x
ffffffffffffffff
= 1
 
DEB: Demonstração em breve. 
F2 lim
xQ 0
x
sen x
ffffffffffffffff
= 1
 
OBS: veja que esta proposição é decorrência do uso das propriedades de limite junto com 
F1. 
F3 lim
xQ 0
sen ax
x
ffffffffffffffffffff
= a
 
DEB 
F4 lim
xQ 0
sen ax
sen bx
ffffffffffffffffffff
=
a
b
ffff
 
DEB 
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F5 lim
xQ 0
1@cosx
x
ffffffffffffffffffffffffff
= 0
 
DEB 
F6 lim
xQ 0
tanx
x
ffffffffffffff
= 1
 
DEB 
F7 lim
xQ 0
1 + x
` a1
x
fffff
= e
 
DEB 
F8 lim
xQ F1
1 + 1
x
fffff gx
= e
 
 
O interessante neste limite é o surgimento da indeterminação 11 , torna-se então 
evidente a dificuldade de provar que 11 = 1 , como vemos a função nos leva a 
acreditar que o resultado seria 1 (uma vez que a parte fracionária da função 
torna-se nula), entretanto podemos provar que seu resultado é o número irracional 
e = 2,7182... mesmo indo contra o senso comum. A prova matemática não viola 
nenhum dos axiomas e teoremas matemáticos, isto é, chega-se a este resultado por 
uma forma transitiva (usando o que temos) já que não podemos prova-la 
imediatamente. 
 
lim
x QF1
1 + 1
x
fffff gx
= 1 + 0
` a1
=11
 
 
A forma reversa do teorema é a seguinte, se 1 estiver dentro da forma de um 
limite de uma função (uma função é mais que apenas um número), no caso 
f x` a= 1 + 1
x
fffff gx
 (mas não restringindo-se a esta, trate isto como um questão de 
análise) sendo x um número tendendo ao infinito, prova-se que seu resultado é o 
número e = 2,7182... , portando ou é valido para todo número ou nada podemos 
concluir. Como os matemáticos obtiveram uma prova com o uso de artifícios 
matemáticos válidos fica provada a indeterminação de 11 . 
 
Como foi visto em R3 , 11 é uma indeterminação, e fica provada a sua 
conclusão, já que pelo menos no Cálculo I , trabalhamos no conjunto dos números 
Reais, isto é suas conclusões devem ser válidas no conjunto, e não apenas em um 
caso. 
 
Infelizmente a explicação é puramente analítica, faça o uso de um Livro de 
Análise Matemática se ainda estiver insatisfeito com o resultado ou consulte seu 
professor (provavelmente ele também mandará você pegar o livro, ou na pior das 
hipóteses não saberá responder). 
 
A prova formal deste teorema envolve noções de séries, por este motivo será 
omitida, mas pode-se provar facilmente este limite usando a Regra de 
L’Hospital. 
 
F9 lim
xQ 0
ax@1
x
fffffffffffffffffff
= lna
 
DEB 
F10 lim
xQ 0
1 + x
` aa
@1
x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffff
= a
 
 
lim
x Q 0
1 + x
` aa
@1
x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
1 + 0
` aa
@1
0
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
1a@1
0
fffffffffffffffffff
=
0
0
ffff
 
 
Indeterminação do tipo 0/0 , logo podemos aplicar a regra de L’Hospital para resolver, 
contudo a regra não deve ser utilizada se o estudante ainda não entrou no estudo da 
Derivada e Diferencial. 
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a) Para aqueles que já conhecem a regra: 
 
lim
x Q 0
1 + x
` aa
@ 1
x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
0
0
ffff
 
 
Definindo o numerador como f e o denominador como g , diferenciando em relação à x 
, independentemente o quociente temos: 
 
L = lim
x Q 0
f
g
ffffff
= lim
x Q 0
f.
g.
fffffffff
= lim
x Q 0
a 1 + x
` aa@ 1
A 0 + 1
` a
@0
1
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
= lim
x Q 0
a 1 + x
` aa@ 1
= a A 1
` aa@ 1
= a A1a A1@ 1 = a
 
 
 
 
b) Demonstração por propriedades: 
 
I – Multiplicando e dividindo por ln 1 + x
` a
; 
II – Alternando a ordem dos fatores; 
 
 lim
x Q 0
1 + x
` aa
@1
x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
A
ln 1 + x
` a
ln 1 + x
` affffffffffffffffffffffffffffff
z~~~~ |~~~~xI
= lim
x Q 0
ln 1 + x
` a
x
ffffffffffffffffffffffffffffff
A
1 + x
` aa
@1
ln 1 + x
` affffffffffffffffffffffffffffffffffffff
z~~~~~~~~~~~~~~~ |~~~~~~~~~~~~~~~xII
 
 
III – Propriedade de logaritmos, a fração 1/x sobe como expoente de (1 + x) ; 
IV – Propriedade de limites, o limite de um produto é o produto dos limites; 
 
lim
x Q 0 ln 1 + x
` a 1
x
fffff
z~~~~~ |~~~~~xIII
A
1 + x
` aa
@1
ln 1 + x
` affffffffffffffffffffffffffffffffffffff= lim
x Q 0
ln 1 + x
` a 1
x
fffff
A lim
x Q 0
1 + x
` aa
@1
ln 1 + x
` affffffffffffffffffffffffffffffffffffff
z~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ |~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~xIV
 
 
V – Propriedade de limites, o limite de um logaritmo é o logaritmo do limite; 
VI – Limite fundamental F7; 
VII – Equivalência fundamental de logaritmos, ln e = log
e
e^ e x = e , x = 1
 ; 
 
ln lim
x Q 0
1 + x
` a 1
x
fffff
z~~~~~~~ |~~~~~~~xVI = F7 = ehllj
i
mmk
z~~~~~~~~~~~~~~ |~~~~~~~~~~~~~~xV
A lim
x Q 0
1 + x
` aa
@1
ln 1 + x
` affffffffffffffffffffffffffffffffffffff= ln e
vVIId e
A lim
x Q 0
1 + x
` aa
@ 1
ln 1 + x
` affffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
Portanto resumimos para: lim
x Q 0
1 + x
` aa
@1
ln 1 + x
` affffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
VIII – Multiplicando e dividindo por a ; 
IX – Novamente a propriedade de logaritmos, a sobe como expoente de (1 + x) ; 
X – Definindo 1 + x
` aa
= u , temos que se xQ 0 , uQ 1 ; 
 
lim
x Q 0
1 + x
` aa
@1
ln 1 + x
` affffffffffffffffffffffffffffffffffffffA a
a
fffffd e
z |xVIII
= lim
x Q 0
a 1 + x
` aa
@1
B C
ln 1 + x
` aab c{~~~~~~ }~~~~~~y
IX
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
= lim
u Q 1
a u@1
` a
ln u
ffffffffffffffffffffffffffffffff
z~~~~~~~~ |~~~~~~~~xX
 
 
XI – Definindo u – 1 = y , temos que se uQ 1 , yQ 0 , u = 1 + y ; 
XII – Dividindo o numerador e o denominador por y ; 
XIII – Propriedade de limites; o limite de um quociente é o quociente dos limites; 
XIV – Propriedade de logaritmos, a fração 1/y sobe como expoente de (1 + y) ; 
 
 
lim
y Q 0
ay
ln 1 + y
b cfffffffffffffffffffffffffffffffff
z~~~~~~~~~ |~~~~~~~~~xXI
= lim
y Q 0
a
ln 1 + y
b cfffffffffffffffffffffffffffff
y
fffffffffffffffffffffffffffffff
z~~~~ |~~~~xXII
=
lim
y Q 0
a
d e
lim
y Q 0
ln 1 + y
b c 1
y
ffff
{~~~~~ }~~~~~y
XIV
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
z~~~~~~~~~~~~ |~~~~~~~~~~~~xXIII
 
GUIDG.COM 8 
 
 
XV – Propriedade que decorre da definição, P1-b; 
XVI – Propriedade de limites, o limite de um logaritmo é o logaritmo do limite; 
XVII – Novamente o limite fundamental F7; 
 
lim
y Q 0
a
d ez~~~~ |~~~~xXV = a
ln lim
y Q 0
1 + y
b c 1
y
ffff
{~~~~~~~ }~~~~~~~y
XVII = F7 = e
h
llj
i
mmk
{~~~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~~~y
XVI
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
a
ln e
ffffffffffff
= a 
 
Portanto o limite F10 esta provado. 
 
F11 lim
xQ 0
ax@bx
x
ffffffffffffffffffffff
= ln ab
ffff
 
DEB 
 
Fontes de pesquisa e estudo: 
Paulo Boulos - Cálculo diferencial e integral Vol.1 ; Diva Marilia Flemming - Cálculo A ; Louis Leithold - O cálculo com 
geometria analítica Vol.1 ; Apostila/Livro de CDI-1 UDESC 2010-1.