32 Regras para achar a transformacao linear

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n. 32 – Regras para achar a transformação linear correspondente 
 
Lembrete: matriz da transformação linear  [𝑇]𝐵
𝐴 
 
F(u1) = a v1 + b v2 
F(u2) = c v1 + d v2 
 
Dadas às bases e a matriz da transformação linear: 
T(x, y) = 𝛼 F(u1) + 𝛽 F(u2) 
 
 
 
 quando forem as bases canônicas: 𝛼 = x e 𝛽 = y 
 quando não forem as bases canônicas: primeiro é preciso 
escrever os vetores (x, y) como combinação linear dos vetores da 
Base. 
T(x, y) = x F(u1) + y F(u2) 
 
 
[𝑇]𝐵
𝐴 = [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] 
2ª Coluna 
da matriz 
da 
transforma
ção linear: 
c , d 
1ª Coluna 
da matriz 
da 
transforma
ção linear: 
a , b 
Exemplo : Seja [𝑇]𝐵
𝐴 = [
3 4
2 3
] e as bases: {(1, 0), (0, 1)}, encontre 
T (x, y). 
Resolução: 
(x, y) = 𝛼 (v1 ) + 𝛽 (v2 ) 
(x, y) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽 (0, 1) 
{
𝑥 = 𝛼
𝑦 = 𝛽 
Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B 
temos: 
 T(x, y) = 𝛼 F(u1) + 𝛽 F(u2) 
 T(x, y) = x . (3, 2) + y . (4, 3) 
 T(x, y) = (3x + 4y, 2x +3 y) 
 
 
Dadas às bases e as transformações: 
T(x, y) = 𝛼 F(u1) + 𝛽 F(u2) 
 
 
 
 T(x, y) = x F(u1) + y F(u2) 
É o 
resultado 
da 
transforma
ção linear. 
É o 
resultado 
da 
transforma
ção linear. 
 
Exemplo : Seja T (1, 0) = (1, 2, 1) e T (0, 1) = ( -2, 1, 3), encontre 
T (x, y, z). 
Resolução: 
(x, y) = 𝛼 (v1 ) + 𝛽 (v2 ) 
(x, y) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽 (0, 1) 
{
𝑥 = 𝛼
𝑦 = 𝛽 
 
F(u1) = (1, 2, 1) 
F(u2) = (-2, 1, 3) 
 
 
Assim, T(x, y) = 𝛼 F(u1) + 𝛽 F(u2) 
T(x, y) = x . (1, 2, 1) + y . (-2, 1, 3) 
T(x, y) = (x – 2 y, 2 x + y, x +3 y) 
 
Exercícios: 
1. Qual a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1, 0) = (1, 2, 1) e T 
(0, 1) = ( -2, 1, 3)? 
 
T (x, y) = (x – 2 y, 2 x + y, x + 3 y) 
2. Seja T: R2 →R a transformação linear para a qual 
T (1, 1) = 3 e T (0, 1) = - 2. Encontre T (x, y). 
T (x, y) = 5 x – 2 y 
3. Seja T o operador linear no R2 definido por T (3, 1) = (2, -4) e 
T (1, 1) = (0, 2). Encontre T (x, y). 
T (x, y) = (x – y, – 3 x + 5 y) 
4. Sabendo que T: R2 → R3 é uma transformação linear e que T (1, -1) 
= (3, 2, -2) e T (-1, 2) = (1, -1, 3), determine T (x, y, z). 
T (x, y) = (7x + 4 y, 3 x + y, - x + y) 
5. Qual a transformação linear T: R3 → R tal que T (1, -1, 3) = 0 , T (0, 
1, -1) = 0 e T (0, 3, -2) = 1? 
T(x, y, z) = – 2 x + y + z 
6. Seja F ∈ L (R2) o operador cuja matriz em relação à base B = { (1, 
1), (1, 2)} é [
1 0
1 2
]. Determine F, ou seja, determine a 
transformação linear. 
T(x, y ) = (2x - y , y) 
7. Seja F o operador linear do R2 cuja matriz em relação à base B = { 
(1, 1), (1, -1)} é [
1 0
0 5
]. Determine a transformação linear. 
𝑇(𝑥, 𝑦) = [( 3𝑥 − 2𝑦), (−2𝑥 + 3𝑦)] 
8. Determine F: R3 → R3, sabendo que F (1, 0, 0) = (1, 1, 0); F (0, 2, 0) 
= (2, 0 , 6) e F (0, 1, -1) = (2, - 2, 3) 
T(x, y, z) = (x + y – z, x +2 z, 3 y) 
9. Seja [𝑇] = [
3 −2
4 1
1 0
], determine T (x, y). 
T (x, y) = (3x -2 y, 4x + y, x) 
10. Seja [𝑇] = [
1 0
0 −1
], determine T (x, y). 
T (x, y) = (x, - y) 
11. Seja [𝑇] = [4, −1, 0], determine T (x, y, z). 
T (x, y, z) = 4 x – y 
12. Seja [𝑇] = [
2 3 4
1 −2 0
], determine T (x, y, z). 
T (x, y, z) = (2x + 3 y + 4z, x – 2 y) 
13. Dadas as bases A = {(1, 1), (1, 0)} do R2 e B = {(1, 2, 0), (1, 0, -1), 
(1, -1, 3)} do R3 determine a transformação linear T: R2 → R3 
cuja matriz é: [𝑇]𝐵
𝐴 = [
2 0
1 −2
−1 3
]. 
T (x, y) = (x + y, - 3x+ 8y, 11x – 15 y) 
14. Dadas as bases A = {(1, 1), (0, 1)} do R2 e B = {(0, 3, 0), (-1, 0, 0), 
(0, 1, 1)} do R3 determine a transformação linear T: R2 → R3 cuja 
matriz é: [𝑇]𝐵
𝐴 = [
0 2
−1 0
−1 3
]. 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 , −10𝑥 + 9𝑦, −4𝑥 + 3𝑦) 
15. Qual a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1, 0) = (2, -1, 0) 
e T (0, 1) = ( 0, 0, 1)? 
 
T (x, y) = (2x, - x , y) 
16. Qual a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e 
T (0, -2) = ( 0, 1, 0)? 
 
T (x, y) = 
17. Qual a transformação linear T: R3 → R2 tal que T (3, 2, 1) = (1, 1) , 
T (0, 1, 0) = ( 0, -2) e T (0, 0, 1) = ( 0, 0) ? 
 
T (x, y, z) = 
18. Sejam F: R → R e G: R → R definidas por 𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 3 𝑥 + 1 
e 𝐺(𝑥) = 2𝑥 − 3. Encontre as fórmulas que definem as 
transformações compostas: (Lipschutz p. 179) 
a. 𝐹 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐺 
𝑅: 𝐹(𝐺(𝑥)) = 4𝑥2 − 6𝑥 + 1 
𝑅: 𝐹(𝐺(𝑥)) = 𝐹 (2𝑥 − 3) = (2𝑥 − 3)2 + 3(2𝑥 − 3) + 1
= 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 + 6𝑥 − 9 + 1 = 4𝑥2 − 6𝑥 + 1 
b. 𝐺 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐹 𝑅: 𝐺(𝐹(𝑥)) = 2𝑥2 + 6𝑥 − 1 
c. 𝐹 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐹 𝑅: 𝐹(𝐹(𝑥)) = 4𝑥4 + 6𝑥3 + 14𝑥2 + 15𝑥 + 5 
d. 𝐺 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐺 𝑅: 𝐺(𝐺(𝑥)) = 4𝑥 − 9 
 
19. Sejam F: R3 → R2 e G: R2→ R2 definidas por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(2𝑥 , 𝑦 + 𝑧 ) e 𝐺 (𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥). Defina a fórmula da 
transformação de 𝐺 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐹. 𝑅: 𝐺(𝐹(𝑥)) = (𝑦 + 𝑧, 2𝑥) 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1. Qual a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1, 0) = (1, 2, 1) 
e T (0, 1) = ( -2, 1, 3)? 
 
(x , y) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽 (0, 1) 
x = 𝛼 
y = 𝛽 
 
Logo: T (x, y) = 𝛼 T (v1) + 𝛽 T (v2) 
 T (x, y) = 𝛼 (1, 2, 1) + 𝛽 (–2, 1, 3) 
 T (x, y) = x (1, 2, 1) + y (–2, 1, 3) 
 T (x, y) = (x – 2 y, 2 x + y, x + 3 y) 
 
2. Seja T: R2 →R a transformação linear para a qual 
T (1, 1) = 3 e T (0, 1) = - 2. Encontre T (x, y). 
(x, y) = 𝛼 (1, 1) + 𝛽 (0, 1) 
x = 𝛼 
y = 𝛼 + 𝛽 ∴ y = x + 𝛽 ∴ 𝛽 = y – x 
Logo: T (x, y) = 𝛼 T (v1) + 𝛽 T (v2) 
 T (x, y) = 𝛼 (3) + 𝛽 (–2) 
 T (x, y) = x (3) + (y – x).(- 2) 
 T (x, y) = 3 x – 2 y + 2 x 
 T (x, y) = 5 x – 2 y 
 
3. Seja T o operador linear no R2 definido por T (3, 1) = (2, -4) e 
T (1, 1) = (0, 2). Encontre T (x, y). 
 
(x, y) = 𝛼 (3, 1) + 𝛽 (1, 1) 
x = 3 𝛼 + 𝛽 ∴ 𝛽 = x – 3 𝛼 
y = 𝛼 + 𝛽 ∴ y = 𝛼 + (x – 3 𝛼) ∴ y = x – 2 𝛼 ∴ 𝛼 =
𝑥−𝑦
2
 
Logo, 𝛽 = 𝑥 − 3 (
𝑥−𝑦
2
) ∴ 𝛽 =
2 𝑥 − 3 𝑥 + 3𝑦
2
 ∴ 𝛽 =
− 𝑥 + 3𝑦
2
 
 
Logo: T (x, y) = 𝛼 T (v1) + 𝛽 T (v2) 
 T (x, y) = 𝛼 (2, – 4) + 𝛽 (0, 2) 
 T (x, y) = (
𝑥−𝑦
2
) (2, – 4) + (
− 𝑥 + 3𝑦
2
).(0, 2) 
 T (x, y) = (x – y, – 2x + 2 y) + (0, – x + 3 y) 
 T (x, y) = (x – y, – 3 x + 5 y) 
 
4. Sabendo que T: R2 → R3 é uma transformação linear e que T (1, -1) 
= (3, 2, -2) e T (-1, 2) = (1, -1, 3), determine T (x, y). 
 
(x, y) = 𝛼 (1, –1) + 𝛽 (–1, 2) 
x = 𝛼 − 𝛽 ∴ 𝛼 = x + 𝛽 
y = – 𝛼 + 2 𝛽 ∴ y = - (x + 𝛽) + 2 𝛽 ∴ y = - x + 𝛽 ∴ 𝛽 = y + x 
Logo, 𝛼 = x + (y + x) ∴ 𝛼 = 2 x + y 
Logo: T (x, y) = 𝛼 T (v1) + 𝛽 T (v2) 
T (x, y) = 𝛼 (3, 2, -2) + 𝛽 (1, –1, 3) 
T (x, y) = (2x+ y).(3, 2, -2) + (y + x). (1, –1, 3) 
T (x, y) = (6 x + 3y, 4 x + 2 y, - 4 x – 2y) + (x + y, - x – y, 3 x + 3y) 
T (x, y) = (7x + 4 y, 3 x + y, - x + y) 
 
5. Qual a transformação linear T: R3 → R tal que T (1, -1, 3) = 0 , T (0, 
1, -1) = 0 e T (0, 3, -2) = 1? 
 
(x,y, z) = 𝛼 (1, -1, 3) + 𝛽 ( 0, 1, -1) + 𝛿 (0, 3, -2) 
(x, y, z) = (𝛼, - 𝛼, 3 𝛼 ) + ( 0, 𝛽, - 𝛽) + (0, 3 𝛿, -2 𝛿) 
 
x = 𝛼 (1) 
y = - 𝛼 + 𝛽 + 3 𝛿 (2) 
z = 3 𝛼 – 𝛽 – 2 𝛿 (3) 
 
(1) em (2): y = – x + 𝛽 + 3 𝛿 ∴ 𝛽 = x + y – 3 𝛿 (4) 
(1) e (4) em (3): z = 3 x – (x + y – 3 𝛿 ) – 2 𝛿 
 z = 3 x – x – y + 3 𝛿 – 2 𝛿 
 z = 2 x – y + 𝛿 
 𝛿 = – 2 x + y + z (5) 
(5) em (4): 𝛽 = x + y – 3 (– 2 x + y + z) 
 𝛽 = x + y + 6 x – 3 y – 3 z 
 𝛽 = 7 x – 2 y – 3 z 
T(x, y, z) = 𝛼 T(v1) + 𝛽 T(v2 )+ 𝛿 T (v3) 
T(x, y, z) = x (0) + (7 x – 2 y – 3 z) . (0) + (– 2 x + y + z ) . (1) 
T(x, y, z) = – 2 x + y + z 
 
6. Seja F ∈ L (R2) o operador cuja matriz em relação à base 
B = { (1, 1), (1, 2)} é [
1 0
1 2
]. Determine F, ou seja, determine a 
transformação linear. 
Como a matriz da transformação linear é [
1 0
1 2
], então: 
a = 1, b = 1, c = 0 e d= 2 
F(u1) = F (1, 1) = a v1 + b v2 
F(u2) = F (1, 2) = c v1 + d v2 
 
F (1, 1) = 1 (1, 1) + 1 (1, 2)  F (1, 1) = (2, 3) 
F (1, 2) = 0 (1, 1) + 2 (1, 2)  F (1, 2) = (2, 4) 
 
Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B 
temos: 
(x, y) = 𝛼 (1, 1) + 𝛽 (1, 2) 
{
𝑥 = 𝛼 + 𝛽
𝑦 = 𝛼 + 2 𝛽
 
Logo, {
𝛼 = 𝑥 − 𝛽
𝑦 = (𝑥 − 𝛽) + 2 𝛽
 {
𝑦 = 𝑥 + 𝛽
𝛽 = 𝑦 − 𝑥
 {
𝛼 = 𝑥 − (𝑦 − 𝑥)
𝛼 = 2𝑥 − 𝑦
 
 
Assim, T(x, y ) = 𝛼 F(u1) + 𝛽 F(u2) 
T(x, y ) = (2 x – y).(2, 3) + (y – x).(2,4) 
T(x, y ) = (4x – 2 y, 6x – 3 y) + (2 y – 2 x, 4y – 4 x) 
T(x, y ) = (2x, 2x + y) 
 
7. Seja F o operador linear do R2 cuja matriz em relação à base 
B = { (1, 1), (1, -1)} é [
1 0
0 5
]. Determine a transformação linear. 
Como a matriz da transformação linear é [
1 0
0 5
], então: 
a = 1, b = 0, c = 0 e d= 5 
F(u1) = F (1, 1) = a v1 + b v2 
F(u2) = F (1, -1) = c v1 + d v2 
 
F (1, 1) = 1 (1, 1) + 0 (1, -1)  F (1, 1) = (1, 1) 
F (1, -1) = 0 (1, 1) + 5 (1, -1)  F (1, -1) = (5, -5) 
 
 
Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B 
temos: 
(𝑥, 𝑦) = 𝛼 (1, 1) + 𝛽(1, −1) 
{
𝑥 = 𝛼 + 𝛽
𝑦 = 𝛼 − 𝛽
 
Logo, {
𝛼 = 𝑥 − 𝛽
𝑦 = (𝑥 − 𝛽) − 𝛽
 {
𝑦 = 𝑥 − 2𝛽
𝛽 =
𝑥−𝑦
2
 {
𝛼 = 𝑥 − (
𝑥−𝑦
2
)
𝛼 =
𝑥+𝑦
2
 
 
Assim, 
 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼 𝐹(𝑢)1 + 𝛽 𝐹(𝑢)2 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (
𝑥 + 𝑦
2
) (1, 1) + (
𝑥 − 𝑦
2
) (5, −5) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = [( 
𝑥 + 𝑦
2
) , (
𝑥 + 𝑦
2
)] + [( 
5𝑥 − 5𝑦
2
) , ( 
−5𝑥 + 5𝑦
2
)] 
𝑇(𝑥, 𝑦) = [( 
𝑥 + 𝑦
2
+ 
5𝑥 − 5𝑦
2
) , ( 
𝑥 + 𝑦
2
+ 
−5𝑥 + 5𝑦
2
)] 
𝑇(𝑥, 𝑦) = [( 
6𝑥 − 4𝑦
2
) , (
−4𝑥 + 6𝑦
2
)] 
𝑇(𝑥, 𝑦) = [( 3𝑥 − 2𝑦), (−2𝑥 + 3𝑦)] 
 
8. Determine F: R3 → R3, sabendo que F (1, 0, 0) = (1, 1, 0); F (0, 2, 0) 
= (2, 0 , 6) e F (0, 1, -1) = (2, - 2, 3) 
O conjunto de vetores {( 1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 1, -1)} é uma base do 
R3, então qualquer vetor u = (x, y, z) ∈ R3 é combinação linear dos 
vetores da base. 
 
(x, y, z) = 𝛼 (1, 0, 0) + 𝛽 (0, 2, 0) + 𝛿 (0,1, -1) 
 
x = 𝛼 
y = 2 𝛽 + 𝛿 ∴ 𝛿 = y – 2 𝛽 
z = - 𝛿 ∴ 𝛿 = - z 
Assim: - z = y – 2 𝛽 ∴ 𝛽 = 
𝑦 + 𝑧
2
 
 
T(x, y, z) = 𝛼 T(v1) + 𝛽 T(v2 )+ 𝛿 T (v3) 
T(x, y, z) = x (1, 1, 0) + (
𝑦 + 𝑧
2
) (2, 0, 6) + (- z) (2, -2, 3) 
T(x, y, z) = (x, x, 0) + (y + z, 0 , 3 y + 3 z) + (- 2 z, 2 z, -3z) 
T(x, y, z) = (x + y + z – 2 z, x + 2 z, 3 y + 3 z -3z) 
T(x, y, z) = (x + y – z, x +2 z, 3 y) 
9. Seja [𝑇] = [
3 −2
4 1
1 0
], determine T (x, y). 
Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B 
temos: 
(𝑥, 𝑦) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽(0, 1) 
{
𝑥 = 𝛼
𝑦 = 𝛽 
 
Assim, 
 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼 𝐹(𝑢)1 + 𝛽 𝐹(𝑢)2 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥 (3, 4, 1) + 𝑦 (−2, 1, 0) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 − 2𝑦, 4𝑥 + 𝑦 , 𝑥) 
 
10. Seja [𝑇] = [
1 0
0 −1
], determine T (x, y). 
Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B 
temos: 
(𝑥, 𝑦) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽(0, 1) 
{
𝑥 = 𝛼
𝑦 = 𝛽 
 
Assim, 
 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼 𝐹(𝑢)1 + 𝛽 𝐹(𝑢)2 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥 (1, 0) + 𝑦 (0, −1) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, −𝑦) 
 
11. Seja [𝑇] = [4, −1, 0], determine T (x, y, z). 
Escrevendo os vetores (x, y, z) como combinação linear da Base B 
temos: 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼 (1, 0, 0) + 𝛽(0, 1, 0) + 𝛾 (0, 0, 1) 
{
𝑥 = 𝛼
𝑦 = 𝛽
𝑧 = 𝛾
 
 
Assim, 
 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼 𝐹(𝑢)1 + 𝛽 𝐹(𝑢)2 + 𝛾 𝐹(𝑢)3 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 (4) + 𝑦(−1) + 𝑧(0) 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥 − 𝑦 
 
12. Seja [𝑇] = [
2 3 4
1 −2 0
], determine T (x, y, z). 
Escrevendo os vetores (x, y, z) como combinação linear da Base B 
temos: 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼 (1, 0,0) + 𝛽(0, 1,0) + 𝛾 (0, 0, 1) 
{
𝑥 = 𝛼
𝑦 = 𝛽
𝑧 = 𝛾
 
 
Assim, 
 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼 𝐹(𝑢)1 + 𝛽 𝐹(𝑢)2 + 𝛾 𝐹(𝑢)3 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 (2, 1) + 𝑦 (3, −2) + 𝑧 (4, 0) 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 , 𝑥 − 2𝑦) 
 
13. Dadas as bases A = {(1, 1), (1, 0)} do R2 e B = {(1, 2, 0), (1, 0, -1), 
(1, -1, 3)} do R3 determine a transformação linear T: R2 → R3 
cuja matriz é: [𝑇]𝐵
𝐴 = [
2 0
1 −2
−1 3
]. 
Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B 
temos: 
𝑇( 1, 1) = 2 (1, 2, 0) + 1(1, 0, −1) − 1 (1, −1, 3) = (2, 5, −4) 
𝑇( 0, 1) = 0 (1, 2, 0) − 2 (1, 0, −1) + 3 (1, −1, 3) = (1, −3, 11) 
Para determinar 𝑇( 𝑥, 𝑦) temos que escrever ( 𝑥, 𝑦) como 
combinação linear dos vetores de A, isto é: 
(𝑥, 𝑦) = 𝛼 (1, 1) + 𝛽(1,0) 
{
𝑥 = 𝛼 + 𝛽
𝑦 = 𝛼
 → {
𝑥 = 𝑦 + 𝛽
𝑦 = 𝛼
 → {
𝛽 = 𝑥 − 𝑦
𝛼 = 𝑦
 
 
Assim, 
 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼 𝐹(𝑢)1 + 𝛽 𝐹(𝑢)2 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑦 (2, 5, −4) + (𝑥 − 𝑦)(1, −3, 11) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑦, 5𝑦, −4𝑦) + (𝑥 − 𝑦, −3𝑥 + 3𝑦, 11𝑥 − 11𝑦) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑦 + 𝑥 − 𝑦, 5𝑦 − 3𝑥 + 3𝑦, −4𝑦 + 11𝑥 − 11𝑦) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 , −3𝑥 + 8𝑦, 11𝑥 − 15𝑦) 
 
14. Dadas as bases A = {(1, 1), (0, 1)} do R2 e B = {(0, 3, 0), (-1, 0, 0), 
(0, 1, 1)} do R3 determine a transformação linear T: R2 → R3 cuja 
matriz é: [𝑇]𝐵
𝐴 = [
0 2
−1 0
−1 3
]. 
Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B 
temos: 
𝑇( 1, 1) = 0 (0, 3 , 0) − 1(−1, 0, 0) − 1 (0, 1,1) = (1, −1, −1) 
𝑇( 0, 1) = 2 (0, 3, 0) + 0 (−1, 0, 0) + 3 (0, 1, 1) = (0, 9, 3) 
Para determinar 𝑇( 𝑥, 𝑦) temos que escrever ( 𝑥, 𝑦) como 
combinação linear dos vetores de A, isto é: 
(𝑥, 𝑦) = 𝛼 (1, 1) + 𝛽(0, 1) 
{
𝑥 = 𝛼
𝑦 = 𝛼 + 𝛽 → {
𝑥 = 𝛼
𝑦 = 𝑥 + 𝛽 → {
𝛼 = 𝑥
𝛽 = 𝑦 − 𝑥 
 
Assim, 
 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼 𝐹(𝑢)1 + 𝛽 𝐹(𝑢)2 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥 (1, −1, −1 ) + (𝑦 − 𝑥)(0, 9, 3) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, −𝑥 + 9𝑦 − 9𝑥, −𝑥 + 3𝑦 − 3𝑥) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 , −10𝑥 + 9𝑦, −4𝑥 + 3𝑦) 
15. Qual a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1, 0) = (2, -1, 0) 
e T (0, 1) = ( 0, 0, 1)? 
𝑣1 = (1,0) 𝑒 𝑣2 = (0,1) 
𝐹𝑣1 = 𝐹(1,0) = (2, −1,0) 𝑒 𝐹𝑣2 = 𝐹(0,1) = (0, 0, 1) 
𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑛ô𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑥 = 𝛼 𝑒 𝑦 = 𝛽 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼 𝐹𝑣1 + 𝛽 𝐹𝑣2 
𝑇(𝑥, 𝑦) =𝑥 𝐹𝑣1 + 𝑦 𝐹𝑣2 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥(2, −1, 0) + 𝑦(0, 0, 1) 
T (x, y) = (2x, - x , y) 
16. Qual a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e 
T (0, -2) = ( 0, 1, 0)? 
 
T (x, y) = 
17. Qual a transformação linear T: R3 → R2 tal que T (3, 2, 1) = (1, 1) , 
T (0, 1, 0) = ( 0, -2) e T (0, 0, 1) = ( 0, 0) ? 
 
T (x, y, z) = 
18. Sejam F: R → R e G: R → R definidas por 𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 3 𝑥 + 1 
e 𝐺(𝑥) = 2𝑥 − 3. Encontre as fórmulas que definem as 
transformações compostas: (Lipschutz p. 179) 
a. 𝐹 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐺 
𝐹(𝐺(𝑥)) = 𝐹 (2𝑥 − 3) = (2𝑥 − 3)2 + 3(2𝑥 − 3) + 1
= 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 + 6𝑥 − 9 + 1 
𝑅: 𝐹(𝐺(𝑥)) = 4𝑥2 − 6𝑥 + 1 
b. 𝐺 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐹 
 𝐺(𝐹(𝑥)) = 𝐺(𝑥2 + 3𝑥 + 1) = 2(𝑥2 + 3𝑥 + 1) − 3 = 
𝑅: 𝐺(𝐹(𝑥)) = 2𝑥2 + 6𝑥 − 1 
c. 𝐹 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐹 
𝐹(𝐹(𝑥)) = 𝐹(𝑥2 + 3𝑥 + 1) = (𝑥2 + 3𝑥 + 1)2 + 3(𝑥2 + 3𝑥 + 1) + 1 
= (𝑥2 + 3𝑥 + 1). (𝑥2 + 3𝑥 + 1) + 3𝑥2 + 9𝑥 + 3 + 1 
𝑅: 𝐹(𝐹(𝑥)) = 4𝑥4 + 6𝑥3 + 14𝑥2 + 15𝑥 + 5 
 
d. 𝐺 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐺 
 𝐺(𝐺(𝑥)) = 𝐺(2𝑥 − 3) = 2(2𝑥 − 3) − 3 = 4𝑥 − 6 − 3 
 𝑅: 𝐺(𝐺(𝑥)) = 4𝑥 − 9 
19. Sejam F: R3 → R2 e G: R2→ R2 definidas por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(2𝑥 , 𝑦 + 𝑧 ) e 𝐺 (𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥). Defina a fórmula da 
transformação de 𝐺 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐹. 
 𝐺(𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)) = 𝐺 (2𝑥 , 𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + 𝑧, 2𝑥) 
𝑅: 𝐺(𝐹(𝑥)) = (𝑦 + 𝑧, 2𝑥) 
 
Referências Bibliográficas 
 
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. 
 
BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. 
 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. 
 
KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 
1998. 
 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. 
 
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. 
 
VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. Curitiba. 1949. 
 
 
REVISÃO 
 
 TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais, uma transformação linear 
T: V ⟶ W é uma função de V em W se: 
 
I) ⩝ u, v ∈ V, T (u + v) = T (u) + T (v) 
II) ⩝ α ∈ ℝ, T (α u) = α T (u) 
 
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão n e m, respectivamente, 
sobre R. Consideremos uma transformação linear F: U → V. Dadas as 
bases A = { u1 , u2 , ..., un } de U e B = { v1 , v2 , ..., vm } de V, então cada 
um dos vetores F(u1), F(u2), ..., F(un), está em V e consequentemente é 
combinação linear da base B: 
 
Matriz da transformação linear  [𝑇]𝐵
𝐴 
F(u1) = a v1 + b v2 
F(u2) = c v1 + d v2 
 
 
Regras para achar a transformação linear correspondente 
 
Dadas às bases e a matriz da transformação linear: 
 Primeiro achar a combinação linear de vetores genéricos do 
espaço em que estamos (x, y, z, ...) em função das coordenadas 
dos vetores (𝛼 , 𝛽 , 𝜸, ...) da outra base (v1, v2, ...) 
 Na sequência, achar a transformação linear fazendo: 
T(x, y) = 𝛼 F(u1) + 𝛽 F(u2) 
 
 
 
T(x, y) = x F(u1) + y F(u2) 
 
[𝑇]𝐵
𝐴 = [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] 
2ª Coluna 
da matriz 
da 
transforma
ção linear: 
c , d 
1ª Coluna 
da matriz 
da 
transforma
ção linear: 
a , b