Matemática Financeira Apostila Completa

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Matemática Financeira
Professor conteudista: Dalton Millan Marsola
Sumário
Matemática Financeira
Unidade I
1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS .........................................................................................................................1
1.1 Taxa de juros ..............................................................................................................................................2
1.2 Taxa percentual ........................................................................................................................................4
1.3 Taxa unitária ..............................................................................................................................................4
1.4 Juro exato e juro comercial .................................................................................................................6
1.5 Equivalência de capitais .......................................................................................................................7
2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA .................................................................................................................7
3 ANÁLISE DE ALTERNATIVAS POR VALOR ATUAL ................................................................................. 10
3.1 Regime de capitalização dos juros .................................................................................................11
3.1.1 Regime de capitalização simples .......................................................................................................11
3.1.2 Regime de capitalização composta ................................................................................................. 12
3.2 Diferenças entre capitalização simples e composta .............................................................. 13
4 JUROS SIMPLES ................................................................................................................................................ 14
4.1 Montante e capital .............................................................................................................................. 19
5 JUROS COMPOSTOS ....................................................................................................................................... 23
6 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES ............................................................................................ 29
6.1 No regime de juros simples .............................................................................................................. 30
6.2 No regime de juros compostos ....................................................................................................... 32
7 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO” ......................................................................... 36
8 DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL OU “POR FORA” ................................................................ 39
Unidade II
9 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS .................................... 42
9.1 Definições básicas ................................................................................................................................ 43
10 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ............................................................................... 46
10.1 Expressões de cálculo do SAC ....................................................................................................... 49
10.2 SAC com carência .............................................................................................................................. 50
11 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS ................................................................................................. 54
11.1 Expressões de cálculo do SAF ........................................................................................................ 57
11.2 SAF com carência ............................................................................................................................... 58
12 TABELA PRICE ................................................................................................................................................. 61
13 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO ...................................................................................................... 65
14 COMPARAÇÕES ENTRE SAC, SAF E SAM ............................................................................................. 66
14.1 Gráfico de comparação SAC, SAF E SAM ................................................................................. 67
15 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO ......................................................................................... 68
15.1 Sinking fund ou fundo de amortização ................................................................................... 70
16 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE) .......................................................................... 72
17 SISTEMA PRICE X SISTEMA SACRE ........................................................................................................ 76
18 CUSTO EFETIVO .............................................................................................................................................. 80
18.1 Planilha com despesas adicionais ............................................................................................... 80
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OBJETIVOS
Fornecer subsídios fundamentais para a formação acadêmica 
do discente na área financeira e, também, contribuir para o 
desenvolvimento da capacidade de raciocínio lógico e reflexivo. 
Este é um fator essencial na tomada de decisão, atividade típica 
da função de administrador financeiro.
1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS
“Um dólar hoje vale mais do que um dólar no futuro...” 
(Gitman, 2004).
A matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro 
ao longo do tempo. Seu objetivo é efetuar análises e comparações 
da movimentação de dinheiro em tempos diferentes.
As operações de aplicação e empréstimos são geralmente 
realizadas por uma instituição financeira, que capta recursos no 
mercado e os empresta a outros com taxas maiores. A diferença 
entre a captação e o empréstimo é a remuneração (lucro) da 
instituição.
Investidores têm várias opções de aplicação à sua disposição, 
e cada opção tem sua taxa em função do prazo da aplicação e 
dos riscos envolvidos.
Do ponto de vista matemático, um determinado valor 
a qualquer época é chamado de Capital, e a soma dos 
juros de determinado tempo a esse Capital é chamada de 
Montante.
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Segundo Assaf (2009), ao se emprestar um recurso a taxas de 
juros deve-se ser eficiente de maneira a remunerar os seguintes 
fatores importantes:
• risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não 
resgatar a dívida, sendo a incerteza como futuro;
• perda do poder de compra do capital motivado pela 
inflação: a inflação é um fenômeno que corrói o capital, 
é a desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto 
para o prazo do empréstimo, diminuindo o poder de 
compra de um bem pelo mesmo capital;
• ganho (ou lucro): fixado em função das demais 
oportunidades de investimentos; justifica-se pela privação 
da utilidade do capital pelo seu dono;
• despesas (nos dias atuais): todas as despesas 
operacionais, contratuais e tributárias para a formalização 
do empréstimo e à efetivação da cobrança.
1.1 Taxa de juros
Taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, 
a razão entre os juros recebidos (ou pagos)e o capital inicial 
aplicado (ou emprestado).
As taxas de juros referem-se sempre a uma unidade de 
tempo (dia, mês, semestre, ano etc.) e podem ser representadas 
equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa 
unitária (fração decimal).
A desvantagem da definição da taxa de juro J não incluir 
um período de tempo é eliminada com a taxa unitária de juro i, 
definida como:
i
J
P
=
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Exemplo 1
i x= = = =$
$ .
, , , %
110
10 000
0 0110 0 011 100 11
Exemplo 1.1
O gerente do banco outorgou um empréstimo de $2.000,00 
pelo prazo de 48 dias. No momento de assinar o contrato, o 
devedor se comprometeu a devolver $2.250,00. Calcule o 
juro, a taxa unitária de juro e a taxa percentual de juro dessa 
operação.
• Juro da operação é j=2.250–2000=$250.
• Taxa unitária de juro é i= =$
$ .
,
250
2 000
0 125 em 48 dias.
• Taxa percentual de juro é i=0,125x100=12,5% em 48 
dias.
Exemplo 1.2
O gerente da instituição garantiu que aplicando $5.000,00, 
pelo prazo de sessenta (60) dias nominais, você resgatará 
$5.122,50 no final da operação. Calcule o juro, a taxa unitária 
de juro e a taxa percentual de juro dessa aplicação.
• Juro da operação é j = 5.122,50–5.000 =122,50.
• Taxa unitária de juro é i= =$ ,
$ .
,
122 50
5 000
0 0245i= =
$ ,
$ .
,
122 50
5 000
0 0245 em 60 
dias.
• Taxa percentual de juro é i=0,0245x100=2,45% em 60 
dias.
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1.2 Taxa percentual
Trata-se dos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros 
para cada centésima parte do capital. Esse valor é um acréscimo 
sobre o valor inicial em forma de fração, onde o denominador é 
sempre 100, conhecido como porcentagem (%).
Se falarmos em 10% (dez por cento), significa que, a cada 
grupo de 100, haverá um acréscimo de 10.
Exemplo 1.3
Um capital de R$2.000,00, aplicado a 20% ao ano, rende de 
juros, ao final deste período:
Juros x= $ ,2000 00
100
20 Juros = $ 20,00 x 20 = $ 400,00
O capital de R$ 2.000,00 tem vinte centos. Como cada um 
deles rende 20, a remuneração total da aplicação no período é 
de $ 400,00.
1.3 Taxa unitária
É o rendimento de cada unidade de capital em certo período. 
A transformação da taxa percentual em unitária é processada 
pela divisão da notação em percentagem por 100.
Exemplo 1.4
Um capital de R$2.000,00, aplicado a 20% ao ano, rende de 
juros, ao final deste período.
A taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 
0,20 (20% / 100) por cada unidade de capital aplicada, ou seja:
Juros R x= $ . ,2 000 00 20
100
 Juros = R$ 2.000,00 x 0,20 = $ 400,00
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Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária 
por 100, assim transformando a taxa unitária em porcentagem.
Exemplo 1.5
Taxa percentual Fórmula N / 100 Taxa unitária
0,5% 0,5 / 100 0,005
1,3% 1,3 / 100 0,013
22% 22 / 100 0,22
31,5% 31,5 / 100 0,315
58% 58 / 100 0,58
150% 150 / 100 1,5
Exemplo 1.6
Converta para a forma percentual:
0,57 = 0,57 x 100 = 57%
2,08 = 2,08 x 100 = 208%
0,02 = 0,02 x 100 = 2%
Exemplo 1.7
Converta para a forma unitária:
163% = 163 / 100 = 1,63
2.107% = 2,107 / 100 = 21,07
12% = 12 / 100 = 0,12
Exemplo 1.8
Num lote de 100 lâmpadas, 15 apresentam defeito. A razão 
entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas 
é dada por:
15
100
15= %
Nas fórmulas de matemática 
financeira, todos os cálculos são 
efetuados utilizando-se a taxa unitária 
de juros.
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Exemplo 1.9
Um DVD é vendido por R$ 28,00. Se o seu preço fosse 
acrescido em 18%, quanto o DVD passaria a custar?
Se fosse anunciado um desconto de 20% sobre o preço 
original, quanto o DVD passaria a custar?
• Aumento: preço = 28 + 0,18 x 28 = 28 . (1 + 0,18) 
= 28 . 1,18 = R$ 33,04.
• Desconto: preço = 28 – 0,20 x 28 = 28 . (1 – 0,20) = 
28 . 0,80 = R$ 22,40.
1.4 Juro exato e juro comercial
Comum nas operações de curto prazo – onde predominam 
as aplicações com taxas referenciadas em juros simples – ter o 
prazo definido em número de dias. Nesses casos, o número de 
dias pode ser calculado:
a) pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário 
do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira 
denomina-se juro exato;
b) pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o 
ano com 360 dias. Tem-se, por este critério, a apuração do 
denominado juro comercial ou ordinário.
Exemplo 1.10
15% ao ano equivalem, pelo critério de juro simples, à taxa 
diária de:
a) Juro exato: 15% / 365 dias= 0,041096% ao dia.
b) Juro comercial: 15% / 360 dias = 0,041667% ao dia.
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1.5 Equivalência de capitais
Imaginemos uma situação em que eu saiba, hoje, que dentro 
de um ano terei de efetuar um pagamento no valor de $1200,00. 
Entretanto, eu disponho de dinheiro hoje para quitação desse 
débito. Será melhor eu efetuar o pagamento hoje? A resposta é 
não. Se eu efetuar esse pagamento hoje, terei de desembolsar 
$1200,00 sendo que eu poderia aplicar $1000,00 no prazo de 
um ano a uma taxa de 20% ao ano.
Percebemos que o dinheiro não tem o mesmo valor ao passar 
do tempo (mesmo não existindo inflação), e essa argumentação 
foi feita com termos estritamente econômicos e não pessoais.
Pagamentos diferentes em sua magnitude total, mas que 
são feitos em datas diferentes, podem ser equivalentes. Capitais 
são ditos equivalentes quando os seus valores, transferidos 
para a mesma data, com a mesma taxa de desconto (custo de 
oportunidade), são iguais.
Em termos gerais:
Valor Atual = Valor Futuro / (1 + i) e, também,
Valor futuro = Valor Atual x (1 + i), onde i é a taxa de 
desconto referente ao período considerado. Como i corresponde 
ao período inteiro em consideração, é chamado de taxa simples. 
O termo (1 + i) permite a comparação entre valores em tempos 
diferentes.
A taxa de desconto pode corresponder a um custo de 
oportunidade.
2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA
Para facilitar a visualização dos movimentos monetários 
estabelecidos em distintos momentos ao longo do tempo, 
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o diagrama do fluxo de caixa é de grande utilidade para as 
operações de matemática financeira.
500 200
700 200
800
200
0 1 2 3 4 5
i%
A linha horizontal registra a escala de tempo, o ponto zero 
indica o momento inicial, e os demais pontos representam 
entrada e saída de caixa ao longo do tempo.
As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas 
de dinheiro e as setas para baixo da linha horizontal indicam 
saídas de dinheiro. É imprescindível que o prazo e a taxa de juros 
estejam expressos na mesma unidade.
Exemplo 2
Uma dívida de R$ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. O 
devedor pretende quitá-la da seguinte forma: uma prestação 
hoje de R$ 4.800,00, uma prestação de R$14.000,00 daqui a 2 
meses e uma última prestação de R$ 27.500,00 daqui a 7 meses. 
Como fica o diagrama do fluxo de caixa dessa dívida?
R$ 48.000,00
0 2 6 7
R$ 4.800,00 R$ 14.000,00 R$ 27.500,00
Exemplo 2.1
Um estudante pode ter seus cinco anos de estudos financiados 
pela Caixa Econômica com juros de 14% aoano. Observe que 
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esses juros totais, inferiores à inflação, correspondem a um 
subsídio. A devolução iniciará após a formatura. Assim, a quantia 
emprestada no início do primeiro ano será devolvida no início 
do sétimo ano.
Primeiro 
empréstimo
Ingresso na escola
Formatura
Primeira
devolução
anos
A primeira anuidade cobrada pela escola é de R$ 14.000,00. 
É de se esperar reajustes anuais de 35% devidos à inflação. O 
custo de oportunidade do capital é de 40% ao ano (depósito 
bancário a prazo fixo).
Calcule a redução percentual nas anuidades da escola a 
que correspondem esses empréstimos a juros baixos da Caixa 
Econômica.
A B C D
Anuidades 
em R$
Devolução para 
CE 6 períodos 
depois: 14% a.a.
Valor do 
empréstimo 6 
períodos mais 
tarde: 40% a.a.
Desconto 
(C – B) / C
1º ano 14.000 30.730 105.414 71%
2º ano 18.900 41.485 142.308 71%
3º ano 25.515 56.005 192.116 71%
4º ano 34.445 75.606 259.355 71%
5º ano 46.501 102.068 350.131 71%
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De fato, o estudante que deixar de pagar R$ 14.000,00 no 
primeiro ano e depositar essa quantia a prazo fixo durante seis 
anos receberá R$ 105.414,00, mas só terá de devolver R$ 30.730,00 
à Caixa Econômica, por ter tido sua anuidade paga pela Caixa 
Econômica. Observe que a coluna D pode ser calculada devido 
às parcelas B e C estarem referidas ao mesmo ponto no tempo.
3 ANÁLISE DE ALTERNATIVAS POR VALOR 
ATUAL
Trata-se de comparar e discutir critérios econômicos para 
escolher a melhor alternativa baseando-se no valor atual das 
possibilidades.
Exemplo 3
500 600 500 550
– 1000
Alternativa I
400 550 450 550
– 1200
Alternativa II
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Na figura acima, fica evidente que a alternativa II é melhor, 
devido aos valores estarem no mesmo tempo e período, o que 
torna simples a comparação, sem a necessidade de cálculo.
O método do valor atual consiste em descapitalizar todos os 
valores para a data de hoje (período igual a zero). Dadas diversas 
alternativas, é possível calcular os valores atuais equivalentes 
às séries correspondentes e compará-los para decidir qual é a 
melhor.
3.1 Regime de capitalização dos juros
É a forma como os juros são incorporados ao capital no 
decorrer do tempo e podem ser identificados em dois regimes 
de capitalização: simples e composto.
3.1.1 Regime de capitalização simples
Compara-se a uma progressão aritmética, isto é, o juro cresce 
de forma linear ao longo do tempo. Os juros incidem somente 
ao capital inicial da operação e não acumulativo.
Ano
Saldo no 
início de 
cada ano
Juros apurados 
para cada ano
Saldo devedor 
ao final de 
cada ano
Crescimento 
anual do saldo 
devedor
Hoje 0 – 1000 –
1 1000 0,10 x 1000 = 100 1100 100
2 1100 0,10 x 1000 = 100 1200 100
3 1200 0,10 x 1000 = 100 1300 100
4 1300 0,10 x 1000 = 100 1400 100
5 1400 0,10 x 1000 = 100 1500 100
Algumas observações podem ser apresentadas:
• os juros, por incidirem exclusivamente sobre o capital 
inicial de $1.000,00, apresentam valores idênticos ao final 
de cada ano ($ 100,00);
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• em consequência, o crescimento dos juros no tempo é 
linear, revelando um comportamento idêntico a uma 
progressão aritmética. Os juros totais da operação atingem, 
nos 5 anos, $ 500,00;
• se os juros simples não forem pagos ao final de cada ano, a 
remuneração do capital emprestado somente se opera pelo 
seu valor inicial ($ 1.000,00), não ocorrendo remuneração 
sobre os juros que se formam no período. Assim, no 5º 
ano, a remuneração calculada de $ 100,00 é obtida com 
base no capital emprestado há 5 anos, ignorando-se os 
$400,00 de juros que se foram acumulando ao longo do 
período;
• como os juros variam linearmente no tempo, a apuração 
do custo total da dívida no prazo contratado é processada 
simplesmente pela multiplicação do número de anos pela 
taxa anual, isto é: 5 anos x 10% ao ano = 50% para 5 
anos.
3.1.2 Regime de capitalização composta
Compara-se a uma progressão geométrica, isto é, o juro 
cresce de forma exponencial ao longo do tempo. Os juros 
incorporam-se ao capital inicial da operação e de forma 
acumulativa, isto é, juros sobre juros.
Ano
Saldo no 
início de cada 
ano
Juros apurados para 
cada ano
Saldo devedor 
ao final de 
cada ano
Hoje – – 1000
1 1000 0,10 x 1000 = 100 1100
2 1100 0,10 x 1100 = 110 1210
3 1210 0,10 x 1210 = 121 1331
4 1331 0,10 x 1331 = 133,1 1464,1
5 1464,1 0,10 x 1464,10 = 146,41 1610,51
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Os comentários sobre o quadro ilustrativo são colocados:
• no critério composto, os juros não incidem unicamente 
sobre o capital inicial de $ 1.000,00, mas sobre o saldo total 
existente no início de cada ano. Esse saldo incorpora o capital 
inicial emprestado mais os juros incorridos em períodos 
anteriores;
• o crescimento dos juros se dá em progressão geométrica, 
evoluindo de forma exponencial ao longo do tempo.
Exemplo 3.1
Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa 
de 10% ao ano, em regime de juros compostos. No final do 
período, o montante será?
• 1o ano: 1.000,00 x 0,10 = $ 100,00 ⇒ Montante = $ 1.100,00
• 2o ano: 1.100,00 x 0,10 = $ 110,00 ⇒ Montante = $ 1.210,00
• 3o ano: 1.210,00 x 0,10 = $ 121,00 ⇒ Montante = $ 1.331,00
3.2 Diferenças entre capitalização simples e 
composta
Segundo Mathias e Gomes (2002), a diferença entre o 
regime de juros simples e juros compostos é caracterizada pelo 
fato de que nos juros simples apenas o capital inicial rende juros 
e este é diretamente proporcional ao tempo e à taxa, e os juros 
compostos, que retratam melhor a realidade, são capitalizados 
junto ao capital, incorporando-o e passando a participar da 
geração de juros do período seguinte.
Juros compostos
Juros simples
M
n
0 0,5 1 1,5
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Observe, na figura acima, que o comportamento do juro 
simples cresce linearmente ao longo do tempo, enquanto o juro 
composto cresce exponencialmente.
Os juros simples têm aplicações práticas limitadas devidas 
às suas restrições técnicas. São raras as operações financeiras 
que usam a capitalização linear e, dentre elas, as operações 
financeiras de curtíssimo prazo.
O regime composto é adotado por todo mercado financeiro 
e de capitais: aplicações financeiras, cartão de crédito, sistema 
financeiro de habitação etc.
4 JUROS SIMPLES
O regime de juros simples tem como particularidade a 
incidência dos juros sobre o valor principal do empréstimo, isto é, 
os cálculos dos montantes (capital + juros) serão realizados com 
referência no valor principal, independente do período. Sobre os 
juros gerados a cada período, não incidirão novos juros.
Valor principal ou simplesmente principal ou capital é o 
valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os 
juros. Transformando isso em fórmula, temos:
J=C.i.n
Algebricamente:
C=J/(i.n)
I=J/(C.n)
n=J/(C.i)
Onde:
J = juros
C = Capital (Principal)
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i = taxa de juros
n = número de períodos
Abreviaturas empregadas na notação das taxas:
Abreviatura Significado
a.d. ao dia
a.m. ao mês
a.b. ao bimestre
a.t. ao trimestre
a.q. ao quadrimestre
a.s. ao semestre
a.a. ao ano
Observação: a taxa de juros (i) e o número de períodos (n) 
devem estar na mesma base. Porém, deve-se sempre alterar n, 
evitando-se alterar i.
Exemplo 4
Um capital de $ 1500,00 foi aplicado à taxa de 5% a.m. pelo 
período de 2 meses no regime de capitalização simples. Qual o 
valor dos juros mensais?
J=C.i.n
1500 x 0,05 x 2
J = $ 150
Exemplo 4.1
Um capital de $1120,00 foi aplicado a uma taxa de 5% a.m. no 
regime de capitalização simples por sete meses. Qual o valor dos 
juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação?
J=C.i.n
1120,00 x 0,05 x 7
J = $ 392,00
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Exemplo 4.2
Uma pessoa compra a prazo um DVD (que custa, à vista, 
$ 500,00) que pode ser pago em três parcelas mensais iguais 
(entrada no ato) no valor de $ 270,00. Qual é a taxa de juros 
mensal cobrada pela loja?
C = 500,00 – 270,00 = $ 230,00
J = 270,00 – 230,00 = $ 40,00
i=J/(C.n)
i = 40 / 230 x 1
i = 0,1739 ou 17,39%
Exemplo 4.3
Temos uma dívida de R$ 80.000,00 que deve ser paga com 
juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la 
em 3 meses. Quanto pagaremos de juros?
J=C.i.n
J = 80000 x 0,08 x 3
J = R$ 19.200,00
Exemplo 4.4
Temos uma dívida de R$ 50.000,00 que deve ser paga com 
juros de 20% a.m. pelo regime de juros simples e devemos 
pagá-la em 8 meses. Quanto pagaremos de juros?
J=C.i.n
J = 50000 x 0,20 x 8
J = R$ 80.000,00
Exemplo 4.5
Um negociante pegou um empréstimo a uma taxa 
de 12% no regime de juros simples para pagar daqui a 10 
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meses. O juro apurado foi de R$ 20.000,00. Quanto ele pegou 
emprestado?
C=J/(i.n)
C = 20000 / (0,12 x 10)
C = R$ 24.000,00
Exemplo 4.6
Você investiu numa aplicação o valor de R$ 45,000,00 por 12 
meses, o que lhe proporcionou um rendimento de R$ 8.000,00. 
Qual foi a taxa de juros simples dessa aplicação?
i=J/(C.n)
i = 8000 / (45000 x 12)
i = 0,014815 “taxa unitária”
taxa percentual = 0,014815 x 100 = 1,4815% a.m.
Exemplo 4.7
Quanto tempo você tem de deixar R$ 6.200,00 aplicados 
a uma taxa de 4,7% a.m. para obter um rendimento de R$ 
1.625,00.
n=J/(C.i)
n = 1625 / ( 6200 x 0,047)
n = 5,576 meses ou 6 meses
Exemplo 4.8
Um capital de $75.000,00 é aplicado à taxa de 4% ao mês 
durante um período de um quadrimestre. Calcular o valor dos 
juros acumulados.
J=C.i.n
J = 75.000 x 0,04 x 4
J = $ 12.000,00
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Para operações com prazo em dias e o período da taxa 
de juro com período anual, o prazo da operação em dias é 
convertido numa fração de um ano, faltando definir quantos 
dias tem um ano e como se calcula a fração de um ano. Por 
exemplo, para um ano de 360 dias e uma operação a prazo 
de t dias, a fração que ajusta a taxa anual de juro ao prazo 
da operação é (t/360).No cálculo do juro, o período da taxa 
de juro é ajustado ao prazo da operação utilizando taxas 
proporcionais:
J = P x i x t / 360
Exemplo 4.9
O empréstimo de $ 17.000,00 pelo prazo de 55 dias foi 
acertado com a taxa de juro de 19% ao ano, com a condição de 
pagar o juro junto à devolução do empréstimo. Calcule o juro no 
regime de juros simples considerando o ano de 360 dias.
J C i
n= . .
360
J = 17000 x 0,19 x 55 / 360
J = $ 493,47
Exemplo 4.10
Um capital de $ 1500,00 foi aplicado à taxa de 3% a.m. no 
regime de capitalização simples por um período de 4 meses. 
Qual o valor dos juros mensais?
J=C.i.n
J = 1500 x 0,03 x 4
J = $ 180,00
No cálculo do exemplo 4.9, foi utilizada a taxa de juro 4% 
com período igual a 55 dias, igual ao prazo do empréstimo, 
resultado obtido com:
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it = 0 4
55
360
, .
A partir da taxa anual i com período de 360 dias e a taxa 
proporcional it com período igual ao prazo da operação t 
obtém-se:
i i
t
t = . 360
t i
t
t
360
=
O resultado do primeiro membro da última expressão é 
a taxa diária proporcional da taxa i com período de um ano 
de 360 dias. E o resultado do segundo membro é a mesma 
taxa unitária, porém calculada com a taxa de juro it com 
período t.
4.1 Montante e capital
Um capital aplicado a uma taxa periódica de juro por 
determinado tempo produz um valor acumulado denominado 
de montante (M) ou valor futuro (VF). Assim, o montante é 
calculado com o capital mais o valor acumulado dos juros:
M = C + J
No entanto, sabe-se que:
J = C . i . n
Assim,
M = C + C . i . n
M = C.(1 + i . n)
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O valor de C pode ser obtido por:
C = M
(1 + i .n)
O valor de i pode ser obtido por:
i
M
C
n
=
−

1
O valor de n pode ser obtido por:
n
M
C
i
=
−

1
Exemplo 4.11
Um capital de $ 70.000,00 é aplicado à taxa de 3,5% ao mês 
no RCS, durante um semestre. Pede-se determinar o valor dos 
juros acumulados neste período.
J = C . i . n
J = 70000 . 0,035 . 6
J =$ 14.700,00
Exemplo 4.12
Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa 
de juros simples de 8% ao mês durante dez meses. Ao final deste 
período, calculou em $ 255.000,00 o total dos juros incorridos 
na operação. Determinar o valor do empréstimo:
C
M
i n
=
+ ⋅( )1
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C
C= −
+ ⋅( )
255 000
1 0 08 10
.
,
C = 318.750,00
Exemplo 4.13
Um capital de $ 35.000,00 foi aplicado num fundo de 
poupança por 9 meses, produzindo um rendimento financeiro 
de $ 9.750,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida 
por esta operação.
i
M
C
n
=
−

1
i=
−


44750
35000
1
9
i = 0,03095 = 3,095%
Exemplo 4.14
Uma aplicação de $ 244.000,00 rendendo uma taxa de juros 
simples de 1,9% ao mês produz, ao final de determinado período, 
juros no valor de $ 31.000,00. Calcular o prazo da aplicação.
n
M
C
i
=
−

1
n =
−


275 000
244 000
1
0 019
.
.
,
n = 6,686 meses ou 7 meses
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Exemplo 4.15
Uma empresa tomou $ 3.500,00 emprestados para pagar 
dentro de 7 meses, a uma taxa de juros simples igual a 5,5% 
a.m. Calcule o valor futuro dessa operação.
M = C.(1 + i . n)
M = 3.500.(1 + 0,055 . 7)
M = $ 4.847,50
Exemplo 4.16
Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um 
montante igual a $ 780,00 após 6 meses, a uma taxa de 9,5% 
a.m. Qual o capital inicial da operação?
C
M
i n
=
+ ⋅( )1
C =
+ ⋅( )
780
1 0 095 6,
C = $ 496,81
Exemplo 4.17
O valor de $ 350,00 foi aplicado por seis meses, permitindo 
a obtenção de $ 480,00. Sabendo que o regime de capitalização é 
simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação.
i
M
C
n
=
−

1
i=
−


480
350
1
6
i =0,0619 = 6,19%
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Exemplo 4.18
A quantia de $ 254,00 foi obtida como montante de uma 
aplicação de $ 78,00 feita à taxa de 2,5% a.m. no regime de 
capitalização simples. Qual a duração da operação?
n
M
C
i
=
−

1
n =
−


254
78
1
0 025,
n = 90,26 ou 91 meses
5 JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é comumente usado no sistema 
financeiro e, com isso, o mais usual para cálculos de problemas 
financeiros do cotidiano.
Uma particularidade dos juros compostos é que são juros 
gerados a cada período e incorporados ao principal para serem 
referência no cálculo dos juros do período seguinte, isto é, juros 
sobre juros.
O momento quando os juros são incorporados ao valor 
principal é quando ocorre a capitalização.
Abaixo, temos a expressão algébrica que demonstra os juros 
sobre juros em três períodos:
1º mês:
M =C.(1 + i)
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2º mês: o principal passa a ser o montante do mês anterior:
M = C x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal passa a ser o montante do mês anterior:
M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Dessa forma, é possível obter a fórmula:
M=C.(1+i)n
Algebricamente:
C = M
(1 + i)n
Para calcular o juro:
j=C.[(1+i)n–1]
Importante: a taxa i tem de ser expressa na mesma medida 
de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. 
Obviamente, podem ser usadas outras unidades de tempo como 
ano, semestre, entre outras, mas sempre usar a mesma unidade 
para período e taxa.
Para calcular o juro, basta diminuir o principal do montante 
ao final do período:
J=M–C
Exemplo 5
Se uma pessoa deseja obter R$ 26.750,00 dentro de onze 
meses, quanto deverá depositar hoje numa poupança que rende 
1,65% de juros compostos ao mês?
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C
M
i n
=
+( )1
C =
+
26750
1 0 0165 11( , )
C = R$ 22.343,05
Exemplo 5.1
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 
em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta 
de 3,5% a.m.?
M = C . (1 + i)n
M = 12000 (1 + 0,035 )8
M = R$ 15.801,71
Exemplo 5.2
Calcule o montante de um capital de R$6.750,00 aplicado a 
juros compostos, durante 13 meses, à taxa de 3,8% ao mês.
C = R$6.750,00
n = 13 meses
i = 3,8% a.m. = 0,038
M = ?
M=C.(1+i)n
M=6750.(1+0,038)13
M=10.961,48
Exemplo 5.3
Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 87.520,00 
pelo prazo de 6 meses à taxa composta de 3,35% ao mês.
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j=C[(1+i)n–1]
j = 87.520 [(1,0335 )6 – 1]
j = $ 19.132,29
Exemplo 5.4
Calcule quanto se deve depositar hoje para resgatar 
$ 100.000,00 daqui a 15 meses, considerando a taxa de 
juro de 1,75% ao mês no regime de juros compostos.
C = M / (1 + i)n
C = 100.000 / (1+0,0175) 15
C = $ 77.087,46
Exemplo 5.5
Um financiamento foi desenvolvido após seis meses, 
desembolsando $ 141.852,00. Calcule a taxa de juro mensal 
dessa operação sabendo que o valor recebido pelo cliente foi 
$ 100.000,00.
i = (M / C)1/n –1
i = (141.852 / 100.000)1/6 –1
i = 0,06
Exemplo 5.6
Hoje, foram aplicados $ 10.000,00 pelo prazo de 4 trimestres, 
com taxa de juro de 3,5 ao trimestre. Calcule o valor do resgate 
considerando o regime de juros compostos.
M = C x ( 1 + i )n
M = 10.000 x ( 1 + 0,035 )4 = $ 11.475,23
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Exemplo 5.7
Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para se resgatarem 
$ 10.000,00 daqui a doze meses, considerando a taxa de juro 
constante de 2,2% ao mês no regime de juros compostos.
C = M / (1 + i)n
C = 10000 / (1+0,022)12
C = $ 7.701,75
Exemplo 5.8
Um investidor tem R$ 11.000,00 para aplicar durante 4 
meses. Consultou um determinado banco e recebeu as propostas 
de investimento:
• I – 2,5% de juros simples ao mês;
• II – 1,3% de juros compostos ao mês;
• III – resgate de R$ 11.450,00, no final de um período de 
quatro meses.
A considerar a situação hipotética acima, e, uma vez aplicado 
o dinheiro, não haja retirada alguma antes de quatro meses, 
julgue os itens seguintes:
a) Se optar pela proposta I, ele terá, no final do 1º mês, 
R$11.275,00.
b) Se optar pela proposta I, ele terá, no final do 2º mês, mais 
de R$11.500,00.
c) Se optar pela proposta II, ele terá, no final do 2º mês, mais 
de R$11.250,00.
d) Para o investidor, a proposta financeiramente menos 
favorável é a III.
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Solução: C = 11000; n =4; iI = 0,025
Na proposta I, no final do primeiro mês:
MI = 11000 * (1+0,025*1)
MI = 11.275,00
Na proposta I, no final do segundo mês:
MI = 11000 * (1+0,025*2)
MI = 11.550,00
Logo, as alternativas a) e b) são verdadeiras.
Solução: C = 11000; n =4; iI = 0,013
Na proposta II, no final do segundo mês:
iII = 0,01
MII = 11.000 * (1+0,013)²
MII = 11.287,86
Então, a alternativa c) também é verdadeira.
Olhando para todas as opções de investimento, temos:
MI = 11000 * (1+0,025*4) = 12.100,00
MII = 11.000 * (1+0,013)
4 = 11.583,25
• MI = 12.100,00
• MII = 11.583,25
• MIII = 11.450,00
Então, a alternativa d) também é verdadeira.
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Exemplo 5.9
Calcule os juros compostos e o montante referentes a um 
capital de R$ 7.500,00 aplicado durante 6 meses à taxa de 
10% a.m.
C = R$ 7.500,00
i = 10% a.m. = 0,10
n = 6 meses
J = ?
M = ?
M = C . (1 + i)n
M = 7.500,00 . (1 + 0,10)6
M = 7.500,00 . 1,106
M = 7.500,00 . 1,77
M = 13.286,71
J = M – C
J = 13.286,71 – 7.500,00
J = 5.786,71
ou
J = C . [(1 + i)n – 1]
J = 7.500,00 . [(1 + 0,10)6 – 1]
J = 5.786,71
6 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES
Para compreender o significado dessas taxas, é necessário 
reconhecer que toda operação envolve dois prazos:
• prazo a que se refere a taxa de juros;
• prazo de capitalização dos juros.
A fim de exemplificar, um investimento paga aos investidores 
uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é capitalizada ao principal 
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todo mês por meio de um percentual proporcional de 0,5% ao 
mês. Portanto, temos dois prazos: prazo da taxa em ano e prazo 
da capitalização em mês.
Para uso das fórmulas da matemática financeira, é 
necessário expressar esses prazos diferentes, na mesma unidade 
de tempo.
6.1 No regime de juros simples
No regime de juros simples, essa transformação é processada 
pela denominada taxa proporcional de juros e é obtida pela 
divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o 
número de vezes em que ocorrerão os juros (número de períodos 
de capitalização).
Por exemplo, para uma taxa de juros de 25% a.a., se a 
capitalização for definida mensalmente (ocorrerão juros 12 
vezes em um ano), o percentual de juros que incidirá sobre o 
capital a cada mês será:
Taxa proporcional = 25% / 12 = 2,083% ao mês.
A aplicação de taxas proporcionais é difundida em operações 
de curto e curtíssimo prazo como: cálculo de juros de mora, 
descontos bancários, apuração de encargossobre saldo devedor 
de conta corrente bancária etc.
As taxas de juros simples são equivalentes quando aplicadas a 
um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo: produzem 
o mesmo volume linear de juros.
Exemplo 6
Em juros simples, um capital de $4.000,00, se aplicado a 5% 
ao mês ou 15% ao trimestre pelo prazo de um ano, produz o 
mesmo montante linear de juros:
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J (5% a.m.) = $ 4.000,00 x 0,05 x 12 meses = $ 2.4000,00
J (15% a.t.) = $ 4.000,00 x 0,15 x 4 trimestres = $ 2.4000,00
Os juros produzidos pelas taxas lineares são iguais, portanto, 
equivalentes.
Exemplo 6.1
Calcular a taxa de juros semestral proporcional de:
60% ao ano:
Solução: i= =60
12
6 30
%
. % ao semestre;
9% ao trimestre:
Solução: i= =9
3
6 18
%
. % ao semestre ou i=9%.2=18%.
Exemplo 6.2
Demonstre se 36% ao ano é proporcional a 12% ao 
trimestre:
Solução: 
12
3
36
12
=
Colocadas as taxas em proporções iguais para comparação, 
notamos que as taxas não são proporcionais, pois o produto 
dos meios (3x6) é diferente do produto dos extremos 
(12x12).
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6.2 No regime de juros compostos
No regime de juros compostos, o conceito de taxa equivalente 
permanece válido, diferenciando a fórmula de cálculo da taxa 
de juros.
i iq
q= + −1 1
onde:
q = número de períodos de capitalização.
Exemplo 6.3
Qual a taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao 
semestre?
i6 6 1 0 103826 1= + −,
i6 6 1103826 1 1 0166 1 0 0166= − = − =, , , ou 1,66%
A um mesmo capital e prazo de aplicação, é financeiramente 
indiferente o rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao 
semestre.
A fim de demonstrar, usaremos um exemplo de aplicação de 
$ 50.000,00 aplicado por dois anos:
Para i = 1,66% e n = 24 meses:
M = 50.000,00 (1,0166)24 = $ 74.228,81
Para i = 10,3826% e n = 4 semestres:
M = 50.000,00 (1,103826)4 = $ 74.228,81
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Exemplo 6.4
A taxa Selic anual (do dia 8 de junho de 2004) foi de 15,84%. 
Calcule a taxa equivalente diária.
i ia= + −( )1 1
1
252 ou i ia= + −1 1
252
 (essas fórmulas são as 
mesmas!)
i= + −( , )1 0 1584 1
1
252 = 0,00058366
Resposta: para as aplicações no mercado financeiro, em 
setembro de 2000, o Banco Central do Brasil definiu que o 
número de dias úteis do ano é de 252 dias. A taxa equivalente 
diária no regime de juros compostos com 252 dias úteis por ano 
é 0,0005837 ou 0,05837% ao dia útil.
Exercício 6.5
No dia 1 de fevereiro de 2005, a operação foi fechada com 
taxa diária 0,066509%. Calcule a taxa equivalente anual.
i=(1+id)
252–1
i=(1+0,00066509)252–1
i=0,1824008
Resposta: a taxa equivalente anual no regime de juros 
compostos considerando 252 dias úteis por ano é 0,1824 ou 
18,24% ao ano de 252 dias úteis.
Exercício 6.6
A taxa de juros de um financiamento está fixada em 4,2% a.m. 
em determinado instante. Qual a taxa acumulada para um ano?
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i=(1+im)
12–1
i=(1+0,042)12–1
64% a.a.
Exercício 6.7
A taxa de juros de um financiamento está fixada em 3,3% 
a.m. em determinado momento. Qual o percentual desta taxa 
acumulada para um ano?
Capitalizar as seguintes taxas:
• 2,3 % ao mês para um ano:
 ia=(1+0,023)
12–1 = 31,37% a.a.
• 0,14% ao dia para 23 dias:
 id=(1+0,0014)
23–1 = 3,27% para 23 dias.
• 7,45% ao trimestre para um ano:
 ia=(1+0,0745)
4–1 = 33,30% a.a
• 6,75% ao semestre para um ano:
 ia=(1+0,0675)
2–1= 13,96% a.a.
Exercício 6.8
Calcular a taxa equivalente composta a 34% ao ano para os 
seguintes prazos:
• 1 mês:
im = + −( , )1 0 34 1
1
12 = 2,47% a.m.
• 1 quadrimestre:
iq = + −( , )1 0 34 1
1
3 = 10,25% a.q.
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• 1 semestre:
 is = + −( , )1 0 34 1
1
2 = 15,76% a.s.
• 5 meses:
 im = + −( , )1 0 34 1
5
12 = 12,97% para 5 meses.
• 10 meses:
 im = + −( , )1 0 34 1
10
12
 = 27,62% para 10 meses.
Exercício 6.9
Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral 
equivalentes a 25% ao ano?
Solução:
Taxa de juros equivalente mensal:
i = 25% ao ano;
q = 1 ano (12 meses)
i12 121 0 25 1= + −,
i12 12125 1= −,
i12=1,877% a.m.
Taxa de juros equivalente trimestral:
q = 1 ano (4 trimestres)
i4 4 1 0 25 1= + −,
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i4 4 125 1= −,
i4=5,737% a.t.
7 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR 
DENTRO”
Desconto simples racional, também chamado de desconto 
“por dentro”, assume os conceitos e relações básicas de juros 
simples.
Dessa forma, Dr é o valor do desconto racional, C é o capital 
(ou valor atual), i é a taxa periódica de juros e n é o prazo do 
desconto (número de períodos em que o título é negociado 
antes de seu vencimento), tem-se abaixo a expressão de juros 
simples:
Dr = C x i x n
Pela definição de desconto, e incorporando o conceito de 
valor descontado no lugar do capital no cálculo do desconto, 
obtém-se:
Dr = N – Vr
Sendo que N é o valor nominal (ou valor de resgate ou 
montante) e Vr é o valor descontado racional (ou valor atual) na 
data da operação. Como:
V C
N
i nr
= =
+ ×1
Algebricamente, obtém-se o valor do desconto racional a 
juros simples:
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D N
N
i n
N i n N
i n
N N i n N
i nr
= −
+ ×
= + ×( ) −
+ ×
= + × × −
+ ×1
1
1 1
D
N i n
i nr
= × ×
+ ×1
O valor descontado é obtido pela seguinte expressão:
Vr = N – Dr
V N
N i n
i n
N i n N i n
i n
N N i n N i n
i nr
= − × ×
+ ×
= + ×( ) − × ×
+ ×
= + × × − × ×
+ ×1
1
1 1
V
N
i nr
=
+ ×1
No desconto racional, o juro incide sobre o capital do título. 
A taxa de juro (desconte) cobrada representa o custo efetivo de 
todo o período do desconto.
Exemplo 7
Seja um título de valor de $ 3.500,00 vencível em um ano, que 
está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. Sendo 
48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o 
desconto e o valor descontado.
Solução (graficamente):
N=$3.500,00Vr
i=48% a.a.
4% a.m.
0 10 12 (meses)
Desconto: D
N i n
i nr
= × ×
+ ×1
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 Dr =
× ×
+ ×
= =3 500 00 0 04 2
1 0 04 2
280 00
1 08
259 26
. , ,
,
,
,
$ ,
Valor descontado: Vr = N – Dr
 Vr = 3.500,00 – 259,29 = $ 3.240,71
ou V
N
i nr
=
+ ×1
 Vr = + ×
=3 500 00
1 0 04 2
. ,
,
 $ 3.240,71
Para o devedor, $ 259,26 representa o valor que está deixando 
de pagar por quitar a dívida antecipadamente. O valor líquido 
do pagamento (valor descontado) é de $ 3.240,71.
Exemplo 7.1
Determinar a taxa mensal de desconto racional de um 
título negociado 90 dias antes de seu vencimento. O valor de 
resgate é $ 28.800,00 e valor atual na data do desconto é de $ 
25.235,10.
Solução: sabe-se que no desconto racional o desconto é 
aplicado sobre o valor atual dotítulo, ou seja, sobre o capital 
liberado.
Dr = Vr x i x n e i
D
V n
r
r
=
×
i
Vr
= −
×
= =28 800 00 25 235 10
3
1 563 90
48 872 20
0 047
25 23510
. , . , . ,
. ,
,
. ,
008
 ou 
4,708% a.m.
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8 DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL OU 
“POR FORA”
Esse tipo de desconto, simplificadamente, por incidir sobre 
o valor nominal (valor de resgate) do título, proporciona maior 
volume de encargos financeiros efetivos nas operações.
A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada 
pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial em 
curto prazo.
O valor desse desconto (desconto por fora) DF no regime de 
juros simples é determinado pelo produto do valor nominal do 
título (N), da taxa de desconto periódica “por fora” contratada 
na operação (d) e do prazo de antecipação definido para o 
desconto (n). Isto é:
DF = N x d x n
O valor descontado “por fora” (VF), aplicando-se a definição, 
é obtido:
VF = N – DF
VF = N – N x d x n
VF=N(1–d x n)
Exemplo 8
Determinar a taxa de desconto “por fora” de um título 
negociado 90 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de 
resgate igual a $ 27.500,00 e valor atual na data do desconto 
de $ 21.225,10.
Solução: 
 
N=$27.500,00VF=$21.225,10
t – 3 t (meses)
n = 3 meses
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DF = N – VF
DF = 27.500,00 – 21.225,10 ⇒ DF = $ 6.274,90
DF = N x d x n
6.274,90 = 27.500,00 x d x 3
6.274,90 = 82.500,00 x d
d = =6.274,90 
82 500 00
0 07606
. ,
, ou 7,606% ao mês
Exemplo 8.1
Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de 
R$ 100,00 descontado 60 dias antes do vencimento, à taxa de 
desconto de 0,2% a.d.?
Db = ?
N = R$ 100,00
i = 0,2% a.d. = 0,002 a.d.
n = 60 dias
Db = N . i . n
Db = 100,00 x 0,002 x 60
Db = R$ 12,00
O valor do desconto bancário é de R$ 12,00.
Exercício 8.2
Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 7.500,00 a vencer 
em 03 de abril. No dia 19 de janeiro, descontou o título num 
banco que cobra 2,5% a.m. de desconto bancário. Calcular o 
valor de resgate do título.
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N = R$ 7.500,00
C = ?
i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.
n = 74 dias
C = N (1 – i . n)
C = 7.500,00 × − ×

1
0 025 74
30
,
C = 7.500,00 x (1 – 0,061667)
C = 7.500,00 x 0,938333
C = 7.037,50
O valor do resgate é R$ 7.037,50.
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Unidade II5
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9 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE 
EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS
Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente 
para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, 
envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos 
financeiros.
Sistema Financeiro da Habitação (SFH)
Criado em 1964, com o objetivo de viabilizar a concessão 
de financiamentos de longo prazo para aquisição da casa 
própria, o Sistema Financeiro da Habitação é composto por 
um complexo conjunto de leis e regras próprias que definem 
as condições da concessão do financiamento em cada época.
A concessão de um financiamento inicia-se com a procura, 
pelos interessados, de um agente financeiro. Os recursos para 
o financiamento podem ser oriundos das contas vinculadas 
do FGTS, do Sistema Brasileiro de Poupança e Empréstimo 
(SBPE), demais Fundos ou mesmo recursos próprios do agente 
financeiro.
A hipoteca do imóvel é a garantia do financiamento. Na 
vigência deste sistema, foram criados planos e formas de 
reajuste de prestações, com benefícios aos tomadores, que 
causaram o descasamento entre saldo e prestação, tendo um 
grande déficit a ser coberto pelo Fundo de Compensação de 
Variações Salariais (FCVS).
Fonte: Banco Central do Brasil1
1 Disponível em: <http://www.bcb.gov.br/?SFH>. Acesso em 4 dez. 
de 2010.
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Há várias maneiras de amortizar uma dívida. É imprescindível, 
para cada operação, as partes estabelecerem contrato a fim de 
esclarecer as formas, taxas e afins para o acerto da antecipação 
do montante e quitação da dívida.
Uma característica fundamental dos sistemas de 
amortização é a utilização exclusiva do critério de juros 
compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo 
devedor (montante) apurado em período imediatamente 
anterior.
Para cada sistema de amortização, é construída uma planilha 
financeira, a qual relaciona, dentro de certa padronização, os 
diversos fluxos de pagamentos e recebimentos.
São consideradas também modalidades de pagamento com 
e sem carência. Na carência, não há pagamento do principal, 
sendo pagos somente os juros. Eventualmente, os juros podem 
ser capitalizados durante o prazo de carência.
Os sistemas de amortização mais usados no mercado são:
a) Sistema de Amortização Constante – SAC;
b) Sistema de Amortização Francês (Price) – SAF;
c) Sistema de Amortização Misto – SAM;
d) Sistema de Amortização Americano – SAA;
e) Sistema de amortização Crescente – SACRE;
f) Sistema de Amortização Variável (parcelas intermediárias).
9.1 Definições básicas
Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos 
tratam da forma pela qual o principal e os encargos financeiros 
são restituídos ao credor do capital.
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Antes do estudo desses sistemas, é importante definir os 
principais termos empregados nas operações de empréstimos e 
financiamentos.
Encargos financeiros: representam os juros da operação, 
caracterizados como custo para o devedor e retorno para o credor.
Eles podem ser prefixados ou pós-fixados. O que distingue 
essas duas modalidades é a correção (indexação) da dívida em 
função de uma expectativa (prefixação) ou verificação posterior 
(pós-fixação) do comportamento de determinado indexador.
Nas operações pós-fixadas, há um desmembramento dos 
encargos financeiros em juros e correção monetária (ou variação 
cambial, no caso da dívida ser expressa em moeda estrangeira) 
que vier a se verificar no futuro; e nas prefixadas estipula-se uma 
taxa única, a qual incorpora evidentemente uma expectativa 
inflacionária, para todo o horizonte de tempo.
Dessa forma, para uma operação pós-fixada, a taxa de juros 
contratada é a taxa definida como real, isto é, aquela situada 
acima do índice de inflação verificado no período.
Além do encargo real da taxa de juros, as operações pós-fixadas 
preveem também a correção monetária (ou variação cambial) 
do saldo devedor da dívida, o que representa normalmente 
a recuperação da perda de poder aquisitivo (desvalorização 
perante a inflação) da parte do capital emprestado e ainda não 
restituído.
Nas operações prefixadas, os encargos financeiros são 
medidos por uma única taxa, a qual engloba os juros exigidos 
pelo emprestador e a expectativa inflacionária (correção 
monetária) para o período em vigência.
Amortização: refere-se exclusivamente ao pagamento 
do principal (capital emprestado), o qual é efetuado, 
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geralmente, mediante parcelas periódicas. Alguns tipos 
de empréstimos permitem que o capital emprestado seja 
amortizadopor meio de um único pagamento ao final do 
período. Essa situação é descrita no sistema de amortização 
americano.
Saldo devedor: representa o valor do principal da dívida, em 
determinado momento, após a dedução do valor pago ao credor 
a titulo de amortização.
Prestação: composto do valor da amortização mais encargos 
financeiros devidos em determinado período de tempo.
Prestação = Amortização + Encargos financeiros
Carência: muitas operações de empréstimos e 
financiamentos preveem um diferenciamento na data 
convencional do início dos pagamentos. Por exemplo, ao tomar 
um empréstimo por quatro anos, a ser restituído em prestações 
trimestrais, o primeiro pagamento ocorrerá normalmente três 
meses (um trimestre) após a liberação dos recursos, vencendo as 
demais ao final de cada um dos trimestres subsequentes. Pode 
ocorrer um deferimento (carência) no pagamento da primeira 
prestação, iniciando nove meses após o recebimento do capital 
emprestado. Nesse caso, diz-se que a carência corresponde a 
dois trimestres, ou seja, ela equivale ao prazo verificado entre 
a data convencional de início de pagamento (final do primeiro 
trimestre) e a do final do 9º mês.
Carência significa a postergação só do principal, excluídos os 
juros. Os encargos financeiros podem, dependendo das condições 
contratuais, serem pagos ou não durante a carência. É mais 
comum o pagamento dos juros durante o período de carência. 
Na hipótese de decidir pela carência de juros, os mesmos são 
capitalizados e pagos junto à primeira parcela de amortização 
do principal ou distribuídos para as várias datas pactuadas de 
pagamento.
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Características:
• basicamente desenvolvidos para operações de empréstimos 
e financiamentos de longo prazo, envolvendo amortizações 
periódicas do principal e encargos financeiros (juros da 
operação);
• utilizam exclusivamente o critério de juros compostos, 
incidindo os juros sobre o saldo devedor apurado em 
período imediatamente anterior;
• cada sistema de amortização obedece certa padronização, 
tanto nos desembolsos, quanto nos reembolsos;
• podem ter ou não carência, sendo que, no período de 
carência, normalmente são pagos os juros.
10 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
O sistema de amortização constante tem como característica 
básica serem as amortizações do principal sempre iguais em 
todo o prazo da operação. O valor da amortização é facilmente 
obtido mediante a divisão do capital emprestado pelo número 
de prestações.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante 
decresce após o pagamento de cada amortização, assumem 
valores decrescentes nos períodos.
Em consequência do comportamento da amortização 
e dos juros, as prestações periódicas e sucessivas do SAC são 
decrescentes em progressão aritmética.
Exemplo 10
Admita o empréstimo de $ 100.000,00, dentro de um prazo de 
10 anos, em 20 prestações semestrais. Desconsidere a existência 
de um prazo de carência. Foram considerados juros de 7% a.s.
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Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($)
0 100.000 – – –
1 95.000 5.000 6.650,00 11.650,00
2 90.000 5.000 6.300,00 11.300,00
3 85.000 5.000 5.950,00 10.950,00
4 80.000 5.000 5.600,00 10.600,00
5 75.000 5.000 5.250,00 10.250,00
6 70.000 5.000 4.900,00 9.900,00
7 65.000 5.000 4.550,00 9.550,00
8 60.000 5.000 4.200,00 9.200,00
9 55.000 5.000 3.850,00 8.850,00
10 50.000 5.000 3.500,00 8.500,00
11 45.000 5.000 3.150,00 8.150,00
12 40.000 5.000 2.800,00 7.800,00
13 35.000 5.000 2.450,00 7.450,00
14 30.000 5.000 2.100,00 7.100,00
15 25.000 5.000 1.750,00 6.750,00
16 20.000 5.000 1.400,00 6.400,00
17 15.000 5.000 1.050,00 6.050,00
18 10.000 5.000 700,00 5.700,00
19 5.000 5.000 350,00 5.350,00
20 0 5.000 0,00 5.000,00
Total – 100.000 66.500,00 166.500,00
O SAC determina que a restituição do principal (capital 
emprestado) seja efetuada em parcelas iguais. Assim, o valor 
de cada amortização devida semestralmente é calculado pela 
simples divisão do principal e o número fixado de prestações, 
ou seja:
Amortização = valor do empréstimo / nº de prestações
Amortização = 100.000 / 10
Amortização = 10.000 / semestre
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Os pagamentos desses valores determinam decréscimos 
iguais e constantes no saldo devedor em cada um dos períodos, 
ocasionando reduções nos valores semestrais dos juros e das 
prestações.
Nesse exemplo, para o cálculo de juros, trabalhou-se, como 
é mais comum nessas operações de crédito de médio e longo 
prazos, com a taxa equivalente composta. Assim, para uma 
taxa equivalente nominal de 30% ao ano, conforme a taxa 
equivalente semestral atinge:
Taxa equivalente semestral de 30% a.a. = 130, – 1 = 
14.0175% a.s.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente 
anterior, apresentam valores aritmeticamente decrescentes, 
conforme são apurados na penúltima coluna da tabela 
exemplificada acima. Para o final do primeiro semestre, os encargos 
financeiros somam: 14,0175% x 100.000 = $ 14.017,50; para o 
final do segundo semestre: 14,0175% x 90.000 = $ 12.615,80; 
para o final do terceiro semestre: 
14,0175% x 80000 = $ 11.214,00; e assim por diante.
Soma-se, para cada período, o valor da prestação semestral 
do financiamento. Assim, para o primeiro semestre, a prestação 
atinge: $ 10.000,00 + $ 14.017,50 = $ 24.017,50; para o segundo 
semestre: $ 10.000,00 + $ 12.615,80 = $ 22.615,80.
Pode ser observado, uma vez mais, que a diminuição de 
$ 1.401,70 no valor dos juros em cada período é explicada 
pelo fato de as amortizações (fixas) reduzirem o saldo devedor 
da dívida (base de cálculo dos juros) semestralmente em 
$ 10.000,00. Essa diminuição provoca, em consequência, uma 
redução nos juros equivalente: 
14,017% x 10.000,00 = 1401,70.
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10.1 Expressões de cálculo do SAC
São desenvolvidas, a seguir, as expressões genéricas de 
cálculo de cada parcela da planilha do sistema de amortização 
constante.
Amortização (Amort): os valores são sempre iguais e obtidos 
por:
Amort
PV
n
=
Onde: PV = principal (valor do financiamento);
n = número de prestações.
Logo:
PV
n
Amort Amort Amort Amortn= = = = =1 2 3 ...
PV = Amort1 + Amort2 + Amort3 + ... + Amortn
Saldo devedor (SD): é decrescente em PA (progressão 
aritmética) pelo valor constante da amortização. Logo, a redução 
periódica do SD é: PV
n
.
Juros (J): pela redução constante do saldo devedor, os juros 
diminuem linearmente ao longo do tempo, comportando-se 
como uma PA decrescente. O valor periódico da redução é: (P/n) 
x i, sendo i a taxa de juros.
A expressão de cálculo dos juros:
J
PV
n
x n t xi1 1= − +( )
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Prestação (PMT): soma da amortização com juros e com 
encargos administrativos, que deve ser analisada em cada 
situação de empréstimo com a instituição financeira.
PMT=Amort + J (não consideraremos encargos 
administrativos nesse modelo).
Algebricamente:
PMT
PV
n
n t i= + − +.[ ( ). ]1 1
Exemplo 10.1
PV = 100.000,00; n = 5 anos; i = 30% ao ano.
Calcular o valor da prestação no 5º semestre:
PMT5
100 000
10
1 10 5 1 0 140175= + − +. .[ ( ). , ]PMT5=10.000.[1+6x0,140175]
PMT5=18.410,50
10.2 SAC com carência
A ilustração desenvolvida na tabela anterior não previu 
existência de prazo de carência para a amortização do 
empréstimo. Ao supor uma carência de dois anos (contada a 
partir do final do primeiro semestre), por exemplo, três situações 
podem ocorrer:
a) os juros são pagos durante a carência;
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b) os juros são capitalizados e pagos totalmente quando do 
vencimento da primeira amortização;
c) os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor 
gerando um fluxo de amortizações de maior valor.
Exemplo 10.2
A próxima tabela demonstra uma situação em que os juros 
são pagos durante a carência estipulada. Ao final dos quatro 
primeiro semestres, a prestação, constituída unicamente dos 
encargos financeiros, atinge $ 14.017,50, ou seja: 14,0175% x 
$ 100.000,00. A partir do quinto semestre, tendo sido encerrada 
a carência de dois anos, inicia-se a amortização do principal 
emprestado, sendo o fluxo de prestações, deste momento em 
diante, idêntico ao desenvolvido no exemplo anterior.
SAC com carência (2 anos) e pagamento dos juros
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($)
0 100.000 – – –
1 100.000 – 14.017,50 14.017,50
2 100.000 – 14.017,50 14.017,50
3 100.000 – 14.017,50 14.017,50
4 100.000 – 14.017,50 14.017,50
5 90.000 10.000 14.017,50 24.017,5
6 80.000 10.000 12.615,80 22.615,80
7 70.000 10.000 11.214,00 21.214,00
8 60.000 10.000 9.812,30 19.812,30
9 50.000 10.000 8.410,50 18.410,50
10 40.000 10.000 7.008,80 17.008,80
11 30.000 10.000 5.607,00 15,607,00
12 20.000 10.000 4.205,30 14.205,30
13 10.000 10.000 2.803,50 12.803,50
14 – 10.000 1.401,80 11.401,80
TOTAL – 100.000 133.166,50 233.166,50
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Exemplo 10.3
SAC com carência (02 anos) e capitalização dos juros
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($)
Amortização 
($) Juros ($) Prestação ($)
0 100.000 – – –
1 114.017,50 – – –
2 129.999,90 – – –
3 148.222,60 – – –
4 168.999,70 – – –
5 90.000 10.000 92.689,30 102.689,30
6 80.000 10.000 12.615,80 22.615,80
7 70.000 10.000 11.214,00 21.214,00
8 60.000 10.000 9.812,30 19.812,30
9 50.000 10.000 8.410,50 18.410,50
10 40.000 10.000 7.008,80 17.008,80
11 30.000 10.000 5.607,00 15,607,00
12 20.000 10.000 4.205,30 14.205,30
13 10.000 10.000 2.803,50 12.803,50
14 – 10.000 1.401,80 11.401,80
TOTAL – 100.000 155.768,30 255.768,30
Exemplo 10.4
SAC com carência (02 anos) com juros capitalizados e 
acrescidos ao saldo devedor
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($) Amortização ($) Juros ($)
Prestação 
($)
0 100.000 – – –
1 114.017,50 – – –
2 129.999,90 – – –
3 148.222,60 – – –
4 168.999,70 – – –
5 152.100,00 16.900 23.689,60 40.589,60
6 135.200,00 16.900 21.320,60 38.220,60
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7 118.300,00 16.900 18.951,70 35.851,70
8 101.400,00 16.900 16.582,70 33.482,70
9 84.500,00 16.900 14.213,70 31.113,70
10 67.600,00 16.900 11.844,80 28.744,80
11 50.700,00 16.900 9.475,80 26.375,80
12 33.800,00 16.900 7.106,90 24.006,90
13 16.900,00 16.900 4.737,90 21.637,90
14 – 16.900 2.369,00 19.269,00
TOTAL – 169.000,00 130.292,70 299.292,70
O quadro do exemplo 10.2 ilustra o plano de amortização 
da dívida na hipótese dos juros não serem pagos durante a 
carência. Nesse caso, os encargos são capitalizados, segundo o 
critério de juros compostos, e devidos integralmente quando do 
vencimento da primeira parcela de amortização.
Exemplo 10.5
Um banco concede um financiamento de $660.000,00 para 
ser liquidado em 8 pagamentos mensais pelo SAC. A operação é 
realizada com uma carência de 3 meses, sendo somente os juros 
pagos nesse período.
Para uma taxa efetiva de juros de 2,5% ao mês, elaborar a 
planilha de desembolsos desse financiamento.
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($)
0 R$660.000 – – –
1 R$660.000 – R$16.500 R$16.500
2 R$660.000 – R$16.500 R$16.500
3 R$660.000 – R$16.500 R$16.500
4 R$577.500 R$ 82.500 R$16.500 R$99.000
5 R$495.000 R$ 82.500 R$14.438 R$96.938
6 R$412.500 R$ 82.500 R$12.375 R$94.875
7 R$330.000 R$ 82.500 R$10.313 R$92.813
8 R$247.500 R$ 82.500 R$ 8.250 R$90.750
9 R$165.000 R$ 82.500 R$ 6.188 R$88.688
10 R$82.500 R$ 82.500 R$ 4.125 R$86.625
11 – R$ 82.500 R$ 2.063 R$84.563
TOTAL – R$ 660.000 R$123.750 R$83.750
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Exemplo 10.6
Empréstimo ou financiamento: R$ 100.000,00 (Capital, 
principal, PV);
Prazo: 10 anos
Taxa de juros: 25% a.a. (efetiva).
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 – –
1 90.000,00 10.000,00 25.000,00 35.000,00
2 80.000,00 10.000,00 22.500,00 32.500,00
3 70.000,00 10.000,00 20.000,00 30.000,00
4 60.000,00 10.000,00 17.500,00 27.500,00
5 50.000,00 10.000,00 15.000,00 25.000,00
6 40.000,00 10.000,00 12.500,00 22.500,00
7 30.000,00 10.000,00 10.000,00 20.000,00
8 20.000,00 10.000,00 7.500,00 17.500,00
9 10.000,00 10.000,00 5.000,00 15.000,00
10 – 10.000,00 2.500,00 12.500,00
Total – 100.000,00 137.500,00 237.500,00
11 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS
O sistema de amortização francês (SAF), amplamente adotado 
no mercado financeiro do Brasil, estipula que as prestações 
devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Equivale, em outras 
palavras, ao modelo-padrão de fluxos de caixa.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, 
e as parcelas de amortização assumem valores crescentes.
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No SAF, os juros decrescem e as amortizações crescem ao 
longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece sempre 
igual ao valor da prestação.
Para exemplificar, a planilha financeira desse sistema, a 
qual é mais bem-elaborada partindo-se da última coluna 
para a primeira. Isto é, calculam-se inicialmente as prestações 
e posteriormente, para cada período os juros, as parcelas de 
amortização e o respectivo saldo devedor.
Exemplo 11 SAF sem carência
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($)
Amortização 
($)
Juros ($) Prestação ($)
0 100.000 – – –
1 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40
2 88.941,80 5.891,20 13.293,20 19.184,40
3 82.224,80 6.717,00 12.467,40 19.184,40
4 74.566,20 7.658,60 11.525,90 19.184,40
5 65.834,10 8.732,10 10.452,30 19.184,40
6 55.877,90 9.956,20 9.228,30 19.184,40
7 44.526,20 11.351,80 7.832,70 19.184,40
8 31.583,20 12.943,00 6.241,50 19.184,40
9 16.825,90 14.757,30 4.427,20 19.184,40
10 – 16.825,90 2.358,60 19.184,40
Total – 100.000 91.844,00 191.844,00
As prestações semestrais são determinadas pela aplicação da 
fórmula de valor presente do modelo –padrão.
PV = PMT x FPV (i,n)
Onde:
PV = valor presente;
PMT = valor da prestação periódica, igual e sucessiva;
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FPV = fator de valor presente, sendo:
FPV
i
i
n
= − +
−1 1( )
Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação, 
tem-se:
100 000 00
1 1140175
0 140175
10
. ,
( , )
,
= −
−
PMT x
PMT = $ 19.184,40/semestre.Os demais valores da planilha são mensurados de forma 
sequencial em cada um dos períodos. Assim, para o primeiro 
semestre, têm-se:
• Juros (calculados sobre o saldo devedor imediatamente 
anterior): 14,0175% x 100.000,00 = $ 14.017,50.
• Amortização (obtida pela diferença entre o valor da 
prestação e dos juros acumulados para o período): 
$19.184,40 – $14.017,50 = $5.166,90.
• Saldo devedor (saldo anterior no momento zero – parcela 
de amortização do semestre) 
 $100.000,00 – $5.166,90 = $94.833,10.
Para o segundo semestre, os cálculos são os seguintes.
• Juros: 14,0175% x $94.833,70 = $13.293,20.
• Amortização: $19.184,40 – $13.293,20 = $5.891,20.
• Saldo devedor: $94.833,10 – $5.891,20 = $88.941,90, e 
assim por diante.
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11.1 Expressões de cálculo do SAF
No Sistema Francês de Amortização, as prestações são 
constantes, os juros decrescentes e as amortizações são 
exponencialmente crescentes ao longo do tempo. As expressões 
básicas de cálculo desses valores são desenvolvidas a seguir.
Amortização (Amort): é obtida pela diferença entre o valor 
da prestação e os juros:
Amort = PMT – J
A amortização do primeiro período é expressa:
Amort1 = PMT – J1, o que equivale a:
Amort1 = PMT – (PV x i).
Como o seu crescimento é exponencial no tempo, o valor da 
amortização num momento t qualquer é calculado:
Amort1 = Amort1 x (1 + i)
t–1
Por exemplo, o valor da amortização no quarto semestre 
atinge:
Amort4 = 5.166,90 x (1 + 0,140175)
4–1
Amort4 = 7.658,60
Prestação (PMT): conforme demonstrado, o valor da 
prestação é calculado mediante a aplicação da fórmula do 
valor presente desenvolvida para o modelo-padrão de fluxos de 
caixa:
PMT PV
FPV i n
= 1
( , )
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Onde: FPV i n
i
i
n
,
( )( ) = − +
−1 1
Saldo devedor (SD): para cada período, é calculado 
pela diferença entre o valor devido no início do intervalo 
de tempo e a amortização do período. Logo, para uma 
dada taxa de juros, o saldo devedor de qualquer período é 
apurado:
SDt = PMT x FPV (i, n – t)
Por exemplo, o saldo devedor no sexto semestre do 
financiamento atinge:
SD6 = 19.184,40 x FPV (14,175%, 10 – 6)
SD6 = 55.877,90
Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado 
no início de cada período (ou ao final de cada período 
imediatamente anterior). A expressão de cálculo de juros 
pode ser ilustrada:
J1 = SD0 x i = PV x i
J2 = SD1 x i = (PV – Amort) x i
J3 = SD2 x I = (PV – Amort1 – Amort2) x i
E assim sucessivamente.
11.2 SAF com carência
De modo idêntico aos demais sistemas, no SAF, podem-se 
verificar períodos de carência, nos quais, ainda, os encargos 
financeiros podem ser pagos ou capitalizados.
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A seguir, está ilustrada a situação em que os juros são 
pagos durante a carência e capitalizados para resgate posterior 
(juntamente às prestações).
Exemplo 11.1 SAF com carência (2 anos) e pagamentos 
dos juros
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($)
0 100.000 – – –
1 100.000 – 14.017,50 14.017,50
2 100.000 – 14.017,50 14.017,50
3 100.000 – 14.017,50 14.017,50
4 100.000 – 14.017,50 14.017,50
5 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40
6 88.941,80 5.891,20 13.293,20 19.184,40
7 82.224,80 6.717,00 12.467,40 19.184,40
8 74.566,20 7.658,60 11.525,90 19.184,40
9 65.834,10 8.732,10 10.452,30 19.184,40
10 55.877,90 9.956,20 9.228,30 19.184,40
11 44.526,20 11.351,80 7.832,70 19.184,40
12 31.583,20 12.943,00 6.241,50 19.184,40
13 16.825,90 14.757,30 4.427,20 19.184,40
14 – 16.825,90 2.358,60 19.184,40
TOTAL – 100.000,00 91.844,00 191.844,00
O sistema francês, com carência e pagamento dos juros no 
período, segue basicamente o mesmo esquema anterior (SAF 
sem carência), diferenciando-se unicamente nas prestações dos 
quatro primeiros semestres (carência). Nestes períodos, estão 
previstos somente pagamentos de $ 14.017,50 referentes aos 
juros do principal não amortizado (14,0175% x $ 100.000,00). 
Para os demais semestres, o raciocínio é idêntico ao formulado 
anteriormente, apurando-se prestações com valores constantes, 
juros decrescentes e amortizações crescentes.
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No quadro SAF com carência, está prevista a capitalização 
dos juros durante o período de carência de quatro semestres. 
Somando-se este montante ao saldo devedor, tem-se um novo 
valor ao final do quarto semestre de $169.000,00, o qual serve 
de base para o cálculo das prestações com vencimento a partir 
do quinto semestre, ou seja:
Saldo devedor (4º semestre) que serve de base para o cálculo 
das prestações após o período de carência (5º semestre):
$ 100.000,00 x (1,140175)4 = $ 169.000,00
Prestação (PMT) semestral a ser paga a partir do 5º 
semestre.
PV PMT x
i
i
n
= − +
−1 1( )
169 000
1 1140175
0 140175
10
.
( , )
,
= −
−
PMT x
169.000 = PMT x 5,212555
PMT = 169.000 / 5,212555 = $ 32.421,70 / semestre
O preenchimento da planilha financeira a partir do final do 
período de carência é análogo ao proposto anteriormente.
Exemplo 11.2
Um equipamento no valor de $ 1.200.000,00 será financiado 
por um banco pelo prazo de 6 anos. A taxa de juros contratada 
é de 15% ao ano, e as amortizações anuais são efetuadas pelo 
sistema francês. O banco concede uma carência de 2 anos 
para o inicio dos pagamentos, sendo os juros cobrados nesse 
intervalo.
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Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($)
Amortização ($) Juros ($) Prestação ($)
0 1.200.000,00 – – –
1 1.200.000,00 – 180.000,00 180.000,00
2 1.200.000,00 – 180.000,00 180.000,00
3 1.200.000,00 137.084,00 180.000,00 317.084,00
4 1.042.353,00 157.647,00 159.437,00 317.084,00
5 723.975,00 181.294,00 135.790,00 317.084,00
6 515.487,00 208.488,00 108.596,00 317.084,00
7 275.726,00 239.761,00 77.323,00 317.084,00
8 – 275.726,00 41.358,00 317.084,00
TOTAL – 1.200.000,00 1.062.504,00 2.262.504,00
12 TABELA PRICE
O sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa 
uma variante do sistema francês. Na realidade, o sistema francês, 
desenvolvido originalmente pelo inglês Richard Price, assumiu 
esta denominação pelo seu uso amplamente generalizado na 
França no século passado.
O sistema Price, fundamentalmente adotado quando 
os períodos das prestações (normalmente mensais, mas não 
necessariamente) se apresentarem menores que o da taxa de 
juros, tem como característica básica o uso da taxa proporcional 
(linear) simples em vez da taxa equivalente composta de 
juros.
No exemplo ilustrativo geral proposto, utilizou-se a taxa 
equivalente semestral de 14,0175% para o cálculo dos juros no 
sistema francês (e no SAC também). Este percentual, conforme 
estudado no capítulo 2, quando capitalizado para um ano, 
é igual à taxa de 30% de acordo com o estabelecido na 
operação de empréstimo [(1,140175) – 1 = 30%]. No entanto, 
se fosse utilizada a denominada Tabela Price no plano de 
amortização da dívida, a taxa semestral a ser considerada seria 
a taxa proporcional simples de 15% (30%/2), a qual, quando 
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