Lista02 2015 Calc1

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Ca´lculo 1 - Insper - Lista 2 1
Lista 2 - Introduc¸a˜o aos limites
Nı´vel 1
E1) Bittinger, Ellenbogen e Surgent - 10a. edic¸a˜o - Sec¸a˜o 1.1 - pa´g. 106 e 107
◮ Exerc´ıcios 1 ao 18, 35 ao 52
E2) Bittinger, Ellenbogen e Surgent - 10a. edic¸a˜o - Sec¸a˜o 1.1 - pa´g. 108
◮ Exerc´ıcios 84 a 88
Nı´vel 2
E3) Bittinger, Ellenbogen e Surgent - 10a. edic¸a˜o - Sec¸a˜o 1.1 - pa´g. 109
◮ Exerc´ıcios 95 a 97
E4) Considere a func¸a˜o f(x) =


x
3
− 1, se x ≤ 6
−2x
5
+ 17
5
, se x > 6
.
a) Construa o gra´fico de f(x).
b) Calcule, se existirem, lim
x→6−
f(x), lim
x→6+
f(x) e lim
x→6
f(x).
E5) Considere as func¸o˜es f(x) =
{
x+ 3, se x < 2
−2x+ 5, se x ≥ 2
e g(x) =
{
−x+ 7, se x ≤ 2
2x+ 5, se x > 2
.
a) Obtenha a lei da func¸a˜o h : R→ R dada pela lei h(x) = f(x) + g(x).
b) Calcule, se existirem, lim
x→2−
h(x), lim
x→2+
h(x) e lim
x→2
h(x).
E6) A func¸a˜o f : R→ R que associa a cada elemento x ∈ R o maior nu´mero inteiro que na˜o supera x, denotado
[x], e´ chamada func¸a˜o ma´ximo inteiro. Por exemplo, [2, 75] = 2, [−4, 6] = −5 e [6] = 6.
Considere a func¸a˜o f(x) = [x].
a) Desenhe o gra´fico de f(x).
b) Calcule, se existirem, lim
x→pi
−
f(x), lim
x→pi
+
f(x) e lim
x→pi
f(x).
c) Calcule, se existirem, lim
x→4−
f(x), lim
x→4+
f(x) e lim
x→4
f(x).
d) Sendo n um nu´mero inteiro, calcule, se existirem, lim
x→n
−
f(x), lim
x→n
+
f(x) e lim
x→n
f(x).
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 2 2
Nı´vel 3
E7) O gra´fico a seguir mostra o prec¸o total P pago pelo cliente de uma copiadora em func¸a˜o do nu´mero de
co´pias x solicitadas de um mesmo original.
x
P (R$)
0 50 100 150 200 250 300
0
5
10
15
20
25
30
a) Determine a expressa˜o que fornece P em func¸a˜o de x.
b) Calcule o prec¸o pago por co´pia por um cliente que solicita 50 co´pias de um mesmo original.
c) Calcule o prec¸o pago por co´pia por um cliente que solicita 200 co´pias de um mesmo original.
d) Determine a expressa˜o que fornece o prec¸o pago por co´pia (P ) por um cliente que solicita x co´pias de um
mesmo original.
E8) Uma loja de roupas utiliza um mecanismo de desconto progressivo para pagamento a` vista, como mostra
a tabela a seguir:
Valor total da compra (R$) Desconto para pagamento a` vista
ate´ 100,00 5%
mais que 100,00, ate´ 400,00 7%
mais que 400,00, ate´ 1.000,00 10%
mais que 1.000,00 15%
a) Calcule o valor a ser pago por um cliente que opta pelo pagamento a` vista de uma compra que totalizou
R$ 350, 00 nessa loja.
b) Calcule o valor a ser pago por um cliente que opta pelo pagamento a` vista de uma compra que totalizou
R$ 100, 00 nessa loja.
c) Sendo P o valor pago por um cliente que opta pelo pagamento a` vista de uma compra que totalizou x
reais nessa loja, escreva a lei da func¸a˜o P (x).
d) Calcule lim
x→400−
P (x) e lim
x→400+
P (x). Existe lim
x→400
P (x)?
e) Dois clientes que pagaram suas compras a` vista desembolsaram a mesma quantia de R$ 879, 75. Pore´m,
suas compras totalizaram valores diferentes. Calcule esses valores.
f) Se voceˆ fosse o gerente da loja, adotaria a mesma estrate´gia de desconto? Escreva um pequeno texto que
justifique sua resposta.
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 2 3
Respostas
Nı´vel 2
E4) a)
x
y
3 4 50 1 2 6 7 8
1
-1
b
b) 1, 1 e 1.
E5) a) h(x) =
{
10, se x 6= 2
6, se x = 2
b) lim
x→2−
h(x) = 10, lim
x→2+
h(x) = 10 e lim
x→2
h(x) = 10.
E6) a)
x
y
−3 −2 −1 0 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
b
b
b
b
b
b
b
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
b) lim
x→pi
−
f(x) = 3, lim
x→pi
+
f(x) = 3 e lim
x→pi
f(x) = 3.
c) lim
x→4−
f(x) = 3, lim
x→4+
f(x) = 4 e lim
x→4
f(x) na˜o existe.
d) lim
x→n
−
f(x) = n− 1, lim
x→n
+
f(x) = n e lim
x→n
f(x) na˜o existe.
Nı´vel 3
E7) a) P (x) =


0, 2x, se 0 ≤ x ≤ 50
0, 1x+ 5, se 50 ≤ x ≤ 200
0, 05x+ 15, se x ≥ 200
b) R$ 0, 20 c) R$ 0, 125 d) P (x) =


0, 2, se 0 ≤ x ≤ 50
0, 1 +
5
x
, se 50 ≤ x ≤ 200
0, 05 +
15
x
, se x ≥ 200
E8) a) R$ 325, 50 b) R$ 95, 00 c) P (x) =


0, 95x, se 0 ≤ x ≤ 100
0, 93x, se 100 < x ≤ 400
0, 9x, se 400 < x ≤ 1.000
0, 85x, se x > 1.000
d) 372 e 360. Na˜o.
e) R$ 977, 50 e R$ 1.035, 00