Lista04 2015 Calc1

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Ca´lculo 1 - Insper - Lista 4 1
Lista 4 - Limite de polinoˆmios e limites no infinito
Nı´vel 1
E1) Bittinger, Ellenbogen e Surgent - 10a. edic¸a˜o - Sec¸a˜o 1.2 - pa´g. 117 a 119
◮ Exerc´ıcios 9 a 18
Nı´vel 2
E2) Calcule os limites abaixo:
a) lim
x→−1
x
2
−1
x+1
b) lim
x→4
x−4
x
2
−16
c) lim
x→1
x
3
−x
x−1
d) lim
x→2
x
2
−6x+8
x−2
e) lim
x→2
x
3
−8
x−2
f) lim
x→
1
2
4x2−4x+1
2x−1
E3) Considere as func¸o˜es f , g e h tais que lim
x→∞
f(x) = lim
x→∞
g(x) =∞ e lim
x→∞
h(x) = 2.
a) Calcule lim
x→∞
[f(x) + g(x)], lim
x→∞
[f(x)− h(x)], lim
x→∞
[3 · f(x)], lim
x→∞
[−4 · g(x)] e lim
x→∞
[8 · h(x)].
b) Na˜o e´ poss´ıvel calcular, somente com os dados do problema, lim
x→∞
[f(x)−g(x)]. Para entender melhor esta
afirmac¸a˜o, encontre duas func¸o˜es f e g que satisfac¸am a condic¸a˜o do enunciado e tais que lim
x→∞
[f(x)−g(x)] = k,
em que k e´ um nu´mero real qualquer.
Nı´vel 3
E4) Bittinger, Ellenbogen e Surgent - 10a. edic¸a˜o - Sec¸a˜o 1.2 - pa´g. 117 a 119
◮ Exerc´ıcios 59 a 62
E5) Determine os valores das constantes a e b para que a func¸a˜o g(x) =


3x3−x2−27x+9
3x2+8x−3
, se x 6= −3 e x 6= 1
3
a, se x = −3
b, se x = 1
3
seja cont´ınua em todos os pontos de seu domı´nio.
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 4 2
E6) A figura mostra os gra´ficos das func¸o˜es f(x) e g(x).
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
g(x)
f(x)
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
bc
b
Considere ainda as func¸o˜es h e i, dadas pelas leis h(x) = f(x) + g(x) e i(x) = −2f(x) − g(x). Calcule os
seguintes limites:
a) lim
x→0
h(x) b) lim
x→0
i(x) c) lim
x→3
h(x) d) lim
x→3
i(x) e) lim
x→+∞
h(x) f) lim
x→+∞
i(x)
g) lim
x→−∞
h(x) h) lim
x→−∞
i(x)
E7) Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→+∞
x3 + 7x2 − 80x− 12
b) lim
x→−∞
x3 + 7x2 − 80x− 12
c) lim
x→+∞
5x2 − 7
3x2 + 2x
E8) O comportamento do prec¸o P , em reais, das ac¸o˜es de uma grande empresa foi modelado, em func¸a˜o do
tempo t, em meses, de acordo com a expressa˜o
P =
4t+ 5
6t+ 1
,
em que t = 0 corresponde ao momento em que a mı´dia divulgou um grande esquema de corrupc¸a˜o envolvendo
a diretoria dessa empresa.
a) Qual era o prec¸o de uma ac¸a˜o dessa empresa quando o esquema de corrupc¸a˜o foi divulgado?
b) Quanto tempo depois da divulgac¸a˜o do esquema o prec¸o das ac¸o˜es atingiu metade do seu valor original?
c) Segundo esse modelo, qual a tendeˆncia do valor das ac¸o˜es da empresa em longo prazo?
Respostas
Nı´vel 2
E2) a) −2 b) 1
8
c) 2 d) −2 e) 12 f) 0
E3) a) ∞, ∞, ∞, −∞ e 16 b) f(x) = x+ k e g(x) = x
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 4 3
Nı´vel 3
E5) a = −6 e b = −8
3
E6) a) −1 b) 2 c) −∞ d) +∞ e) +∞ f) −∞ g) 0 h) 0
E7) a) +∞ b) −∞ c) 5
3
E8) a) R$ 5,00
b) Aproximadamente 0,23 meˆs (cerca de 1 semana).
c) Estabilizar-se em torno de R$ 0,67.