Aula 05

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“Balanço de Quantidade de
Movimento no Escoamento de
Fluidos Newtonianos em
Situações Simples”
Aula 05 - Filme líquido um tubo horizontal
Prof. Dr. William James Nogueira Lima
E-mail: william@ica.ufmg.br
Hipóteses: 
• Escoamento em baixa velocidade em um tubo de pequeno diâmetro (escoamento
laminar);
• Regime permanente (características do escoamento são independentes do tempo);
• Fluido Newtoniano (fluido que segue a lei de Newton da viscosidade);
• Fluido é um meio contínuo;
• Propriedades físicas constantes ( e ρ são constantes, fluido é incompressível);
• Não há deslizamento na interface fluido-sólido (superfície da parede sólida) 
hipótese do não-deslizamento;
• Efeitos de entrada e saída da tubulação horizontal, os quais perturbam o escoamento
laminar, devem ser desprezados.
2° Caso: Escoamento no interior de tubos 
horizontais. 
Selecionamos:
Volume de controle tipo capa cilíndrica (há simetria cilíndrica, logo usa-se
coordenadas cilíndricas)
Espessura Δr e comprimento L
Realizamos o balanço de quantidade de movimento na direção axial x
(direção do escoamentos
2° Caso: Escoamento no interior de tubos 
horizontais. 
Balanço da Quantidade de 
Movimento
Taxa de Q. M. que entra
junto com o escoamento na 
superfície anular x = 0
Taxa de Q. M. que sai junto com 
o escoamento na superfície 
anular em x = L
Taxa de Q. M. que entra via 
atrito viscoso através da 
superfície cilíndrica em r
Taxa de Q.M. que sai via atrito 
viscoso através da superfície 
cilíndrica em r + Δr
  
0
.2


xx
ρ.Vrr..π
  
rrrx
τLr

...2
  
Δrrrrx
τLr

...2
  
Lxx
ρ.Vrr..π

.2
Balanço da Quantidade de 
Movimento
Força devido à pressão na 
superfície anular x = 0
Força exercida pelo fluido situado em x  0 sobre o fluido situado em x  0.
Força devido à pressão na 
superfície anular x = L
Força exercida pelo fluido situado em x  L sobre o fluido situado em x  L.
  
0x
Prr

...2
  
Lx
Prr

...2
Balanço da Quantidade de 
Movimento
Escoamento em regime 
permanente
de fluido incompressível
00
PP
x


 
    0...2...2
...2.....2.....2
0
0




Lrrrrx
rrrxLxxxx
PPrrLr
LrVrrVrr


Dividir por 2..L.Δr = ΔVol
   
r
L
PP
r
rr
Lrrrxrrrrx .
..
0 




 










 
 
 
  22
0
rrr
Lxx
rrr
xx rVrV



 
LLx
PP 

Balanço da Quantidade de 
Movimento
Equação diferencial para o
fluxo de quantidade de
movimento τrx por atrito
viscoso.
Esta é a definição da 1ª derivada de τrx com relação a r.
  r
L
PP
r
dr
d L
rx ..
0 




 

 
r
L
PP
r
r
Lrrrxrrrrx
r
.
.
lim 0
0





 











Balanço da Quantidade de 
Movimento
Perfil do fluxo de quantidade de
movimento ou da tensão de
cisalhamento.
Condição de contorno: Em r = 0 (centro do tubo), τrx tem um valor finito.
Neste caso, C1 = 0, pois para qualquer valor de C1  0, C1 /r assumiria valor
infinito.
  drr
L
PP
rd Lrx  




 
 .. 0 1
2
0
2
.. C
r
L
PP
r Lrx 




 

r
Cr
L
PP L
rx
10
2
. 




 

Se o fluido é Newtoniano: 
dr
dVx
rx  
r
L
PP
dr
dV Lx 




 

.2
0
 




 
 drr
L
PP
dV Lx ..
..2
0

2
20 .
..4
Cr
L
PP
V Lx 




 


Alguns resultados que podem ser obtidos a partir da equação anterior:
1) Velocidade Vx mínima ocorre para r = R. → Vx,min = 0. 
 
L
RPP
V Lmáxx
..4
. 20
, 


2) Velocidade Vx máxima ocorre para r = 0. →
 
 





2
0 0
2
0 0
R
R
x
x
rdrd
drdrV
V
Soma de todo o volume líquido 
que atravessa a área R2 por 
unidade de tempo. 
Área de seção transversal por 
onde o líquido escoa = R2 
3) Velocidade média ao longo de toda a seção transversal do tubo (área R2).
Alguns resultados que podem ser obtidos a partir da equação anterior:
 
max,
2
0
2
1
8
x
L
x V
L
RPP
V 



4) Vazão volumétrica:
L
RPP
rdrdVV L
R
x 


8
)( 40
2
0 0

  

Velocidade média
Vazão volumétrica = Área de seção transversal x Velocidade média
Lei de Hagen-
Poiseuille
L
RPP
L
RPPR
V LL 



8
)(
8
)( 40
2
0
2 




Comentários sobre as hipóteses adotadas: 
• Escoamento laminar: no interior do tubo, o número de Reynolds é
definido como:
 = Densidade do fluido
= Velocidade média de escoamento
D = Diâmetro interno do tubo
µ = Viscosidade do fluido
2° Caso: Escoamento no interior de tubos 
horizontais. 

 DVxRe
  3m
kg
xV  
s
mxV
  mD
 
m.s
kg
Re ≤ 2100 → Escoamento laminar
2100 ≤ Re ≤ 10000 → Transição
Re ≥ 10000 → Escoamento turbulento
2° Caso: Escoamento no interior de tubos 
horizontais. 
  al Adimension
.
Re
3

sm
kg
m
s
m
m
kg
 
 viscosasForças
inerciais Forças
Re 
Hipóteses:
• Propriedade Físicas Constantes:
µ é função da temperatura e da composição; no caso de fluido a temperatura
constrante e composição uniforme µ é constante.
 é função da temperatura, pressão e da composição; no caso de líquidos
homogêneos e com pouca variação de temperatura  constrante é sempre uma boa
hipótese (fluidos incompreensíveis); no caso de gases ou vapores é necessário que a
pressão seja baixa e varie pouco (fluidos compressíveis).
• Efeitos de entrada e saída da tubulação horizontal, os quais perturbam o escoamento
laminar, devem ser desprezados.
Os resultados se aplicam após um comprimento de entrada Le = 0,035.D.Re, o
qual garante perfil parabólico perfeitamente desenvolvido;
• Não há deslizamento na interface fluido-sólido (superfície da parede sólida) 
hipótese do não-deslizamento;
• Fluido é um meio contínuo;
Escoamentos em filme de interesse industrial 
Evaporadores de película (ou filme) descendente  o fluido a ser
concentrado por evaporação escoa descendentemente em um
filme de espessura fina formado sobre a superfície interna de
tubos verticais. Se  <<< R, pode-se desprezar o efeito de
curvatura da geometria cilíndrica.
Neste caso as equações anteriores são válidas com cos() = 1,
pois os tubos são verticais.