Conceitos de Eletromagnetismo para Análise de Antenas

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Conceitos de Eletromagnetismo
para a Análise de Antenas
Fernando J. S. Moreira
GAPTEM - Grupo de Antenas, Propagação e Teoria Eletromagnética
Departamento de Engenharia Eletrônica
Universidade Federal de Minas Gerais
31 de julho de 2001
Prefácio
Estas notas foram preparadas como texto complementar para as disciplinas envolvendo
teoria eletromagnética. Alguns conceitos envolvem tópicos vistos apenas em cursos de
pós-graduação, mas em geral qualquer aluno com noções básicas em eletromagnetismo e
cálculo pode acompanhar o texto.
É importante observar que estas notas não foram revisadas apropriadamente, além
de estarem bastante incompletas e com erros de ortogra�a. Estas notas não devem, de
maneira alguma, substituir os livros-texto.
2
Sumário
1 Introdução 5
1.1 Tipos de Sistemas de Comunicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Comunicação Através de Meios Guiados . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Comunicação através da atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Sistemas de Antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Propagação de Ondas Eletromagnaéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Espectro Radioelétrico e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Fundamentos de Teoria Eletromagnética para um Regime Harmônico 11
2.1 Fontes, Cargas e Correntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Representação Fasorial do Campo Eletromagnético e a Relação com a
Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Relações Constitutivas e Características do Meio . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Permissividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2 Perda de Polarização em um Meio Dispersivo . . . . . . . . . . . . 20
2.4.3 Permeabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.4 Perdas Magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.5 Condutividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.6 Meios Lineares, Homogêneos e Isotrópicos . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.7 Permissividade Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Conceito de Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Equações de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7.1 Interface sem Correntes ou Cargas Impressas . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.2 Condutividades In�nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.3 Algumas Considerações sobre as Condições de Contorno . . . . . . 33
2.8 Potência e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8.1 Conservação da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8.2 Potência Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.8.3 Energia Média Armazenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8.4 Potência Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 SUMÁRIO
3 Radiação 43
3.1 Princípio da Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Potenciais Vetoriais Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Potencial Vetor Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Potencial Vetor Elétrico e a Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.3 Solução Integral dos Potenciais Vetoriais Auxiliares . . . . . . . . . 50
3.2.4 Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Integrais de Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.1 Campo Radiado por Fontes em um Meio Contínuo . . . . . . . . . 58
3.3.2 Campo Próximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.3 Campo Distante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.4 Relações para o Campo Distante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.5 Equações Integrais Através do Teorema de Green . . . . . . . . . . 65
3.4 Potência Radiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 O Dipolo In�nitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Alguns Teoremas Fundamentais 75
4.1 Teorema da Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Teoria das Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 Princípio da Equivalência para Aberturas em Planos In�nitos . . . . . . . 81
4.4 Teorema da Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5 Ótica Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6 Teorema da Reciprocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Parâmetros de Caracterização das Antenas 93
5.1 Intensidade de Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2 Diretividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Impedância de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 E�ciência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4.1 Coe�ciente de Re�exão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.5 Ganho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.6 Diagrama de Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7 Polarização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.7.1 Polarização Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.7.2 Polarização Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.7.3 Polarização Elíptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.7.4 As De�nições de Ludwig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.7.5 Polarizações Ortogonais: Principal e Cruzada . . . . . . . . . . . . 116
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Capítulo 1
Introdução
1.1 Tipos de Sistemas de Comunicação
Há dois grupos básicos de sistemas de comunicação:
� sistemas aonde a informação é transmitida através de meios guiados como linhas de
transmissão (por ex., cabos coaxiais), guias de onda e �bras ópticas;
� sistemas aonde a atmosfera é o �canal de propagação� (sem �o).
Basicamente, o primeiro grupo é utilizado em áreas densamente povoadas, quando
justi�ca-se os gastos relacionados à implantação e à manutenção de enlaces através de
linhas de transmissão e guias de onda (i.e., uma única �linha� é capaz de atender a diversos
usuários numa determinada região). Como os meios guiados são geralmente mais bem
�comportados� do que o meio atmosférico, é possível a transmissão de dados com altas
taxas e maior con�abilidade. Por outro lado, a transmissão de dados através da atmosfera
permite uma maior �exibilidade em relação à posição entre transmissor e receptor (por
exemplo, radiodifusão, comunicação móvel celular, etc.). Ela também justi�ca-se quando
a distância entre transmissor e receptor for elevada (telefonia rural, comunicação via
satélite, etc.).
Os sistemas de comunicação sem �o requerem estudos especí�cos sobre a propagação
de ondas radioelétricas e sobre as antenas a serem utilizadas na recepção e/ou transmis-
são destas ondas. Em particular, há um grande interesse no desenvolvimento de mod-
elos/técnicas para a predição da cobertura oferecida por uma base transmissora numa
determinada área (em sistemas ponto-multiponto) ou enlace (ponto-a-ponto). Estas téc-
nicas são baseadas em modelosclássicos (geralmente bastante aproximados), empíricos
(obtidos e ajustados através de medições no local da cobertura), determinísticos (basea-
dos em soluções assintóticas e/ou numéricas das equações de Maxwell) e, �nalmente, em
combinações destes modelos. Técnicas e modelos mais precisos são de suma importância,
já que, numa visão simpli�cada do problema, estão diretamente relacionados à implemen-
tação, manutenção e operação de sistemas de comunicação sem �o com menores custos.
6 Introdução
1.1.1 Comunicação Através de Meios Guiados
Alguns exemplos de meios guiados são:
1. linhas de transmissão �par-trançado�: são extremamente baratas e maleáveis. Para
frequências em torno de 10 KHz, introduzem perdas de até 3 dB/Km. Como o es-
pectro da voz humana possui uma largura de faixa signi�cativa de cerca de 4 KHz,
o par-trançado é apropriado para utilização em telefonia �xa (e também para trans-
missão de dados a taxas pequenas).
2. cabos coaxiais: são relativamente mais caros. Porém, permitem a transmissão de
taxas mais elevads de dados (perdas em torno de 5 dB/Km). São muito utilizados
na transmissão de sinais de vídeo (TV a cabo).
3. �bras ópticas: no começo dos anos 80, foi possível a fabricação destes guias com
perdas inferiores a 1 dB/Km. Operam geralmente na região infravermelha do es-
pectro eletromagnético (� 10
14
Hz) e são ideais para a transmissão de dados com
taxas extremamente elevadas.
1.1.2 Comunicação através da atmosfera
Este mecanismo é utilizado desde os tempos do telégrafo sem �o e teve seus tempos áureos
com o advento da radiodifusão (rádio e TV). Outra época marcante ocorreu nos anos 70,
através das comunicações via satélite. Teve seu interesse ofuscado nos anos 80 com o
surgimento de enlaces ópticos com baixas perdas. Porém, graças ao desenvolvimento das
comunicações sem �o (em particular da telefonia móvel celular e, mais recentemente, da
Internet sem �o), ganhou novamente destaque nos anos 90.
Um enlace através da atmosfera geralmente apresenta perdas maiores do que um enlace
óptico. Porém, ele permite uma maior �exibilidade no posicionamento relativo entre
transmissor e receptor (mobilidade).
1.2 Sistemas de Antenas
As antenas e suas geometrias variam de acordo com a aplicação. Por exemplo, as antenas
dos �rádios de pilha� são geralmente constituídas por monopolos, permitindo a recepção
de ondas radioelétricas vindas de diversas direções (nunca se sabe onde o ouvinte poderá
estar). Uma antena log-periódica ou uma Yagi-Uda (as �espinhas de peixe� frequente-
mente encontradas no alto de casas e prédios) possuem uma diretividade maior do que
a do monopolo (ou seja, elas transmitem/recebem numa dada direção preferencial) e são
muito utilizadas na recepção de TV (desde que você as aponte na direção certa). Um
re�etor parabólico possui uma diretividade ainda mais elevada e é bastante utilizado em
comunicações via satélite e em enlaces de microondas (comunicações ponto-a-ponto).
Em geral, quanto maior for a antena em comprimentos de onda, maior será sua di-
retividade (capacidade de concentrar/receber energia eletromagnética em/de uma dada
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1.3 Propagação de Ondas Eletromagnaéticas 7
Figura 1.1: Radiodifusão AM.
direção). É fundamental conhecer as dimensões elétricas da antena (dimensões físicas em
relação ao comprimento de onda).
1.3 Propagação de Ondas Eletromagnaéticas
A propagação de ondas radioelétricas depende tanto das antenas utilizadas como do meio
que �envolve� o enlace. Seguem alguns exemplos:
1. Radiodifusão AM (de 0,55 MHz até 1,6 MHz): as antenas utilizadas para a transmis-
são são torres metálicas (monopolos, como apresentado na Fig. 1.1). Estes monopo-
los tem que possuir um comprimento da ordem de 1/4 do comprimento de onda
(� 100 m). A propagação ocorre basicamente através de uma onda de superfície,
que sofre uma atenuação aproximadamente proporcional ao inverso da distância
antena/usuário elevada a quarta potência (no espaço livre a dependência é com a
segunda potência). Para uma transmissão com uma razão sinal-ruído adequada,
uma elevada potência de transmissão é exigida (desde 50 KW até 500 KW).
2. Refração ionosférica (de 3 MHz até 30 MHz): as antenas ainda possuem elevadas
dimensões físicas. Até cerca de 30 MHz, a ionosfera funciona como um �espelho�
(bom condutor elétrico), re�etindo boa parte da radiação eletromagnética (Fig. 1.2).
Este mecanismo permite a transmissão de rádio a longas distâncias (por exemplo,
radiodifusão entre continentes e rádio amador). As propriedades refrativas da ionos-
fera dependem da densidade de íons nesta camada, a qual varia com a intensidade
da radiação solar (a densidade de dia é mais baixa devido à expansão deste meio
com o calor). Por isso, é mais fácil captar rádios internacionais à noite.
3. VHF e UHF (de 30 MHz até 3.000 MHz): nesta faixa de fraquência, a refração ionos-
férica não pode mais ser utilizada (a radiação eletromagnética atravessa a ionosfera
acima de 40 MHz). Tão pouco pode-se utilizar a onda de superfície adotada na
radiodifusão AM (elevadas atenuações, ruído, etc.). Felizmente, o comprimento de
Conceitos de Eletromagnetismo para a Análise de Antenas
8 Introdução
Figura 1.2: Refração ionosférica.
Figura 1.3: Enlace UHF / VHF.
onda é relativamente reduzido (entre 10 e 0,1 m ao longo da faixa), o que signi�ca
que antenas e�cientes podem possuir reduzidas dimensões físicas e podem ser colo-
cadas no alto de torres, como representado na Fig. 1.3 (neste caso, a torre funciona
apenas como suporte, diferentemente da �torre� de uma estação de rádio AM). O
principal mecanismo de propagação é a visada direta, mas cuidados devem ser toma-
dos com as atenuações e com os desvanecimentos causados pelas contribuições das
ondas re�etidas pelo solo, variações do índice de refração da atmosfera, etc..
4. SHF e EHF (de 3 GHz até 300 GHz): espectro das microondas e ondas milimétricas.
Nestas frequências são utilizadas, em geral, antenas re�etoras com altas diretivi-
dades. Estas antenas podem possuir dimensões elétricas da ordem de centenas de
comprimentos de onda. O mecanismo de propagação é a visada direta. Quando o
comprimento de onda é da ordem do milímetro (� 30 GHz) ou menor, as atenu-
ações causadas pela atmosfera e pela chuva passam a ser fatores determinantes na
distância entre transmissor e receptor. Um exemplo de aplicação é em comunicações
via satélite (Fig. 1.4), que ocorrem tipicamente entre 3 e 30 GHz (pelo menos por
enquanto).
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1.4 Espectro Radioelétrico e Aplicações 9
Figura 1.4: Comunicação via satélite.
1.4 Espectro Radioelétrico e Aplicações
Na Tabela 1.1 são apresentados alguns exemplos de utilização do espectro eletromagnético
para radiofrequências:
Conceitos de Eletromagnetismo para a Análise de Antenas
10 Introdução
Faixa Principal Mecanismo
de Propagação
Aplicações
VLF (Very Low
Frequency) 3�
30 KHz
�Guia de onda� entre
o solo e a ionosfera
Radionavegação, móvel marítmo,
radiolocalização, sonar
LF (Low Frequen-
cy) 30�300 KHz
�Guia de onda� entre
o solo e a ionosfera,
onda de superfície
Radionavegação, móvel marítmo,
radiolocalização, sonar
MF (Medium
Frequency) 300�
3.000 KHz
Onda de superfície,
refração ionosférica
(a noite)
Radiodifusão AM, radionaveg-
ação, móvel marítmo, frequência
padrão
HF (High Fre-
quency) 3�
30 MHz
Refração ionosférica Telefonia �xa e móvel a lon-
ga distância, radiodifusão inter-
nacional, rádio amador, comuni-
cação navio-costa e navio-avião
VHF (Very
High Frequency)
30�300 MHz
Propagação tropos-
férica: visibilidade
direta, difraçãoe di-
fusão
Telefonia, radiodifusão (FM e
TV), rádio amador, radioastrono-
mia, radionavegação, serviços
para polícia, táxis, caminhões,
etc.
UHF (Ultra High
Frequency) 300�
3.000 MHz
Propagação tropos-
férica: visibilidade
direta, difração e di-
fusão
Telefonia móvel celular, radiod-
ifusão UHF, rádio amador, ra-
dioastronomia, radionavegação,
radar
SHF (Super
High Frequency)
3�30 GHz
Visibilidade direta Enlaces de microondas, sistemas
de média e alta capacidade
de transmissão, comunicação via
satélite, radioastronomia, radion-
avegação, radar
EHF (Extremely
High Frequency)
30�300 GHz
Visibilidade direta Radar. Muitas possíveis apli-
cações ainda em fase experimen-
tal.
Tabela 1.1: Espectro eletromagnético e algumas aplicações.
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Capítulo 2
Fundamentos de Teoria
Eletromagnética para um Regime
Harmônico
Os dispositivos físicos utilizados em sistemas de comunicações (por exemplo, antenas,
linhas de transmissão, guias de onda, �ltros de microondas, cavidades ressonantes, etc.)
servem para transmitir e/ou receber um campo eletromagnético contendo algum tipo
de informação (sinal) modulada na amplitude, fase e/ou polarização deste campo. Este
sinal ocupa uma certa faixa espectral (denominada faixa de operação) e, idealmente, os
dispositivos devem possuir características elétricas uniformes ao longo desta faixa para
minimizar distorções no sinal.
O projeto e a análise destes dispositivos podem ser realizados no domínio do tempo ou
no da frequência, relacionados entre si através de uma transformação de Fourier apropria-
da [1]. Na prática, a faixa de operação é limitada, permitindo que o projeto seja realizado
num conjunto discreto e �nito de frequências localizadas ao longo desta faixa. Desde que
o número de frequências discretas não seja proibitivamente grande, em geral é pre�rível
realizar o projeto e a análise destes dispositivos no domínio da frequência. Neste caso,
a resposta temporal pode ser obtida através de uma transformação inversa de Fourier
discreta [1]. A análise no domínio da frequência também é preferível por envolver uma
formulação matemática (baseada nas equações de Maxwell no domínio do tempo) menos
envolvente.
Logo, iremos lidar basicamente com campos eletromagnéticos harmônico-temporais
(ou seja, campos que variam senoidalmente com o tempo) com apenas uma única compo-
nente em frequência (sinal com único tom). O campo harmônico-temporal, associado a
uma dada frequência, pode ser então interpretado como uma das componentes da transfor-
mação de Fourier de um campo temporal mais complexo, como mencionado anteriormente.
Este tratamento facilita de sobremaneira a formulação a ser apresentada. No mais, todo
o campo eletromagnético no domínio do tempo (associado a algum sinal de informação)
pode ser decomposto em componentes harmônicas através de uma serie ou transformada
12 Fundamentos de Teoria Eletromagnética para um Regime Harmônico
de Fourier apropriada, de forma que o tratamento a ser apresentado pode, em princípio,
ser aplicado a qualquer tipo de problema prático.
Convém deixar claro neste momento que a formulação que se segue visa primordial-
mente aplicações envolvendo meios lineares, homogêneos e isotrópicos, ou aqueles que
podem ser aproximados como tal ao longo da faixa de operação. Porém, o tratamento
matemático será conduzido da maneira mais geral possível, sempre que isto não sobrecar-
regar a formulação. Perdas e dispersão serão consideradas de maneira uniforme através
de uma representação apropriada das relações constitutivas do meio no domínio da fre-
quência.
2.1 Fontes, Cargas e Correntes
O campo eletromagnético é gerado por fontes de cargas e correntes elétricas (lembrando
que corrente representa carga em movimento). Quando o campo incide em um determina-
do obstáculo (por exemplo, uma superfície condutora), é possível que haja uma indução
de novas distribuições de cargas e correntes neste obstáculo. Estas, por sua vez, podem
ser interpretadas como fontes do campo espalhado pelo obstáculo.
O conceito de fonte é de extrema importância em teoria eletromagnética e diversos
problemas podem ser resolvidos com mais facilidade se conseguirmos distinguir as cargas e
correntes que efetivamente geram o campo eletromagnético (fontes) das que são induzidas
devido à interação do campo com o meio. Para tentar ilustrar a diferença entre elas, pense
no seguinte: alterações nas fontes provocam, consequentemente, alterações no campo e nas
cargas e correntes induzidas, mesmo quando o meio permanece inalterado. Por outro lado,
pode-se alterar o meio e, consequentemente, o campo e as cargas e correntes induzidas,
sem que para isto haja a necessidade de se alterar as fontes. Ou seja, as fontes independem
do meio; elas são impostas ao problema.
Neste texto iremos considerar cargas e correntes de dois tipos distintos: cargas e cor-
rentes impressas (representando as fontes propriamente ditas, impostas ao problema) e
cargas e correntes induzidas pela interação do campo eletromagnético com o meio (por
exemplo, aquelas associadas à condutividade do meio). As densidades de correntes elétri-
cas impressas e induzidas serão representadas por
~
J e
~
J
c
, respectivamente. Note que
nenhum índice especial será aplicado na corrente
~
J , simplesmente para não carregar a
notação (já que esta corrente impressa aparecerá exaustivamente na formulação deste tex-
to). Porém, o leitor deve tomar cuidado para não confundí-la com a corrente total. Por
sua vez, as densidades de cargas elétricas associadas às correntes impressas e induzidas
serão representadas por %
e
e %
ec
, respectivamente.
As cargas e correntes induzidas podem ser interpretadas de diferentes modos. Por
exemplo, dependendo da mobilidade de cargas livres dentro de um determinado meio
condutor, a presença de campo elétrico poderá fazer com que estas cargas se movam
em uma dada direção, movimento este associado à uma corrente de condução (relativa
às perdas ohmicas neste meio). Podemos ter também perdas associadas à inércia da
estrutura molecular de um certo meio dielétrico em se reorientar perante a variação do
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2.2 Representação Fasorial do Campo Eletromagnético e a Relação com a
Transformada de Fourier 13
campo elétrico aplicado, de�nida como uma perda de polarização e que pode ser associada
a uma corrente de polarização. De uma forma geral, é difícil distinguir uma da outra na
prática (ou seja, através de medições em laboratório), já que o efeito é invariavelmente o
mesmo: a atenuação do campo pelas perdas e a consequente distorção do sinal transmitido
pela dispersão temporal. Todas estas perdas, ohnicas ou dispersivas, serão tratadas de
maneira uniforme através do tratamento apropriado das relações constitutivas do meio.
Como consequência, após este tratamento apenas as fontes impressas
~
J e %
e
precisarão
ser consideradas explicitamente na formulação.
Para �nalizar, mais adiante (Seção 2.5) o conceito de dualidade será introduzido,
quando então serão de�nidas cargas e correntes magnéticas de maneira análoga à efetuada
para as grandezas elétricas correspondentes.
2.2 Representação Fasorial do Campo Eletromagnético
e a Relação com a Transformada de Fourier
Nesta seção, iremos de�nir a notação fasorial para a representação do campo eletromag-
nético e das cargas e correntes associadas no regime harmônico-temporal. Inicialmente,
estudaremos o comportamento do campo elétrico, mas o estudo a ser apresentado se aplica
diretamente às demais grandezas. Vamos também, por um momento, esquecer a natureza
vetorial destecampo. Como dito no início deste capítulo, o campo no domínio do tempo
pode ser decomposto em componentes harmônicas. Seja então
E(~r; t) = A
n
(~r; !
n
) cos[!
n
t+ '
n
(~r; !
n
)] (2.1)
uma destas componentes, ondeA
n
(~r; !
n
) representa toda a variação da componente em re-
lação a posição ~r onde ela é observada (podendo ser também dependente de !
n
), '
n
(~r; !
n
)
é a fase desta componente (geralmente dependente de ~r e !
n
) e !
n
= 2�f
n
é a frequência
angular, onde f
n
é a frequência associada. Sabendo que
cos(!
n
t+ '
n
) = <
�
e
j(!
n
t+'
n
)
�
(2.2)
podemos representar E(~r; t) como
E(~r; t) = <
�
E(~r; !
n
) e
j!
n
t
�
; (2.3)
onde < representa a parte real de uma dada grandeza complexa e '
n
foi incorporada no
fasor E(~r; !
n
) representando o campo elétrico:
E(~r; !
n
) = A
n
(~r; !
n
) e
j'
n
(~r;!
n
)
: (2.4)
Na realidade, o campo elétrico é um campo vetorial. Desta forma, a análise anterior
deve ser aplicada a todas as suas componentes vetorias, ou seja:
~
E(~r; t) = <
h
~
E(~r; !
n
) e
j!
n
t
i
; (2.5)
Conceitos de Eletromagnetismo para a Análise de Antenas
14 Fundamentos de Teoria Eletromagnética para um Regime Harmônico
onde, nas bases de coordenadas usuais,
~
E(~r; !
n
) =
8
<
:
E
x
(~r; !
n
)x^+ E
y
(~r; !
n
)y^ + E
z
(~r; !
n
)z^; Cartesianas;
E
�
(~r; !
n
)�^+ E
�
(~r; !
n
)
^
�+ E
z
(~r; !
n
)z^; cilíndricas;
E
r
(~r; !
n
)r^ + E
�
(~r; !
n
)
^
� + E
�
(~r; !
n
)
^
�; esféricas;
(2.6)
Nas equações acima, cada uma das componentes vetoriais E
n
(~r; !
n
) é um fasor (represen-
tado como um número complexo) e o vetor unitário representa a direção da componente
associada (ou seja, x^ representa a direção x). Logo,
~
E(~r; !
n
) é um vetor com componentes
fasorias, dependentes apenas da posição ~r e da frequência angular !
n
. Para obtermos a
componente temporal, basta fazer a operação inversa, apresentada na Eq. 2.5.
A vantagem da notação fasorial �cará mais clara nas próximas seções. Porém, é
interessante associar esta notação com a transformada de Fourier da grandeza temporal
associada. A de�nição da transformada será dada pelo seguinte par de equações:
F ff(t)g = F (!) =
Z
1
�1
f(t) e
�j!t
dt ; (2.7)
F
�1
fF (!)g = f(t) =
1
2�
Z
1
�1
F (!) e
+j!t
d! ; (2.8)
notando que esta é uma dentre as várias possíveis de�nições da transformada [1]. Da
Eq. 2.1, agora utilizando a notação vetorial, tem-se então que [1]:
F
n
~
E(~r; t)
o
=
Z
1
�1
~
A(~r; !
n
) cos[!
n
t+ '(~r; !
n
)] e
�j!t
dt
= �
h
~
A(~r; !
n
) e
j'(~r;!
n
)
Æ(! � !
n
) +
~
A(~r; !
n
) e
�j'(~r;!
n
)
Æ(! + !
n
)
i
= �
h
~
E(~r; !
n
) Æ(! � !
n
) +
~
E
�
(~r; !
n
) Æ(! + !
n
)
i
; (2.9)
onde o símbolo � representa o complexo conjugado. Na obtenção do resultado anterior
foi também utilizada a propriedade de que a transformada de Fourier de uma grandeza
real possui parte real par em relação a ! e parte imaginária ímpar [1]. A Eq. 2.9 nos dá
a relação entre a notação fasorial com a transformada de Fourier da grandeza harmônica
correspondente. Não é difícil obter a relação dada pela Eq. 2.5 diretamente das Eqs. 2.8
e 2.9 (veri�que).
De maneira análoga pode-se também mostrar que, para o campo harmônico-temporal:
F
�
@
@t
~
E(~r; t)
�
= �
h
j!
n
~
E(~r; !
n
) Æ(! � !
n
)� j!
n
~
E
�
(~r; !
n
) Æ(! + !
n
)
i
: (2.10)
Finalmente, vale ressaltar que no decorrer deste texto a variável !
n
será simplesmente
representada por ! na representação fasorial, já que ela é constante (ou seja, ! = !
n
) no
regime harmônico.
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2001 - DELT/UFMG
2.3 Equações de Maxwell 15
2.3 Equações de Maxwell
As equações de Maxwell na forma diferencial e no domínio do tempo são bem conhecidas,
bem como a história por trás do desenvolvimento da teoria eletromagnética [2]. Apesar
destas equações serem atribuídas exclusivamente a James Clerk Maxwell (1831 - 1879),
elas retratam as contribuições de diversos pesquisadores, em especial Hans Christian Oer-
sted (1777 - 1851), André-Marie Ampère (1775 - 1836) e Michael Faraday (1791 - 1867).
Além disso, o trabalho original de Maxwell apresenta 20 equações com 20 variáveis: as
3 componentes dos 4 campos vetorias, as 3 componentes da corrente elétrica, a carga
elétrica, e mais as 3 componentes do potencial vetor e o potencial escalar. Maxwell,
aparentemente, não foi capaz de inferir a dependência dos potenciais em relação aos de-
mais parâmetros. Ele também postulou a existência de ummeio mecânico para justi�car a
corrente de deslocamento, o que causou forte oposição à sua teoria na época. Além disso,
Maxwell em nenhum momento propõe a possibilidade de propagação de ondas eletro-
magnéticas além a da própria luz e nem vislumbra a possibilidade de gerar tais ondas
eletricamente. Alguns pesquisadores, inclusive, defendem que Maxwell achava tal geração
impossível.
Os primeiros a intuirem (dos resultados de Maxwell) a possibilidade de ondas eletro-
magnéticas propagando com velocidade �nita e igual à da luz (por isso a expressão veloci-
dade da luz, utilizada até hoje) foram George Francis FitzGerald (1851 - 1901) e Oliver
Lodge (1851 - 1940), entre 1879 e 1883, ou seja, após a morte de Maxwell. Porém, eles
não conseguiram encontrar meios de gerar, detectar e, consequentemente, demonstrar tal
propagação eletromagnética. Isto só foi conseguido por Heinrich Hertz (1857 - 1894) em
1887, o qual, aparentemente, não tinha conhecimento das idéias de FitzGerald e Lodge.
Os resultados de Hertz só vieram a ser conhecidos após a publicação de seu trabalho em
1888 e foram rapidamente aclamados pela comunidade cientí�ca. Os trabalhos de Hertz,
FitzGerald e Lodge permitiram o reconhecimento do trabalho de Maxwell.
Ao longo do seu trabalho, Hertz também foi um dos primeiros a perceber que os poten-
ciais vetor e escalar são dependentes dos campos e fontes, simpli�cando as equações pro-
postas por Maxwell em 1884. Esta simpli�cação também foi, de maneira aparentemente
independente, elaborada por Oliver Heaviside (1850 - 1925), o qual inclusive estabeleceu
o operador Nabla (r) e condensou as equações de Maxwell no formato vetor-diferencial
utilizado até os dias de hoje. Por estes motivos, Eisntein referia-se às equações que regem
a teoria eletromagnética como as equações de Maxwell-Hertz. Além disso, por ter sido
um dos primeiros a vislumbrar a possibilidade da radiação eletromagnética e por ter sido
o primeiro a gerar, transmitir e detectar a radiação eletromagnética com o intuito con-
sciente de demonstrar o trabalho de Maxwell, Hertz é considerado por muitos como o
verdadeiro pai da transmissão via rádio, o que é fortemente contestado pelos admiradores
de Marconi.
Antecipando o tratamento diferenciado entre as fontes (cargas e correntes impressas)
e as cargas e correntes induzidas, vamos representá-las dentro das equações de Maxwell
Conceitos de Eletromagnetismo para a Análise de Antenas
16 Fundamentos de Teoria Eletromagnética para um Regime Harmônico
separadas umas das outras, de forma que:
r�
~
E(~r; t) = �
@
@t
~
B(~r; t) ; lei de Faraday; (2.11)
r�
~
H(~r; t) =
~J (~r; t) +
~
J
c
(~r; t) +
@
@t
~
D(~r; t) ; lei de Ampère; (2.12)
r �
~
D(~r; t) = %
e
(~r; t) + %
ec
(~r; t) ; lei de Gauss; (2.13)
r �
~
B(~r; t) = 0 ; lei de Gauss �magnética�, (2.14)
onde
~
E(~r; t) é o vetor campo elétrico (V/m);
~
H(~r; t) é o vetor campo magnético (A/m);
~
D(~r; t) é o vetor densidade de �uxo elétrico (Coulombs/m
2
);
~
B(~r; t) é o vetor densidade de �uxo magnético (Webers/m
2
);
~
J (~r; t) é o vetor densidade de corrente elétrica impressa (A/m
2
, para densidade volumétri-
ca);
~
J
c
(~r; t) é o vetor densidade de corrente elétrica induzida (A/m
2
, para densidade volumétri-
ca);
%
e
(~r; t) é a densidade de carga elétrica impressa (Coulombs/m
3
, para densidade volumétri-
ca);
%
ec
(~r; t) é a densidade de carga elétrica induzida (Coulombs/m
3
, para densidade volumétri-
ca).
Das leis de Ampère e de Gauss obtem-se a equação da continuidade para as cargas
elétricas:
r � (r�
~
H) = 0 = r �
~
J +
@
@t
r �
~
D
) r �
~
J (~r; t) = �
@
@t
%
e
(~r; t) (2.15)
r �
~
J
c
(~r; t) = �
@
@t
%
ec
(~r; t) (2.16)
Podemos agora aplicar as de�nições representadas pelas Eqs. 2.9 e 2.10 nas equações
de Maxwell para obtê-las no formato fasorial, que obviamente serão válidas apenas no
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2.4 Relações Constitutivas e Características do Meio 17
regime harmônico-temporal. Por exemplo, da lei de Faraday e lembrando que o operador
r opera apenas sobre ~r:
F
n
r�
~
E(~r; t)
o
= r�F
n
~
E(~r; t)
o
= �r�
h
~
E(~r) Æ(! � !
n
) +
~
E
�
(~r) Æ(! + !
n
)
i
=
�F
�
@
@t
~
B(~r; t)
�
= ��
h
j!
n
~
B(~r) Æ(! � !
n
)� j!
n
~
B
�
(~r) Æ(! + !
n
)
i
: (2.17)
Consequentemente, igualando os resultados em ! = �!
n
:
r�
~
E(~r) = �j!
~
B(~r): (2.18)
Os passos apresentados acima podem ser repetidos para as demais equações de Maxwell,
de forma que elas podem ser reescritas, já no formato fasorial, como:
r�
~
E(~r) = �j!
~
B(~r) ; lei de Faraday; (2.19)
r�
~
H(~r) =
~
J(~r) +
~
J
c
(~r) + j!
~
D(~r) ; lei de Ampère; (2.20)
r �
~
D(~r) = �
e
(~r) + �
ec
(~r) ; lei de Gauss; (2.21)
r �
~
B(~r) = 0; lei de Gauss �magnética�, (2.22)
juntamente com a equação da continuidade da carga elétrica:
r �
~
J(~r) = �j!�
e
(~r) ; (2.23)
r �
~
J
c
(~r) = �j!�
ec
(~r) : (2.24)
Caso desejarmos obter a componente harmônico-temporal de um campo ou fonte direta-
mente da sua representação fasorial, basta aplicar a de�nição da Eq. 2.9 ou, de maneira
mais direta, a Eq. 2.5, neste caso lembrando de multiplicar o fasor pelo termo exp(j!t)
antes de obter a parte real.
A grande vantagem de representar as equações de Maxwell através da notação fasorial
apresentada nas Eqs. 2.19�2.24 é que as fórmulas passam a ser completamente indepen-
dentes do tempo, simpli�cando a análise matemática.
2.4 Relações Constitutivas e Características do Meio
Um meio é de�nido conforme o comportamento de suas características físicas. Por ex-
emplo, se estas características não dependem da intensidade do campo aplicado, o meio
é dito linear. Na realidade nenhum meio é linear (exceto o vácuo ideal). Um exemplo
típico é o da rigidez dielétrica. Em alguns casos, quando a intensidade do campo elétrico
aplicado ultrapassa um certo limite, notam-se faíscas associadas ao brusco movimento de
cargas (por exemplo, o relâmpago). Nestas condições o meio apresenta um alto grau de
Conceitos de Eletromagnetismo para a Análise de Antenas
18 Fundamentos de Teoria Eletromagnética para um Regime Harmônico
não-linearidade. Porém, dentro de certos limites de intensidade de campo, o meio pode
ser aproximado como linear ao longo de uma faixa de operação �nita em radio-frequência.
Se as características do meio não variam com a posição ~r, então o meio é dito ho-
mogêneo. Fora o vácuo, todos os meios práticos são não-homogêneos, mas podem ser
aproximados como homogêneos desde que as características variem muito pouco em um
espaço comparável ao comprimento de onda no meio. Um exemplo de não homogeneidade
é a presença de dutos troposféricos na atmosfera, que afetam de sobremaneira os enlaces
de rádio-frequência [3].
O meio é de�nido como isotrópico quando suas características não dependem da ori-
entação (polarização) do campo aplicado. Em geral os dielétricos e condutores podem ser
considerados isotrópicos. Exemplos típicos de meios não-isotrópicos são os cristais uti-
lizados em aplicações eletro-ópticas [4]. Nestes cristais, a estrutura molecular possui um
alto nível de organização (rede cristalina), de tal forma que a polarização das moléculas
frente ao campo elétrico aplicado depende da orientação deste campo em relação a rede
cristalina.
O meio é dito não-dispersivo quando as suas características não variam com a fre-
quência. Em geral os meios apresentam um comportamento dispersivo, como no caso da
permissividade em dielétricos e da permeabilidade em materiais ferromagnéticos. Porém,
nos casos onde estas variações não forem muito proeminentes e, em particular, nas apli-
cações onde a faixa de operação for relativamente estreita, o meio pode ser aproximado
como não-disperssivo, principalmente para os dielétricos.
O conceito de dispersão, porém, pode ser tornar ámbíguo em alguns casos. Por exem-
plo, um meio condutor pode ser aproximado como não-dispersivo, ou seja, sua condutivi-
dade não varia consideravelmente com a frequência, desde que operando em frequências
não superiores às do espectro infra-vermelho. Porém, as perdas ohmicas associadas à
condutividade farão com que haja uma dispersão temporal do sinal transmitido, mais ou
menos intensa dependendo da condutividade do meio. Efeitos análogos ocorrem também
em um dielétrico dispersivo (ou seja, aquele para o qual a permissividade varia com a
frequência), e as consequências são basicamente as mesmas desde que o dielétrico seja lin-
ear, homogêneo e isotrópico. Para tratar a dispersão de maneira uniforme, mais adiante
(Seção 2.4.7) será de�nida uma permissividade complexa, representando não só as perdas
de polarização em meios dielétricos dispersivos mas também as perdas de condução em
meios condutores. Neste caso, mostra-se que esta permissividade complexa depende da
frequência, mesmo que as características físicas do meio não (como no caso de um bom
condutor). Logo, o meio com perdas (condutivas e/ou de polarização) pode ser inter-
pretado como dispersivo, associado então a uma permissividade complexa dependente da
frequência. A formulação a ser apresentada neste texto aplica-se, de uma maneira geral,
a meios lineares, homogêneos e isotrópicos, os quais podem ou não apresentar perdas.
Após a inclusão do conceito de dualidade, o mesmo tratamento será dado à permeabili-
dade magnética. Finalmente, o meio é considerado ideal quando for linear, homogêneo,
isotrópico e não-dispersivo (sem perdas).
A seguir são apresentadas, de maneira suscinta, as relações constitutivas características
Prof. Fernando J. S. Moreira
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2001 - DELT/UFMG
2.4 Relações Constitutivas e Características do Meio 19
Figura 2.1: Modelo macroscópico para materiais polares.
de maios lineares, homogêneos e isotrópicos. Uma discussão mais envolvente e completa
sobre estas relações pode ser encontrada, por exemplo, no livro de Elliott [2].
2.4.1 Permissividade
Dentro de um modelo macroscópico da matéria, um determinado meio dielétrico é com-
postopor moléculas e estas possuem um determinado grau de polaridade (cargas positivas
de um lado e negativas do outro). Quando um campo elétrico é aplicado a este material,
as moléculas tendem a se reorientar, como uma espécie de reação ao campo sendo imposto
(veja Fig. 2.1). Esta reorientação molecular aumenta o �uxo de campo elétrico dentro do
material. Este aumento é representado pelo vetor polarização elétrica
~
P
e
, de�nido como:
~
D = "
o
~
E +
~
P
e
= "
~
E; (2.25)
onde "
o
é de�nido como sendo a permissividade do vácuo ("
o
� 8; 854�10
�12
Farads/m) e
" é, então, a permissividade do meio em questão. A Eq. 2.25 nos dá a relação constitutiva
entre
~
D e
~
E. Note que de agora em diante, além de omitir !, iremos também omitir o
vetor posição ~r das equações fasoriais sempre que não houver margem para dúvidas.
Quando o meio for o próprio vácuo, simplesmente tem-se " = "
o
. A permissividade
" caracteriza, então, a capacidade da estrutura molecular do meio de se polarizar ante
da aplicação de um campo eletromagnético. Quanto maior for esta capacidade, maior
será o valor de ", que tem seu limite inferior para o vácuo (" � "
o
). Para meios lineares,
homogêneos, isotrópicos e não-dispersivos, " é uma grandeza escalar e constante. Para
meios não-isotrópicos, por exemplo, a permissividade é geralmente representada por um
tensor [4]. Para meios não-lineares a relação entre
~
D e
~
E é geralmente complexa e a
Eq. 2.25 deve ser então desconsiderada.
Finalmente, no caso em que " for constante e da formulação apresentada na Seção 2.2:
~
D(~r; t) = "
~
E(~r; t) ; (2.26)
que é a relação constitutiva no domínio do tempo para meios lineares, homogêneos,
isotrópicos e não-dispersivos.
Conceitos de Eletromagnetismo para a Análise de Antenas
20 Fundamentos de Teoria Eletromagnética para um Regime Harmônico
2.4.2 Perda de Polarização em um Meio Dispersivo
Porém, quando o meio for dispersivo, a relação entre o campo e o �uxo elétrico torna-se
mais complexa [5]. Caso o meio seja linear, homogêneo e isotrópico:
~
D(~r; t) =
Z
"(�)
~
E(~r; t� �) d� ; (2.27)
e, no domínio fasorial (veri�que):
~
D = "(!)
~
E ; (2.28)
onde "(!) é a própria transformada de Fourier da permissividade temporal, podendo então
ser uma grandeza complexa.
Note que no caso não-dispersivo tratado anteriormente na Seção 2.4.1 a relação entre
~
D(~r; t) e
~
E(~r; t) é instantânea, ou seja, "(�) = " Æ(�), onde Æ é a função delta de Dirac
(ou função impulso). Logo, a disperssão pode ser interpretada como resultante da inércia
da estrutura molecular de um certo material dielétrico em se reorientar perante a vari-
ação do campo elétrico aplicado. Como consequência, a densidade de �uxo elétrico (
~
D)
estará atrasada em relação ao campo elétrico (
~
E) aplicado. Outra consequência é que
parte da energia associada ao campo é perdida no trabalho efetuado para vencer tal inér-
cia, enquanto que outra parcela �ca retida na própria estrutura molecular como energia
potencial.
Neste texto, a relação entre
~
D e
~
E para meios lineares, homogêneos e isotrópicos será
simplesmente representada por
~
D = ("
0
� j"
00
)
~
E ; (2.29)
onde a variação de "
0
e "
00
em relação a ! �cará subentendida. Note que a parte imaginária
é negativa por de�nição, representando o atraso de fase de
~
D em relação a
~
E, como citado
no parágrafo anterior. Meios dispersivos e não-dispersivos serão tratados de maneira
uniforme, de tal forma que para os últimos temos simplesmente que "
0
= ", constante, e
"
00
= 0.
2.4.3 Permeabilidade
Para os meios magnéticos, a estrutura molecular macroscópica pode ser representada
por pequenos anéis de corrente elétrica, representando elétrons em órbitas ao redor dos
núcleos atômicos. A aplicação de um campo magnético externo ao meio faz com que estes
dipolos magnéticos se reorientem de acordo com a polarização deste campo (Fig. 2.2), o
que causa um aumento do �uxo magnético interno (ou uma pequena diminuição, no caso
de materiais diamagnéticos), de�nido pela equação:
~
B = �
o
(
~
H +
~
P
m
) = �
~
H; (2.30)
onde
~
P
m
é o vetor polarização magnética (ou magnetização), �
o
é a permeabilidade do
vácuo (�
o
= 4��10
�7
Henries/m) e � é a permeabilidade do meio magnético em questão.
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2.4 Relações Constitutivas e Características do Meio 21
Figura 2.2: Modelo macroscópico para materiais magnéticos.
Para materias não-magnéticos (materias dielétricos e condutores em geral), � � �
o
. Para
meios lineares, homogêneos, isotrópicos e não-dispersivos, � é uma grandeza escalar e
constante. A Eq. 2.30 representa a relação constitutiva entre
~
B e
~
H para estes meios.
2.4.4 Perdas Magnéticas
De maneira análoga à perda de polarização estudada na Seção 2.4.2, de�ne-se a perda
magnética como sendo o trabalho realizado para vencer a inércia oferecida pelo meio à
orientação dos momentos magnéticos da estrutura molecular. Neste caso, sendo o meio
linear, homogêneo e isotrópico, a relação entre
~
B e
~
H é simplesmente dada por:
~
B = �(!)
~
H = (�
0
� j�
00
)
~
H ; (2.31)
onde, de maneira análoga à de�nição apresentada na Seção 2.4.2, �(!) é a transformada
de Fourier da permeabilidade temporal e a variação de �
0
e �
00
com ! é implicitamente
considerada. O termo negativo da permeabilidade complexa simplesmente donota o de-
fasamento de
~
B em relação a
~
H. Caso não haja perdas magnéticas, �
0
= �, constante, e
�
00
= 0.
As perdas magnéticas, em geral, só se apresentam em meios ferromagnéticos e ferrites.
Porém, estes meios são geralmente anisotrópicos (em especial as ferrites), de forma que as
simpli�cações apresentadas neste texto não se aplicam aos casos mais gerais. Porém, elas
serão de grande valia na aplicação do conceito de dualidade entre as grandezas elétricas e
magnéticas.
2.4.5 Condutividade
Os materiais condutores são caracterizados de acordo com a mobilidade das cargas elétri-
cas livres perante a presença de um campo elétrico. Este campo causa o movimento de
cargas elétricas positivas (no sentido do campo elétrico) e negativas (no sentido oposto),
que é representado por uma corrente de condução de�nida em meios lineares, homogêneos
e isotrópicos por:
~
J
c
= �
e
~
E; (2.32)
Conceitos de Eletromagnetismo para a Análise de Antenas
22 Fundamentos de Teoria Eletromagnética para um Regime Harmônico
onde �
e
é a condutividade elétrica (em Siemens/m) do meio. Na prática, �
e
pode ser
assumida constante (ou seja, ela varia lentamente com a frequência) até as frequências
correspondentes ao infra-vermelho. A partir daí a relação dada pela Eq. 2.32 deixa de ter
utilidade.
Quanto maior o valor de �
e
, maior a mobilidade de cargas dentro do meio. Materiais
dielétricos e condutores são então caracterizados de acordo com �
e
:
dielétrico perfeito: �
e
= 0;
isolantes: �
e
variando entre 10
�18
(S/m) (ex., quartzo) e 10
�3
(S/m);
semicondutores: �
e
variando entre 10
�3
(S/m) (ex., silício) e 1 (S/m) (ex., germânio);
condutores: �
e
variando entre 1 (S/m) e 10
8
(S/m) (ex., cobre);
condutor elétrico perfeito (supercondutores): �
e
!1.
2.4.6 Meios Lineares, Homogêneos e Isotrópicos
Sendo o meio linear, homogêneo e isotrópico as relações constitutivas apresentadas ante-
riormente não dependem da intensidade do campo aplicado e nem da posição(ou seja, os
parâmetros que caracterizam o meio podem ser passados para fora de operadores difer-
encias relacionados à posição ~r), além de serem grandezas escalares. Desta forma, das
Eqs. 2.25�2.32, as Eqs. 2.19�2.22 podem ser reescritas de uma maneira uniforme (ou seja,
considerando a possibilidade de dispersão) como:
r�
~
E = �j!(�
0
� j�
00
)
~
H ; lei de Faraday; (2.33)
r�
~
H =
~
J + j!
�
"
0
� j"
00
� j
�
e
!
�
~
E ; lei de Ampère; (2.34)
r �
~
E =
�
e
+ �
ec
"
0
� j"
00
; lei de Gauss; (2.35)
r �
~
H = 0 ; lei de Gauss �magnética�. (2.36)
Para as equações de continuidade (para as fontes impressas e correntes de condução):
r �
~
J = �j!�
e
; (2.37)
r �
~
E =
�j!�
ec
�
e
: (2.38)
Desta última equação e da Eq. 2.35 tem-se imediatamente que:
�j!�
ec
�
e
=
�
e
+ �
ec
"
0
� j"
00
=) �
ec
= �
e
j�
e
=!
"
0
� j"
00
� j�
e
=!
; (2.39)
a qual pode ser substituída de volta na Eq. 2.35 para obtermos:
r �
~
E =
�
e
("
0
� j"
00
� j�
e
=!)
: (2.40)
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2.4 Relações Constitutivas e Características do Meio 23
2.4.7 Permissividade Complexa
Uma atenta observação das Eqs. 2.34 e 2.40 nos mostra que o termo ("
0
� j"
00
� j�
e
=!)
aperece em ambas; e somente nestas duas equações. Logo, para facilitar o manuseio das
equações de Maxwell fasoriais para meios lineares, homogêneos e isotrópicos, podemos
de�nir uma permissividade complexa:
"
c
= "
0
� j
�
"
00
+
�
e
!
�
: (2.41)
Desta forma, as equações de Maxwell para meios, lineares, homogêneos e isotrópicos
podem ser reescritas como:
r�
~
E = �j!�
~
H ; lei de Faraday; (2.42)
r�
~
H =
~
J + j!"
c
~
E ; lei de Ampère; (2.43)
r �
~
E =
�
e
"
c
; lei de Gauss; (2.44)
r �
~
H = 0 ; lei de Gauss �magnética�, (2.45)
e a equação da continuidade como:
r �
~
J = �j!�
e
: (2.46)
Ou seja, nestas equações apenas as cargas e correntes impressas, representando as fontes
impostas ao problema, aparecem explicitamente. Caso haja contribuições devido à con-
dutividade do meio (�
e
6= 0) e/ou às perdas de polarização no dielétrico, estas estarão
automaticamente incluídas através de "
c
, de�nido pela Eq. 2.41.
Note que o termo adicionado à permissividade complexa (�j�
e
=!) contribui para a
parte imaginária negativa de "
c
, ressaltando um atraso de fase de �=2 entre
~
D (induzido
pela corrente de condução
~
J
c
) e
~
E (o qual gerou
~
J
c
). A explicação para tal fato baseia-se
nas equações de Maxwell fasoriais. A corrente
~
J
c
, induzida por
~
E, provoca uma circulação
de
~
H em torno dela. Por sua vez, este
~
H provoca uma circulação de
~
D com a mesma
orientação de
~
E, porém atrasada de �=2 (graças ao termo �j!
~
D que aparece na lei de
Ampère). Este defasamento acaba por se somar ao provocado pelas perdas de polarização,
discutidas na Seção 2.4.2.
A caracterização da permissividade complexa é muitas vezes de�nida pela tangente de
perda elétrica:
tan(Æ
e
) =
"
00
+ �
e
=!
"
0
; (2.47)
onde Æ
e
é o ângulo de perda elétrica (consequentemente, Æ
e
= 0 para um meio não-
dispersivo e sem perdas).
Logo, através de "
c
um meio linear, homogêneo, isotrópico e dispersivo pode ser trata-
do matematicamente da mesma forma que um meio ideal e sem perdas (onde "
c
= ",
real e independente de !). Basta apenas lembrar que "
c
é, em geral, uma grandeza
Conceitos de Eletromagnetismo para a Análise de Antenas
24 Fundamentos de Teoria Eletromagnética para um Regime Harmônico
complexa, devendo ser tratada como tal durante possíveis manipulações analíticas, espe-
cialmente naquelas envolvendo complexos conjugados e/ou módulos. A possibilidade de
uma de�nição geral de permissividade complexa, que considera tanto as perdas ohmicas
como as de polarização, é uma consequência da ambiguidade do conceito de dispersão
discutida na introdução da Seção 2.4.
2.5 Conceito de Dualidade
Observando as equações de Maxwell descritas na seção anterior, podemos notar uma
certa similaridade entre as leis de Faraday e de Ampère, assim como entre as equações
envolvendo os divergentes de
~
E e
~
H. A única diferença está no fato de não existirem cargas
e correntes magnéticas (as quais não foram ainda comprovadas experimentalmente).
Por mais obscuro que possa parecer neste momento, a inclusão de cargas e correntes
magnéticas equivalentes é de grande valia para a solução de diversos problemas em eletro-
magnetismo. Esta inclusão proporciona uma dualidade entre grandezas elétricas e mag-
néticas. Uma outra vantagem, talvez mais evidente, é que, graças a esta dualidade, os
campos elétrico e magnético passam a obedecer a equações diferencias muito semelhantes
entre si, o que na maioria dos casos permite que as expressões relacionadas a um destes
campos sejam obtidas por simples inspeção de expressões previamente obtidas para o
outro campo, economizando um grande esforço algébrico.
Consequentemente, podemos também de�nir o conceito de condutividade magnética
(�
m
, análoga à condutividade elétrica de�nida na Seção 2.4.5) que, juntamente com a
de�nição das perdas magnéticas apresentada na Seção 2.4.4, permite a de�nição de uma
permeabilidade complexa (dual à permissividade complexa) dada por
�
c
= �
0
� j
�
�
00
+
�
m
!
�
: (2.48)
De�ne-se também a tangente de perda magnética:
tan(Æ
m
) =
�
00
+ �
m
=!
�
0
; (2.49)
onde Æ
m
é o ângulo de perda magnética.
Com a inclusão das densidades de carga (�
m
) e corrente (
~
M) magnéticas impressas e
da permeabilidade complexa (�
c
), as equações de Maxwell duais são então de�nidas como:
r�
~
E = �
~
M � j!�
c
~
H ; lei de Faraday dual; (2.50)
r�
~
H =
~
J + j!"
c
~
E ; lei de Ampère; (2.51)
r �
~
E =
�
e
"
c
; lei de Gauss; (2.52)
r �
~
H =
�
m
�
c
; lei de Gauss �magnética� dual, (2.53)
Prof. Fernando J. S. Moreira
c
2001 - DELT/UFMG
2.5 Conceito de Dualidade 25
com as respectivas equações da continuidade:
r �
~
J = �j!�
e
; (2.54)
r �
~
M = �j!�
m
; (2.55)
onde
~
M é o vetor fasorial da densidade de corrente magnética impressa (V/m
2
, para densidade
volumétrica);
�
m
é o fasor da densidade de carga magnética impressa (webers/m
3
, para densidade
volumétrica).
Vale ressaltar as escolha dos sinais de
~
M e �
m
de�nidos nas Eqs. 2.50 e 2.53, respec-
tivamente. O sinal negativo para
~
M foi arbitrado desta forma para manter a dualidade
entre as Eqs. 2.50 e 2.51, a menos de um sinal negativo. Além disso, deseja-se também
manter a consistência para a equação da continuidade da carga magnética (Eq. 2.55), de
maneira análoga à da carga elétrica (Eq. 2.54). Consequentemente, o sinal do lado direito
da Eq. 2.53 deve ser obrigatoriamente positivo (veri�que).
Das equações apresentadas acima, um problema dual pode ser resolvido diretamente
do problema original correspondente através das substituições apresentadas na Tabela 2.1
(o leitor pode veri�car a veracidade das relações por simples inspeção das Eqs. 2.50�2.55).
Problema Problema
Original Dual
~
E �!
~
H
~
H �! �
~
E
~
J �!~
M
~
M �! �
~
J
�
e
�! �
m
�
m
�! ��
e
"
c
�! �
c
�
c
�! "
c
�
e
�! �
m
�
m
�! �
e
Tabela 2.1: Dualidade.
Note que, na Tabela 2.1, campo, corrente e carga elétricos no problema original são
relacionados com valores positivos das grandezas magnéticas correspondestes ao problema
dual. Já os campo, corrente e carga magnéticos são relacionados com valores negativos
das grandezas elétricas correspondentes ao problema dual. Os parâmetros constitutivos
do meio são simplesmente trocados entre si.
Conceitos de Eletromagnetismo para a Análise de Antenas
26 Fundamentos de Teoria Eletromagnética para um Regime Harmônico
A dualidade economiza um enorme esforço matemático no desenvolvimento de equações
para a solução de problemas em eletromagnetismo. Para tal, cargas e correntes magnéti-
cas devem ser consideradas desde o inicio da formulação do problema em questão. Caso
estas sejam nulas (o que ocorre na prática), elas devem ser anuladas apenas no �nal do de-
senvolvimento. Um exemplo prático da aplicação do conceito da dualidade é apresentado
na próxima seção.
2.6 Equações de Onda
As equações de onda são das mais importantes em teoria eletromagnética. Elas serão aqui
discutidas assumindo-se um meio linear, homogêneo e isotrópico. Para obter a equação
de onda do campo elétrico, inicialmente aplica-se o rotacional na lei de Faraday dual
(Eq. 2.50):
r�
�
r�
~
E
�
= r
�
r �
~
E
�
�r
2
~
E = �r�
�
~
M + j!�
c
~
H
�
: (2.56)
Substituindo a lei de Gauss (Eq. 2.52) e a lei de Ampère (Eq. 2.51) na equação acima,
teremos:
1
"
c
r�
e
�r
2
~
E = �r�
~
M � j!�
c
�
~
J + j!"
c
~
E
�
: (2.57)
A equação acima pode ser reescrita de uma forma mais apropriada para, �nalmente,
obtermos a equação de onda do campo elétrico:
r
2
~
E + k
2
~
E = r�
~
M + j!�
c
~
J +
1
"
c
r�
e
; (2.58)
onde
k = !
p
�
c
"
c
(2.59)
é o número de onda (também denominado constante de propagação) do meio em questão.
Repare que, para meios com perdas (condutivas e/ou de polarização) o parâmetro k é uma
grandeza complexa (para não sobrecarregar a notação não iremos incorporar o subíndice
c). Logo, de uma maneira geral, este parâmetro será representado por
k = � � j � (2.60)
onde � e � são grandezas reais e dependentes de !, por de�nição. Em muitos textos é
comum utilizar o parâmetro 
 ao invés de k. Eles são relacionados entre si através da
seguinte equação:
 = j k = � + j � : (2.61)
É também interessante ressaltar que em um meio ideal ("
c
= " e �
c
= �), k será real e
k = !
p
�" = � = �j 
 ; (2.62)
Prof. Fernando J. S. Moreira
c
2001 - DELT/UFMG
2.7 Condições de Contorno 27
sendo, consequentemente, � = 0.
Aproveitando a oportunidade, vamos também de�nir a impedância característica do
meio �, que será muito utilizada no decorrer deste texto. Ela é representada por:
� =
r
�
c
"
c
: (2.63)
Note que � será complexa caso o meio apresente perdas e/ou seja dispersivo. Para o
vácuo, � = �
o
� 376; 73 
 � 120� 
. Os parâmetros � e k são então relacionados entre
si:
� =
k
!"
c
=
!�
c
k
: (2.64)
Vamos agora utilizar pela primeira vez o conceito de dualidade. Para obtermos a
equação de onda do campo magnético, não precisamos refazer os cálculos anteriores.
Basta converter os parâmetros da Eq. 2.58 através da Tabela 2.1. Desta forma temos
(veri�que):
r
2
~
H + k
2
~
H = �r�
~
J + j!"
c
~
M +
1
�
c
r�
m
; (2.65)
que é a equação de onda do campo magnético. Note que se tivéssemos desenvolvido a
Eq. 2.58 sem incluir a corrente
~
M não poderíamos ter utilizado a dualidade para obter a
Eq. 2.65.
Se estivermos estudando uma determinada região do meio onde não há qualquer tipo
de fontes, então os termos à direita nas Eqs. 2.58 e 2.65 serão nulos e as equações de onda
são ditas homogêneas:
r
2
~
E + k
2
~
E = 0 ; (2.66)
r
2
~
H + k
2
~
H = 0 : (2.67)
Muitos problemas a serem estudado neste texto lidam com meios sem fontes. Mas que
tipo de meio é este? Como estudar o campo eletromagnético em um meio sem fontes para
gerá-lo? Para responder a estas perguntas, lembre-se que a equação de onda é uma equação
diferencial e, portanto, válida em uma determinada posição do espaço (de�nida pelo vetor
posição ~r). O meio dito sem fontes signi�ca simplesmente que estamos interessados em
obter a solução do campo em uma dada região do espaço onde não há fontes presentes
(ou seja, o campo é gerado por fontes localizadas fora da região de interesse).
Note que as equações de onda apresentadas nesta seção também podem ser utilizadas
no estudo de meios com perdas (dispersivos), já que estas estão implicitamente consider-
adas em "
c
e �
c
, ou seja, dentro do possível k complexo.
2.7 Condições de Contorno
As equações de Maxwell e as de onda fasoriais são equações diferencias em relação a
posição ~r. Para se determinar a solução, é necessário conhecer as condições iniciais do
Conceitos de Eletromagnetismo para a Análise de Antenas
28 Fundamentos de Teoria Eletromagnética para um Regime Harmônico
problema, que neste caso são denominadas condições de contorno. Porém, antes de apre-
sentar tais condições, é interessante antes apresentar as equações de Maxwell no formato
integral. A aplicação do teorema de Stokes nas leis de Faraday e Ampère e a do teorema
da divergência nas leis de Guass permitem que as Eqs. 2.50�2.53 possam ser reapresen-
tadas na sua forma integral, fasorial e dual, válidas para meios lineares, homogêneos e
isotrópicos [6]:
I
C
~
E �
~
dl = �
ZZ
S
~
M �
~
ds� j!�
c
ZZ
S
~
H �
~
ds ; Faraday; (2.68)
I
C
~
H �
~
dl =
ZZ
S
~
J �
~
ds+ j!"
c
ZZ
S
~
E �
~
ds ; Ampère; (2.69)
ZZ
S
��
~
E �
~
ds =
1
"
c
ZZZ
V
�
e
dv ; Gauss; (2.70)
ZZ
S
��
~
H �
~
ds =
1
�
c
ZZZ
V
�
m
dv ; Gauss �magnética�. (2.71)
Note que a aplicação do teorema de Stokes só é válida caso as componentes de
~
E e de
~
H
sejam continuamente diferenciáveis sobre a superfície S. De maneira análoga, a aplicação
do teorema da divergência só é válida caso estas mesmas componentes vetorias sejam
continuamente diferenciáveis dentro de V . Note também que procedimento análogo pode
ser aplicado para obter as equações de Maxwell integrais no domínio do tempo a partir
das equações apresentadas no início da Seção 2.3
Vamos inicialmente obter as condições de contorno que as equações de Maxwell im-
põem às componetes tangencias de
~
E sobre a interface entre dois meios distintos. Seja
a geometria apresentada na Fig. 2.3, onde a superfície S de�ne a interface entre os dois
meios e o vetor unitário n^ é normal à S, apontando do meio 1 para o meio 2. Para tratar
o problema da maneira mais geral possível, sobre a interface iremos impor densidades de
cargas e correntes impressas super�ciais e/ou lineares, que estão representando possíveis
fontes localizadas sobre S. A corrente super�cial elétrica impressa será representada por
~
J
s
e a magnética por
~
M
s
. Na realidade elas fazem parte das correntes
~
J e
~
M , respecti-
vamente. O subíndice s é utilizado apenas para ressaltar as densidades super�ciais e/ou
lineares localizadas exatamente sobre a interface S. As densidades super�ciais de cargas
elétrica e magnética associadasserão representadas por �
es
e �
ms
, respectivamente.
Estas correntes super�ciais, caso existentes, imporão a descontinuidade das compo-
nentes tangencias do campo eletromagnético. Esta descontinuidade pode ser estudada
com o auxílio da Fig. 2.4. Vamos assumir um contorno retangular C com dimensões h
e ` su�cientemente pequenas, de forma que a interface S no entorno desta região possa
ser considerada plana, desde que S possua uma curvatura contínua na região em questão.
Este contorno C de�ne a superfície SC, cuja normal, paralela à interface S, é dada por
n^�
^
t (veja a Fig. 2.4). Pela lei de Ampère integral (Eq. 2.69), a circulação de
~
H ao redor
de C tem que ser igual a soma do �uxo de corrente elétrica, incluindo tanto a impres-
sa como a de deslocamento, que atravessa SC. Esta relação pode ser matematicamente
representada por:
Prof. Fernando J. S. Moreira
c
2001 - DELT/UFMG
2.7 Condições de Contorno 29
Figura 2.3: Representação da interface entre dois meios com possíveis cargas e correntes
impressas na superfície desta interface.
I
C
~
H �
~
dl =
ZZ
SC
~
J �
~
ds+ j!"
c
ZZ
SC
~
E �
~
ds : (2.72)
Ao tomarmos o limite h! 0, as únicas contribuições da integral de linha virão dos lados
de C paralelos à interface S. Já o �uxo de corrente tenderá a zero, pois a área de SC
tende a zero quando h ! 0, a não ser que haja densidades de corrente super�ciais e/ou
lineares
~
J
s
impressas exatamente sobre S. Neste caso, e tomando o limite de ` ! 0, a
equação anterior é reescrita como:
^
t �
�
~
H
2
�
~
H
1
�
` =
~
J
s
�
�
n^�
^
t
�
` ; (2.73)
onde os índices 1 e 2 referem-se aos campos no meio 1 e 2, respectivamente, calculados
in�nitesimalmente próximos da interface S. Já n^ �
^
t aponta no sentido do �uxo de
~
J
s
(veja a Fig. 2.4). Se multiplicarmos vetorialmente a Eq. 2.73 por n^, ela pode ser reescrita
de forma mais apropriada como:
n^�
�
~
H
2
�
~
H
1
�
=
~
J
s
; sobre S, (2.74)
que é a conhecida condição de contorno para a componente tangencial de
~
H sobre S.
Aplicando a dualidade apresentada na Tabela 2.1, obtemos imediatamente a condição de
contorno para a componente tangencial de
~
E:
n^�
�
~
E
2
�
~
E
1
�
= �
~
M
s
; sobre S. (2.75)
Vamos agora demonstrar que se os meios forem lineares, homogêneos e isotrópicos, as
condições de contorno para as componentes normais dos campos
~
E e
~
H são automatica-
mente satisfeitas se os campos satisfazem as equações de Maxwell (Eqs. 2.50�2.53) e as
Conceitos de Eletromagnetismo para a Análise de Antenas
30 Fundamentos de Teoria Eletromagnética para um Regime Harmônico
Figura 2.4: Condições de contorno para a componente tangencial de
~
E.
condições impostas pelas Eqs. 2.74 e 2.75, desde que a frequência não seja nula (! 6= 0).
Vamos provar isto para a condição de contorno sobre a componente normal de
~
E em S.
A prova para
~
H pode ser obtida por dualidade.
Aplicando o divergente na Eq. 2.74 (neste caso, assume-se que os campos
~
H
1
e
~
H
2
estão in�nitesimalmente próximos a interface, cada um no seu respectivo meio), temos
que:
r �
h
n^�
�
~
H
2
�
~
H
1
�i
=
�
~
H
2
�
~
H
1
�
� r � n^� n^ � r �
�
~
H
2
�
~
H
1
�
= �n^ � r �
�
~
H
2
�
~
H
1
�
= r �
~
J
s
; (2.76)
observando que o rotacional de n^ é nulo porque o vetor normal está associado ao gradiente
da função que de�ne S (o rotacional de um gradiente é identicamente nulo), desde que
esta não apresente descontinuidades na curvatura. Aplicando a lei de Ampère (Eq. 2.51)
e a da continuidade (Eq. 2.54) na equação anterior, podemos reescrevê-la como:
n^ �
h�
~
J
2
�
~
J
1
�
+ j!
�
"
c2
~
E
2
� "
c1
~
E
1
�i
= j!�
es
; (2.77)
onde �
es
é a densidade super�cial de carga elétrica associada à
~
J
s
. No limite em que os
campos são calculados sobre S, n^ �
~
J
1
= n^ �
~
J
2
, já que deve haver uma continuidade no �uxo
de corrente normal à superfície. Caso não haja, então haverá acúmulo de carga (positiva ou
negativa) sobre S e uma corrente super�cial associada, que são naturalmente consideradas
em �
es
e
~
J
s
, respectivamente. Consequentemente, a equação anterior simpli�ca-se:
n^ �
�
"
c2
~
E
2
� "
c1
~
E
1
�
= �
es
; (2.78)
Prof. Fernando J. S. Moreira
c
2001 - DELT/UFMG
2.7 Condições de Contorno 31
que é a conhecida condição de contorno para a componente normal de
~
E sobre S. Aplican-
do a dualidade entre os campos e fontes, obtem-se a condição para a componente normal
de
~
H sobre S:
n^ �
�
�
c2
~
H
2
� �
c1
~
H
1
�
= �
ms
; (2.79)
onde �
ms
é a densidade super�cial de carga magnética associada à
~
M
s
, ambas impressas
na interface.
Observe que as Eqs. 2.78 e 2.79 poderiam ter sido obtidas diretamente das Eqs. 2.70
e 2.71, respectivamente, assim como as Eqs. 2.74 e 2.75 o foram das Eqs. 2.69 e 2.68,
respectivamente [6]. Observe também que a Eq. 2.78 foi desenvolvida a partir da Eq. 2.74
assumindo que ! 6= 0 (veri�que), assim como a Eq. 2.79 pode ser obtida da Eq. 2.75
nas mesmas condições. Isto signi�ca que caso ! 6= 0 apenas as condições de contorno
sobre as componentes tangencias de
~
E e
~
H (Eqs. 2.75 e 2.74, respectivamente) precisam
ser obedecidas para a determinação da solução. Caso ! = 0, estaremos lidando com
problemas eletrostáticos (para campos gerados por cargas elétricas e/ou correntes mag-
néticas equivalentes estáticas), magnetostáticos (campos gerados por correntes elétricas
e/ou cargas magnéticas equivalentes estáticas) ou ainda uma combinação de ambos. Para
a solução de problemas em eletrostática necessita-se tanto da Eq. 2.75 quanto da Eq. 2.78.
Analogamente, em magnetostática precisamos de atender às Eqs. 2.74 e 2.79.
Outra observação importante é que, conforme mencionado anteriormente, a aplicação
dos teoremas de Stokes e da divergência na obtenção das equações de Maxwell no formato
integral (Eqs. 2.68�2.71) só é possível caso as componentes de
~
E e
~
H sejam continuamente
diferenciáveis. Obviamente, dadas as descontinuidades impostas pelas condições de con-
torno sobre as componentes de campo na interface entre dois meios diferentes (e/ou na
presença de fontes super�ciais e/ou lineares), as referidas equações integrais não podem
ser diretamente aplicadas sobre a interface S para a obtenção das condições de contorno
apresentadas nesta seção. Ou seja, o procedimento adotado anteriormente é incorreto,
embora amplamente utilizado em outros textos. Na realidade o problema é causado pelo
modelo macroscópico da matéria, que permite a de�nição de uma interface ideal entre
dois meios distintos (o que não ocorre �sicamente), assim como da carga puntual e, con-
sequentemente, das densidades lineares e super�ciais de fontes impressas.
Na realidade o modelo macroscópico deve ser considerado com o auxílio da teoria de
distribuições (por exemplo, a carga puntual deve ser maticamente representada através de
uma função impulsional). Quando o problema é tratado com este rigorosismo, mostra-se
que as condições de contorno são exatamente aquelas apresentadas nesta seção [5]. Se
assumirmos estes resultados como verdadeiros (e o são, dentro do modelo macroscópico
da matéria), então nãoprecisaremos mais nos preocupar com o comportamento do campo
sobre interfaces e/ou distribuições lineares/super�ciais de correntes e cargas, pois bastará
aplicar as condições de contorno nestas condições.
Conceitos de Eletromagnetismo para a Análise de Antenas
32 Fundamentos de Teoria Eletromagnética para um Regime Harmônico
2.7.1 Interface sem Correntes ou Cargas Impressas
A formulação apresentada na seção anterior é geral, valendo inclusive para os casos onde
as cargas e correntes impressas não estiverem presentes na interface S (por exemplo, a
interface entre dois meios dielétricos ideais sem a presença de fontes impressas). Nestes
casos, das Eqs. 2.74, 2.75, 2.78 e 2.79 temos, respectivamente, que:
n^�
~
H
1
= n^�
~
H
2
; (2.80)
n^�
~
E
1
= n^�
~
E
2
; (2.81)
"
c1
�
n^ �
~
E
1
�
= "
c2
�
n^ �
~
E
2
�
; (2.82)
�
c1
�
n^ �
~
H
1
�
= �
c2
�
n^ �
~
H
2
�
: (2.83)
2.7.2 Condutividades In�nitas
Porém, quando um dos meios (por exemplo, o meio 1) for um condutor elétrico perfeito,
cuidados especiais devem ser tomados. Neste caso temos �
e1
! 1 e os campos
~
E
1
e
~
H
1
tendem a zero. Nestas condições, a corrente de condução
~
J
c1
= �
e1
~
E
1
no interior do
meio 1 tende a se concentrar na superfície metálica já que
~
E
1
tende a ter o mesmo com-
portamento [6]. Neste limite, a corrente de condução
~
J
c1
(inicialmente uma distribuição
volumétrica) tende a se comportar como uma distribuição super�cial de corrente elétrica,
só que induzida. A consequência é que esta corrente induzida (que será representada
por
~
J
cs
) também tem que ser considerada no cálculo da Eq. 2.73. Repetindo os passos
apresentados na Seção 2.7, só que agora incluindo as cargas e correntes de condução elétri-
cas, obtem-se as seguintes condições de contorno para o caso onde �
e1
! 1 (veri�que,
lembrando que os campos no meio 1 são nulos):
n^�
~
H
2
=
~
J
s
+
~
J
cs
; (2.84)
n^�
~
E
2
= �
~
M
s
; (2.85)
n^ �
~
E
2
=
�
es
+ �
ecs
"
c2
; (2.86)
n^ �
~
H
2
=
�
ms
�
c2
; (2.87)
onde �
ecs
é a densidade de carga super�cial elétrica induzida, associada a
~
J
cs
. Repare que,
se não houver cargas e correntes impressas, as equações anteriores simpli�cam-se:
n^�
~
H
2
=
~
J
cs
; (2.88)
n^�
~
E
2
= 0 ; (2.89)
n^ �
~
E
2
=
�
ecs
"
c2
; (2.90)
n^ �
~
H
2
= 0 ; (2.91)
Prof. Fernando J. S. Moreira
c
2001 - DELT/UFMG
2.7 Condições de Contorno 33
que são as conhecidas condições de contorno para a superfície (suave) de um condutor
elétrico perfeito (sem a presença de fontes impressas na superfície do condutor). Neste
caso, observa-se que
~
E não pode ter componentes tangenciais à superfície condutora
elétrica perfeita, enquanto que
~
H não pode ter componente normal à superfície, como
esperado. Por sua vez, as densidades de cargas e correntes elétricas induzidas na superfície
do condutor podem ser obtidas com o auxílio das Eqs. 2.88 e 2.90.
Aplicando dualidade, podemos também de�nir um condutor magnético perfeito, car-
acterizado por �
m
! 1. Neste caso as condições de contorno são representadas por
(veri�que):
n^�
~
H
2
=
~
J
s
; (2.92)
n^�
~
E
2
= �
~
M
s
�
~
M
cs
; (2.93)
n^ �
~
E
2
=
�
es
"
c2
; (2.94)
n^ �
~
H
2
=
�
ms
+ �
mcs
�
c2
; (2.95)
onde �
mcs
é a densidade super�cial de carga magnética induzida, associada à densidade
super�cial de corrente magnética induzida
~
M
cs
. Repare que, se não houver cargas e
correntes impressas, as equações anteriores são reduzidas:
n^�
~
H
2
= 0 ; (2.96)
n^�
~
E
2
= �
~
M
cs
; (2.97)
n^ �
~
E
2
= 0 ; (2.98)
n^ �
~
H
2
=
�
mcs
�
c2
; (2.99)
indicando que
~
H não pode ter componentes tangenciais à superfície condutora magnética
perfeita, enquanto que
~
E não pode ter componente normal à superfície (que é o caso dual
em relação a uma superfície condutora elétrica perfeita).
Finalmente, note que as condições de contorno apresentadas nesta seção valem também
para os casos onde o meio 2 for condutor (elétrico ou magnético), desde que �
e2
e �
m2
sejam limitados (ou seja, não possuam valores in�nitos).
2.7.3 Algumas Considerações sobre as Condições de Contorno
Embora pareça complicado, a utilização de permissividades e permeabilidades complexas
permite o estudo das condições de contorno entre dois meios lineares, homogêneos e
isotrópicos através de uma abordagem geral, apenas considerando cargas e correntes im-
pressas. Porém, ressalva seja feita, o leitor deve tomar cuidado nos casos limites de
superfícies condutoras perfeitas (elétricas ou magnéticas), onde densidades super�ciais de
cargas e correntes induzidas têm de ser levadas em consideração.
Conceitos de Eletromagnetismo para a Análise de Antenas
34 Fundamentos de Teoria Eletromagnética para um Regime Harmônico
Outro fato importante é que, conforme discutido nesta seção, se os meios forem line-
ares, homogêneos e isotrópicos, e a frequência diferente de zero (eletrodinâmica), então
precisamos considerar apenas as condições de contorno sobre as componentes tangencias
de
~
E e
~
H. Se estas forem conhecidas, juntamente com as fontes que produzem o campo, o
problema pode ser resolvido e a solução é única. Na realidade, pode-se mostrar que apenas
as componentes tangencias de
~
E ou de
~
H precisam ser conhecidas. Isto é demonstrado
pelo teorema da unicidade, que será discutido no Capítulo 4.
2.8 Potência e Energia
Nesta seção iremos estudar relações envolvendo potência e energia associadas ao campo
eletromagnético. Para tal, iniciaremos os estudos no domínio do tempo a �m de obter
a equação da conservação da energia através de conceitos físicos menos obscuros. Em
seguida, de�nem-se os valores médios em relação a um ciclo temporal. Finalmente, os
valores médios serão expressos através da notação fasorial (complexa), evitando-se assim
ter que retornar ao domínio temporal para efetuar tais cálculos.
2.8.1 Conservação da Energia
A dedução a ser apresentada a seguir assume um modelo macroscópico para a matéria.
Algumas questões interessantes sobre a de�nição da densidade de energia eletromagnética
são abordadas na Ref. [7], porém estão fora do escopo deste texto.
Vamos assumir um determinado volume dv in�nitesimalmente pequeno e invariante no
tempo, de forma que a densidade de carga elétrica total (%
et
) em dv possa ser assumida
instantaneamente constante e a carga total instantânea em dv dada simplesmente por
%
et
dv. Sabemos da lei da força de Lorentz que uma dada carga elétrica (neste caso %
et
dv)
na presença de campos elétrico e magnético sofre uma força dada por:
d
~
F(~r; t) = %
et
(~r; t)
h
~
E(~r; t) + ~v �
~
B(~r; t)
i
dv ; (2.100)
onde d
~
F representa uma densidade de força associada ao volume in�nitesimal dv e ~v é a
velocidade instantânea da carga associada a dv. Logo, a densidade de potência instantânea
em dv é dada por:
dP(~r; t) = ~v � d
~
F(~r; t) = %
e
(~r; t) ~v �
~
E(~r; t) dv
=
h
~
J (~r; t) + �
e
~
E(~r; t)
i
�
~
E(~r; t) dv ; (2.101)
já que %
et
~v =
~
J + �
e
~
E é a densidade