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Curso de Física Geral F-328 1º semestre, 2013 Aula 3: A Lei de Gauss F328 – 1S20123 1 ds nˆ A nˆ tˆ ∫ ⋅= S dAnrv ˆ)(φ Ad )(rv Definição: dAnAd ˆ= ⊥⊥ =+== vA)tˆvnˆ.(vnˆAv.A // φ ⊥==→== vAdt dsAdsAdV; dt dV φφ v A v //v ⊥vv Fluxo de um campo vetorial F328 – 1S20123 2 O fluxo do campo elétrico Qual é o fluxo do campo elétrico de uma dada distribuição de cargas através de uma superfície fechada? ∫ ⋅= S dAnrE ˆ)( φ 0ˆ)( <⋅= dAnrEd φ 0ˆ)( =⋅= dAnrEd φ 0ˆ)( >⋅= dAnrEd φ E E E superfície gaussiana esférica E Fluxo de um campo vetorial F328 – 1S20123 3 00321 =++−=++= EAEAφφφφ Superfície cilíndrica cujo eixo coincide com a direção de um campo elétrico uniforme Ad E E Ad Ad superfície gaussiana E Fluxo de um campo vetorial F328 – 1S20123 4 θφ cos)(ˆ)( dArEdAnrEd =⋅= Ω= drdA 2cosθ Ângulo sólido e lei de Gauss Ω= drrEd 2)(φ 0 4 0 2 0 2 4 επε φφ π q r drqd =Ω== ∫∫ 2 cos r dAd θ=Ω r Ad )(rE θcosdA Ωd θ q A Δ q E Fluxo de um campo vetorial F328 – 1S20123 5 Esta lei relaciona os valores do campo elétrico em pontos de uma superfície (gaussiana) com a carga total dentro da superfície: S1 S4 S2 S3 0 intˆ)( ε φ qdAnrE S =⋅= ∫ A Lei de Gauss F328 – 1S20123 6 Uma carga puntiforme fora de uma superfície fechada. O número de linhas de força que entram na superfície é igual ao número de linhas que saem dela. O fluxo total é nulo. Superfícies fechadas de vários formatos envolvendo uma carga q. O fluxo através de todas as superfícies é o mesmo. q q\ A Lei de Gauss: Ilustrações F328 – 1S20123 7 Carga puntiforme (simetria esférica) 0 24)(ˆ)( ε πφ qrrEdAnrE S ==⋅=∫ r r q E ˆ 4 1 2 0πε = A lei de Gauss é geral, mas a sua utilidade no cálculo do campo elétrico criado por uma distribuição de cargas depende da simetria desta distribuição. 0 intˆ)( ε φ qdAnrE S =⋅=∫ E superfície gaussiana S Nos pontos de S: uniforme ˆaparalelo =E nE ∴ Então: q Ad Cálculo de campo elétrico F328 – 1S20123 8 O campo elétrico no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático é sempre nulo. Assim sendo, a lei de Gauss nos permite demonstrar que todo o excesso de carga no condutor deverá migrar para a sua superfície. 0 0 int == ε φ q No caso de haver uma cavidade no condutor, a lei de Gauss nos diz que o excesso de carga se situa na superfície externa do condutor. 0 intˆ)( ε φ qdAnrE S =⋅=∫ superfície gaussiana 0)( =rE 0)( =rE superfície gaussiana condutor condutor Cálculo de campo elétrico: Condutores F328 – 1S20123 9 O campo deve ser sempre perpendicular à superfície do condutor carregado, em equilíbrio eletrostático. Por quê? Simetria plana: camada condutora AEA σε =0 nE ˆ 0ε σ= 0 intˆ)( ε φ qdAnrE S =⋅=∫ A E Cálculo de campo elétrico F328 – 1S20123 10 AEA σε =02 02ε σ=E 0 intˆ)( ε φ qdAnrE S =⋅=∫ E E gaussiana cilíndrica Simetria plana: placa não condutora Cálculo de campo elétrico F328 – 1S20123 11 Carga induzida em uma camada condutora neutra 0ˆ)( 0 int 0 =+−=⋅=∫ εεφ qqdAnrE S qq +=int qqext −=e 0 intˆ)( ε φ qdAnrE S =⋅=∫ Para uma gaussiana no interior da camada: Determinar as cargas induzidas nas superfícies interna e externa da camada. q− Note que não é uniforme. E ? intσ extσ Superfície gaussiana Cálculo de campo elétrico F328 – 1S20123 12 E Ad Superfície gausseana superfície gaussiana S E h Ad λ Simetria cilíndrica: fio infinito uniformemente carregado 0 2)( ε λπφ hrhrE == r r rE ˆ 2 )( 0επ λ= 0 intˆ)( ε φ qdAnrE S =⋅=∫ Nos pontos de S: constante ˆaparalelo =E nE E S vista de topo Cálculo de campo elétrico F328 – 1S20123 13 Duas placas condutoras Densidades superficiais de carga e 1σ 1σ− ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = placadaesquerdaà placadadireitaà 0 1 0 1 1 ε σ ε σ E ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧− = placadaesquerdaà placadadireitaà 0 1 0 1 2 ε σ ε σ E ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+= placasdasfora0 placasasentre2 0 1 21 ε σ EEEtotal Aproximando as placas: Cálculo de campo elétrico F328 – 1S20123 14 Duas placas não condutoras Densidades superficiais de carga e )(+σ )(−−σ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = + + + placadaesquerdaà 2 placadadireitaà 2 0 )( 0 )( )( ε σ ε σ E ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧− = − − − placadaesquerdaà 2 placadadireitaà 2 0 )( 0 )( )( ε σ ε σ E 0 )()( 2ε σσ −+ −=RE 0 )()( 2ε σσ +− −=LE 0 )()( 2ε σσ −+ +=BE; ; Cálculo de campo elétrico F328 – 1S20123 15 Simetria esférica: esfera condutora carregada (ou casca esférica carregada) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < > = Rr Rr r Q rE se,0 se, 4)( 20πε 0 intˆ)( ε φ qdAnrE S =⋅=∫ 2S 1S Cálculo de campo elétrico F328 – 1S20123 16 Simetria esférica: esfera não condutora uniformemente carregada ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < > = Rr R rQ Rr r Q rE se, 4 se, 4)( 3 0 2 0 πε πε 0 intˆ)( ε φ qdAnrE S =⋅=∫ gaussiana esférica gaussiana esférica Cálculo de campo elétrico F328 – 1S20123 17 Os exercícios sobre Lei de Gauss estão na página da disciplina : (http://www.ifi.unicamp.br). Consultar: Graduação à Disciplinas à F 328-Física Geral III Aulas gravadas: http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) Lista de exercícios do Capítulo 23 F328 – 1S20123 18
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