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Aula-03-F328-1S-2013

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Curso de Física Geral F-328 
1º semestre, 2013 
Aula 3: A Lei de Gauss 
F328 – 1S20123 1 
ds 
nˆ
A 
nˆ
tˆ
∫ ⋅=
S
dAnrv ˆ)(φ
Ad

)(rv 
Definição: 
dAnAd ˆ=

⊥⊥ =+== vA)tˆvnˆ.(vnˆAv.A //
φ
⊥==→== vAdt
dsAdsAdV;
dt
dV φφ
v
A

v
//v
⊥vv
Fluxo de um campo vetorial 
F328 – 1S20123 2 
O fluxo do campo elétrico 
 Qual é o fluxo do campo elétrico 
de uma dada distribuição de cargas 
através de uma superfície fechada? 
∫ ⋅=
S
dAnrE ˆ)(

φ
0ˆ)( <⋅= dAnrEd 

φ
0ˆ)( =⋅= dAnrEd 

φ
0ˆ)( >⋅= dAnrEd 

φ
E

E

E
superfície 
 gaussiana 
esférica E

Fluxo de um campo vetorial 
F328 – 1S20123 3 
00321 =++−=++= EAEAφφφφ
 Superfície cilíndrica cujo eixo coincide com a direção 
de um campo elétrico uniforme 
Ad

E

E
Ad

Ad

superfície 
gaussiana 
E

Fluxo de um campo vetorial 
F328 – 1S20123 4 
θφ cos)(ˆ)( dArEdAnrEd 

=⋅=
Ω= drdA 2cosθ
Ângulo sólido e lei de Gauss 
Ω= drrEd 2)(φ
0
4
0
2
0
2
4 επε
φφ
π q
r
drqd =Ω== ∫∫
2
cos
r
dAd θ=Ω
r Ad

)(rE 
θcosdA
Ωd
θ
q
A

Δ
q 
E

Fluxo de um campo vetorial 
F328 – 1S20123 5 
 Esta lei relaciona os valores do campo elétrico em pontos de uma 
superfície (gaussiana) com a carga total dentro da superfície: 
S1 
S4 
S2 
S3 
0
intˆ)(
ε
φ qdAnrE
S
=⋅= ∫

A Lei de Gauss 
F328 – 1S20123 6 
Uma carga puntiforme fora de uma 
superfície fechada. O número de linhas 
de força que entram na superfície é 
igual ao número de linhas que saem 
dela. O fluxo total é nulo. 
Superfícies fechadas de vários 
formatos envolvendo uma carga q. 
O fluxo através de todas as 
superfícies é o mesmo. 
q 
q\ 
A Lei de Gauss: Ilustrações 
F328 – 1S20123 7 
Carga puntiforme (simetria esférica) 
0
24)(ˆ)(
ε
πφ qrrEdAnrE
S
==⋅=∫

r
r
q
E ˆ
4
1
2
0πε
=

 A lei de Gauss é geral, mas a sua utilidade no cálculo do campo 
elétrico criado por uma distribuição de cargas depende da simetria 
desta distribuição. 
0
intˆ)(
ε
φ qdAnrE
S
=⋅=∫

E

superfície 
gaussiana S 
Nos pontos de S: 
uniforme
ˆaparalelo
=E
nE


∴
Então: 
q 
Ad

Cálculo de campo elétrico 
F328 – 1S20123 8 
 O campo elétrico no interior de um condutor em equilíbrio 
eletrostático é sempre nulo. Assim sendo, a lei de Gauss nos permite 
demonstrar que todo o excesso de carga no condutor deverá migrar 
para a sua superfície. 
0
0
int ==
ε
φ q
 No caso de haver uma cavidade no condutor, a lei de Gauss nos 
diz que o excesso de carga se situa na superfície externa do condutor. 
0
intˆ)(
ε
φ qdAnrE
S
=⋅=∫

superfície 
gaussiana 
0)(
 =rE
0)(
 =rE
superfície 
gaussiana condutor 
condutor 
Cálculo de campo elétrico: Condutores 
F328 – 1S20123 9 
 O campo deve ser sempre perpendicular à superfície do 
condutor carregado, em equilíbrio eletrostático. Por quê? 
Simetria plana: camada condutora 
AEA σε =0
nE ˆ
0ε
σ=

0
intˆ)(
ε
φ qdAnrE
S
=⋅=∫

A 
E

Cálculo de campo elétrico 
F328 – 1S20123 10 
AEA σε =02
02ε
σ=E
0
intˆ)(
ε
φ qdAnrE
S
=⋅=∫

E

E

gaussiana 
cilíndrica 
Simetria plana: placa não condutora 
Cálculo de campo elétrico 
F328 – 1S20123 11 
Carga induzida em uma camada condutora neutra 
0ˆ)(
0
int
0
=+−=⋅=∫ εεφ
qqdAnrE
S

qq +=int qqext −=e 
0
intˆ)(
ε
φ qdAnrE
S
=⋅=∫

Para uma gaussiana no interior da camada: 
 Determinar as cargas induzidas nas superfícies interna e externa 
da camada. 
q−
Note que não é uniforme. E ? intσ extσ
Superfície 
gaussiana 
Cálculo de campo elétrico 
F328 – 1S20123 12 
E

Ad

Superfície 
gausseana 
superfície 
gaussiana S 
E

h Ad

λ
Simetria cilíndrica: fio infinito uniformemente carregado 
0
2)(
ε
λπφ hrhrE == 
r
r
rE ˆ
2
)(
0επ
λ=

0
intˆ)(
ε
φ qdAnrE
S
=⋅=∫

Nos pontos de S: constante
ˆaparalelo
=E
nE

E

S
 vista de topo 
Cálculo de campo elétrico 
F328 – 1S20123 13 
Duas placas condutoras 
Densidades superficiais de carga e 1σ 1σ−
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
=
placadaesquerdaà
placadadireitaà
0
1
0
1
1
ε
σ
ε
σ
E
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧−
=
placadaesquerdaà
placadadireitaà
0
1
0
1
2
ε
σ
ε
σ
E
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+=
placasdasfora0
placasasentre2
0
1
21 ε
σ
EEEtotal
Aproximando as placas: 
Cálculo de campo elétrico 
F328 – 1S20123 14 
Duas placas não condutoras 
Densidades superficiais de carga e )(+σ )(−−σ
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
=
+
+
+
placadaesquerdaà
2
placadadireitaà
2
0
)(
0
)(
)(
ε
σ
ε
σ
E
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧−
=
−
−
−
placadaesquerdaà
2
placadadireitaà
2
0
)(
0
)(
)(
ε
σ
ε
σ
E
0
)()(
2ε
σσ −+ −=RE
0
)()(
2ε
σσ +− −=LE
0
)()(
2ε
σσ −+ +=BE; ; 
Cálculo de campo elétrico 
F328 – 1S20123 15 
Simetria esférica: esfera condutora carregada (ou casca 
esférica carregada) 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
>
=
Rr
Rr
r
Q
rE
se,0
se,
4)( 20πε
0
intˆ)(
ε
φ qdAnrE
S
=⋅=∫

2S
1S
Cálculo de campo elétrico 
F328 – 1S20123 16 
Simetria esférica: esfera não condutora 
uniformemente carregada 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
>
=
Rr
R
rQ
Rr
r
Q
rE
se,
4
se,
4)(
3
0
2
0
πε
πε
0
intˆ)(
ε
φ qdAnrE
S
=⋅=∫

gaussiana 
esférica 
gaussiana 
esférica 
Cálculo de campo elétrico 
F328 – 1S20123 17 
Os exercícios sobre Lei de Gauss estão na página da disciplina : 
(http://www.ifi.unicamp.br). 
Consultar: Graduação à Disciplinas à F 328-Física Geral III 
Aulas gravadas: 
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) 
 ou 
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) 
Lista de exercícios do Capítulo 23 
F328 – 1S20123 18

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